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东城区2016-2017学年第一学期高三期末(文)数学试题及答案



东城区 2016-2017 学年第一学期期末教学统一检测

高三数学 (文科)
2017.1
本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答 无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题
一项。

共 40 分)

/>
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的

(1)集合 Α ? x ?1 ? x ? 1 , Β ? ? x | x( x ? 2) ? 0? ,那么 Α ? Β = (A) ? x | ?1 ? x ? 0? (C) {x | 0 ? x ? 1} (2)在复平面内,复数 z ? i(1 ? i) ,那么 | z |? (A) 1 (B) 2 (C) (B) ? x | ?1 ? x ? 2? (D) {x | x ? 0 或 x ? 2}

?

?

3

(D) 2

? x ? y ? 3, ? (3)已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 2, 那么 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? y ? 2. ?
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

(4)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), x ? R (其中 ? ? 0, ? ? ? ? ? ? )的部分图象,如图所示. 那么 f ( x ) 的解析式为

(A)

f ( x) ? sin( x ?

?
2

)

(B) f ( x ) ? sin( x ?

?
2

)

(C)f ( x ) ? sin(2 x ? (5)下列四个命题:

?
2

)

(D)f ( x) ? sin(2 x ?

?
2

)

① ?x0 ? R ,使 x0 ? 2 x0 ? 3 ? 0 ;
2

②命题“ ?x0 ? R,lg x0 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , lg x ? 0 ” ;

1

2 2 ③如果 a, b ? R ,且 a ? b ,那么 a ? b ;

④“若 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? ”的逆否命题为真命题.其中正确的命题是 (A)① (6)过抛物线 y 则这样的 直线 (A)有且仅有一条 (C)有无穷多条 (B)有且仅有两条 (D)不存在
2

(B)②

(C)③

(D)④

? 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A, B 两点,它们的横坐标之和等于 3 ,

(7)为征求个人所得税法修改建议,某机构调查了 10000 名当地职工的月收入情况,并根据所得 数据画出了样本的频率分布直方图, 下面三个结论: ① 估计样本的中位数为 4800 元; ② 如果个税起征点调整至 5000 元, 估 计有 50 % 的当地职工会被征税; ③ 根据此次调查, 为使 60 % 以上的职 工不用缴纳个人所得税,起征点应 调整至 5200 元. 其中正确结论的个数有 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

(8) 对于给定的正整数数列 ?an ? , 满足 an?1 ? an ? bn , 其中 bn 是 an 的末位数字, 下列关于数列 ?an ? 的说法正确的是
n (A)如果 a1 是 5 的倍数,那么数列 ?an ? 与数列 2 必有相同的项; n (B)如果 a1 不是 5 的倍数,那么数列 ?an ? 与数列 2 必没有相同的项; n (C)如果 a1 不是 5 的倍数,那么数列 ?an ? 与数列 2 只有有限个相同的项; n (D)如果 a1 不是 5 的倍数,那么数列 ?an ? 与数列 2 有无穷多个相同的项.

? ?

? ? ? ?

? ?

2

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)执行如图所示的程序框图,则输出 s 的值为___.

共 110 分)

(10)一个四棱锥的三视图如图所示(单位: cm ),这个四棱锥的体积为____ cm .

3

(11) △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 5, b ? 7, c ? 8 ,则 AB ? AC 等于____.

??? ? ??? ?

( 12 )双曲线 为 .

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0) 的右焦点为圆 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 1 的圆心,则此双曲线的离心率 a2 7

(13)每个航班都有一个最早降落时间和最晚降落时间,在这个时间窗口内,飞机均有可能降落 . 甲航班降落的时间窗口为上午 10 点到 11 点, 如果它准点降落时间为上午 10 点 40 分, 那么甲 航班晚点的概率是____;若甲乙两个航班在上午 10 点到 11 点之间共用一条跑道降落,如果 两架飞机降落时间间隔不超过 15 分钟,则需要人工调度,在不考虑其他飞机起降的影响下, 这两架飞机需要人工调度的概率是_____.

3

(14)已知函数 f ( x) ?| x | ( x ? a) ? 1 .当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为

; 若 函 数

g ( x) ? f ( x) ? a 有 3 个不同的零点,则 a 的取值范围为

.

三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题 13 分) 已知数列 {an } 是等差数列,其首项为 2 ,且公差为 2 ,若 bn ? 2an ( n ? N? ). (Ⅰ)求证:数列 {bn } 是等比数列; (Ⅱ)设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 An .

(16) (本小题 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?
3

), x ? R

(Ⅰ)如果点 P ( , ) 是角 ? 终边上一点,求 f (? ) 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? sin x ,求 g ( x) 的单调增区间.

3 4 5 5

(17) (本小题 13 分)

2016 年 10 月 3 日,诺贝尔生理学或医学奖揭晓,获奖者是日本生物学家大隅良典,他的获奖
理由是“发 现了细胞自噬机制”.在上世纪 90 年代初期,他筛选了上千种不同的酵母细胞,找到了 15 种和 自噬有关 的基因,他的研究令全世界的科研人员豁然开朗,在此之前,每年与自噬相关的论文非常少, 之后呈现 了爆发式增长,下图是 1994 年到 2016 年所有关于细胞自噬具有国际影响力的 540 篇论文分布 如下:

4

(Ⅰ)从这 540 篇论文中随机抽取一篇来研究,那么抽到 2016 年发表论文的概率是多少? (Ⅱ) 如果每年发表该领域有国际影响力的论文超过 50 篇, 我们称这一年是该领域的论文 “丰年” . 若从 1994 年到 2016 年中随机抽取连续的两年来研究,那么连续的两年中至少有一年是 “丰年”的概率是多少? (Ⅲ)由图判断,从哪年开始连续三年论文数量方差最大?(结论不要求证明)

(18) (本小题 13 分) 已知 ?ABD 错误!未找到引用源。和 ?BCD 是错误!未找到引用源。两个直角三角形,

?BAD ? ?BDC ?

?
2

错误!未找到引用源。 , E 、 F 分别是边 AB 、 AD 的中点,

BCD . 现将 ?ABD 沿 BD 边折起到 A 1 BD ? 平面 1BD 的位置,如图所示,使平面 A
(Ⅰ)求证: EF // 平面 BCD ; (Ⅱ)求证:平面 A 1 BC ? 平错误!未找到 引用源。面 ACD ; 1

BD 是否有可能垂 (Ⅲ) 请你判断,AC 1 与
直,做出判断并写明理由.

5

(19) (本小题 14 分) 已知椭圆 E:

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,离心率 e ? ,点 D(0 , 3) 在椭圆 2 2 a b

E 上.
(Ⅰ) 求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 E 于 A, B 两点, ?DAF 的面积为 S ?DAF ,

?DBF 的面积为 S ?DBF ,且 S?DAF : S?DBF ? 2 :1 ,求直线 AB 的方程.

(20) (本小题 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? ln x ? ax , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 在 [ , e ] 错误!未找到引用源。上的最小值; (Ⅲ)若 g ( x) ? f ( x) ?

1 e

1 2 ax ? (2a ? 1) x ,求证: a ? 0 是函数 y ? g ( x) 在 x ? (1,2) 时单调递增 2

的充分不必要条件.

6

东城区 2016-2017 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1) A (5) D (2) B (6) B (3) C (7) C (4) A (8) D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 20 (11) 44 (13) (10) 72 (12)

4 3

1 7 ; 3 16

(14) ? ??, ? ?? ,

?a

2 2 ? 2 ? a ?1

?

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) (Ⅰ)证明:因为等差数列 {an } 的首项和公差都为 2, 所以 an ? 2 ? (n ?1)2 ? 2n , 又因为 bn ? 22n , 所以

bn?1 22( n?1) ? 2n ? 4 , bn 2
???????8 分

所以数列 {bn } 是以 4 为首项和公比的等比数列; (Ⅱ)解:因为 cn ? an ? bn ? 2n ? 4n , 等差数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 等比数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ?

2 ? 2n ? n ? n(n ? 1) , 2

4(1 ? 4n ) 4 n ? (4 ? 1) 1? 4 3 4 n 所以 ?cn ?的前 n 项和 An ? S n ? Tn ? n(n ? 1) ? (4 ? 1) . 3
(16) (共 13 分)

????13 分

4 3 解: (Ⅰ)由已知: sin ? ? , cos ? ? 5 5

---2 分

? 1 3 1 4 3 3 4?3 3 ? f (? ) ? sin(? ? ) ? sin ? ? cos? = ? ? ? ? 3 2 2 2 5 2 5 10
7

---6 分

(Ⅱ) g ( x) ? ( sin x ?

1 2

3 cos x) ? sin x 2

=

3 3 sin x ? cos x 2 2
------------8 分 -----------10 分

= 3(

3 1 sin x ? cos x) 2 2

= 3 sin( x ?

?
6

)

由?

?
2

? 2k? ? x ?

?
6

?

?
2

? 2k? 得: ?

2? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? 3 3

---12 分

? ? 2? ? + 2 k? , + 2 k ? ? ? k ? Z ? ? g ( x) 的单调增区间为 ? ? 3 ? 3 ?
(17) (共 13 分) 解: (Ⅰ)设抽到 2016 年发表的论文为事件 A,依题意可知,

--13 分

P( A) ?

36 1 ? 540 15



















源。

???5 分

(Ⅱ)设至少抽到一个“丰年”为事件 B,依题意可知,

1994 - 2016 的 23 年中随机抽取连续两年共有 22 种可能,
至少一个“丰年”的可能情况有: 2009-2010 , 2010-2011 , 2011-2012 , 2012-2013 ,

2013-2014 , 2014-2015 , 2015-2016 共计 7 种可能,

P( B) ?

7 ; 22

???11 分

, 48, 57 三个数方差最大, (Ⅲ) 81
所以从 2013 年开始,连续三年论文数方差最大. (18) (共 13 分) (Ⅰ)因为 E 、 F 分别是边 AB 、 AD 的中点, 所以 EF // BD 因为 EF ? 平面 BCD , BD ? 平面 BCD , 所以 EF // 平面 BCD . 分 -----4 ???13 分

BCD , (Ⅱ)因为平面 A 1 BD ? 平面
8

BCD ? BD , 平面 A 1 BD ? 平面 CD ? 平面 BCD , CD ? BD ,
所以 CD ? 平面 A 1BD . 因为 A1B ? 平面 A 1BD , 所以 CD ? A1B , 因为 A 1B ? A 1D , A 1D ? CD ? D , 所以 A1B ? 错误!未找到引用源。平面 ACD . 1 因为 A1B ? 平面 A 1BC , 所以平面 A . 1 BC ? 平面 ACD 1 ----10 分

BD 不可能垂直. (Ⅲ)结论: AC 1 错误!未找到引用源。 与
理由如下: 假设 AC ? BD , 1 因为 CD ? BD , AC 1 ? CD ? C , 所以 BD ? 错误!未找到引用源。平面 ACD , 1 因为 A1D ? 错误!未找到引用源。平面 ACD , 1 所以 BD ? A1D 与 A 未找到引用源。 矛盾, 故 AC 未找到引用源。 与 1B ? A 1D 错误! 1 错误!

BD 不可能垂直.
(19) (共 14 分) 解: (Ⅰ)因为 b ? 3, e ? 所以 a ? 2

-------13 分

1 错误!未找到引用源。 , 2

所 以 椭 圆 E 的 方 程 为 --- 4 分

x2 y2 ? ?1 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 . 4 3

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 x ? ty ? 1(t ? 0) ), 代入

x2 y2 ? ? 1 错误!未找到引用源。 , 4 3

9

整理得 (3t 2 ? 4) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0 因为直线 AB 过椭圆的右焦点, 所以方程有两个不等实根. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ?
? 6t ?9 , y1 y2 ? 2 , 2 3t ? 4 3t ? 4

因为 S?DAF : S?DBF ? 2 :1 , 所以 AF ? 2 FB ,错误!未找到引用源。 所以 y1 ? ?2 y2 , 解得 t ? ∴
?2 5 ,错误!未找到引用源。 5



线

AB









x?

?2 5 y ?1 5

--------------------- 14 分
(20) (共 14 分) 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? x ? ln x ? ax 得 f ' ( x) ? ln x ? a ? 1 . 当 a ? 1 时, f ' ( x) ? ln x ? 2 , f (1) ? 1 , f ' (1) ? 2 , 求得切线方程为 y ? 2 x ? 1 ????????4 分 (Ⅱ)令 f ' ( x) ? 0 得 x ? e
? ( a ?1)

.

1 1 ? 当 e ? ( a ?1) ? ,即 a ? 0 时, x ? [ , e] 时 f ' ( x) ? 0 恒成立, f ( x) 单调递增, e e 1 a ?1 此时 f ( x) min ? f ( ) ? . e e 1 ? ( a ?1) ? e ,即 a ? ?2 时, x ? [ , e] 时 f ' ( x) ? 0 恒成立, f ( x) 单调递减, 当e e 此时 f ( x)min ? f (e) ? ae ? e .


1 1 ? e ? ( a ?1) ? e ,即 ? 2 ? a ? 0 时, x ? [ , e ? ( a ?1) ) 时 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单减; e e

x ? (e?( a ?1) , e) 时 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单增,此时 f ( x)min ? f (e?( a ?1) ) ? ?e?( a ?1) .

10

????????9 分 (Ⅲ) g ' ( x) ? f ' ( x) ? ax ? (2a ? 1) ? ln x ? ax ? a ? ln x ? a( x ? 1) .

? 当 a ? 0 时, x ? (1,2) 时 ln x ? 0 , a( x ? 1) ? 0 , g ' ( x) ? 0 恒成立,
函数 y ? g ( x) 在 x ? (1,2) 时单调递增,充分条件成立;

1 1 1 时,代入 g ' ( x) ? ln x ? a ( x ? 1) ? ln x ? x ? . 2 2 2 1 1 1 1 2? x ? 0 恒成立 设 h( x) ? g ' ( x) ? ln x ? x ? , x ? (1,2) ,则 h' ( x ) ? ? ? 2 2 x 2 2x ? 当 x ? (1,2) 时, h( x) 单调递增.
又当 a ? ? 又 h(1) ? 0 ,? 当 x ? (1,2) 时, h( x) ? 0 恒成立. 而 h( x ) ? g ' ( x ) ,

? 当 x ? (1,2) 时, g ' ( x) ? 0 恒成立,函数 y ? g ( x) 单调递增. ? 必要条件不成立
综 上 , a ? 0 是 函 数 y ? g ( x) 在 x ? (1,2) 时 单 调 递 增 的 充 分 不 必 要 条 件. ????????14 分

11

12



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