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高中数学【配套Word版文档】2.4函数的奇偶性与周期性



§ 2.4
2014 高考会这样考

函数的奇偶性与周期性

1.判断函数的奇偶性;2.利用函数的奇偶性求参数;3.考查函数的奇偶

性、周期性和单调性的综合应用. 复习备考要这样做 1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性;2.注意函数奇偶性和周

期性的综合问题;3.利用函数的性质解决有关问题.

1. 奇、偶函数的概念 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 A.如果对于任意的 x∈A,都有 f(-x)=f(x),那么称 函数 y=f(x)是偶函数. 如果对于任意的 x∈A,都有 f(-x)=-f(x),那么称函数 y=f(x)是奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称. 2. 奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单 调性相反. (2)在公共定义域内, ①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积都是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数. 3. 周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何 值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 正数就叫做 f(x)的最小正周期. 4. 对称性 若函数 f(x)满足 f(a-x)=f(a+x)或 f(x)=f(2a-x),则函数 f(x)关于直线 x=a 对称. [难点正本 疑点清源] 1. 函数奇偶性的判断 (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件; (2)判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系. 在判断奇偶性的运算中, 可以转化为判断奇偶性 的等价关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2. 函数奇偶性的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原 点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0,则必有 f(0)=0. f(0)=0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件. (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数 的和(或差)”. (5)复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”. (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集).

1. (课本改编题)已知 f(x)=ax2 +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是 ________. 答案 1 3

解析 由 f(x)是偶函数知,f(x)=f(-x), 即 ax2+bx=a(-x)2-bx,∴2bx=0,∴b=0. 又 f(x)的定义域应关于原点对称, 1 1 即(a-1)+2a=0,∴a= ,故 a+b= . 3 3 2. (2011· 广东)设函数 f(x)=x3cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 答案 -9 解析 令 g(x)=f(x)-1=x3cos x, ∵g(-x)=(-x)3cos(-x)=-x3cos x=-g(x), ∴g(x)为定义在 R 上的奇函数.又∵f(a)=11, ∴g(a)=f(a)-1=10,g(-a)=-g(a)=-10. 又 g(-a)=f(-a)-1,∴f(-a)=g(-a)+1=-9. 3. 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________. 答案 (-1,0)∪(1,+∞)

解析 画草图,由 f(x)为奇函数知:f(x)>0 的 x 的取值范围为 (-1,0)∪(1,+∞).

4. 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于 f(x)的判断:

①f(x)是周期函数; ②f(x)关于直线 x=1 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(2)=f(0). 其中正确判断的序号为________(写出所有正确判断的序号). 答案 ①②⑤ 解析 由 f(x+1)=-f(x)得 f(x+2)=f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x), ∴f(x)是周期为 2 的函数,①正确, f(x)关于直线 x=1 对称,②正确, ∵f(x)为偶函数,在[-1,0]上是增函数, ∴f(x)在[0,1]上是减函数,[1,2]上为增函数, f(2)=f(0),因此③,④错误,⑤正确. 综上,①②⑤正确. 5 5. (2011· 大纲全国)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f?-2?= ? ? ________. 1 答案 - 2 解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数, 5 5 ∴f?-2?=f?-2+2? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 =f?-2?=-f?2?=-2× ×?1-2?=- . ? ? ? ? ? 2 ? 2

题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 9-x2+ x2-9; (2)f(x)=(x+1) 4-x2 (3)f(x)= . |x+3|-3 思维启迪:确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称, 再验证 f(-x)=± f(x)或其等价形式 f(-x)± f(x)=0 是否成立. 1-x ; 1+x



?9-x2≥0 ? (1)由? 2 ,得 x=± 3. ? ?x -9≥0

∴f(x)的定义域为{-3,3}. 又 f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0. 即 f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.

?1-x≥0 ? (2)由?1+x ,得-1<x≤1. ?1+x≠0 ?
∵f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称. ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
2 ? ?4-x ≥0 (3)由? ,得-2≤x≤2 且 x≠0. ? ?|x+3|-3≠0

∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = . x ?x+3?-3 ∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函数. 探究提高 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域 对解决问题是有利的; (2)判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系. 在判断奇偶性的运算中, 可以转化为判断奇偶性 的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 下列函数: 3x-3 x 1-x ①f(x)=x -x;②f(x)=ln(x+ x +1);③f(x)= ;④f(x)=lg . 2 1+x
3 2


其中奇函数的个数是________. 答案 4 解析 ①f(x)=x3-x 的定义域为 R, 又 f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x), 则 f(x)=x3-x 是奇函数; ②由 x+ x2+1>x+|x|≥0 知 f(x)=ln(x+ x2+1)的定义域为 R, 又 f(-x)=ln(-x+ ?-x?2+1)=ln =-ln(x+ x2+1)=-f(x), 则 f(x)为奇函数; 1 x+ x2+1

3x-3 x ③f(x)= 的定义域为 R, 2 3 x-3x 3x-3 x 又 f(-x)= =- =-f(x), 2 2 则 f(x)为奇函数; 1-x ④由 >0 得-1<x<1, 1+x f(x)=ln 1-x 的定义域为(-1,1), 1+x 1+x ?1-x?-1 =ln? ? 1-x ?1+x?
- -



又 f(-x)=ln

1-x =-ln =-f(x), 1+x 则 f(x)为奇函数,∴奇函数的个数为 4. 题型二 函数的奇偶性与周期性 例2 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时, f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 013). 思维启迪:(1)只需证明 f(x+T)=f(x),即可说明 f(x)是周期函数; (2)由 f(x)在[0,2]上的解析式求得 f(x)在[-2,0]上的解析式, 进而求 f(x)在[2,4]上的解析式; (3)由周期性求和. (1)证明 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],

∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8, 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3)解 ∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.

又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =?=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.

∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 013)=f(0)+f(1)=1. 探究提高 判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x) (T≠0)便可证明函数是周期函数, 且`` 周期为 T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- 则 f(105.5)=________. 答案 2.5 解析 由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2] 1 1 =- =- =f(x). 1 f?x+2? - f?x? 故函数的周期为 4. ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5). ∵2≤2.5≤3,由题意,得 f(2.5)=2.5. ∴f(105.5)=2.5. 题型三 函数性质的综合应用 例3 设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间. 思维启迪:可以先确定函数的周期性,求 f(π);然后根据函数图象的对称性、周期性画 出函数图象,求图形面积、写单调区间. 解 (1)由 f(x+2)=-f(x)得, 1 ,当 2≤x≤3 时,f(x)=x, f?x?

f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π) =-(4-π)=π-4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x). 故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又当 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所示.

当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S, 1 则 S=4S△OAB=4×?2×2×1?=4. ? ? (3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1] (k∈Z), 单调递减区间为[4k+1,4k+3] (k∈Z). 探究提高 函数性质的综合问题,可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象,充分 利用已知区间上函数的性质,体现了转化思想. 已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,对于 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当 f?x1?-f?x2? x1、x2∈[0,3],且 x1≠x2 时,都有 >0.给出下列命题: x1-x2 ①f(3)=0;②直线 x=-6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴;③函数 y=f(x)在[-9, -6]上为增函数;④函数 y=f(x)在[-9,9]上有四个零点.其中所有正确命题的序号为 __________. 答案 ①②④ 解析 ∵f(x+6)=f(x)+f(3), 令 x=-3 得,f(-3+6)=f(-3)+f(3),故 f(-3)=0. 又 f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(3)=0,即①正确; f?x1?-f?x2? ∴f(x+6)=f(x), 6 是函数 f(x)的一个周期, x1、2∈[0,3], x1≠x2 时, 即 由 x 且 都有 >0 x1-x2 知函数 f(x)在[0,3]上单调递增,综上可知,可画出函数 f(x)在[-9,9]上的简图.

由简图可知②④也正确.

等价转换要规范

典例: 分)函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0}, (14 且满足对于任意 x1,2∈D.有 f(x1·2)=f(x1)+f(x2). x x (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明;

(3)如果 f(4)=1, f(3x+1)+f(2x-6)≤3, f(x)在(0, 且 +∞)上是增函数, x 的取值范围. 求 审题视角 (1)从 f(1)联想自变量的值为 1, 进而想到赋值 x1=x2=1.(2)判断 f(x)的奇偶性,

就是研究 f(x)、f(-x)的关系.从而想到赋值 x1=-1,x2=x.即 f(-x)=f(-1)+f(x).(3) 就是要出现 f(M)<f(N)的形式,再结合单调性转化为 M<N 或 M>N 的形式求解. 规范解答 解 (1)令 x1=x2=1,

有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0.[2 分] (2)f(x)为偶函数,证明如下:[4 分] 令 x1=x2=-1, 有 f[(-1)× (-1)]=f(-1)+f(-1),解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数.[7 分] (3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f(16×4)=f(16)+f(4)=3.[9 分] 由 f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 变形为 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*) ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64).[11 分] 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0. 7 1 1 解得- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围是{x|- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5}.[14 分] 3 3 3 温馨提醒 数学解题的过程就是一个转换的过程.解题质量的高低,取决于每步等价转 换的规范程度.如果每一步等价转换都是正确的、规范的,那么这个解题过程就一定是 规范的.等价转化要做到规范,应注意以下几点: (1)要有明确的语言表示.如“M”等价于“N”,“M”变形为“N”. (2)要写明转化的条件.如本例中:∵f(x)为偶函数,∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64). (3)转化的结果要等价.如本例:由于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64)?|(3x+1)(2x-6)|≤64, 且(3x+1)(2x-6)≠0.若漏掉(3x+1)(2x-6)≠0,则这个转化就不等价了.

方法与技巧 1. 正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2. 奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要 先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=± f(x)?f(-x)± f(x)=0? ± 1(f(x)≠0). 3. 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,反之也成立.利用这一性质 可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性. 失误与防范 1. 判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称 是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2. 判断函数 f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个 x,均有 f(-x)=-f(x),而不能说存在 x0 使 f(-x0)=-f(x0).对于偶函数的判断以此类推. 3. 分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不可以利用函数在定义域某一区间 上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性. f?-x? = f?x?

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:62 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 35 分) 1. (2012· 天津改编)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为________. ①y=cos 2x,x∈R ②y=log2|x|,x∈R 且 x≠0 ex-e x ③y= ,x∈R ④y=x3+1,x∈R 2 答案 ② π 解析 ①中函数 y=cos 2x 在区间?0,2?上单调递减,不满足题意; ? ? ③中的函数为奇函数; ④中的函数为非奇非偶函数,只有②满足. x 2. (2011· 辽宁改编)若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=________. ?2x+1??x-a? 答案 1 2


解析 ∵f(-x)=-f(x), ∴ -x x =- , ?-2x+1??-x-a? ?2x+1??x-a?

1 ∴(2a-1)x=0,∴a= . 2 3. 设函数 f(x)=x(ex+ae x) (x∈R)是偶函数,则实数 a=________. 答案 -1 解析 由题意得 g(x)=ex+ae x 为奇函数,由 g(0)=0,得 a=-1. 4.已知 f(x)在 R 上是奇函数, 且满足 f(x+4)=f(x), x∈(0,2)时, 当 f(x)=2x2, f(7)=________. 则 答案 -2 解析 ∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为 4 的函数, ∴f(7)=f(2×4-1)=f(-1), 又∵f(x)在 R 上是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(-1)=-f(1), 而当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,∴f(1)=2×12=2,∴f(7)=f(-1)=-f(1)=-2. 1 5. 函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= ,若 f(1)=-5,则 f(f(5))=________. f?x? 1 答案 - 5 1 1 解析 ∵f(5)= = =f(1)=-5, f?3? 1 f?1? 1 又∵f(x+2+2)= =f(x),∴f(x)的周期为 4. f?x+2? 1 1 ∴f(f(5))=f(-5)=f(-1)= =- . 5 f?-1+2? 6. 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数, x≥0 时, 当 f(x)=2x+2x+b(b 为常数), f(-1)=______. 则 答案 -3 解析 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,因此 f(-x)+f(x)=0.当 x=0 时,可得 f(0)=0, 可得 b=-1,此时 f(x)=2x+2x-1,因此 f(1)=3.又 f(-1)=-f(1),所以 f(-1)=-3. 3 3 7. 已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件 f?x+2?=-f(x),且函数 y=f?x-4?为奇函数, ? ? ? ? 给出以下四个命题: ①函数 f(x)是周期函数; 3 ②函数 f(x)的图象关于点?-4,0?对称; ? ? ③函数 f(x)为 R 上的偶函数; ④函数 f(x)为 R 上的单调函数. 其中真命题的序号为________. 答案 ①②③
- -

3 解析 由 f(x)=f(x+3)?f(x)为周期函数,且 T=3,①为真命题;又 y=f?x-4?关于(0,0) ? ? 对称, 3 3 y=f?x-4?向左平移 个单位得 y=f(x)的图象, ? ? 4 3 则 y=f(x)的图象关于点?-4,0?对称,②为真命题; ? ? 3 3 3 3 3 3 3 又 y=f?x-4?为奇函数,∴f?x-4?=-f?-x-4?,f?x-4-4?=-f?4-x-4?=-f(-x), ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 ∴f?x-2?=-f(-x),f(x)=f(x-3)=-f?x-2?=f(-x),∴f(x)为偶函数,不可能为 R 上 ? ? ? ? 的单调函数.所以③为真命题,④为假命题. 二、解答题(共 27 分) 8. (13 分)已知函数 f(x)=x2+ a (x≠0). x

(1)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 f(1)=2,试判断 f(x)在[2,+∞)上的单调性. 解 (1)当 a=0 时,f(x)=x2,f(-x)=f(x) ,函数是偶函数.

a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ (x≠0), x 取 x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0; f(-1)-f(1)=-2a≠0, ∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). ∴函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)若 f(1)=2,即 1+a=2,解得 a=1, 1 这时 f(x)=x2+ . x 任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2, 1 1 2 则 f(x1)-f(x2)=(x2+ )-?x2+x ? 1 x1 ? 2? x2-x1 =(x1+x2)(x1-x2)+ x1x2 1 =(x1-x2)?x1+x2-x x ?. ? 1 2? 由于 x1≥2,x2≥2,且 x1<x2, 1 ∴x1-x2<0,x1+x2> , x1x2 所以 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数.

9. (14 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x (0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式. (1)证明 由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 有 f(x+1)=f(1-x),即有 f(-x)=f(x+2). 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 故有 f(-x)=-f(x).故 f(x+2)=-f(x). 从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0.

x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],f(x)=-f(-x)=- -x. 故 x∈[-1,0]时,f(x)=- -x. x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=- -x-4. 从而,x∈[-5,-4]时,函数 f(x)=- -x-4. B 组 专项能力提升 (时间:35 分钟,满分:58 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.(2011· 安徽改编)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, x≤0 时, 当 f(x)=2x2-x, f(1)=________. 则 答案 -3 解析 ∵f(x)是奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x, ∴f(1)=-f(-1)=-[2× (-1)2-(-1)]=-3. 2.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, g(x)是定义在 R 上的奇函数, g(x)=f(x-1), f(2 013) 且 则 +f(2 015)的值为________. 答案 0 解析 由题意,得 g(-x)=f(-x-1), 又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,∴g(-x)=-g(x),f(-x) =f(x), ∴f(x-1)=-f(x+1), ∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4), ∴f(x)的周期为 4, ∴f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1), 又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0,

∴f(2 013)+f(2 015)=0. 2a-3 3. 设奇函数 f(x)的定义域为 R,最小正周期 T=3,若 f(1)≥1,f(2)= ,则 a 的取值范 a+1 围是____________. 2 答案 -1<a≤ 3 解析 函数 f(x)为奇函数,则 f(1)=-f(-1). 由 f(1)=-f(-1)≥1,得 f(-1)≤-1; 函数的最小正周期 T=3,则 f(-1)=f(2), 由 2a-3 2 ≤-1,解得-1<a≤ . 3 a+1

4. (2011· 浙江)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 答案 0 解析 ∵函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,∴f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|, ∴|-x+a|=|x+a|,∴a=0. 1 5. 已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则 f(2 015)=________. 4 答案 1 4

解析 方法一 令 x=1,y=0 时,4f(1)· f(0)=f(1)+f(1), 1 解得 f(0)= , 2 令 x=1,y=1 时,4f(1)· f(1)=f(2)+f(0), 1 解得 f(2)=- , 4 令 x=2,y=1 时,4f(2)· f(1)=f(3)+f(1), 1 解得 f(3)=- , 2 1 1 1 1 依次求得 f(4)=- ,f(5)= ,f(6)= ,f(7)= , 4 4 2 4 1 1 f(8)=- ,f(9)=- ,? 4 2 可知 f(x)是以 6 为周期的函数, 1 ∴f(2 015)=f(335×6+5)=f(5)= . 4 1 方法二 ∵f(1)= ,4f(x)· f(y)=f(x+y)+f(x-y), 4 1 π ∴构造符合题意的函数 f(x)= cos x, 2 3

π 1 1 ∴f(2 015)= cos?3×2 015?= . ? 4 2 ? 6. 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1), 已知当 x∈[0,1] 1 - 时,f(x)=?2?1 x,则 ? ? ①2 是函数 f(x)的周期;②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;③函数 f(x)的最大值是 1 - 1,最小值是 0;④当 x∈(3,4)时,f(x)=?2?x 3. ? ? 其中所有正确命题的序号是________. 答案 ①②④ 解析 由已知条件:f(x+2)=f(x), 则 y=f(x)是以 2 为周期的周期函数,①正确; 当-1≤x≤0 时 0≤-x≤1, 1 + f(x)=f(-x)=?2?1 x, ? ? 函数 y=f(x)的图象如图所示:

当 3<x<4 时,-1<x-4<0, 1 - f(x)=f(x-4)=?2?x 3,因此②④正确.③不正确. ? ? 二、解答题(18 分) 7. (14 分)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)且在闭区间[0,7]上,只 有 f(1)=f(3)=0, (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 011,2 011]上根的个数,并证明你的结论. 解 (1)若 y=f(x)为偶函数,

则 f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(x+2)) =f(4+x)=f(x), ∴f(7)=f(3)=0,这与 f(x)在闭区间[0,7]上, 只有 f(1)=f(3)=0 矛盾;因此 f(x)不是偶函数. 若 y=f(x)为奇函数,则 f(0)=f(-0)=-f(0), ∴f(0)=0,这与 f(x)在闭区间[0,7]上, 只有 f(1)=f(3)=0 矛盾;因此 f(x)不是奇函数. 综上可知:函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

(2)∵f(x)=f[2+(x-2)]=f[2-(x-2)]=f(4-x), f(x)=f[7+(x-7)]=f(7-(x-7))=f(14-x), ∴f(14-x)=f(4-x),即 f[10+(4-x)]=f(4-x) ∴f(x+10)=f(x),即函数 f(x)的周期为 10. 又∵f(1)=f(3)=0, ∴f(1)=f(1+10n)=0(n∈Z), f(3)=f(3+10n)=0(n∈Z), 即 x=1+10n 和 x=3+10n(n∈Z)均是方程 f(x)=0 的根. 由-2 011≤1+10n≤2 011 及 n∈Z 可得 n=0,± 1,± 2,± 3,?,± 201,共 403 个; 由-2 011≤3+10n≤2 011 及 n∈Z 可得 n=0,± 1,± 2,± 3,?,± 200,-201,共 402 个; 所以方程 f(x)=0 在闭区间[-2 011,2 011]上的根共有 805 个. 8. (14 分)函数 y=f(x)是定义域为 R 的奇函数, 且对任意的 x∈R, 均有 f(x+4)=f(x)成立. 当 x∈(0,2]时,f(x)=-x2+2x+1. (1)当 x∈[4k-2,4k+2] (k∈Z)时,求函数 f(x)的表达式; 3 (2)求不等式 f(x)> 的解集. 2 解 (1)当 x=0 时,∵f(0)=-f(0),∴f(0)=0,

当 x∈[-2,0)时,-x∈(0,2], f(x)=-f(-x)=-(-x2-2x+1)=x2+2x-1, 由 f(x+4)=f(x),知 f(x)为周期函数,且周期 T=4. 当 x∈[4k-2,4k) (k∈Z)时,x-4k∈[-2,0), ∴f(x)=f(x-4k)=(x-4k)2+2(x-4k)-1. 当 x∈(4k,4k+2] (k∈Z)时,x-4k∈(0,2], ∴f(x)=f(x-4k)=-(x-4k)2+2(x-4k)+1, 当 x=4k 时,f(x)=f(4k)=f(0)=0, 故当 x∈[4k-2,4k+2] (k∈Z)时, f(x)的表达式为 f(x)=
2 x∈[4k-2,4k?, ??x-4k? +2?x-4k?-1 ? ?0 x=4k, ?-?x-4k?2+2?x-4k?+1 x∈?4k,4k+2]. ?

3 (2)当 x∈[-2,2]时,由 f(x)> 得 2

?-2≤x<0 ?0<x≤2 ? ? ?2 3 或? 2 3 , ?x +2x-1>2 ?-x +2x+1>2 ? ?
解得 1- 2 2 <x<1+ . 2 2

∵f(x)是以 4 为周期的周期函数, 3 2 2 ∴f(x)> 的解集为{x|4k+1- <x<4k+1+ }. 2 2 2



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