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高三函数的奇偶性及周期性作业及答案



函数的奇偶性及周期性
A 级 1.(2012· 广东卷)下列函数为偶函数的是( A.y=sin x C.y=ex ) B.y=x3 D.y=ln x2+1 )

5 2.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f?-2?=( ? ? 1 A.- 2 1 C. 4 1 B.- 4 1 D. 2 )

>
3.(2012· 南昌模拟)若函数 f(x)=x2+ax(a∈R),则下列结论正确的是( A.存在 a∈R,f(x)是偶函数 B.存在 a∈R,f(x)是奇函数 C.对于任意的 a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数 D.对于任意的 a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数

4.(2011· 湖北卷)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex,则 g(x) =( ) A.ex-e
-x

1 - B. (ex+e x) 2 1 - D. (ex-e x) 2

1 - C. (e x-ex) 2

5.(2011· 陕西卷)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则 y=f(x)的图象可 能是( )

6.若函数 f(x)=

x 为奇函数,则 a=________. ?2x+1??x-a? ?x>0? ?x<0? 是奇函数,则 f(x)=______.
1

?2x-3, ? 7.如果函数 g(x)=? ? ?f?x?,

8.定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在(0,2]上的图象如图所示,则不等式 f(x)>x 的解集为 ________. 2a-3 9.设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(-1)<-1,f(2 014)= ,则实 a+1 数 a 的取值范围是________. 10.已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f(1-m)+f(1 -m2)<0 的实数 m 的取值范围.

a 11.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0). x (1)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 f(1)=2,试判断 f(x)在[2,+∞)上的单调性.

2

B 级 1.f(x),g(x)都是定义在 R 上的奇函数,且 F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若 F(a)=b,则 F(- a)=( ) B.-b+2 D.b+2

A.-b+4 C.b-4

2.(2012· 南京模拟)定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则不等 式 f(x)<-1 的解集是________. 3.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求 f(0)的值; (2)证明:函数 f(x)是周期函数; (3)若 f(x)=x(0<x≤1),求 x∈[-1,1]时,函数 f(x)的解析式.

详解答案 课时作业(四) A 级 1. 由函数奇偶性的定义知 A、 项为奇函数, 项为非奇非偶函数, 项为偶函数. D B C D 5 5 5 1 2.A 由题意得 f?-2?=-f?2?=-f?2-2?=-f?2? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 =-?2×2×?1-2??=- . ? ?? ? 2 3.A 依次判断各选项,易知 A 中当 a=0 时,函数为偶函数,故命题为真,而无论 a 取何值,函数不可能是奇函数,故 B 错,只有当 a≥0 时函数在(0,+∞)上为增函数,当 a =1 时,1∈R,f(x)在(0,+∞)上不是减函数,故 C,D 选项是错误的,故选 A. 4.D ∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). ∴f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e x.
3


又∵f(x)+g(x)=ex,∴g(x)=

ex-e x . 2



5.B 由于 f(-x)=f(x),所以函数 y=f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称,所以 A、C 错误;由于 f(x+2)=f(x),所以 T=2 是函数 y=f(x)的一个周期,D 错误.所以选 B. 6.解析: (特值法)∵f(x)= ∴ x 是奇函数,∴f(-1)=-f(1), ?2x+1??x-a?

-1 1 =- . ?-2+1??-1-a? ?2+1??1-a?

1 ∴a+1=3(1-a),解得 a= . 2 答案: 1 2

7.解析: 令 x<0,∴-x>0,g(-x)=-2x-3, ∴g(x)=2x+3,∴f(x)=2x+3. 答案: 2x+3 8.解析: 依题意,画出 y=f(x)与 y=x 的图象,如图所示,注意到 y=f(x)的图象与直 2 2 2 2 线 y=x 的交点坐标是?3,3?和?-3,-3?,结合图象可得 ? ? ? ?

2 2 答案: ?-2,-3?∪?0,3? ? ? ? ? 9.解析: f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数, 2a-3 f(-1)<-1?f(1)>1,f(2 014)=f(1)= , a+1 ∴ 2a-3 >1,解得 a>4 或 a<-1. a+1

答案: (-∞,-1)∪(4,+∞)
? ?-2≤1-m≤2 10.解析: ∵f(x)的定义域为[-2,2],∴有? , 2 ?-2≤1-m ≤2 ?

解得-1≤m≤ 3.① 又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴在[-2,2]上递减,
4

∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)?1-m>m2-1, 即-2<m<1.② 综合①②可知,-1≤m<1. 11.解析: (1)当 a=0 时,f(x)=x2,f(-x)=f(x),函数是偶函数.

a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R), x 取 x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0; f(-1)-f(1)=-2a≠0, ∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). ∴函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 1 (2)若 f(1)=2,即 1+a=2,解得 a=1,这时 f(x)=x2+ . x 任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2, 1 1 x2-x1 1 2 2 则 f(x1)-f(x2)=?x1+x ?-?x2+x ?=(x1+x2)(x1-x2)+ =(x1-x2)?x1+x2-x x ?. ? ? ? x1x2 1? 2? 1 2? 由于 x1≥2,x2≥2,且 x1<x2, 1 ∴x1-x2<0,x1+x2> ,所以 f(x1)<f(x2), x1x2 故 f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数. B 级 1.A ∵函数 f(x),g(x)均为奇函数, ∴f(a)+f(-a)=0,g(a)+g(-a)=0, ∴F(a)+F(-a)=3f(a)+5g(a)+2+3f(-a)+5g(-a)+2=4, ∴F(-a)=4-F(a)=4-b. 2.解析: 当 x<0 时,-x>0,∴f(x)=-f(-x)=-log2(-x),

?log2x,?x>0? ? ∴f(x)=?0,?x=0? ?-log ?-x?,?x<0? ? 2
?x=0 ?x>0 ?x<0 ? ? ? ∴f(x)<-1?? 或? 或? ? ? ? ?log2x<-1 ?-log2?-x?<-1 ?0<-1

1 ?0<x< 或 x<-2. 2 1 ? ? 答案: ?x| 0<x<2或x<-2?
? ?

3.解析: (1)由 f(x)是定义在 R 上的奇函数知 f(-0)=-f(0), 即 f(0)=0.
5

(2)证明:由已知条件对于任意 x∈R,都有 f(-x)=-f(x), 且 f(2-x)=f(x), f(4+x)=f(-2-x)=-f(2+x)=-f(-x)=f(x), 因此函数 f(x)为周期函数,周期为 4. (3)当-1≤x<0 时,f(x)=-f(-x)=x,又 f(0)=0, 则当-1≤x≤1 时,f(x)=x.

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