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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):2.12导数的应用(一)



[知识能否忆起] 一、利用导数研究函数的单调性

二、利用导数研究函数的极值 1.极大值:

在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数 值都 小于 x0点的函数值,称 点x0 为函数y=f(x)的极大值点,其函
数值 f(x0) 为函数的极大值.

2.极小值:
在包含x0

的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数 值都 大于 x 点的函数值,称 点x0 为函数y=f(x)的极小值点,其函
0

数值f(x0)为函数的极小值. 3.极值: 极大值 与 极小值 统称为极值, 极大值点 与 极小值点 统称 为极值点.

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)函数f(x)=1+x-sin x在(0,2π)上是
( A.增加的 B.减少的 C.在(0,π)上增,在(π,2π)上减 )

D.在(0,π)上减,在(π,2π)上增
解析:当x∈(0,2π)时,f′(x)=1-cos x>0, ∴f(x)在(0,2π)上递增. 答案:A

2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导 函数f′(x)在(a,b)内的图像如图所 示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极 小值点
A.1个 C.3个 B.2个 D.4个

(

)

解析:极小值点应有先减后增的特点,即f′(x)<0→f′(x) =0→f′(x)>0.由图像可知只有1个极小值点.

答案:A

1 2 3.(2012· 辽宁高考)函数y= x -ln x的单调递减区间为 2 ( )

A.(-1,1] C.[1,+∞)

B.(0,1] D.(0,+∞)

1 2 解析:函数 y= x -ln x 的定义域为(0,+∞), 2 1 ?x-1??x+1? y′=x-x= ,令 y′≤0,则可得 0<x≤1. x

答案:B

4.(2012· 陕西高考)设函数f(x)=xex,则
A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点

(

)

解析:求导得f′(x)=ex+xex=ex(x+1),令f′(x)=ex(x
+1)=0,解得x=-1,易知x=-1是函数f(x)的极小 值点. 答案:D

5.已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函 数,则a的最大值是________. 解析:f′(x)=3x2-a在x∈[1,+∞)上f′(x)≥0, 则f′(1)≥0?a≤3. 答案:3

1.f′(x)>0与f(x)为增函数的关系:f′(x)>0能推出f(x)为增 函数,但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调 递增,但f′(x)≥0,所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必 要条件. 2.可导函数的极值点必须是导数为0的点,但导数为0的 点不一定是极值点,即f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取 得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处的导数为 0,但x=0不是极值点.此外,函数不可导的点也可能是函数 的极值点.

运用导数解决函数的单调性问题

[例 1]

ln x+k (2012· 山东高考改编)已知函数 f(x)= ex

(k 为常数, e=2.718 28?是自然对数的底数), 曲线 y=f(x) 在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行.

(1)求k的值; (2)求f(x)的单调区间.

[自主解答]

ln x+k (1)由f(x)= , ex

1-kx-xln x 得f′(x)= ,x∈(0,+∞), xex 由于曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行,所以 f′(1)=0,因此k=1.

1 (2)由(1)得 f′(x)= x(1-x-xln x),x∈(0,+∞), xe 令 h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,h(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0. 又 ex>0,所以 x∈(0,1)时,f′(x)>0; x∈(1,+∞)时,f′(x)<0. 因此 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为 (1,+∞).

求可导函数单调区间的一般步骤和方法

(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求f′(x),令f′(x)=0,求出它在定义域内的一切实 数根; (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标 和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用

这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;
(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符 号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.

1.已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然

对数的底数).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数,若

存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex, ∴f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex. 令 f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0, ∵ex>0,∴-x2+2>0,解得- 2<x< 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(- 2, 2).

(2)若函数f(x)在R上单调递减,
则f′(x)≤0对x∈R都成立,

即[-x2+(a-2)x+a]ex≤0对x∈R都成立.
∵ex>0,∴x2-(a-2)x-a≥0对x∈R都成立. ∴Δ=(a-2)2+4a≤0,即a2+4≤0,这是不可能的. 故不存在a使函数f(x)在R上单调递减.

运用导数解决函数的极值问题

[例2]

(2012· 江苏高考)若函数y=f(x)在x=x0处取

得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已 知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个 极值点. (1)求a和b的值;

(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极
值点.

[自主解答]

(1)由题设知f′(x)=3x2+2ax+b,且

f′(-1)=3-2a+b=0, f′(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.

(2)由(1)知f(x)=x3-3x.因为f(x)+2=(x-1)2(x+2),
所以g′(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,于是函数g(x) 的极值点只可能是1或-2.

当x<-2时,g′(x)<0;当-2<x<1时,g′(x)>0,
故-2是g(x)的极值点. 当-2<x<1或x>1时,g′(x)>0,故1不是g(x)的 极值点. 所以g(x)的极值点为-2.

求函数极值点的步骤 (1)确定函数的定义域; (2)解方程f′(x)=0; (3)对于方程f′(x)=0的每一个解x0,分析f′(x)在x0左、 右两侧的符号(即f(x)的单调性),确定极值点: ①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”,则x0为极大值 点; ②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”,则x0为极小值 点; ③若f′(x)在x0两侧的符号相同,则x0不是极值点.

2.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极 值点. (1)试确定常数a和b的值;
(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极
解:(1)f′(x)=x+2bx+1, 由题意得f′(1)=0,f′(2)=0,

小值点,并说明理由. a

?a=-2, a+2b+1=0, ? ? ? 3 ∴? a 解得? ?2+4b+1=0, ?b=-1. ? 6 ?

2 1 2 (2)由(1)知f(x)=- ln x- x +x, 3 6 -?x2-3x+2? 2 x ∴f′(x)=- - +1= 3x 3 3x 1 ?x-1??x-2? =- · . x 3 又∵x>0,∴0<x<1时,f′(x)<0,1<x<2时,f′(x)>0,x>2 时,f′(x)<0, ∴函数f(x)在(0,1)和(2,+∞)上是减少的,在(1,2)上是增加 的, ∴x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点.

函数单调性与极值的综合问题

[例3]

(2012· 兰州调研)已知实数a>0,函数f(x)=ax(x

-2)2(x∈R)有极大值32.

(1)求函数f(x)的单调区间; (2)求实数a的值.

[自主解答] (1)f(x)=ax3-4ax2+4ax, f′(x)=3ax2-8ax+4a. 令f′(x)=0,得3ax2-8ax+4a=0. ∵a≠0,∴3x2-8x+4=0, 2 ∴x= 或x=2. 3 ? 2? ∵a>0,∴当x∈?-∞,3?或x∈(2,+∞)时, ? ? f′(x)>0. ? 2? ∴函数f(x)的单调递增区间为?-∞,3?和(2,+∞); ? ? ?2 ? ∵当x∈?3,2?时,f′(x)<0, ? ? ?2 ? ∴函数f(x)的单调递减区间为?3,2?. ? ?

? 2? (2)∵当x∈?-∞,3?时,f′(x)>0; ? ? ?2 ? 当x∈?3,2?时,f′(x)<0; ? ?

当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0, 2 ∴f(x)在x= 时取得极大值, 3
? 2?2 即a·?3-2?2=32. 3? ?

∴a=27.

1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习 惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可能. 2.如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一 个,这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接,只能 用“,”或“和”字隔开.

x2+a 3.函数f(x)= (a∈R). x+1

1 (1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 ,求实数a的值; 2

(2)若f(x)在x=1处取得极值,求函数f(x)的单调区间与极值. 2x?x+1?-x2-a x2+2x-a 解:(1)f′(x)= = , ?x+1?2 ?x+1?2

1 1 若f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 ,则f′(1)= . 2 2 3-a 1 所以f′(1)= = ,得a=1. 4 2

(2)因为f(x)在x=1处取得极值, 所以f′(1)=0, 即1+2-a=0,a=3, x2+2x-3 ∴f′(x)= . ?x+1?2 因为f(x)的定义域为{x|x≠-1},所以有:

(-∞, x f′(x) f(x) -3) + ?

-3 (-3,-1) (-1,1) 0 极大 值 - ? - ?

1 0 极小 值

(1,+∞) + ?

由表可知,f(x)的单调递增区间是(-∞,-3),(1,+ ∞),单调递减区间是(-3,-1),(-1,1).极大值为f(-3) =-6,极小值为f(1)=2.

导数是解决函数问题的重要工具,利用导数解决函 数的单调性问题、求函数极值、最值及解决生活中的 最优化问题,是高考考查的热点,在解答题中每年必 考,常与不等式、方程结合考查,试题难度较大,因 此对该部分知识要加大训练强度,提高解题能力.



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