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指数函数、对数函数图像交点问题



指数函数、对数函数图像交点问题
反函数是函数中一个重要的概念, 它是从研究两个函数关系的角 度产生的,函数的反函数,本身也是一个函数。在实际教学过程中, 我们除了从定义的角度把反函数讲解清晰之外,譬如:从映射的角度 可知,函数 y=f(x)是定义域集合 A 到值域 C 的映射,它的反函数 y=f-1 (x)是集合 C 到集合 A 的映射,再结合函数的定义可知,只有一一

映射的函数才存在反函数。我们还应该把握从抽象到直观,再从直观 到抽象相结合的传授知识的基本原则,给学生的一个形象、直观的认 识。正是基于这个原因,中学数学教材中引进了作为一种重要的函数 和互为反函数的典型例子的指数函数、对数函数。 一、分析反函数的定义可知,原函数与反函数图像如果有交点, 它们必然关于 y=x 对称;若原函数与直线 y=x 有交点,则反函数图像 也必与 y=x 相交且交点重合。 为了验证上面的结论,我分别给了学生以下几个例子 (1) 函数y ? 2 x ? 1 与它的反函数 y ? x ?
(1,1) ,且在 y=x 上。
1

1 2

1 图像只有一个交点 2

( 2 ) 函 数 y ? x3 与 它 的 反 函 数 y ? x 3 的 图 像 有 三 个 交 点
(?1,?1)、 ,0)、,1) ,且都在 y=x 上。 (0 (1

(3)函数 y ? 的反函数是它自身,故反比例函数与它的反函数
(1 图像有无数个交点,其中有两个 (?1,?1)、,1) 在 y=x 上。引入此例是为

1 x

了说明若原函数图像与反函数图像的交点不在 y=x 上则一定对称地、 成对出现在 y=x 两侧,因为太特殊,解释起来有点牵强,所以我们引
1

进了第 4 个例子(是用一种引导的方式给出的) 。 (4) 若点 (1,2) 既在函数 y ? ax ? b 图像上, 也在其反函数图像上, 求 a,b 的值。经过计算 a ? ?3, b ? 7 ,也就是说点 (1,2)、 ,1) 既在函数 (2
y ? ? 3x ? 7 图像上,也在其反函数图像上,验证了我们上述的观点。

在学生从代数的角度验证、认同了这个结论后,为了给学生一个直观 的认识,我打算利用几何画板为学生演示一下,结果发现,在电脑屏 幕上不能清晰地显示图像的交点(如左下图) ;把方程中的 7 改成 8 之后,清晰地显示出了交点(图右下图)
3.5
3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

-1

1

2

3

4

5

-2

-1

1

2

3

-0.5

-0.5

-1

-1

至此,从数和直观的角度,学生对原函数与反函数图像的交点问 题有了一个初步的认识。 二、指数函数与对数函数:指数函数与对数函数互为反函数,在 研究对数函数性质时, 我们完全可根据已经得到的指数函数的性质去 研究:定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,以及自己独有的性 质,这其中就包括它们图像的交点问题。 先讨论当 a>1 时,函数 y ? a x与y ? loga x 图 像的交点。 (1) 函数 y ? 3x 与y ? log3 x 的图像,如右图
-4 -2 5 4

3

2

1

2

4

6

没有交点
2

-1

-2

(2) 函 数 y ? ( 2 ) x 与 y ? log 2 x 的 图 像 有 两个交点 (2,2), (4,4) ,图像如右图 综合(1)(2) 、 ,学生认识到当 a>1 时
y ? a x与y ? loga x 的图像并不是我们想象的那
-4 -2

6

5

4

3

2

1

2

4

6

-1

样,没有公共点, 由此学生自然联想到, y ? a x 与y ? loga x 的图像有没有可能只 有一个公共点,经过思考回答是肯定的,关键是什么时候没有, 什么时候一个,什么时候两个,观察图像无法得出结论, 必须进行定量研究。从有一个公共点,即相切的位置入手, 从代数角度看只需联立方程 ?
?y ? a x ?y?x ? a x ? x ? 0 让方程只有一个

根即可,属于超越方程,无法用常规方法解,利用导数解法如下:
1 1 ? ? ax ? x ? a ? xx ?? ? x ln x x ? 1 ? ln x ? 1 ? x ? a ? 1 ?a x ln a ? 1 ? ?

? ?

∴ x ? e, 得a ? e,即a ? e , 现 考 虑 f ( x) ? a x ? x 的 最 小 值 , 由
e

1 e

f ?( x) ? a x ln a ? 1 知 , 当 a x ln a ? 1 ? 0 时 , 得 唯 一 的 零 点 ,
x0 ? log a 1 ? ? log a ln a ,使 f ?(? loga ln a) =0 ln a

当 x ? ? loga ln a 时 , 由 a>1 时 指 数 函 数 的 单 调 性 , 有
ax ? 1 , f ?( x ) ? a x ln a ? 1 ? 0 ,所以 f(x)单调递减 ln a

当 x ? ? loga ln a 时 , 由 a>1 时 指 数 函 数 的 单 调 性 , 有
ax ? 1 , f ?( x) ? a x ln a ? 1 ? 0 ,所以 f(x)单调递增 ln a

所 以 , 当 x ? ? loga ln a 时 , f ( x) ? a x ? a 取 得 最 小 值

3

f (? log a ln a ) ?

1 ? ln ln a 又因为 ln a ? 0(a ? 1), 所以只需判断 1 ? ln ln a 的正 ln a

负,就可判断 f (x) 最小值的正负
1

1

1 ? 当 a ? e e 时, ln a ? ln e e ?

1 1 ? ln ln a ? ln ? ?1 ? 1 ? ln ln a ? 0 e e

? f (? log a ln a ) ?

1 ? ln ln a 1 ? ln ln a ? 0, 得 a x ? x ? ? 0, 有a x ? x ,即函数 ln a ln a

y ? a x 的图像始终在 y=x 的上方, y ? loga x 得图像始终在 y=x 的下方,

所以方程 a x ? loga x 无解,即函数 y ? a x 与 y ? loga x 的图像无交点
1

1

2 ? 当 a ? e e 时, ln a ? ln e e ?

1 1 ? ln ln a ? ln ? ?1 ? 1 ? ln ln a ? 0 ? e e

f (? log a ln a ) ?

1 ? ln ln a ?0 ln a

由 1? 讨 论

f ( x) ? a x ? x

的 单 调 性 可 知 , 除
a x ? x,即a ? e e
1

x ? ? loga ln a外,f ( x) ? a x ? x ? 0



时 , 函 数

其余部分均在 y=x y ? a x ( y ? loga x) 的图像在 x ? ? loga ln a 时与 y=x 相切, 上(下)方,所以方程 a x ? loga x 有唯一解
3
?

当 1 ? a ? e 时,有 1 ? ln ln a ? 0 ? f (? log a ln a) ?
1 e

1 e

1 ? ln ln a ? 0 ,又 ln a

由 1 ? a ? e ,有 0 ? ln a ? ? log a ln a ? 0 ? ? log a ln a ? 0 , 取 x1 ? 0 , 有

1 e

f(x1)=a0-0=1>0 , 由

L'HOSPITAL

RULE



a x ln a a x ln a ax (a x )? ? ?? , , 又∵a>1, ∴ l im 所以存在 lim ? lim ? lim x ? ?? x ??? x ??? x x ??? ( x)? 1 1

使得 f ( x2 ) ? a x2 ? x2 ? 0 , 由函数的单调性和连续性可知, x2 ? ? loga ln a , 必存在 m ? (??,? loga ln a) n ? (? loga ln a,??) ,使得 a m ? m, a n ? n ,由单调 性可知,解唯一
4

∴函数 y ? a x 与 y=x 的图像在 (??,? loga ln a) 和 (? loga ln a,??) 上各 有 一 个 交 点 , 即 函 数 y ? a x 与 y ? loga x 的 图 像 在 (??,? loga ln a) 和
(? loga ln a,??) 上各有一个交点,共两个交点

第二种情况:当 0<a<1 时,
1 (1)函数 y ? ? ? 与y ? log 1 x 的图像 ? ? ?3? 3 1 (2)函数 y ? ? ? 与y ? log 1 x ? ? ? 16 ? 16
x
-1 -0.5

1.8

1.6

1.4

1.2

x

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5

1

1.5

2

-0.2

-0.4

-0.6

1 1 1 1 容易验证,点 ? , ?, ? , ? 既在 ? ?? ? ?2 4? ?4 2?

1.6

1.4

1.2

1

0.8

?1? 又在 y ? log 1 x 的图像上 y ? ? ? 的图像上, ? 16 ? 16
-1 -0.5

x

0.6

0.4

0.2

0.5

1

1.5

2

∵y?? ?

1? (可根据函数 ? 与 y=x 有一交点 ? 16 ?

x

-0.2

-0.4

的单调性和连续性) ,
1 ∴ y ? ? ? 与y ? log 1 x 的图像还有另一交点在 ? ? ? 16 ? 16
x

y=x 上,共有三个交

点 从代数角度可以验证, 但图像非常不清
1 楚,改动数据为 y ? ? ? 与y ? log 1 x ? ? ? 66 ? 66
x
1.8 1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

如右图清晰的显示了图像的交点
-1 -0.5

0.4

0.2

0.5

1

1.5

2

由函数的单调性和连续性, 我们可以得

-0.2

-0.4

出, 0<a<1 时函数 y ? a x与y ? loga x 的图像不可能与 y=x 的图像相切, 当 所以它们的交点情况共有以下几种:一个、或三个。 至此,我们就把互为反函数图像的交点问题、指数函数与对数函
5

数图像的交点问题弄清楚了,可构造命题如下:
1 1 1. 在点 P(1,1),Q(1,2), M (2,3), N ? , ? 四点中,函数 y ? a x 的图象与反 ? ? ?2 4?

函数的图象的公共点只可能是( A.P 2.下列命题 B.Q C.M

) D.N

① 若点 m,n) ( 在函数 y ? a x 图象上, (n,m) 则点 在函数 y ? loga x 图象上 ② 当 a>1 时,函数 y ? loga x 的图象与直线 y=x 无公共点 ③ 若点(m,n)既在函数 y ? a x 图象上,也在函数 y ? loga x 图象 上,则 m=n ④ 当 0<a<1 时,函数 y ? a x 的图象与直线 y=x 有且只有一个公 共点 其中正确的命题的个数为( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个 D.3 个 )

3.已知 a>1,则方程 a x ?| loga x | 实根的个数为( A.1 个 C.1 个或 2 个 B.2 个

D.1 个或 2 个或 3 个 )

4.已知 0<a<1,则方程 a|x| ?| loga x | 的实根的个数为( A.2 个 C.2 个或 3 个 B.3 个 D.2 个或 4 个

5.已知 0<a<1,则方程 a|x| ? | loga | x ||? 0 的实根的个数为( A.2 个 B.4 个
6



C.2 个或 4 个

D.4 个或 8 个

6.求 a 的取值范围,使方程 a x ? loga x ? 0 (a ? 1) 的实根的个数为 ①0 个;②1 个;③2 个

7



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