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成都七中2015届一诊模拟数学试题数学(理)



1

成 都 七 中 2015 届 一 诊 模 拟 数 学 试 题 数 学(理)
命题人:周莉莉 审题人:方廷刚
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 21 小题,共 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码 区域内; 2.选择题必须用 2

B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔书写, 字体工整、 笔迹清楚; 3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷 上答题无效; 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑; 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。
1.已知集合A 有( ) A.1 个 {0 , 1} ,则满足条件A B.2 个

B

{2 , 0 , 1 , 3} 的集

合B 共

C.3 个 D.4 个

2.已知复数 z1 ? m ? 2i , z 2 ? 3 ? 4i 若 ( A. )

z1 为实数,则实数 m 的值 z2



8 3

B.

3 2

C. ?

8 3

D. ?

3 2
( )

3.如图所示程序框图,其输出结果是 A. n ? 5 B. n ? 6

1 ,则判断框中所填的条件是 11 C. n ? 7 D. n ? 8
2 | x | 的( )

4.已知x R ,则x A.充分非必要条件 C.充要条件

1 是 | x 1| | x 1| B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

5.设数列 ?an ? 为等差数列,其前n项和为 S n ,已知

a1 ? a4 ? a7 ? 99, a2 ? a5 ? a8 ? 93
A.22 B.21 C.20 D.19

,若对任意 n ? N * 都有 S n ? S k 成立,则k的值为(



1

2

6.已知点 M (a, b)(a ? 0, b ? 0)是圆C:x 2 ? y 2 ? 1 内任意一点,点 P ( x, y ) 是圆上任意一点,则 实数 ax ? by ? 1 ( A.一定是负数 C.一定是正数 ) B.一定等于 0 D.可能为正数也可能为负数

7.已知圆 O 的半径为2, A 、 B 是圆上两点, ?AOB ? 圆 O 的一条直径,点 C 在圆内且满足

2? , MN 3



OC ? ?OA ? ?1 ? ? ?OB?0 ? ? ? 1?,则 CM ? CN 的最小值为
( ) B.-1 C.-3 D.-4

A.-2

8.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x ) ? sin(?x ? ( A. [ )

?
4

) 在区间[

? , ? ]上单调递减,则实数 ? 的取值范围是 2

1 3 , ] 2 4

B. ( 0,

1 1 5 , ] ] C. [ 2 2 4

D. (0,2]

9.现需编制一个八位的序号,规定如下:序号由4个数字和2个 x 、1个 y 、1个 z 组成;2个 x 不 能连续出现,且 y 在 z 的前面;数字在1、2、4、8之间选取,可重复选取,且四个数字之积为8.则 符合条件的不同的序号种数有( A.12600 B.6300 ) C.5040 D.2520

10.在 ?ABC 中 , a , b , c 分 别 是 角 A , B , C 的 对 边 ,

a ? 6 , b ? 2,且
A.

1? 2cos(B ? C) ? 0 ,则

?ABC 的 BC 边 上 的 高 等 于 ( )
D.

2

B.

6 2

C.

6? 2 2

3 ?1 2

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分。 11.已知集合 A ? y | y ? x ? 2 x,?2 ? x ? 2 , B ? x | x ? 2x ? 3 ? 0 ,在集合 A 中任意取一
2 2

?

?

?

?

个元素 a ,则 a ? B 的概率是

.

12.已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 4,8, h ,且它的 8 个顶点都在同一个 球面上, 若这个球面的表面积为 100 ? ,则 h ? .

2

3

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? , 1 ? 2 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , ??, 2 2 3 4 2 2 3 2 3 4 1 1 1 ? _______. 根据以上式子可以猜想: 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 3 20132
13.观察下列式子: 1 ? 14.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 ? 0 有公共点, 则该双 a2 b2

曲线的离心率的取值范围是___________.
1

15.形如 y ? x

x?

,它的求导过程可概括成:取对数——两边 ( x ? 0) 的函数称为“幂指型函数”

x 对 x 求导——代入还原; 例如:y ? x ( x ? 0) , 取对数 ln y ? x ln x , 对 x 求导

1 y ? ? ln x ? 1 , y

代入还原 y ? ? x x (ln x ? 1) ;给出下列命题:
1

①当 ? ? 1 时,函数 y ? x
1

x?

( x ? 0) 的导函数是 y ? ?

1 ? ln x x x ? x ? 0? ;②当 ? ? 0 时,函数 x2

1

y?x

x?

1 ? ? 0 , e ( x ? 0) 在 ? ? ?

? ? 上单增,在 ? ?


1 1 1 ? ? ? ? e , ? ?? 上 单 减 ; ③ 当 b ? ? e e 时 , 方 程 ? ? ? ?

b x ? x ? ?b ? 0, b ? 1,? ? 0, x ? 0?
?


1


?e





??0











x ? logb x?b ? 0, b ? 1, x ? 0? 有两根,则 e
其中正确的命题是

? b ? 1;

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ)求等差数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)若 a 2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和. 17. (本题满分 12 分) 不透明的袋中有 8 张大小和形状完全相同的卡片,卡片上分别写有 1,1,2,2,3,3,x ,y . 现从中任取 3 张卡片,假设每张卡片被取出的可能性相同. (I)求取出的三张卡片中至少有一张字母卡片的概率; (Ⅱ)设 ? 表示三张卡片上的数字之和.当三张卡片中含有字母时, 则约定:有一个字母和二个相同

3

4

数字时 ? 为这二个数字之和,否则 ? ? 0 ,求 ? 的分布列和期望 E? .

18.(本小题满分 12 分) 如 图 , 已 知 菱 形 ABEF 所 在 平 面 与 直 角 梯 形 ABCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 ,

AB ? 2 AD ? 2CD ? 4 , ?ABE ? 60? , ?BAD ? ?CDA ? 90? , 点 H , G 分别是线段 EF , BC 的
中点. (I)求证:平面 AHC ? 平面 BCE ; (Ⅱ)点 M 在直线 EF 上,且 GM //平面 AFD ,求平面 ACH 与平面 ACM 所成角的余弦值。 20.(本小题 13 分) 在平面直角坐标系中,长度为 3 的线段 AB 的端点 A、B 别在 x , y 轴上滑动,点 M 在线段 AB 上,且 AM ? 2 MB , (1)若点 M 的轨迹为曲线 C,求其方程; (2)过点 P?0,1? 的直线 l 与曲线 C 交于不同两点 E、F,N 是曲线上不同于 E、F 的动点,求 ?NEF 面积的最大值。



20.(本小题 12 分)已知函数 f ( x ) ? (1)当 x ? ? ?

3 1 sin2 x ? cos2 x ? ? x ? R ? 2 2

? ? 5? ? , ? 时,求函数 f ? x ? 取得最大值和最小值时 x 的值; ? 12 12 ? ( 2 ) 设 锐 角 ? ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 应 边分 别 是 a, b, c , 且 a ? 1, c ? N * , 若 向 量

m ? ?1, s i nA? 与向量 n ? ?2, sinB? 平行,求 c 的值。

21(本小题 14 分)

已知函数 g ?x ? ? 2a ln(x ? 1) ? x ? 2 x
2

(1) 当 a ? 0 时,讨论函数 g ?x ? 的单调性;

(2) 当 a ? 0 时,在函数 g ( x) 图象上取不同两点 A、B,设线段 AB 的中点为 P?x0 , y0 ? ,试探 (3) 试判断当 a ? 0 时 g ?x ? 图象是否存在不同的两点 A、B 具有(2)问中所得出的结论。 究函数 g ?x ? 在 Q ?x0 , g ?x0 ?? 点处的切线与直线 AB 的位置关系?

4

5

参考答案

一、DDBAC ACCBC 二、 三、 16.

2 4025 ;2 5; ;1 ,,2 ;①②④ 9 2013

?

?

(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a1 ? 3d ? ?3, ? ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8. ? a1 ? 2, ?a1 ? ?4, ? ? d ? ?3, ?d ? 3. 解得 ? 或

由题意得

所以由等差数列通项公式可得 an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 . 故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 .??6 分 (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3. 故

记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n . 当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时, Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ?
? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ?
? (3n ? 7)

?5?

(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 2 2 2 . 当 n ? 2 时,满足此式.

5

6

n ? 1, ?4, ? Sn ? ? 3 2 11 n ? n ? 10, n ? 1. ? ?2 2 综上,

??12 分

17.
3 ⑴随机取出 3 张卡片的所有可能结果为 C8 ? 56 种,而取出的 3 张卡片中有 2 个数字和一个字母或 2 1 1 2 1 个数字和 2 个字母的可能结果为 C6 . ? C2 ? C6 ? C2

因此,所求概率为 P ?

2 1 1 2 C6 C 2 ? C6 C2 9 = . ?? 4 分 3 14 C8

⑵依据题意知,ξ的取值为 0,2,4,5,6,7,8.??6 分 当ξ=0 时,即三张卡片中有一个字母和二个不同数字,或二个字母一个数字,得

P(? ? 0) ?

1 2 1 1 2 1 2 1 C2 C3 C 2 C 2 ? C 2 C6 15 C2 C2 2 1 . ? P ( ? ? 2) ? ? ? ; 3 3 28 C8 56 28 C8
2 1 2 1 2 1 2 1 C2 C2 ? C2 C2 4 C2 C2 ? C2 C2 4 2 2 ; ; ? ? P ( ? ? 5) ? ? ? 3 3 C8 56 28 C8 56 28 2 1 1 1 1 2 1 2 1 C2 C2 ? C2 C2C2 10 5 C2 C2 ? C2 C2 4 2 ; ? ? P ( ? ? 7) ? ? ? ; 3 3 C8 56 28 C8 56 28

P(? ? 4) ?

P(? ? 6) ?

2 1 C2 C 2 1 .∴ξ的分布列为: P(? ? 8) ? 3 2 ? ? C8 56 28

??10 分 ∴E ? ? 0 ?

15 1 2 2 5 2 1 18 ? 2? ? 4? ? 5? ? 6? ? 7 ? ? 8? ? ??12 分 28 28 28 28 28 28 28 7

18. (1)证明:在菱形 ABEF 中,因为 ?ABE ? 60? ,所以△AEF 是等边三角形, 又 H 是线段 EF 的中点,所以 AH ? EF ? AH ? AB , 因为平面 ABEF ? 平面 ABCD ,所以 AH ? 平面 ABCD ,所以 AH ? BC ;??2 分 ?2 C? D4, ?BAD ? ?CDA ? 90? , 得 到 : 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , A B? 2 A D

AC ? BC ? 2 2 ,从而 AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,所以 AC ? CB ,?? 4 分
6

7

所以 CB ? 平面 AHC ,又 BC ? 平面 BCE ,所以平面 AHC ? 平面 BCE ;??6 分 (2)由(1) AH ? 平面 ABCD ,如图,分别 以 AD, AB, AH 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴 建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(0, 4,0), C (2, 2,0), D(2,0,0) ,

E(0, 2, 3), F (0, ?2, 3), H (0,0, 3), G(1,3,0) ??7 分
设点 M 的坐标是 (0, m, 3) ,则 GM , AF , AD 共面, 所以存在实数 ? , ? 使得:

GM ? ? AD ? ? AF ? (?1, m ? 3, 3) ? (2?,0,0) ? (0, ?2?, 3?) ,
得到: 2? ? ?1, m ? 3 ? ?2?, 3 ? 3? ? m ? 1.即点 M 的坐标是: (0,1, 3) , ??8 分 由(1)知道:平面 AHC 的法向量是 BC ? (2, ?2,0) , 设平面 ACM 的法向量是 n ? ( x, y, z) , 则: ?

? ?n ? AC ? 0

?( x, y, z ) ? (2, 2, 0) ? 0 ?x ? ? y ? ? ,??9 分 ?? ?? ?( x, y, z ) ? (0,1, 3) ? 0 ? ? y ? ? 3z ?n ? AM ? 0 ? ?

令 z ? 3 ,则 y ? ?3, x ? 3 ,即 n ? (3, ?3, 3) ,

12 42 ,??11 分 ? 7 2 2 ? 21 42 即平面 ACH 与平面 ACM 所成角的余弦值是 。??12 分 7
所以 cos ? n, BC ?? 19. 解:(1)

???? ?????..3 分



??..4 分

所以当



取得最大值;

当 (2)因为向量 所以 与向量 ,

, 平行,

取得最小值;???..6 分

?????.8 分

由余弦定理



7

8

,又

,经检验符合三角形要求???..12 分

20.解:(1)由题知

,设



代入





所以曲线 C 的方程是 (2)当直线的斜率不存在时,即 当直线的斜率存在时,设

????..4 分 ,此时 ,

[来源:Z.xx.k.Com]

??..5 分

联立

,有

?????..7 分 由题知过 N 的直线 联立 与椭圆方程得 ,且 与椭圆切于 N 点时, 最大,故设 ,此时

的距离

,所以

化简

??????.. 10 分



,有

8

9

, 所以函数



上单调递减, 当

时, 函数

取得最大值

,即



综上所述

??????.13 分.

21.解:(1)由题知 当 当 递增;在 (2) , 即 ,由 时, 解得 上单调递减; , ,函数 在定义域 ,函数

, 上单调递增; 在 ???..4 分 和 上单调

所以函数 Q 点处的切线与直线 AB 平行; (3)设

????.7 分 ,若 满足(2)中结论,有

,即



*

?????.9 分

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]



,则*式整理得

,问题转化成该方程在

上是否有解;?11 分

[来源:Zxxk.Com]

9

10

设函数

,则

,所以函数



单调递

增,即 论;

,即方程



上无解,即函数 ????..14 分

不满足( 2 )中结

10



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