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浙江省杭州市萧山三中2014-2015学年高一上学期段考数学试卷 Word版含解析



浙江省杭州市萧山三中 2014-2015 学年高一上学期段考数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 2 1. (3 分)若 A={1,4,2x},B={1,x }且 CAB={4},则 x=() A.0 B . ﹣2 C.0 或﹣2 2. (3 分)已知 tanθ=2,则 sin θ+sinθcosθ﹣2cos θ=() A.﹣ B

. C. ﹣ D.
2 2

D.0 或±2

3. (3 分)函数 y= A. (﹣∞,3] A.

的值域是() B. ,则函数 y=f(x+a)的值域为() B. C.

D.

5. (3 分)已知 f(cosx)=sin2x,则 f(sin30°)的值为() A. B. C. D.

6. (3 分)已知 A.﹣1 B.
2

,则 tanα=() C. D.1

7. (3 分)关于 x 的二次方程 x +(m﹣1)x+1=0 在区间上有两个不同实数解,则实数 m 的范 围是() A. A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D. 10. (3 分)在一次研究性学习中,老师给出函数 f(x)= (x∈R) ,三位同学甲、乙、

丙在研究此函数时 给出命题:你认为上述三个命题中正确的个数有() 甲:函数 f(x)的值域为(﹣1,1) ;乙:若 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2) ; 丙:若规定 f1(x)=f(x) ,fn(x)=f(fn﹣1(x) ) ,则 fn(x)≥ A.0 个 B. 1 个 C. 2 个 对任意 n∈N 恒成立. D.3 个
*

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11. (4 分)若函数 f(x)= ,则 f(f(﹣2) )=.

12. (4 分)设扇形的周长为 8cm,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是. 13. (4 分)函数 f(t)=at ﹣2at+3﹣a 的图象必过定点. 14. (4 分)已知函数 y=f(x)+x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(﹣2)=. 15. (4 分)函数 的一个单调减区间为.
2

2

16. (4 分)已知函数 (x0,y0) ,如果 x0≥2,那么 a 的取值范围是. 17. (4 分)已知: ,则

两者的图象相交于点 P

的值为.

三、解答题(本大题共 4 小题,满分 42 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. (8 分)已知函数 f(x)=loga (1)求 f(x)的定义域; (2)求使 f(x)>0 的 x 取值范围. 19. (10 分)在△ ABC 中,已知 . (1)求 cosA 的值. (2)求 A、B、C 的值. 20. (12 分)已知函数 f(x)= 是奇函数: , (a>0,a≠1) ;

(1)求实数 a 和 b 的值; (2)判断函数 y=f(x)在区间(1,+∞)上的单调性; 2 (3)已知 k<0 且不等式 f(t ﹣2t+3)+f(k﹣1)<0 对任意的 t∈R 恒成立,求实数 k 的取值 范围. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x|2a﹣x|+2x,a∈R. (1)若 a=0,判断函数 y=f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)若函数 f(x)在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围. (3)求 y=f(x)在区间上的最大值.

浙江省杭州市萧山三中 2014-2015 学年高一上学期段考数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1. (3 分)若 A={1,4,2x},B={1,x }且 CAB={4},则 x=() A.0 B . ﹣2 C.0 或﹣2 考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 计算题. 分析: 由 A={1,4,2x},B={1,x },且 CAB={4},知 x =2x,再由集合中元素的性质进行 判断. 2 解答: 解:∵A={1,4,2x},B={1,x },且 CAB={4}, 2 ∴x =2x, 解得 x=0,或 x=2, 当 x=2 时,A={1,4,4},不满足元素的互异性,不成立; 当 x=0 时,A={1,4,0},B={1,0},成立. ∴x=0. 故选 A. 点评: 本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,注意集 合中元素的互异性的合理运用. 2. (3 分)已知 tanθ=2,则 sin θ+sinθcosθ﹣2cos θ=() A.﹣ B. C. ﹣ D.
2 2 2 2 2

D.0 或±2

考点: 三角函数中的恒等变换应用;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题. 分析: 利用 sin θ+cos θ=1,令原式除以 sin θ+cos θ,从而把原式转化成关于 tanθ 的式子, 把 tanθ=2 代入即可. 2 2 解答: 解:sin θ+sinθcosθ﹣2cos θ =
2 2 2 2

=

=

= .

故选 D. 2 2 点评: 本题主要考查了三角函数的恒等变换应用.本题利用了 sin θ+cos θ=1 巧妙的完成弦 切互化.

3. (3 分)函数 y= A. (﹣∞,3] A.

的值域是() B. ,则函数 y=f(x+a)的值域为() B. C.

D.

考点: 函数的值域. 分析: 考虑函数的三要素,只要 2 个函数的定义域和值域相同,函数的值域也就相同. 解答: 解:∵定义域为 R 的函数 y=f(x)的值域为, 而函数 y=f(x+a)的定义域也是 R, 对应法则相同,故值域也一样, 故答案选 B 点评: 本题考查函数的三要素. 5. (3 分)已知 f(cosx)=sin2x,则 f(sin30°)的值为() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的值;诱导公式的作用. 计算题;函数的性质及应用. 由诱导公式可知 sin30°=cos60°,然后代入已知函数解析式即可求解 解:∵f(cosx)=sin2x,

则 f(sin30°)=f(cos60°)=sin120°= 故选 D 点评: 本题主要考查了函数的 函数值的求解,解题的关键是诱导公式的应用把 sin30°化为 cos60° 6. (3 分)已知 A.﹣1 B. C. ,则 tanα=() D.1

考点: 同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 由条件可得 1﹣2sinαcosα=2,即 sin2α=﹣1,故 2α= 值. 解答: 解:∵已知 ﹣1,故 2α= 故选 A. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,求得 α= 基础题. ,是解题的关键,属于 ,α= ,tanα=﹣1. ,∴1﹣2sinαcosα=2,即 sin2α= ,α= ,从而求得 tanα 的

7. (3 分)关于 x 的二次方程 x +(m﹣1)x+1=0 在区间上有两个不同实数解,则实数 m 的范 围是() A. 上有两个不同实数解,确立条件关系即可求出实数 m 的范围. 2 解答: 解:设 f(x)=(x +(m﹣1)x+1, 2 要使二次方程 x +(m﹣1)x+1=0 在区间上有两个不同实数解, 2 则函数 f(x)=(x +(m﹣1)x+1 在区间上有两个不同的零点,

2

则满足

,即

,即



解得﹣

. .

故实数 m 的范围是﹣

故选:A. 点评: 本题主要考查函数零点的判断,将二次方程转化为二次函数,利用二次函数的图象 和性质去解决问题.

8. (3 分)设 f(x)=a ,g(x)=x >1 时必有() A.h(x)<g(x)<f(x) (x)<h(x) D.

x

,h(x)=logax,且 a 满足 loga(1﹣a )>0,那么当 x B.h(x)<f(x)<g(x) f(x)<h(x)<g(x) C. f(x)<g

2

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 由于 a 满足 loga(1﹣a )>0,可得 0<a<1.再利用指数函数、幂函数、对数函数 的单调性即可得出. 2 2 解答: 解:∵a 满足 loga(1﹣a )>0=loga1,0<1﹣a <1, ∴0<a<1, ∴当 x>1 时,logax<0,0<a <1,x
x

>1.

∴h(x)<f(x)<g(x) . 故选 B. 点评: 本题考查了指数函数、幂函数、对数函数的单调性,同时考查了分析问题的能力, 属于基础题.

9. (3 分)已知函数 =f(c) ,则 abc 的取值范围是()

,若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)

A.(1,10)

B.(5,6)

C.(10,12)

D.

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的图象;对数的运算性质;对数函数 的图像与性质. 专题: 作图题;压轴题;数形结合. 分析: 画出函数的图象,根据 f(a)=f(b)=f(c) ,不妨 a<b<c,求出 abc 的范围即可. 解答: 解:作出函数 f(x)的图象如图, 不妨设 a<b<c,则 ab=1, 则 abc=c∈(10,12) . 故选 C.

点评: 本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力. (x∈R) ,三位同学甲、乙、

10. (3 分)在一次研究性学习中,老师给出函数 f(x)= 丙在研究此函数时 给出命题:你认为上述三个命题中正确的个数有()

甲:函数 f(x)的值域为(﹣1,1) ;乙:若 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2) ; 丙:若规定 f1(x)=f(x) ,fn(x)=f(fn﹣1(x) ) ,则 fn(x)≥ A.0 个 B. 1 个 C. 2 个 对任意 n∈N 恒成立. D.3 个
*

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 甲:利用函数的奇偶性单调性即可得出; 乙:利用导数研究函数的单调性即可得出; 丙:利用函数的奇偶性、数学归纳法即可得出. 解答: 解:甲:由函数 f(x)= (x∈R) ,当 x≥0 时,f(x)= ,∴0≤f(x)<1;

∵f(﹣x)=﹣f(x) ,∴当 x<0 时,∴﹣1<f(x)<0. 因此值域为(﹣1,1) ,正确. 乙:当 x≥0 时,f(x)= ,f′(x)= >0,∴函数 f(x)单调递增,f(x)≥0;

同理,当 x<0 时,函数 f(x)单调递增,且 f(x)<0. ∴若 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2) ,正确;

丙:∵函数 f(x)是奇函数,因此只考虑 0<x 即可.

f( =f (x) = 1 x) 也成立.

, 因此当 n=1 时成立. 当 n=2 时, f( =f (f( ) = 2 x) 1 x)

=

=

假设当 n=k 时成立,fk(x)



则当 n=k+1 时,fk+1(x)=f(fk(x) )=



=

,也成立.因此

正确. 综上可得:甲乙丙都正确. 故选:D. 点评: 本题考查了函数的奇偶性单调性、数学归纳法,考查了推理能力与计算能力,属于 难题. 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11. (4 分)若函数 f(x)= ,则 f(f(﹣2) )=﹣1.

考点: 函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由函数 f(x)= ,知 f(﹣2)=e ,由此能求出 f(f(﹣2) )的值.
﹣1

解答: 解:∵函数 f(x)=
﹣1



∴f(﹣2)=e , ﹣1 ∴f(f(﹣2) )=lne =﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查函数值的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 12. (4 分)设扇形的周长为 8cm,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是 2. 考点: 扇形面积公式. 专题: 计算题. 分析: 设扇形的圆心角的弧度数为 α,半径为 r,弧长为 l,面积为 S,由面积公式和周长可 得到关于 l 和 r 的方程组, 求出 l 和 r,由弧度的定义求 α 即可.
2

解答: 解:S= (8﹣2r)r=4,r ﹣4r+4=0,r=2,l=4,|α|= =2. 故答案为:2. 点评: 本题考查弧度的定义、扇形的面积公式,属基本运算的考查. 13. (4 分)函数 f(t)=at ﹣2at+3﹣a 的图象必过定点(1+
2

2

,3) , (1﹣

, 3) .

考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 2 2 分析: 由题意,化简 f(t)=at ﹣2at+3﹣a=a(t ﹣2t﹣1)+3;令 t ﹣2t﹣1=0 解出即可. 2 2 解答: 解:f(t)=at ﹣2at+3﹣a=a(t ﹣2t﹣1)+3; 2 令 t ﹣2t﹣1=0 解得, t=1+ 或 t=1﹣ ; 2 故函数 f(t)=at ﹣2at+3﹣a 的图象必过定点(1+ ,3) , (1﹣ ,3) ; 故答案为: (1+ ,3) , (1﹣ ,3) . 点评: 本题考查了恒成立问题,属于基础题. 14. (4 分)已知函数 y=f(x)+x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(﹣2)=5. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 y=f(x)+x 是偶函数,建立方程关系即可得到结论. 解答: 解:设 y=g(x)=f(x)+x, ∵函数 y=f(x)+x 是偶函数, ∴g(﹣x)=g(x) , 即 f(﹣x)﹣x=f(x)+x, 令 x=2, 则 f(﹣2)﹣2=f(2)+2=1+2=3, ∴f(﹣2)=3+2=5, 故答案为:5 点评: 本题主要考查函数值的计算,根据函数奇偶性建立方程关系是解决本题的关键.

15. (4 分)函数

的一个单调减区间为(0,+∞) .

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 分 x≥0,x<0 两种情况去掉绝对值符号,然后利用导数即可求得单调区间. 解答: 解: (1)当 x≥0 时,y= ﹣2x≤0, ∴y′= >0,ln2>0, ln ?2x﹣4=﹣2x ln2﹣4<0, ﹣4x+5,

所以函数在(0,+∞)上递减; (2)当 x<0 时,﹣2x>0, ∴y′= ln ?2x+4=﹣2x >0,ln2>0, ln2+4>0,

所以函数在(﹣∞,0)上递增; 故答案为: (0,+∞) . 点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性,考查分类讨论思想,属中档题.

16. (4 分)已知函数

两者的图象相交于点 P

(x0,y0) ,如果 x0≥2,那么 a 的取值范围是 专题: 计算题. 分析: 先对对数函数 y=logax 的底数 a 进行分类讨论:0<a<1 时,当 a>1 时,得出要使得 函数 必须 两者的图象相交于点 P (x0, y0) , 且 x0≥2, ,从而解得 a 的取值范围.

解答: 解:∵a 为对数函数 y=logax 的底数, ∴0<a<1 时,函数 小于 1, ∴排除 0<a<1; 当 a>1 时,y=logax 为增函数, 由于当 x=2 时, 要使得函数 且 x0≥2, ∴ 解得:a≥16 那么 a 的取值范围是 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用同角三角函数的基本关系求得 的值,即可求得 解答: 解: ∵ = , = 的值,再利用诱导公式求得 的值. , 两者的图象相交于点 P(x0,y0) , 两者的图象交点的横坐标

∴ + = , .

=1﹣



=1﹣

故答案为

点评: 本题主要考查三角恒等变换的应用,角的变换是解题的关键,属于中档题. 三、解答题(本大题共 4 小题,满分 42 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. (8 分)已知函数 f(x)=loga (1)求 f(x)的定义域; (2)求使 f(x)>0 的 x 取值范围. 考点: 对数函数的单调性与特殊点;对数函数的定义域. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)根据函数 f(x)=loga 式即可求得结果. (3)当 a>1 时,不等式 f(x)>0 等价于 此可得不等式的解集. 解答: 解: (1)由 >0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) >1;当 0<a<1 时,等价于 0< <1.由 要使要使函数有意义,须真数 >0,解此不等 (a>0,a≠1) ;

得﹣2<x<2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) 故 f(x)的定义域为(﹣2,2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)由 f(x)>0 得 loga 当 a>1 时, >loga1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

>1 得 0<x<2﹣﹣﹣﹣(9 分) <1 得﹣2<x<0﹣﹣﹣﹣(12 分)

当 0<a<1 时,0<

点评: 本题考查对数函数的定义域,考查对数函数的单调性与特殊点,考查解不等式,属 于中档题. 19. (10 分)在△ ABC 中,已知 . (1)求 cosA 的值. (2)求 A、B、C 的值. 考点: 运用诱导公式化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值.



分析: (1)由已知得 可得 A 的值. (2)由 求得 A,再根据



,两式平方相加求得 cosA 的值,

,求得

,可得 B 的值,再根据

三角形内角和公式求得 C 的值. 解答: 解: (1)由已知得 2 两式平方相加得 2cos A=1, ∴ 若 由 . , ,得 ,





这时 A、B 均为钝角,不可能, ∴ (2)由 得 ∴ ∴ , ,于是 , , . , . 求得 ,再根据 ,

点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,诱导公式的应用,根据三角函数的 值求角,属于中档题. 20. (12 分)已知函数 f(x)= 是奇函数:

(1)求实数 a 和 b 的值; (2)判断函数 y=f(x)在区间(1,+∞)上的单调性; 2 (3)已知 k<0 且不等式 f(t ﹣2t+3)+f(k﹣1)<0 对任意的 t∈R 恒成立,求实数 k 的取值 范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数奇偶性的性质;奇偶性与单调性的综合. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)利用奇函数的定义,列出等式,即可求实数 a 和 b 的值; (2)求导函数,确定导数小于 0,即可确定函数 y=f(x)在区间(1,+∞)上的单调性; 2 (3)利用函数的单调性与奇偶性,不等式可转化为 t ﹣2t+3>1﹣k 任意的 t∈R 恒成立,由此 可求实数 k 的取值范围. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)= 是奇函数

∴由定义

=﹣



∴a=b=0; (2)由(1)知 ,∴

∵x>1,∴f′(x)<0,∴y=f(x)在区间(1,+∞)上的单调递减; 2 2 (3)由 f(t ﹣2t+3)+f(k﹣1)<0 及 f(x)为奇函数得:f(t ﹣2t+3)<f(1﹣k) 2 因为 t ﹣2t+3≥2,1﹣k>1,且 y=f(x)在区间(1,+∞)上的单调递减, 2 所以 t ﹣2t+3>1﹣k 任意的 t∈R 恒成立, 2 因为 t ﹣2t+3 的最小值为 2,所以 2>1﹣k,∴k>﹣1 ∵k<0,∴﹣1<k<0. 点评: 本题考查函数的单调性与奇偶性,考查恒成立问题,确定函数的单调性,转化为具 体不等式是关键, 21. (12 分)已知函数 f(x)=x|2a﹣x|+2x,a∈R. (1)若 a=0,判断函数 y=f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)若函数 f(x)在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围. (3)求 y=f(x)在区间上的最大值. 考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)若 a=0,根据函数奇偶性的定义即可判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)根据函数单调性的定义和性质,利用二次函数的性质即可求实数 a 的取值范围; (3)根据 a 和区间的关系,建立条件关系即可得到结论. 解答: 解: (1)函数 y=f(x)为奇函数. 当 a=0 时,f(x)=x|x|+2x, ∴f(﹣x)=﹣x|x|﹣2x=﹣f(x) , ∴函数 y=f(x)为奇函数; (2)f(x)= ,

当 x≥2a 时,f(x)的对称轴为:x=a﹣1; 当 x<2a 时,y=f(x)的对称轴为:x=a+1; ∴当 a﹣1≤2a≤a+1 时,f(x)在 R 上是增函数, 即﹣1≤a≤1 时,函数 f(x)在 R 上是增函数; (3)①当﹣1≤a≤1 时,函数 f(x)在 R 上是增函数,此时函数 y=f(x)在区间上的最大值为 f(2)=4+2|4a﹣2|. ②当 a>1 时,即 2a>a+1>a﹣1, f(x)在(﹣∞,a+1)上单调增,在(a+1,2a)上单调减,在(2a,+∞)上单调增,此时 函数 y=f(x)在区间上的最大值为 f(2)=4+2|4a﹣2| ③当 a<﹣1 时,即 2a<a﹣1<a+1, f(x)在(﹣∞,2a)上单调增,在(2a,a﹣1)上单调减,在(a﹣1,+∞)上单调增, 此时函数 y=f(x)在区间上的最大值为 f(2)=4+2|4a﹣2|. 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,根据分段函数的性质是解决本题的关 键.综合性较强.



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