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2[1].4.1向量在几何中的应用



2.4.1 向量在几何中的应用

例1.如图,已知平行四边形ABCD中,E、F在
对角线BD上,并且BE=FD,求证AECF是平

行四边形。
??? ???? ? ? 证明:由已知设 AB ? DC ? a ,
? ? ??? ??? ??? ? ? ? AE ? AB ? BE ? a ? b ? ???

??? ???? ? ? ? FC ? FD ? DC ? b ? a
A F a b B E C b a

? ??? ??? ? ? BE ? FD ? b
D

? ??? ??? ? ? AE ? FC

即边AE、FC平行且相等,AECF是平行四边形

用向量方法解决平面几何问题的“三步 曲”:

(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表 示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关 系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。

简述:形到向量

向量的运算

向量和数到形

例2. 求证平行四边形对角线互相平分.
证明:如图,已知平行四边形ABCD的两条 ???? ???? ? ??? ? ???? ? 对角线相交于M,设 AM ? x AC , BM ? y BD
???? ??? ? ???? ???? ? 则 AM ? x AC ? x AB ? x AD , ? ? ???? ??? ???? ? AM ? AB ? BM ??? ? ???? ? AB ? y BD ??? ? ???? ??? ? ? AB ? y ( AD ? AB ) ??? ? ???? ? (1 ? y ) AB ? y AD

根据平面向量基本定理知,这两个分解

式是相同的,所以
?x ? 1? y ? ? x? y

解得

1 ? ?x ? 2 ? ? ?y ? 1 ? 2 ?

所以点M是AC、BD的中点,即两条对 角线互相平分.

例3.已知正方形ABCD,P为对角线AC上任意 一点,PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,连接 DP、EF,求证DP ⊥EF。
??? ???? ? 证明:选择正交基底{ AB , AD }
D C P F

在这个基底下
???? ??? ? AB ? (1, 0), AD ? (0,1)
??? ? 设 AP ? ( a , a )
A

E

B

??? ? ??? ? EB ? (1 ? a , 0), BF ? (0, a ) ??? ? EF ? (1 ? a , a ) ? ???? ??? ???? DP ? AP ? AD ? ( a , a ? 1)
? ???? ??? D P ? EF ? (1 ? a , a ) ? ( a , a ? 1) ? (1 ? a ) a ? a ( a ? 1) ?0

? ???? ??? 所以 DP ? EF

因此DP⊥EF.
D

例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和. 已知:平行四边形ABCD。 D 2 2 2 2 2 2 AB 求证: ? BC ? CD ? DA ? AC ? BD 分析:因为平行四边形对边平行且相 等,故设 AB ? a , AD ? b 其它线段对应向 A 量用它们表示。
2 2

C B

解:设 AB ? a , AD ? b ,则 BC ? b , DA ? ? a , AC ? a ? b; DB ? a ? b
AB ? BC ? CD ? DA ? 2 ( a ? b )
2 2 2 2

AC

2

? BD

2

? a?b
2 2

?

? ? ?a ? b ?
2

2

2 2 ? a 2 ? b 2 ? ? 2? a ? b ? ? a ? 2a b ? b ? a ? 2a b ? b ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 2 2

∴ AB 2 ? BC 2 ? CD 2 ? DA 2 ? AC 2 ? BD 2

解析几何中的向量方法
? 例 5求 通 过 点 A(-1,2), 且 平 行 于 向 量 a =( 3,2) 的 直线方程。

解:法1
法2

??? ? ? 在 l 上 任 取 一 点 P ( x , y ), 则 AP ? a
点斜式
y ? y1 x ? x1 ? a2 a1 ? tan ? ? 向 量 a ? ( a1 , a 2 )

结论:k ?

? ? 例 6已 知 直 线 l:Ax+By+C=0, =(A,B).求 证 向 量 n ? l n
证 明 : 设 (x 0 ,y 0 )为 直 线 l的 方 程 的 一 个 解 , 则 Ax 0 ? By 0 ? C ? 0 ?1 ? 对 l的 方 程 和 ?1 ? 式 两 边 作 差 , 整 理 , 得 A x- x 0 ) ? B ( y ? y 0 ) ? 0 ( ? ? 向 量 n =(A,B)与 向 量 ( x- x 0 , y ? y 0 )垂 直
动 点 (x,y)的 集 合 就 是 直 线 l ? 即 n?l

法向量

例 7求 通 过 A (2,1), 且 与 直 线 l : 4 x ? 3 y ? 9 ? 0 平 行 的 直线方程。

? 与 l 垂 直 的 向 量 a ? 4, -3) ( 设 点 P ( x , y )为 所 求 直 线 上 任 意 一 点 , ??? ? ? 则 AP ? a
法2 法3 点斜式 待定系数

解:法1

例5 如图, ABCD中,点E、F分别是AD 、 DC边的中点,BE 、 BF分别与AC交于R 、 T 两点,你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗?

?

猜想: AR=RT=TC
A
E

D

F T

C

R

B

解:设

???? ? ???? ? ???? ? AB ? a , AD ? b , AR ? r ,

???? ? ? 则 AC ? a ? b

???? 由于 AR

???? ? ? ? 与AC 共线,故设r ? n ( a ? b ), n ? R

又因为

??? ? ??? ? E R与 E B

共线,
D E R F T B C

???? ???? ? 1 ? 所以设ER ? m EB ? m ( a ? b ) 2

??? ? ???? ??? ? 因为 A R ? A E ? E R

所以

? 1 ? 1 ? 因 此 n(a ? b ) ? b ? m (a ? b ) 2 2

? 1 ? ? 1 ? r ? b ? m (a ? b ) 2 ? ? 2

A

? ? m ?1 ? 即 ( n ? m )a ? ( n ? )b ? 0 2

?n ? m ? 0 ? ? ? 由 于 向 量 a , b 不 共 线, ? m ?1 ? 0 ?n ? ? 2

解 得 : n= m =

1 3

???? 1 ???? ??? 1 ???? ? ???? 1 ???? 所 以 AR ? AC , 同 理 TC ? AC , 于 是 RT ? AC 3 3 3

故AT=RT=TC
E

D

F T

C

R

A

B



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