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导数教案


一、引入导数 1. 瞬时速度 问题 1:一个小球自由下落,它在下落 3 秒时的速度是多少?

析: 自由落体的运动公式是 s

?

1 2 gt (其中 g 是重力加速度) .当时间增量 ?t 很小时, 从 3 秒到 (3+ ?t ) 2
因此,可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落 3

秒这段时间内,小球下落的快慢变化不大.

秒时的速度.从 3 秒到(3+ ?t )秒这段时间内位移的增量:

?s ? s(3 ? ?t ) ? s(3) ? 4.9(3 ? ?t ) 2 ? 4.9 ? 32 ? 29.4?t ? 4.9(?t ) 2
?s ?s ? 29.4 ? 4.9?t .从上式可以看出, ?t 越小, 越接近 29.4 米/秒;当 ?t 无限趋近 ?t ?t ?s ?s 于 0 时, 无限趋近于 29.4 米/秒. 此时我们说,当 ?t 趋向于 0 时, 的极限是 29.4.当 ?t 趋向于 ?t ?t ?s 0 时,平均速度 的极限就是小球下降 3 秒时的速度,也叫做瞬时速度. ?t
??

从而,

v ?

一般地,设物体的运动规律是 s = s ( t ) ,则物体在 t 到( t + ?t )这段时间内的平均速度为

?s ?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? . 如果 ?t 无限趋近于 0 时, 无限趋近于某个常数 a,就说当 ?t 趋向于 0 ?t ?t ?t ?s 时, 的极限为 a,这时 a 就是物体在时刻 t 的瞬时速度. ?t
2. 切线的斜率 问题 2:P(1,1)是曲线

y ? x 2 上的一点,Q 是曲线上点 P 附近的一个点,当

点 Q 沿曲线逐渐向点 P 趋近时割线 PQ 的斜率的变化情况. 析:设点 Q 的横坐标为 1+ ?x ,则点 Q 的纵坐标为(1+ ?x ) ,点 Q 对于点 P 的纵坐标的增量(即函数
2

的增量) ?y

? (1 ? ?x) 2 ? 1 ? 2?x ? (?x) 2 ,
?y 2?x ? (?x) 2 ? ? ? 2 ? ?x .由此可知,当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近 ?x ?x

所以,割线 PQ 的斜率 k PQ

时, ?x 变得越来越小, k PQ 越来越接近 2;当点 Q 无限接近于点 P 时,即 ?x 无限趋近于 0 时, k PQ 无 限趋近于 2. 的切线. 这表明,割线 PQ 无限趋近于过点 P 且斜率为 2 的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点 P 处

由点斜式,这条切线的方程为:

y ? 2x ? 1 .
C,P( x0 , y0 ) ,Q( x0

一般地,已知函数

y ? f ( x) 的图象是曲线

? ?x, y0 ? ?y )是曲线 C



的两点,当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时,割线 PQ 绕着点 P 转动.

当点 Q 沿着曲线无限接近点 P,即 ?x 此时,

趋向于 0 时,如果割线 PQ 无限趋近于一个极限位置 PT,那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线. 割线 PQ 的斜率 k PQ

?

k PQ ?

?y 的极限为 k. ?x

?y 无限趋近于切线 PT 的斜率 k,也就是说,当 ?x 趋向于 0 时,割线 PQ 的斜率 ?x

二.导数的概念
设函数

y ? f ( x) 在 x ? x0 处附近有定义,当自变量在 x ? x0 处有增量 ?x 时,则函数 Y ? f ( x) 相应

地有增量 ?y 率)有极限即

? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,如果 ?x ? 0 时, ?y 与 ?x 的比
?y ?x
无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数

?y ?x

(也叫函数的平均变化

y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记



y/

x ? x0

,即

f / ( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

注:1.函数应在点 x0 的附近有定义,否则导数不存在。 2.在定义导数的极限式中, ?x 趋近于 0 可正、可负、但不为 0,而 ?y 可能为 0。 3.

?y ?x

是函数

y ? f ( x) 对自变量 x 在 ?x 范围内的平均变化率,它的几何意义是过曲线 y ? f ( x) 上点

( x0 ,

f ( x0 ) )及点 ( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x) )的割线斜率。
f / ( x0 ) ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y ? f ( x) 在点 x0 的处瞬时变化率,它反映的函 ?x

4.导数

?x ?0



y ? f ( x) 在点 x0 处变化的快慢程度,它的几何意义是曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线 y ? f ( x) 在点 x0 可导,则曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程为

的斜率。因此,如果

y ? f ( x0 ) ? f / ( x0 )(x ? x0 ) 。
5.导数是一个局部概念,它只与函数 6.在定义式中,设 x

y ? f ( x) 在 x0 及其附近的函数值有关,与 ?x 无关。

? x0 ? ?x ,则 ?x ? x ? x0 ,当 ?x 趋近于 0 时, x 趋近于 x0 ,因此,导数的定
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x 0 ) 。 ? lim x ? x0 ?x x ? x0

义式可写成

f / ( x0 ) ? lim

?x ?o

7.若极限

?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 不存在,则称函数 y ? f ( x) 在点 x0 处不可导。 ?x

8.若

f ( x) 在 x0 可导, 则曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 ) ) 有切线存在。 反之不然, 若曲线 y ? f ( x)

在点( x0 ,

f ( x0 ) )有切线,函数 y ? f ( x) 在 x0 不一定可导,并且,若函数 y ? f ( x) 在 x0 不可 f ( x0 ) )也可能有切线。

导,曲线在点( x0 ,


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