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广东省中山市华侨中学2016届高三4月高考模拟数学(理)试题



广东省中山市华侨中学 2016 届高三 4 月高考模拟 理科数学试卷
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.若集合 M={x|x >4},N=

{x|1<x≤3},则 N ? =( (CR M)
2



A.{x|﹣2≤x≤2} B.{x|1<x≤2} C. {x|﹣2≤x<1} D. {x|﹣2≤x≤3} 2.设 i 为虚数单位,则复数

1? i ?( 2?i



1 3 A. ? i 5 5

3 1 B. ? i 5 5

1 3 C. ? i 5 5

3 1 D. ? i 5 5


3.若 a ? b ? a ? b ? 2 a ,则向量 a ? b 与 b 的夹角为( A.

? ?

? ?

?

? ?

?

?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

4.某滨海城市计划沿一条滨海大道修建 7 个海边主题公园,由于资金的原因,打算减少 2 个海边主题公 园,两端海边主题公园不在调整计划之列,相邻的两个海边主题公园不能在同时调整,则调整方案的 种数是 A.12 B.8 C.6 D.4 )

5.如图,函数 f ? x ? 的图象为折线 ACB ,则不等式 f ? x ? ≥ log2 ? x ? 1? 的解集是( A. ?x | ?1 ? x ≤ 0? C. ?x | ?1 ? x ≤1? B. ?x | ?1 ≤ x ≤1? D. ?x | ?1 ? x ≤ 2?
y 2 C

A -1

O

B 2

x

?x ? y ? 8 ? 0 ? 6.已知点 A(0, 2) ,点 P(x , y ) 坐标的 ( x , y ) 满足 ? x ? y ? 14 ? 0 ,则 z ? S三角形OAP ( O 是坐标原点)的最值的 ?x ? 6 ?

最优解是(

) B.最大值、最小值都有无数个最优解 D.最大值、最小值都只有一个最优解

A.最小值有无数个最优解,最大值只有一个最优解 C.最大值有无数个最优解,最小值只有一个最优解
1

7.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的某一种算法 .执行该程序框图,输入 开始 分别为 98,63 ,则输出的结果是( A.14 B.18 C.9 ) 输入 m, n D.7

r ? m 除以 n 的余数

m?n n?r
r ? 0?
是 输出 m 结束 否

8.在正项数列 ?an ? 中,且 a1 ? 的和为( A. 16 ) B.

1 ,对于任意的 n ? N * ,1 ,2an 的等差中项都是 an ?1 ,则数列 ?an ? 的前 8 项 2

33 2

C.

35 2

D. 18

9.某几何图形的三视图和尺寸的标示如图所示,该几何图形的体积或面积分别是(
3 2 1 a A. a 3 , 2 6 2 3 3 2 a , a C. 12 2

)

3 ? 3 a2 1 3 B. a , 2 6 3 ? 3 a2 2 3 a , D. 12 2

?

?

?

?

10.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为 A, B, C 的对边,如果 a, b, c 成等差数列, B ? 30 , ?ABC 的面积为
?

3 , 2

2

那么 b ? ( A.

) B. 1 ? 3 C.

1? 3 2

2? 3 2

D. 2 ? 3

11.设函数 f ( x) ? ? A. [ ,1]

? 3x ? 1, x ? 1, 则满足 f ( f (a)) ? 2 f ( a ) 的 x x ? 1. ?2 ,
B. [ , ??)

a 取值范围是( D. [1, ??)

)

2 3

2 3

C. [0,1]

12.过点 P (4, ?3) 作抛物线 y ? A. 2 x ? y ? 3 ? 0

1 2 x 的两切线,切点分别为 A , B ,则直线 AB 的方程为( 4
C. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 3 ? 0

)

B. 2 x ? y ? 3 ? 0

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13.已知 O 为坐标原点,A,B,C 是圆 O 上的三点,若 与圆 O 相切,则直线 l 的方程是 = ( + 。 ) , BC ? 2 ,过点 D(2, 0) 的直线 l

??? ?

14.已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin 2

x ? 2? ? . f ? x ? 在区间 ? 0, 上的最小值是 2 ? 3 ? ?



1 15. ( 2 x ? )9 的二项式展开式中常数项的二项式系数为 x

(用符号或数字作答) .

16.由函数 y ? ln x 和 y ? ex ?1 的图像与直线 x ? 1 所围成的封闭图形的面积是 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ,且 S n ? ⑴求数列 {an } 的通项公式;



1 an ? 1 . 2

2 an 1 ⑵记 bn ? log 3 ,数列 { } 的前 n 项和为 Tn ,若不等式 Tn ? m ,对任意的正整数 n 恒成立, 4 bn ? bn? 2

求 m 的取值范围。

18.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD ,点 E 是棱 PD 的中点,点 F 是 PC 的中点 F .
3

(Ⅰ)证明: PB ∥平面 AEC ; (Ⅱ)若 ABCD 为正方形,探究在什么条件下,二面角 C ? AF ? D 大小为 60? ?

19. (本小题满分 12 分)现有 4 个人去参加春节联欢活动,该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择. 为 增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲项目联欢,掷出点数大于 2 的人去参加乙项目联欢. (Ⅰ)求这 4 人中恰好有 2 人去参加甲项目联欢的概率; (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率; (Ⅲ)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙项目联欢的人数,记 ? ?| X ? Y | ,求随 机变量 ? 的分布列与数学期望 E? .

20.(本小题满分 12 分)直角坐标系 xOy 平面内,已知动点 M 到点 D(?4,0) 与 E (?1,0) 的距离之比为 2 . (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 c 的方程; ( Ⅱ ) 是 否 存 在 经 过 点 (? 1, 1) 的直线 l ,它与曲线 c 相交于 A , B 两个不同点,且满足

???? ? 1 ??? ? ? 3 ??? OM ? OA ? OB ( O 为坐标原点)关系的点 M 也在曲线 c 上,如果存在,求出直线 l 的方程;如果 2 2
不存在,请说明理由. 21.(本小题满分 l2 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) , a ∈R. (I)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)当 x ? 1 时, f ( x ) ≤

ln x 恒成立,求 a 的取值范围. x ?1

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则 所做的第 一个题目计分.
4

22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AD 、 BE 、 CF 分别是△ ABC 三边的高, H 是垂心, AD 的延长线交△ ABC 的外接圆于 点G . (Ⅰ)求证: ?CHG ? ?ABC ; (Ⅱ)求证: AB ? GD ? AD ? HC .

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在 直角坐 标系 xOy 中 ,以 O 为 极 点, x 轴 正半 轴为极 轴建 立极坐 标系 .曲线 C 的 参 数方程 为
? x ? 2 ? 2cos ? 2 ? 3k ( ? 为参数,且 0 ? ? ? 2? ) ,曲线 l 的极坐标方程为 ? ? ( k 是常数,且 ? 2sin ? ? 2k cos? ? y ? 2sin ?
k?R ) .

(Ⅰ)求曲线 C 的普通方程和曲线 l 直角坐标方程;

3 (Ⅱ)若曲线 l 被曲线 C 截的弦是以 ( ,1) 为中点,求 k 的值. 2

24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? | x ? 1| ? | x | ? a . (Ⅰ)若 a ? 0 ,求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? x 有三个不同的解,求 a 的取值范围.

5

2016 年全国高考数学模拟试题三答案

1 答案 13 B

2 C

3 D

4 C

5 C

6 A 14

7 D

8 D 15
C93

9 A 16

10 B

11 B

12 A

x ? 3y ? 2 ? 0 或 x ? 3y ? 2 ? 0

? 3

e ?1

17.解:

1 1 an ?1 ? 1 ① S n ? an ? 1 ② 2 2 1 1 1 ①-②可得 an ?1 ? an ?1 ? an ? 0 ,则 an ?1 ? an 2 2 3 2 2 1 1 当 n ? 1 时 S1 ? a1 ? 1 , 则 a1 ? , 则 {an } 是 以 为 首 项 , 为 公 比 的 等 比 数 列 , 因 此 3 3 3 2 2 1 2 an ? a1 ? q n ?1 ? ? ( ) n ?1 ? n . 3 3 3
(1)由题设得: S n ?1 ? (2) bn ? log3 所以 Tn ?
2 an 1 1 1 1 1 1 1 ? log3 3?2 n ? ?2n ,所以 ? ? ? ? ( ? )。 4 bn ? bn? 2 2n ? 2(n ? 2) 4 n(n ? 2) 8 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ( ? ? ? ??? ? ? ? ) ? (1 ? ? ? )? 。 8 1 3 2 4 n ?1 n ? 1 n n ? 2 8 2 n ? 1 n ? 2 16 3 所以 m ? 16
18.解析: (Ⅰ)连接 BD ,设 AC ? BD ? O ,连结 OE , ∵ 四边形 ABCD 为矩形, ∴ O 是 BD 的中点, ∵ ∴ 又 ∴ 另解析:
B ?a 2 ,AD ? 2b ,AP ? 2c 易知 AD ,AB ,AP 两两垂直, 建立如图所示空间直角坐标系 A ? xyz , 设A

点 E 是棱 PD 的中点,

PB ∥ EO ,
PB ? 平面 AEC , EO ? 平面 AEC ,

PB ∥平面 AEC 。

6

则 A(0,0,0) , B(2a ,0,0) , C (2a , 2b , 0) , D(0, 2b ,0) , P(0,0, 2c) 。 设 AC ? BD ? O ,连结 OE ,则 O(a , b , 0) , E (0, b , c) 。

??? ? ??? ? (Ⅰ)因为 PB ? (2a ,0, ? 2c) , EO ? (a ,0, ? c) ,
??? ? ??? ??? ? ??? ? ? 所以 PB ? 2EO ,所以 PB ∥ EO ,即 PB ∥ EO 。
PB ? 平面 AEC , EO ? 平面 AEC ,从而得 PB ∥平面 AEC 。

(Ⅱ)此时,a ? b , A(0,0,0) ,B(2a ,0,0) ,C (2a , 2a , 0) , D(0, 2a ,0) ,P(0,0, 2c) ,E (0, a , c) ,F (a , a , c) ,

???? 因 为 z 轴 ? 平 面 C A F , 所 以 设 平 面 CAF 的 一 个 法 向 量 为 n ? ( x ,1,0) , 而 AC ? ( 2 a , 2a , 0) ,所以
???? AC ? n ? 2ax ? 2a ? 0 ,得 x ? ?1 ,所以 n ? (?1,1, 0) 。

???? 因 为 y 轴 ? 平 面 DAF , 所 以 设 平 面 DAF 的 一 个 法 向 量 为 m ? (1, 0, z ) , 而 AF ? ( a, a, c), 所 以
??? ? a AF ? m ? a ? cz ? 0 ,得 z ? ? , c

a 所以 m ? (1,0, ? ) ∥ m? ? (c ,0, ? a) 。 c
cos 60? ? | n ? m? | c 1 ? ? ,得 a ? c 。 2 2 | n || m ? | 2(a ? c ) 2

即当 AP 等于正方形 ABCD 的边长时,二面角 C ? AF ? D 的大小为 60? .

19.解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲项目联欢的概率为

1 2 ,去参加乙项目联欢的概率为 .设 3 3 1 2 i i 4 ?i “这 4 个人中恰有 i 人去参加甲项目联欢”为事件 Ai , (i ? 0,1, 2,3, 4) ,则 P ( Ai ) ? C4 ( ) ( ) . 3 3 8 2 1 2 2 2 (Ⅰ)这 4 个人中恰好有 2 人去参加甲项目联欢的概率 P( A2 ) ? C4 ( ) ( ) ? --------4 分 3 3 27
(Ⅱ)设“这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件 B ,B ? A3 ? A4 , 故 P( B) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? C4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ?
3 3 4 4

1 3

2 3

1 3

1 . 9
1 .-------8 分 9

∴这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为 ( III) ? 的所有可能取值为 0,2,4.

7

P(? ? 0) ? P( A2 ) ?
所以 ? 的分布列是

8 40 17 , P(? ? 4) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ? , , P (? ? 2) ? P ( A1 ) ? P ( A3 ) ? 27 81 81

?

0

2

4

P
E? ?

8 27

40 81

17 81

148 .-----------------------------------------------------12 81

20.解析: (Ⅰ)设 M ( x , y ) ,则 | DM |?

? x ? 4?

2

? y 2 , | EM |?

? x ? 1?

2

? y 2 ,依题意,

? x ? 4? ? y 2 2 ? x ? 1? ? y 2
2

? 2 ,化简整理,得 x2 ? y 2 ? 4 ,

所以曲线 c 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 . (Ⅱ)假设直线 l 存在,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? x0 , y0 ? (1)若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为: y ? 1 ? k ( x ? 1) 。

联立 ?

? y ? k ? x ? 1? ? 1 ? 2 2 2 消去 y 得, ?1 ? k ? x ? 2k ? k ? 1? x ? k ? 2k ? 3 ? 0 , 2 2 ? ?x ? y ? 4 ? 0

由韦达定理得, x1 ? x2 ? ?

2k ? k ? 1? 2 ? 2k ? ?2 ? 2 1? k 2 1? k

, x1 x2 ?

2k ? 4 k 2 ? 2k ? 3 ? 1? , 2 1? k 2 1? k

y1 y2 ? k 2 x1x2 ? k (k ?1) ? x1 ? x2 ? ? (k ?1)2 ?

2k ? 4 ?3。 1? k 2

2 2 2 因为点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 在圆 c 上,因此,得 x1 ? y12 ? 4 , x2 ? y2 ?4。

由 OM ?

???? ?

? ? x ? 3x2 y ? 3 y2 1 ??? 3 ??? , y0 ? 1 。 OA ? OB 得, x0 ? 1 2 2 2 2 x1 ? 3x2 2 y ? 3 y2 2 ) ?( 1 ) ?4, 2 2

由于点 M 也在圆 c 上,则 (

整理得,

2 x12 ? y12 x 2 ? y2 3 1 ?3 2 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 4 , ? 4 4 2 2

即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,所以 1 ?

2k ? 4 2k ? 4 ( ? 3) ? 0 , 2 ? 1? k 1? k 2

8

2 从而得, k ? 2k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 ,因此,直线 l 的方程为 y ? 1 ? x ? 1 ,即 x ? y ? 2 ? 0 ;

(2)若直线 l 的斜率不存在,则 A( ?1 , 3 ),B( ?1 , ? 3 ), M (

?1 ? 3 3 ? 3 , ) 2 2

(

?1 ? 3 2 3 ?3 2 ) ?( ) ? 4 ? 3 ? 4 ,故此时点 M 不在曲线 c 上, 2 2

综上所知: k ? 1 ,直线方程为 x ? y ? 2 ? 0 .

21.解:(Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0,??), f ( x ) ?
'

1 ? ax , x

' 若 a ? 0, 则 f ( x) ? 0, ? f ( x) 在 (0,??) 上单调递增;?????2 分

1 1 ' ,当 x ? (0, ) 时, f ( x) ? 0, 当 a a 1 1 1 x ? ( ,?? ) 时, f ' ( x) ? 0 ,? f ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( ,?? ) 单调递减. a a a 1 1 所以当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0,??) 上单调递增;当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( ,?? ) 单 a a
' 若 a ? 0, 则由 f ( x) ? 0 得 x ?

调递减.?????4 分 (Ⅱ) f ( x) ?

ln x x ln x ? a( x 2 ? 1) ? ,令 g ( x) ? x ln x ? a( x 2 ? 1)(x ? 1) , x ?1 x ?1
1 ? 2ax ,??????6 分 x


g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2ax ,令 F ( x) ? g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2ax , F ?( x) ?

(1)若a ? 0, F ?( x) ? 0 , g?(x)在?1, ? ?? 递增,g?(x) ? g?(1) ? 1-2a ? 0

? g ( x)在?1,???递增, g ( x) ? g (1) ? 0 ,
lnx ? 0, 不符合题意 .?????8 分 x ?1 1 1 1 ), F ?( x) ? 0,? g ?( x)在(1, )递增 , (2) 若0 ? a ? , 当x ? (1, 2 2a 2a 从而 f(x) -

从而g?(x) ? g?(1) ? 1-2a, 以下论证同(1)一样,所以不符合题意.?????10 分
(3)若a ? 1 , F ?( x) ? 0在 ?1, ?? ? 恒成立 , 2

? g?(x)在?1,???递减,g?(x) ? g?(1) ? 1 - 2a ? 0 ,
从而 g(x) 在?1,?? ?递减 ,? g ( x) ? g (1) ? 0, f ( x) ? ln x ? 0, x ?1

9

综上所述, a 的取值范围是 ? ,?? ? ??????12 分

?1 ?2

? ?

22.解析: (Ⅰ)∵ AD 、 CF 分别是△ ABC 三边的高, ∴ AD ? BC , CF ? AB , ∴ △ ADB 和△ HFA 都是直角三角形 , ∴ ?AHF ? ?BAG ? 90? , ?ABC ? ?BAG ? 90? , ∴ ?AHF ? ?ABC , ∵ ?CHG 与 ?AHF 是对顶角, ∴ ?CHG ? ?AHF , ∴ ?CHG ? ?ABC . (Ⅱ)连结 CG ,∵ ?ABC 与 ?AGC 同弧圆周角, ∴ ∵
?ABC ? ?AGC , ?CHG ? ?ABC ,

∴ ?CHG ? ?AGC , ∴ GC ? HC , 在 Rt △ ADB 和 Rt △ GDC 中, ∵ ?ABC ? ?AGC ,即 ?ABD ? ?CGD , ∴ Rt △ ADB ∽ Rt △ GDC , ∴

AB AD , ? GC GD

∴ AB ? GD ? AD ? GC , 又 ∵ GC ? HC , ∴ AB ? GD ? AD ? HC .

? x ? 2 ? 2cos ? ? x ? 2 ? 2cos ? 23.解析: (Ⅰ)由 ? ,得 ? ,则 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? (2cos ?) 2 ? (2sin ?) 2 , y ? 2sin ? y ? 2sin ? ? ?

即曲线 C 的普通方程为 ? x ? 2? ? y2 ? 4 ;
2

由互换公式, ? cos? ? x , ? sin ? ? y ,得 2 y ? 2kx ? 2 ? 3k ,

10

3 即曲线 l 的直角坐标方程为 y ? 1 ? k ( x ? ) . 2 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,曲线 C 是圆,曲线 l 是直线,且以 ( ,1) 为弦的中点, 2
则k ?
1? 0 1 ? ?1 ,则 k ? . 3 2 ?2 2

x ? ?1 ??1, ? a ? 0 时,f ( x) ? | x ? 1| ? | x | ? ?2 x ? 1, ? 1 ? x ? 0 , 24. 解析: (Ⅰ) ?1, x?0 ?

∴当 x ? ?1 时, f ( x) ? ?1 ? 0 不合题意;

1 当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 ? ? x ? 0 ; 2
当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? 0 符合题意.

1 综上, f ( x) ? 0 的解集为 [? , ? ?) . 2
(Ⅱ)设 u ( x) ? | x ? 1| ? | x | , y ? u ( x) 的图象和 y ? x 的图象如图: 易知 y ? u ( x) 的图象向下平移 1 个单位以内(不包括 1 个单位)与 y ? x 的图象始终有 3 个交点, 从而 ?1 ? a ? 0 .

11



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