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2014高考数学(理)天津卷



2014 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。第Ⅰ 卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时, 考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷

和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷
注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其他答案标号。 2 本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式: ?如果事件 A , B 互斥,那么 ?如果事件 A , B 相互独立,那么

P( A

B) ? P( A) ? P( B)

P( AB) ? P( A) P( B) .
?圆锥的体积公式 V ?

?圆柱的体积公式 V ? Sh . 其中 S 表示圆柱的底面面积,

1 Sh . 3

其中 S 表示圆锥的底面面积,

h 表示圆柱的高.

h 表示圆锥的高.

一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. (1) i 是虚数单位,复数 (A) 1 - i

7+ i =( 3 + 4i



(B) - 1 + i

(C)

17 31 + i 25 25

(D) -

17 25 + i 7 7


? x ? y ? 2 ? 0, ? (2) 设变量 x ,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为 ( ? y ? 1, ?
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 ) (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 的值为(

(A)15 (C)245

(B)105 (D)945

(4)函数 f ( x) = log 1 x2 - 4 的单调递增区间是(
2

(

)



(A) (0, + ? (C) (2, + ?

) )

(B) (- ? ,0) (D) (- ? , 2)

(5)已知双曲线

x2 y 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线平行于直线 l : y = 2 x + 10 ,双曲线的一 a 2 b2


个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( (A)

x2 y 2 =1 5 20
3x 2 3 y 2 =1 25 100

(B)

x2 y 2 =1 20 5

(C)

(D)

3x 2 3 y 2 =1 100 25

(6)如图, D ABC 是圆的内接三角形, ?BAC 的平分线交圆于点 D , 交 BC 于点 E ,过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F .在上述条 件下,给出下列四个结论:① BD 平分 ?CBF ;② FB = FD FA ; ③ AE ?CE
2

A C

BE DE ;④ AF ?BD


AB BF .

B D F

E

则所有正确结论的序号是( (A)①② (B)③④

(C)①②③

(D)①②④ )

(7)设 a, b ? R ,则|“ a > b ”是“ a a > b b ”的( (A)充要不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充要也不必要条件

(8)已知菱形 ABCD 的边长为 2, ? BAD

120 ,点 E , F 分别在边 BC , DC 上, BE = l BC ,
2 ,则 l + m = ( 3 7 12


DF = mDC .若 AE ? AF
(A)

1 , CE ?CF
(C)

1 2

(B)

2 3

5 6

(D)

第Ⅱ 卷
注意事项: 1.用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共 12 小题,共 110 分。 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填 在题中横线上.) (9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向, 拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容
2 4 2 4 4 2

正视图

侧视图

俯视图

量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4:5:5: 6,则应从一年级本科生中抽取_______名学生. (10)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为_______ m . (11)设 {an }是首项为 a1 ,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1 , S2 , S4 成等比数列,则 a1 的 值为__________. (12) 在 D ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c .已知 b - c = 的值为_______. (13)在以 O 为极点的极坐标系中,圆 r = 4sin q 和直线 r sin q = a 相交于 A, B 两点.若 D AOB 是 等边三角形,则 a 的值为___________.
2 (14)已知函数 f ( x ) = x + 3 x , x ? R .若方程 f (x)- a x - 1 = 0 恰有 4 个互异的实数根,则实

3

1 2sin B = 3sin C , o s a, 则c 4

A

数 a 的取值范围为__________. 三、解答题(本题共 6 道大题,满分 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ? (Ⅰ )求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ )求 f ? x ? 在闭区间 ? ?

? ?

??

3 2 , x?R . ? ? 3 cos x ? 3? 4

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 4?

(16) (本小题满分 13 分)

某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学. 在这 10 名同学中,3 名同学来自数学学院,其余 7 名 同学来自物理、 化学等其他互不相同的七个学院. 现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学, 到希望小学 进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (Ⅰ )求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (Ⅱ )设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

(17) (本小题满分 13 分) 如图, 在四棱锥 P - ABCD 中,PA ^ 底面 ABCD ,AD ^ AB ,AB // DC ,AD = DC = AP = 2 ,

AB = 1 ,点 E 为棱 PC 的中点.
(Ⅰ )证明 BE ^ DC ; (Ⅱ )求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; (Ⅲ )若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF ^ AC , 求二面角 F - AB - P 的余弦值.

(18) (本小题满分 13 分)

x2 y 2 设椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点为 F1 , F2 ,右顶点为 A ,上顶点为 B .已知 a b

AB =

3 F1F2 . 2

(Ⅰ )求椭圆的离心率; (Ⅱ )设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F 1 ,经过原点的直线 l 与该圆 相切. 求直线的斜率.

(19) (本小题满分 14 分) 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数.设集合 M = {0,1,2,

, q - 1},集合

A = {x x = x1 + x2q +

+ xn q n- 1 , xi ? M , i

1,2,

, n}.

(Ⅰ )当 q = 2 , n = 3 时,用列举法表示集合 A ; (Ⅱ)设 s, t ? A , s = a1 + a2q +

+ anqn- 1 , t = b1 + b2q +

+ bnqn- 1 ,其中

(20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f (x) = x - aex (a ? R) , x ? R .已知函数 y = f (x) 有两个零点 x1 , x2 ,且 x1 < x2 . (Ⅰ )求 a 的取值范围; (Ⅱ )证明 (Ⅲ )证明

x2 随着 a 的减小而增大; x1

x1 + x2 随着 a 的减小而增大.

参考答案及解析
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案

A

B

B

D )

A

D

C

C

(1) i 是虚数单位,复数 (A) 1 - i

7+ i =( 3 + 4i

(B) - 1 + i

(C)

17 31 + i 25 25

(D) -

17 25 + i 7 7

解:A

(7 + i)(3 - 4i) 25 - 25i 7+ i = = = 1- i . 3 + 4i (3 + 4i)(3 - 4i) 25


? x ? y ? 2 ? 0, ? (2)设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为( ? y ? 1, ?
(A)2 解:B (B)3 (C)4 (D)5

y 2 1


作出可行域,如图

结合图象可知,当目标函数通过点 (1,1) 时, z 取得最小值 3. (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 输出的 S 的值为 ( (A)15 (C)245 解:B (B)105 (D)945

O -2

2

x

i = 1 时, T = 3 , S = 3 ; i = 2 时, T = 5 , S = 15 ;

i = 3 时, T = 7 , S = 105 , i = 4 输出 S = 105 .
(4)函数 f ( x) = log 1 x2 - 4 的单调递增区间是(
2

(

)



(A) (0, + ? (C) (2, + ? 解:D

) )

(B) (- ? ,0) (D) (- ? , 2)

x 2 - 4 > 0 ,解得 x < - 2 或 x > 2 .由复合函数的单调性知 f ( x) 的

单调递增区间为 (- ? , 2) . (5)已知双曲线

x2 y 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线平行于直线 l : y = 2 x + 10 ,双曲线的一 a 2 b2


个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为(

x2 y 2 =1 (A) 5 20
(C)

x2 y 2 =1 (B) 20 5
(D)

3x 2 3 y 2 =1 25 100

3x 2 3 y 2 =1 100 25

解:A

ì ? b = 2a ? ? 2 2 ? 依题意得 í c = 5 ,所以 a = 5 ,b = 20 ,双曲线的方 ? ? 2 2 2 ? ? ?c = a + b

x2 y 2 程为 = 1. 5 20
(6)如图, D ABC 是圆的内接三角形, ?BAC 的平分线交圆于点 D , 交 BC 于点 E ,过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F .在上述条件 下,给出下列四个结论:① BD 平分 ?CBF ;② FB = FD FA ; ③ AE ?CE
2

A C

B D F

E

BE DE ;④ AF ?BD


AB BF .

则所有正确结论的序号是( (A)①② 解: D 所以 (B)③④

(C)①②③

(D)①②④

由弦切角定理得 ? FBD

? EAC

F D BAE , 又? B

A F B

, 所以 D BFD ∽ D AFB ,

BF BD = ,即 AF ?BD AF AB
? EAC

AB BF ,排除 A、C.

又 ? FBD

DBC ,排除 B.


(7)设 a, b ? R ,则|“ a > b ”是“ a a > b b ”的( (A)充要不必要条件 (C)充要条件 解:C (B)必要不充分条件 (D)既不充要也不必要条件

ì ? x2 , x ? 0 ? 设 f (x) = x x ,则 f ( x ) = í ,所以 f ( x) 是 R 上的增函数, “ a > b ”是 2 ? ? ?- x ,x< 0

“ a a > b b ”的充要条件. (8)已知菱形 ABCD 的边长为 2, ? BAD

120 ,点 E , F 分别在边 BC , DC 上, BE = l BC ,
2 ,则 l + m = ( 3 7 12


DF = mDC .若 AE ? AF
(A) 解:C

1 , CE ?CF
(C)

1 2

(B)

2 3

5 6

(D)

因为 ? BAD

120 ,所以 AB ? AD

AB 鬃 AD cos120 = - 2 .

因为 BE = l BC ,所以 AE = AB + l AD , AF = mAB + AD . 因为 AE ? AF

1 ,所以 ( AB + l AD)?(mAB
2 3

AD) = 1 ,即 2l + 2m- l m =
5 . 6

3 2



同理可得 l m - l - m = -

②,①+②得 l + m =

第Ⅱ 卷
注意事项: 1.用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共 12 小题,共 110 分。 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.) (9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向, 拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容 量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四 年级的本科生人数之比为 4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽 取_______名学生. 解:60 应从一年级抽取 300 ?
2 4 2 4 2

4

4 4+ 5+ 5+ 6

60 名.

正视图

侧视图

(10)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何 体的体积为_______ m . 解:
3

俯视图

20p 3

该几何体的体积为 p ?4

1 20p 3 p鬃 22 2 = m . 3 3

(11)设 {an }是首项为 a1 ,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1 , S2 , S4 成等比数列,则 a1 的 值为__________. 解: -

1 2

依题意得 S2 2 = S1S4 ,所以 (2a1 - 1) = a1 (4a1 - 6) ,解得 a1 = -

2

1 . 2
A

(12) 在 D ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c .已知 b - c = 的值为_______. 解: -

1 2sin B = 3sin C , o s a, 则c 4

1 4

因为 2sin B = 3sin C ,所以 2b = 3c ,解得 b =

3c , a = 2c . 2

所以 cos A =

b2 + c 2 - a 2 1 =- . 2bc 4

(13)在以 O 为极点的极坐标系中,圆 r = 4sin q 和直线 r sin q = a 相交于 A, B 两点.若 D AOB 是 等边三角形,则 a 的值为___________. 解:3
2 圆的方程为 x + ( y - 2) = 4 ,直线为 y = a . 2

因为 D AOB 是等边三角形,所以其中一个交点坐标为 ? ?

骣 a ÷ , a÷,代入圆的方程可得 a = 3 . ? 桫3 ÷

2 (14)已知函数 f ( x ) = x + 3 x , x ? R .若方程

y

f (x)- a x - 1 = 0 恰有 4 个互异的实数根,则实数 a 的取值范围
为__________. 解: 0 < a < 1 或 a > 9 显然 a > 0 .
3 O 1 x

(ⅰ)当 y = - a(x - 1)与 y = - x2 - 3x 相切时, a = 1 ,此时 f (x)- a x - 1 = 0 恰有 3 个互异的 实数根. (ⅱ)当直线 y = a ( x - 1)与函数 y = x2 + 3x 相切时, a = 9 , 此时 f (x)- a x - 1 = 0 恰有 2 个互异的实数根. 结合图象可知 0 < a < 1 或 a > 9 . 解 2:显然 a ? 1 ,所以 a =
y

x 2 + 3x . x- 1

4 令 t = x - 1 ,则 a = t + + 5 . t
因为 t + 所以 t +

y

3 O 1

x

4 ? ( ? , 4] [4, + t 4 + 5 ? ( ゥ,1] [9, + t

), ).

9 1 O t


结合图象可得 0 < a < 1 或 a > 9 .

三、解答题(本题共 6 道大题,满分 80 分.解答应 出文字说明,证明过程或演算步骤. ) (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ? (Ⅰ )求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ )求 f ? x ? 在闭区间 ? ?

? ?

??

3 2 , x?R . ? ? 3 cos x ? 3? 4

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 4?

(15)本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式,三角函数的最小正周期、单 调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分 13 分.

? sin x + (Ⅰ )解:由已知,有 f ( x) = cos x 诅 ?

骣 1 ? 2 桫

3 ÷ cos x÷ ÷ ÷ 2

3 cos 2 x +

3 4

= = =

1 sin x ?cos x 2

3 3 cos 2 x + 2 4

1 3 3 sin 2 x (1 + cos 2 x) + 4 4 4 1 sin 2 x 4 3 cos 2 x 4

=
所以, f ( x) 的最小正周期 T =

1 骣 p sin ? 2x - ÷ ÷. ? 桫 2 ? 3÷
2p = p. 2

(Ⅱ )解:因为 f ( x) 在区间 犏 - ,-

轾p 犏 臌4

轾p p p 上是减函数,在区间 犏 , 上是增函数. 犏 12 臌12 4 骣 p÷ 1 f? ÷= . ? ? 桫 4÷ 4

骣 p÷ 1 f? - ÷ =- , ? ÷ ? 桫4 4

骣p÷ 1 f? =- , ÷ ? ÷ ? 桫 12 2

所以,函数 f ( x) 在闭区间 犏 - ,

轾p p 1 1 上的最大值为 ,最小值为 . 犏 4 2 臌4 4

(16) (本小题满分 13 分) 某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学. 在这 10 名同学中,3 名同学来自数学学院,其余 7 名 同学来自物理、 化学等其他互不相同的七个学院. 现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学, 到希望小学 进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (Ⅰ )求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (Ⅱ )设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. (16)本小题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望 等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 满分 13 分. (Ⅰ)解:设“选出的 3 名同学来自互不相同的学院”为事件 A ,则

P( A) =

1 2 C3 ?C7

0 3 C3 C7

C

3 10

=

49 . 60
49 . 60

所以,选出的 3 名同学来自互不相同学院的概率为 所以, f ( x) 的最小正周期 T =

2p = p. 2

(Ⅱ)解:随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.

P( x = k ) =

k 3- k C4 ×C6 (k = 0,1,2,3) . 3 C10

所以,随机变量 X 的分布列是

X

0

1

2

3

P

1 6
1 6 1

1 2
1 3 + 2? 2 10

3 10
3? 1 30

1 30
6 . 5

随机变量 X 的数学期望 E ( X ) = 0 ?

(17) (本小题满分 13 分) 如图, 在四棱锥 P - ABCD 中,PA ^ 底面 ABCD ,AD ^ AB ,AB // DC ,AD = DC = AP = 2 ,

AB = 1 ,点 E 为棱 PC 的中点.
(Ⅰ )证明 BE ^ DC ; (Ⅱ )求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; (Ⅲ )若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF ^ AC , 求二面角 F - AB - P 的余弦值.

(17)本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、直 线与平面所成的角, 直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间 向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、 运算能力 和推理论证能力. 满分 13 分. (方法一) 依题意,以点 A 为原点建立空间直角坐标系(如图) ,可得

z P E y D C

B(1,0,0) ,C(2,2,0) ,D(0,2,0) ,P(0,0,2) .由 E 为棱 PC
的中点,得 E (1,1,1) . (Ⅰ)证明:向量 BE = (0,1,1) , DC = (2,0,0),故

A

B

x

BE ?DC

0 . 所以, BE ^ DC .

(Ⅱ)解:向量 BD = (- 1,2,0 ) , PB = (1,0, - 2) . 设 n = (x, y, z ) 为平面 PBD 的法向量,则 ? í

ì ? n ?BD ? ? ? n ?PB

0, 0,

即? í

ì - x + 2 y = 0, ? ? ? ? x - 2 z = 0.

不妨令 y = 1 ,可得 n = (2,1,1)为平面 PBD 的一个法向量.于是有

cos n, BE =

n ×BE n × BE

=

2 6? 2

=

3 . 3

所以,直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为

3 . 3

(Ⅲ)解:向量 BC = (1,2,0) , CP = (- 2, - 2,2) , AC = (2,2,0) , AB = (1,0,0) . 由点 F 在棱 PC 上,设 CF = l CP , 0 #l

1.

故 BF = BC + CF = BC + l CP = (1- 2l ,2 - 2l ,2l ) . 由 BF ^ AC ,得 BF ? AC

0,
3 .即 BF = 4

因此, 2(1- 2l ) + 2(2 - 2l ) = 0 ,解得 l =

骣 1 1 3÷ ? - , , ÷. ? ? 桫 2 2 2÷

ì ? ? n1 ? AB 设 n1 = ( x, y, z ) 为平面 FAB 的法向量,则 í ? ? ? n1 ?BF

0,

ì x = 0, ? ? 即? í 1 1 3 - x + y + z = 0. 0, ? ? ? 2 2 2 ?

不妨令 z = 1 ,可得 n1 = (0, - 3,1) 为平面 FAB 的一个法向量. 取平面 ABP 的法向量 n2 = (0,1,0) ,则

cos n1 , n2 =

n1 ×n2 n1 × n1

=

- 3 10 ? 1

=-

3 10 . 10

易知,二面角 F - AB - P 是锐角,所以其余弦值为 (方法二)

3 10 . 10

(Ⅰ)证明:如图,取 PD 中点 M ,连接 EM , AM . 由于 E , M 分别为 PC , PD 的中点, 故 EM // DC ,且 EM =

1 DC , 2

又由已知,可得 EM // AB 且 EM = AB ,故四边形 ABEM 为平行四边 形,所以 BE // AM . 因为 PA ^ 底面 ABCD ,故 PA ^ CD ,而 CD ^ DA ,从而 CD ^ 平面 PAD ,因为 AM ? 平 面 PAD ,于是 CD ^ AM ,又 BE // AM ,所以 BE ^ CD . (Ⅱ)解:连接 BM ,由(Ⅰ)有 CD ^ 平面 PAD ,得 CD ^ PD ,而 EM // CD ,故 PD ^ EM . 又因为 AD = AP , M 为 PD 的中点,故 PD ^ AM ,可得 PD ^ BE ,所以 PD ^ 平面 BEM ,故 平面 BEM ^ 平面 PBD .

所以直线 BE 在平面 PBD 内的射影为直线 BM ,而 BE ^ EM ,可得 ?EBM 为锐角,故 ?EBM 为 直线 BE 与平面 PBD 所成的角. 依题意,有 PD = 2 2 ,而 M 为 PD 中点,可得 AM = 故在直角三角形 BEM 中, tan ? EBM

2 ,进而 BE =

2.
3 . 3

EM AB 1 ,因此 sin ? EMB = = BE BE 2

所以,直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为

3 . 3

(Ⅲ) 解: 如图, 在 D PAC 中, 过点 F 作 FH // PA 交 AC 于点 H . 因为 PA ^ 底面 ABCD ,故 FH ^ 底面 ABCD ,从而

FH ^ AC .又 BF ^ AC ,得 AC ^ 平面 FHB ,因此

AC ^ BH .
在底面 ABCD 内,可得 CH = 3HA ,从而 CF = 3FP .在 平面 PDC 内,作 FG // DC 交 PD 于点 G ,于是 DG = 3GP . 由于 DC // AB ,故 GF // AB ,所以 A, B, F , G 四点共面. 由 AB ^ PA , AB ^ AD ,得 AB ^ 平面 PAD ,故 AB ^ AG . 所以 ?PAG 为二面角 F - AB - P 的平面角. 在 D PAG 中, PA = 2 , PG =

1 2 , ? APG PD = 4 2 3 10 . 10

45 ,

由余弦定理可得 AG =

10 , cos ? PAG 2

所以,二面角 F - AB - P 的斜率值为 (18) (本小题满分 13 分) 设椭圆

3 10 . 10

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点为 F1 , F2 ,右顶点为 A ,上顶点为 B .已知 a 2 b2

AB =

3 F1F2 . 2

(Ⅰ )求椭圆的离心率;

l (Ⅱ )设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F 1 ,经过原点的直线 与该圆
相切. 求直线的斜率. (18)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识. 考查用代数 方法研究圆锥曲线的性质. 考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分 13 分.

(Ⅰ )解:设椭圆的右焦点 F2 的坐标为 (c,0) .由 AB =

3 F1F2 ,可得 a 2 + b2 = 3c 2 ,又 2

b2 = a 2 - c 2 ,则

c2 1 = . a2 2

所以,椭圆的离心率 e =

2 . 2

a2 + b2 = 3c ,所以 2a2 - c2 = 3c2 ,解得 a =
2 2 2 2

2c , e =

2 . 2

(Ⅱ )解:由(Ⅰ )知 a = 2c , b = c .故椭圆方程为

x2 y2 + = 1. 2c 2 c 2

设 P(x0 , y0 ) .由 F 1 (- c,0) , B (0, c),有 F 1 P = ( x0 + c, y0 ) , F 1B = (c, c) . 由已知,有 F 1P ?F 1B

0 ,即 (x0 + c)c + y0c = 0 .又 c ? 0 ,故有


x0 + y0 + c = 0 .
又因为点 P 在椭圆上,故

x0 2 y0 2 + 2 = 1. 2c 2 c



由①和②可得 3x02 + 4cx0 = 0 .而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0 = 坐标为 ? ?-

4c c ,代入①得 y0 = ,即点 P 的 3 3

骣 4c c ÷ , ÷. ? 桫 3 3÷

设圆的圆心为 T ( x1, y1 ) ,则 x1 =

-

4 c c+ 0 +c 2 2 3 = - c , y1 = 3 = c ,进而圆的半径 2 3 2 3

r=

( x1 - 0) + ( y1 - c) =

2

2

5 c. 3

设直线 l 的斜率为 k ,依题意,直线 l 的方程为 y = kx .

由 l 与圆相切,可得
2

kx1 - y1 k2 + 1

= r ,即

骣 2c ÷ 2c k? ÷? ? 桫 3÷ 3 k2 + 1
15 .

=

5 c, 3

整理得 k - 8k + 1 = 0 ,解得 k = 4 所以,直线 l 的斜率为 4 +

15 或 4 -

15 .

(19) (本小题满分 14 分)

已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数.设集合 M = {0,1,2,

, q - 1},集合

A = {x x = x1 + x2q +

+ xn q n- 1 , xi ? M , i

1,2,

, n}.

(Ⅰ )当 q = 2 , n = 3 时,用列举法表示集合 A ; (Ⅱ )设 s, t ? A , s = a1 + a2q +

+ anqn- 1 , t = b1 + b2q +

+ bnqn- 1 ,其中 ai , bi ? M ,

i = 1,2,

, n . 证明:若 an < bn ,则 s < t .

(19)本小题主要考查集合的含义和表示,等比数列的前 n 项和公式,不等式的证明等基础知识和基 本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分 14 分. (Ⅰ )解:当 q = 2 , n = 3 时, M = {0,1}, A = {x x = x1 + 2x2 + 4x3 , xi ? M , i 可得, A = {0,1,2,3,4,5,6,7}. (Ⅱ )证明:由 s, t ? A , s = a1 + a2q +

1,2,3}.

+ anqn- 1 , t = b1 + b2q +

+ bnqn- 1 , ai , bi ? M ,

i = 1,2,

, n 及 an < bn ,可得

s - t = (a1 - b1 ) + (a2 - b2 )q + ? (q 1) + (q - 1)q +
=

+ (an- 1 - bn- 1 )qn- 2 + (an - bn )qn- 1

+ (q - 1)qn- 2 - qn- 1

(q - 1)(1 - q n- 1 )
1- q

- q n- 1

= - 1< 0 .
所以, s < t . (20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f (x) = x - ae
x

(a ? R) , x ?

R .已知函数 y = f (x) 有两个零点 x1 , x2 ,且 x1 < x2 .

(Ⅰ )求 a 的取值范围;

(Ⅱ )证明 (Ⅲ )证明

x2 随着 a 的减小而增大; x1

x1 + x2 随着 a 的减小而增大.

(20)本小题主要考查函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查 函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 满分 14 分. (Ⅰ)解:由 f (x) = x - ae ,可得 f ? (x) = 1- ae .
x x

下面分两种情况讨论: (1) a ? 0 时

f? (x) > 0 在 R 上恒成立,可得 f ( x) 在 R 上单调递增,不合题意.
(2) a > 0 时, 由 f? (x) = 0 ,得 x = - ln a . 当 x 变化时, f ? (x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f? (x)
f ( x)

(- ? , ln a)
+ ↗

- ln a
0

(- ln a, + ? )
- ↘

- ln a - 1

这时, f ( x) 的单调递增区间是 (- ? , ln a);单调递减区间是 (- ln a, + ? 于是, “函数 y = f (x) 有两个零点”等价于如下条件同时成立: 1° f (- ln a) > 0 ;2°存在 s1 ? 3°存在 s2 ?

).

( ? , ln a),满足 f (s1 ) < 0 ;

( ln a, + ),满足 f (s2 ) < 0 .
( ? , ln a) ,

- 1 由 f (- ln a) > 0 ,即 - ln a - 1 > 0 ,解得 0 < a < e ,而此时,取 s1 = 0 ,满足 s1 ?

且 f (s1 ) = - a < 0 ;取 s2 =

2 2 + ln ,满足 s2 ? ( ln a, + a a

),且

2 2 骣 骣2 2 a鼢 a 鼢 f (s2 ) = 珑 e + ln e < 0. 珑 鼢 珑 鼢桫a 珑 a 桫

所以, a 的取值范围是 (0, e

- 1

).
x

(Ⅱ )证明:由 f (x) = x - ae = 0 ,有 a = 设 g ( x) = 当x?

x . ex

x 1- x ,由 g ? ( x) = x ,知 g ( x) 在 (- ? ,1) 上单调递增,在 (1, + ? x e e

) 上单调递减.

并且,

(

,0]时, g ( x) ? 0 ;当 x ? (0,

)时, g (x) > 0 .

- 1 由已知, x1 , x2 满足 a = g (x1 ) , a = g (x2 ). 由 a ? (0, e ) ,及 g ( x) 的单调性,可得 x1 ? (0,1) ,

x2 ? (1,

).

- 1 对于任意的 a1 , a2 ? (0, e ) ,设 a1 > a2 , g (x1 ) = g (x2 ) = a1 ,其中 0 < x1 < 1 < x2 ;

g (h1 ) = g (h2 ) = a2 ,其中 0 < h1 < 1 < h2 .
因为 g ( x) 在 (0,1) 上单调递增,故由 a1 > a2 ,即 g (x1 ) > g (h1 ) ,可得 x1 > h1 ;类似可得 x2 < h2 .

又由 x1 , h1 > 0 ,得

x2 h2 h2 . < < x1 x1 h1

所以,

x2 随着 a 的减小而增大. x1
x

(Ⅲ)证明:由 x1 = ae x1 , x2 = ae 2 ,可得 ln x1 = ln a + x1 , ln x2 = ln a + x2 . 故 x2 - x1 = ln x2 - ln x1 = ln

x2 . x1



ì x2 = tx1 , ? ln t t ln t x2 解得 x1 = , x2 = .所以, = t ,则 t > 1 ,且 ? í ? t- 1 t- 1 x1 ? ? x2 - x1 = ln t ,

x1 + x2 =

(t + 1)ln t
t- 1

.



令 h ( x) =

( x + 1)ln x
x- 1

, x ? (1,

) ,则 h?( x) =
骣 x - 1÷ ? ÷. ? ? 桫x ÷
2

- 2ln x + x -

( x - 1)

2

1 x.

1 令 u ( x ) = - 2ln x + x ,得 u ? ( x) = x
当 x ? (1,

) 时, u? (x) > 0 .因此, u (x)在 (1, + ? ) 上单调递增,故对于任意的 x ? (1,

),

u (x) > u (1) = 0 ,由此可得 h? (x)> 0 ,故 h(x)在 (1, + ? ) 上单调递增.
因此,由①可得 x1 + x2 随着 t 的增大而增大. 而由(Ⅱ ) , t 随着 a 的减小而增大,所以 x1 + x2 随着 a 的减小而增大.



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