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2014年高中数学联赛四川预赛试题



2014 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
(5 月 18 日下午 14:30——16:30)
题 目 得 分 评卷人 复核人 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) ,全卷满分 140 分. 2、用黑(蓝)色圆珠笔或钢笔作答. 3、计算器、通讯工具不准带入考场. 4、解题书写不要超过密封线. 得 分 评卷人 一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小

题 5 分,共 30 分) 1、已知 a, b ∈ R ,复数 z = a + 4i ,且 A、 ?16 B、1 一 二 三 13 14 15 16 总成绩

z = 4i ,则 b = z +b
D、17





C、 16

B 两点, 若 | BF |= 2 | AF | , 2、 过椭圆的左焦点 F 作倾斜角为 45°的直线 l 与该椭圆交于 A、 则该椭圆的离心率是 A、 【 B、 】

1 3

2 3

C、

1 2

D、

2 2

3、已知公差为 d 的等差数列 {an } 满足: d > 0 ,且 a2 是 a1 , a4 的等比中项; 记 bn = a2n ( n ∈ N ) ,对任何正整数 n ,都有
*

1 1 1 + + " + < 2 成立, b1 b2 bn
【 】

则公差 d 的取值范围是

1 A、 [ , + ∞) 2

1 B、 ( , + ∞ ) 2

1 1 C、 [ , ) 4 2

1 1 D、 [ , ] 4 2

4、 已知 a, b 为正实数, 记P =
则下列判断正确的是

a 2 + b2 a + b a+b 2ab ? , , Q= ? ab ,R = ab ? 2 2 2 a+b
【 】

A、 P ≥ Q ≥ R

B、 Q ≥ P ≥ R

C、 Q ≥ R ≥ P

D、 P, Q, R 的大小关系不能确定

5、半径为 6 的球,则该球内接正三棱锥的体积的最大值是 A、 32 3 B、 54 3





C、 64 3

D、 72 3

2014 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 1 页 (共 4 页)

6 、已知 a, b, c, d 均为实数,函数 f ( x) =

a 3 b 2 x + x + cx + d (a < 0) 有两个极值点 3 2


2 x1 , x2( x1 < x2 ) , 满足 f ( x 2 ) = x1 , 则方程 a[ f ( x)] + b[ f ( x)] + c = 0 的实根个数是 【

A、0 个

B、2 个

C、3 个

D、4 个

得 分

评卷人

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

7 、设在 5 × 5 的方格表的第 i 行第 j 列所填的数为 aij ,其中 aij ∈ {0,1} , aij = a ji ,

1 ≤ i, j ≤ 5 .则表中共有 5 个 1 的填表方法总数是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . (用具体数字作答)?
8、若二面角 α ? l ? β 大小为 60°,点 P 到平面 α 的距离为 3,到平面 β 的距离为 5, 若 A ∈ α , B ∈ β ,则△PAB 周长的最小值是 . 9、已知 a, b 为实数,对任何满足 0 ≤ x ≤ 1 的实数 x ,都有 | ax + b |≤ 1 成立,
则 | 20a + 14b | + | 20a ? 14b | 的最大值是 .

10、 设 (1 ? 2 x) =
7

∑a x
k =0 k

7

k

, 则 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 + 6a6 + 7 a7 的值是



11、已知向量 α 、 β 是平面内两个互相垂直的单位向量,且 (3α ? γ ) ? (4β ? γ ) = 0 , 则 | γ | 的最大值是 . 12、对任意正整数 n ,定义 Z(n)为满足“ 1 + 2 + " + m 是 n 的倍数的最小的正整数 m” .则满足 Z(n)=6 的全部正整数 n 的和等于 .
得 分 评卷人 三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分)

1? x ) ? ax . 1+ x 8 (1)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (2)若 a = ? ,求 f ( x) 的极值. 3
13、已知 a 为常数,函数 f ( x) = ln(

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14、已知不等式 3 sin 2 x ? cos 2 x + 4a cos x + a 2 ≤ 31 对一切 x ∈ R 恒成立, 求实数 a 的取值范围.

15、已知 k 为给定正整数,数列 {an } 满足 a1 = 3 , an +1 = (3 其中 S n 是 {an } 的前 n 项和.令 bn =
*

2 2 k ?1

? 1) S n + 3 (n ∈ N* ) ,

2k 3 1 log 3 (a1a2 " an ) (n ∈ N* ) ,记 Tk = ∑ | bi ? | . n 2 i =1

若 Tk ∈ N ,求 k 的所有可能值.

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16、过椭圆

x2 y 2 + = 1 的右焦点 F 作两条垂直的弦 AB、CD,设 AB、CD 的中点分别为 3 2

M、N. (1)求证:直线 MN 必过定点,并求出这个定点; (2)若弦 AB、CD 的斜率均存在,求△FMN 的面积的最大值.

2014 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 4 页 (共 4 页)



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