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2.4.2抛物线的简单几何性质(第1课时) (1)



抛物线的几何性质
(1)

1、抛物线定义
在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过 点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.

2、 抛物线的标准方程
(1)开口向右 y2 = 2px (p>0) H (2)开口向左 y2 = -2px (p>0) (3)开口向上 x2 = 2py (p>

;0)

M

·

C

·
F

焦 点

(4)开口向下 x2 = -2py (p>0) l 准线

e=1

如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质? 类比椭圆和双曲线可以从几个方面来研究? 1、范围 由抛物线y2 =2px(p>0)

y

2 px ? y ? 0
2

p?0

o

F(

p ,0 ) 2

x

x?0 ?
所以抛物线的范围为 x ? 0

2、对称性

? ( x, y)

关于x轴
对称

( x, ? y )

y

若点(x,y)在抛物线上,

即满足y2 = 2px,
则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.

o

p F ( ,0 ) 2

x

3、顶点
定义:抛物线与坐标轴的 交点称为抛物线的顶点。
y

? y2 = 2px

(p>0)中,
o
F( p ,0 ) 2

令y=0,则x=0.
即:抛物线y2 = 2px (p>0) 的顶点是(0,0).

x

4 、离心率
y

抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比,叫做抛物线 的离心率。
由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.

P(x,y)

o

p F ( ,0 ) 2

x

5、通径
过焦点且垂直于对称轴的弦 AB,称为抛物线的通径, |AB|=2p 利用抛物线的顶点、通 径的两个端点可较准确 画出反映抛物线基本特 征的草图. A O B F
? p ? ? , p? ?2 ?

y

y2=2px

2p

x

2p越大,抛物线张口越大.

?p ? ? ,? p ? ?2 ?

6、焦半径 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物 线的焦半径。 y 焦半径公式: P(x ,y )
0 0

1、当焦点在x轴上时,

p | PF |?| x0 | ? 2

O

F

x

2、当焦点在y轴上时,

p | PF |?| y0 | ? 2

方程
图 形 范围

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y l
x

x2 = 2py (p>0) y
F x

x2 = -2py (p>0) y
x l

(p>0) y
l O F

l x

F

O

O

O

F

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

x∈R y≤0
关于y轴对称

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称

顶点
焦半径

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? y0 2

(0,0)
p ? y0 2

离心率 通径

1 2p

1 2p

1 2p

1 2p

三、典例精析

坐标轴

例1:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标 ?2 2 原点,并且经过点M(2, ),求它的标准方程. 解: 因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原 点,并且经过点M(2, ?2 2 ), 所以设方程为: y 2 ? 2 px 又因为点M在抛物线上: 所以: (?2
2

( p ? 0)

2) ? 2 p ? 2 ? p ? 2 2 因此所求抛物线标准方程为: y ? 4x

当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论

例2:探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm,灯深 40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置。
y

解: 在探照灯的轴截面 所在平面内建立直 角坐标系,使反射镜 的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.

A

(40,30)

?

O
B

x

设抛物线的标准方程为:y2=2px 由条件可得A (40,30), 代入方程得: 45 2 解之: p= 4 30 =2p· 40 45 45 2 故所求抛物线的标准方程为: y = 2 x, 焦点为( 8 ,0)

练习 : 已知M (3, 2), P为抛物线y ? 2 x上一点,
2

?3 ? , ? 3 ?2 ? . (1)若P到焦点的距离为2, 则P点坐标为 _________ ? ? 7 ( 2) PM + PF 的最小值为________ ,此时P点 2

F 为抛物线的焦点

(2, 2) . 坐标为 _________

练习:斜率为1的直线过抛物线y ? 4 x的焦点,
2

与抛物线交于A, B两点, 求线段AB的长.
y

解法1 : 直线AB的方程为y ? x ? 1, 代入抛物线方程得 : x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则x1 ? x2 ? 6, x1 ? x2 ? 1, ?| AB |? 1 ? 12 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 ? x2 ? 8 解法 2 :| AB |? ( x1 ? p p ) ? ( x2 ? ) 2 2 ? x1 ? x2 ? p ? 6 ? 2 ? 8
K O B F

A

x

三.抛物线的焦点弦 过抛物线焦点的弦叫焦点弦, 设焦点弦端点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 (1) y 2 ? 2 px , ( 2) y ? ?2 px ,
2

| AB |? x1 ? x2 ? p; | AB |? p ? x1 ? x2 | AB |? y1 ? y2 ? p | AB |? p ? y1 ? y2

(3) x 2 ? 2 py , ( 4) x ? ?2 py ,
2

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛 物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题1:求证 :| AB |? x1 ? x2 ? p
解 : AB ? AF ? BF p p ? ( x1 ? ) ? ( x2 ? ) 2 2 ? x1 ? x2 ? p

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛 物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点.

2p 问题2 : 若 l 的倾斜角为? , 则 AB ? 2 sin ?
解 : 若? ? 若? ?

?
2

, 则 AB ? 2 p, 此时AB为抛物线的通径 ? 结论得证 p y p )tan ? ,即x ? ? , 2 tan? 2

?
2

, 设直线l的方程为 : y ? ( x ?

代入抛物线方程得 : y 2 ? 2 py ? ? y1 y2 ? ? p 2 , y1 ? y2 ? ? AB ? 1 ? 2p , tan?

1 ? p 2 ? 0, tan?

1 1 2p y ? y ? 2 p ( 1 ? ) ? 1 2 tan 2 ? tan 2 ? sin 2 ?

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题3 : 焦点弦中, 通径最短.
解 :由问题 2知: AB ? ? sin 2 ? ? 1? 2p sin 2 ? 2p ? 2 p, sin 2 ? ? AB 的最小值为2 p,即通径最短. 通径的性质 :

?1? 通径的长度 : 2 p; ? 2 ? 通径越大, 抛物线开口越大; ? 3? 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的.

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. p 2 问题4 : 求证 : x1 ? x2 ? , y1 ? y2 ? ? p . 4
解 :由问题 2的解法知:y1 ? y2 ? ? p 2 , y12 y2 2 ? x1 ? , x2 ? , 2p 2p ( y1 y2 )2 P 2 ? x1 x2 ? ? 2 4P 4
2

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题5 : S?AOB
? ? ? ? ?

解 : S?OAB ? S?OBF ? S ? 0 AF

p ? . 2 sin?

2

1 1 OF ? BF ? sin ? ? OF ? AF ? sin ? 2 2 1 OF ? ? AF ? BF ? sin ? 2 1 OF ? AB ? sin ? 2 1 p 2p ? ? 2 ? sin ? 2 2 sin ? p2 2 sin ?

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题6 : (1) A, O , B1三点共线;( 2) B, O , A1三点共线; (3)设直线AO与准线交于B1 , 则BB1平行x轴; ( 4)设直线BO与准线交于A1 , 则AA1平行x轴;
y1 y y 2y 2p ? 12 ? , koB1 ? 2 ? ? 2 , p x1 y1 y1 p ? 2 2p 2 y2 2p 而y1 y2 ? ? p 2 ,? koA ? ? ? ? koB1 , 2 ?p p y2 解: ? koA ? ? A, O , B1三点共线. 同理可证( 2),(3),( 4).

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题7 : 求证 :以AB为直径的圆与准线相切
解 : 设AB的中点为M , 过A, B, M 分别作准线的垂线, 垂足分别为A1 , B1 , M1 , 则 MM1 ? AA1 ? BB1 2 ? AF ? BF 2 ? AB 2

结论得证.

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 1 1 2 问题8 : 求证 : ? ? FA FB p
解法1 : 过A, B作x轴的垂线, 垂足分别为R, S , 直线l的倾斜角为? , P , 1 ? cos? 1 1 ? cos? 1 1 ? cos? 1 1 2 ? ? ,同理 ? , ? ? . AF P BF P FA FB p ER ? EF ? FR ? P ? AF cos? ? AF ? AF ? 解法2 : 若直线l的斜率不存在, 结论显然成立, p ? ? y ? k( x ? ) 若直线l的斜率存, 设为k , 则 ? 2 ? y 2 ? 2 px ? 2 2 k p ? k 2 x 2 ? p( k 2 ? 2 ) x ? ?0 4 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? p p p FA FB x1 ? x2 ? 2 2

例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛 物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题9 : 过A, B分别作准线的垂线, 垂足分别为A1 , B1 , 则A1F ? B1F .
解 :? AA1 ? AF ,??AA1F ? ?AFA1 ? AA1 / / OF ??AA1F ? ?A1FO ??A1FO ? ?A1FA, 同理?B1FO ? ?B 1 FB , ??A1FB1 ? 90?,? A1F ? B1F .



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