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4导数定义,运算(隐,参,高阶)相关变化率



导数定义,运算(隐,参,高阶) 相关变化率

一.选择题:
1. f ( x)在x0连续是f ( x)在x0可导的
( A).必要条件 (C ).充要条件 (B).充分条件 (D).既非充分又非必要条件

2.若f ( x)在x0可导,则 f ( x) 在x0处
( A).必可导 (C ).一定不可导 (B)

.连续但不一定可导 (D).不连续

3.若f ( x)在x0可导,则下列结论正确 的是
f ( x ) ? f ( x0 ) f ( x ) ? f ( x0 ) ( B ). lim 不存在 ( A). lim 存在 x ? x0 x ? x0 x ? x0 x ? x0 f ( x ) ? f ( x0 ) f ( x ) ? f ( x0 ) ( 不存在 (C ). lim? 不存在 D). xlim? ? x0 x ? x0 x ? x0 x ? x0

x 1 4.设f ( x )在x0可导, lim ? , 则f ?( x0 ) ? x ?0 f ( x ? 2 x ) ? f ( x ) 4 0 0

( A).4 (C). 2

(B). ? 4 (D) ? 2

f ( x) f ( x) 5.设f (0) ? 0, lim 存在, 则 lim ? x ?0 x ?0 x x
( A). f ?( x ) (C ). f (0) (B). f ?(0) 1 (D). f ?(0) 2

6.设f ( x) ? x x ,则f ?(0)
( A).等于0 (C). 等于 1 (B). 等于 ? 1 (D)不存在

7.若f ( x) ? e

3

x

sin 3x,则下列结论正确的是

( A). f ?(0) ? 3 (C ). f ?(0) ? 1

1 (B). f ?(0) ? 3 (D). f ?(0)不存在

8.设f ( x ) ? x x 3 ? x ,则 f ( x )

( A).处处可导

(B).有且仅有一个不可导点

(C).有且仅有两个不可导点 (D).有三个不可导点

f (1 ? 2 x) ? f (1 ? 3 x) 9. 设 f ( x) 在x 0 可导,且lim ? 1, 则 x ?0 5x x?3 x?2 lim x[ f ( )? f( )] 等于 x ?? x x
1 ( A). ? 5 · (C ). 5 1 (B). 5 (D). ? 5

二.填空题:
1.当?x ? 0时, f ( x ? ?x) ? f ( x) ? 3?x为比?x高阶的 无穷小, 则f ?( x) ? ____.

? ax ? 1 x ?1 ? ?x 2.设f ( x) ? ? 在x ? 1处可导, x ?1 ?b ? 2 cos 2 ? 则a ? ?x 2 x ?1 ? 3 3.设f ( x) ? ? 2 x ,则f ?( x) ? x ?1 ?3 ?

3x ? 2 4 dy 4. y ? f ( ), f ?( x) ? arcsin x , ? ____. 3x ? 2 dx x?0
3 5.设f ( x)是g ( x)的反函数,且 (1) ? 2, g ?(1) ? ? g , 3 则 f ?(2) ? ____.

三.1. 已知 f (1) ? 0, f ?(1) ? 2, 求 f (sin 2 x ? cos x) lim x ?0 x t an x

2.设f ( x )有一阶连续导数, ?(1) ? 2, 求 f d lim f (cos x ) ? x ?0 dx

3 .设对?x ? R, 有 f ( x ? 1) ? 2 f ( x),当0 ? x ? 1时, f ( x) ? x(1 ? x 2 ),问在x ? 0处 f ( x)是否可导?

4 .设对?x, y ? R, 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy,f ?(0) ? 2 求f ( x).

dy 四.求导数 等: dx ? x arct anx ? 1. y ? ? ? 2 ? 1? x ?
2

2. y ? ln

x2 ?1
3

2? x

sin x 3. y ? 3 2 ln tan x 4. y ? e x ( x ? cos x)

e

ex

?x

ex

5. y ? x
2

arccos x

6. y ?

? (x )

? ( x)

7.xy ? e

x? y

1 f 2 ( x) 8. y ? f (arctan )e x

? xet ? t cos x ? ? dy 9.? ,求 2 dx ? y ? sin t ? cos t
1 ? 2 ?x ? t ? t dx d x 10.? ,求 , 2 1 dy dy ?y ? t ? t ?
11 . y ? x2 2 , 求y (100 ) ? 5x ? 6

12. y ? x sin ax, 求y ( 2n )

arctan 2 x d (tan x) d ( x ? 2x ? x ) 15 .d ( ) 14. 13. 2 1? x d (cot x) d (x3 )
3 6 9

五.证明 设f ( x )在[a , b]上连续,且f (a ) ? f (b) ? 0 及f ?? (a ) ? f ?? (b) ? 0,证明?? ? (a , b)使f (? ) ? 0 不妨设 f ?? (a ) ? 0, f ?? (b) ? 0

y

y = f( x )
x2

o

a x1

b x

? x ? arctan t dy 设? 求 练习. 1. 2 t dx ? 2 y ? ty ? e ? 5 4x2 ? 1 1 (n) 2. 设y ? , 求 y . 3. y ? arccos 2 x x ?1
4.
5.

求 y?

6.

1 1 1 ? x2 ? 1 y ? arctan 1 ? x 2 ? ln , 求 y?. 2 4 1 ? x2 ? 1 d2y 设 y ? tan( x ? y ) 确定了 y ? y( x ) 求 2 dx 1 c 设f ( x )满足af ( x ) ? bf ( ) ? x x 其中a , b, c为常数,且 | a |?| b | ,求f ?( x )

7.

设f ( x )可导, F ( x ) ? f ( x )(1? | sin x |)则f (0) ? 0
是F ( x )在x ? 0处可导的____ 条件
A.充分必要

B.充分非必要 D.非充分非必要

C.必要非充分

证:

F ( x ) ? f ( x )(1? | sin x |)在x ? 0处可导,即 F ?(0)存在 ? F?? (0) ? F?? (0) f ( x )(1 ? sin x ) ? f (0) F?? (0) ? lim? x ?0 x sin x ? ? f ( x ) ? f ( 0) ? lim ? ? f ( x) ? ? x ?0 ? x?0 x ? ? ? f ?( 0 ) ? f ( 0 ) f ( x )(1 ? sin x ) ? f (0) F?? (0) ? lim? x ?0 x sin x ? ? f ( x ) ? f ( 0) ? lim ? ? f ( x) ? ? x ?0 ? x?0 x ? ? ? f ?( 0 ) ? f ( 0 )

即F ?(0)存在 ? f ?(0) ? f (0) ? f ?(0) ? f (0) 亦即F ?(0)存在 ? f (0) ? 0

8.

设 ? ( x ) 在 x = a 处连续,讨论 ① f ( x ) ? ( x ? a )? ( x ) ② ③

f ( x ) ?| x ? a | ? ( x )

f ( x ) ? ( x ? a ) | ? ( x ) | 在 x = a 处的可导性 解 ① lim f ( x ) ? f (a ) ? lim ( x ? a )? ( x ) x ?a x ?a x?a x?a ? lim? ( x ) ? ? (a )
? f ( x ) ? ( x ? a )? ( x ) 在 x = a 处可导
x ?a



f ( x ) ? f (a ) | x ? a | ? ( x) lim? ? lim? x ?a x ?a x?a x?a

? ( x ? a )? ( x ) ? ?? (a ) ? lim? x ?a x?a f ( x ) ? f (a ) | x ? a | ? ( x) lim? ? lim? x ?a x ?a x?a x?a ( x ? a )? ( x ) ? ? (a ) ? lim? x ?a x?a ? (a ) ? 0时
f ( x ) ?| x ? a | ? ( x ) 在 x = a 处不可导 ? (a ) ? 0时 f ( x ) ?| x ? a | ? ( x )

在 x = a 处可导



f ( x ) ? f (a ) ( x ? a) | ? ( x) | lim ? lim x ?a x ?a x?a x?a ? lim | ? ( x ) | ?| ? (a ) |
x ?a

f ( x ) ? ( x ? a ) | ? ( x ) | 在 x = a 处可导

9.

在什么条件下,函数

1 ? n ? x sin x?0 f ( x) ? ? x ?0 x?0 ? ① f ( x )连续 ② f ?(0)存在
③ f ?( x )连续 ④ f ??(0)存在



首先注意到
?

1 当? ? 0时 lim x sin 不存在 x ?0 x 1 ? 当? ? 0时 lim x sin ? 0 x ?0 x 1 n ① 当x ? 0时,f ( x ) ? x sin 是初等函数,连续 x 因此要使 f ( x )连续 只须f ( x )在x ? 0处连续 1 n 即只须lim x sin ? 0 ? f (0) ? n ? 0 x ?0 x f ( x ) ? f ( 0) ② 要使 f ?(0) ? lim x ?0 x?0

1 x sin ? 0 1 n ?1 x ? lim x sin ? lim x ?0 x ?0 x x ? n?1 此时 f ?(0) ? 0
n

存在

③ 当x ? 0时
f ?(0) ? 0

f ?( x ) ? nx

n ?1

1 1 n? 2 sin ? x cos x x

要使 f ?( x )连续 只须f ?( x )在x ? 0处连续

即只须lim f ?( x ) ? f ?(0) ? 0
x ?0

lim[nx
x ?0

n ?1

1 1 n? 2 sin ? x cos ] ? 0 ? n ? 2 x x

f ?( x ) ? f ?( 0 ) ④ 要使 f ??(0) ? lim x ?0 x?0 1 1 n?1 n? 2 nx sin ? x cos x x ? lim x ?0 x 1 1 n? 2 n? 3 ? lim[nx sin ? x cos ] 存在 x ?0 x x ? n ? 3 此时 f ??(0) ? 0


通过本例,我们可以进一步加深对连续和可导 的关系的认识。函数从连续到可导再到导数连续, 再到二阶可导,所要求的条件逐步加强。

8 . 相关变化率
设 x ? x(t ) , y ? y(t ) 都是可导函数 , 变量 x 和 y 之间存 在某种对应关系 , 如果已知 x (或 y )对 t 的变化率 ,要求 y (或 x )对 t 的变化率,这种问题称为相关变化率问题 。

例26. 一气球从离开观察员 500米处离地面铅直上升 其速率为 140 米/秒 。当气球高度为 500 米时 ,观察员 视线的仰角增加率是多少 ?
解:设气球上升 t 秒后其高度为 h , 观察员的仰角 为? , 则 h tg? ? , 500 其中 ? , h 都是时间 t 的函数。

h
500

?

上式两边对 t 求导,得 :
2

d? 1 dh sec ? ? ? ? dt 500 dt

dh 已知 ? 140m / min , 又当h ? 500m 时 , dt tg? ? 1 , sec 2 ? ? 2
h
500

代入上式得

?

d? 70 ? ? 0.14 度/秒 dt 500
即观察员视线的仰角增加率是 0.143 弧度/秒 。

例 27. 甲船向正南乙船向正东直线航行 , 开始时甲 船恰在乙船正北 40 km处 , 后来在某一时刻测得甲船 向南航行了 20 km , 此时速率为 15km/h ;乙船向东航行 了15 km , 此时速率为 25km/h 。问这时两船是在分离 还是在接近 ,速率是多少 ? 解:如图 ,设在任一时刻 t 甲船航行 x 的距离为 x (t),乙船航行的距离为 y(t) , 两船的距离为 z(t) , 则 40

z ? ( 40 ? x ) ? y
2 2

2

z
y

上式两边对 t 求导 ,得

dz dx dy 2z ? ? ?2( 40 ? x ) ? ? 2 y ? dt dt dt

dx ? 15 ; y ? 15 时 , 已知 : 当 x ? 20 时 , dt dy ? 25 ; 此时 z ? 25 , 代入上式 , 得 dt dz ? 20 ? 15 ? 15 ? 25 ? ? 3 ( km/h ) dt 25
dz 因为 ? 3 ? 0 所以观测时两船相距 25 里 , 正以 , dt
3 km/h 的速率彼此远离 。



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