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2016年沈阳市第一次模拟考试 理科数学



东北育才学校高中部 2016 届高三第五次模拟数学试题(理科)
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 命题:高三数学备课组

第Ⅰ卷(选择题
项符合题目要求. 1.复数 z ?

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有



2?i 的共轭 复数是 .. i

A. 2 ? i B. 2 ? i C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i 【答案】C 【考查方向】本题主要考查复数的运算和共轭复数的概念,意在考查考生的运算求解能力。 【易错点】没有注意共轭的要求,容易误选 D 【解题思路】 1、 先利用复数的除法法则得到

z?

(2 ? i)i ?1 ? 2i ? ? 1 ? 2i i2 ?1

2、 由共轭复数的概念得到 z ? 1 ? 2i ,即可得到正确答案。

(2 ? i)i ?1 ? 2i ? ? 1 ? 2i ,所以 z ? 1 ? 2i ,故选 C 选项。 i2 ?1 ?1 ? lg(2 ? x), ( x ? 1) 2.设函数 f ( x) ? ? ,则 f (?8) ? f (lg 40) ? ( x ?1) ? 10 , ( x ? 1) z? 【解析】因为
A.5 B.6 C.9 D.22 【答案】B 【考查方向】本题主要考查分段函数函数值的求法以及指数、对数的性质和运算法则。重在 考查学生对于指数和对数的运算化简能力。 【易错点】1.不会将 10(lg 40?1) 化简为 10 2.忘记公式 a 【解题思路】 1、先求 f (?8) ? 1 ? lg10 ? 2 2、 f (lg 40) ? 10(lg 40?1) ? 10
lg 40 10

lg 4



log a N

? N ,(a ? 0, 且 a ? 1, N ? 0)

? 10lg 4 ? 4 ,之后将结果相加即可得到答案。

【解析】 f (?8) ? 1 ? lg10 ? 2 ,因为 lg 40 ? 1 ,所以

f (lg 40) ? 10(lg 40?1) ? 10
2? A. ? ?6,

lg

40 10

? 10lg 4 ? 4 ,所以 f (?8) ? f (lg 40) ? 6 ,故选 B。
6? C. ? ?2,
D. (?2,6)

3.若命题“ ?x0 ? R ,使得 x0 2 ? ax0 ? a ? 3 ? 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围是 B. (?6,2) 【答案】C 【考查方向】本题主要考查特称命题的否定,一元二次不等式恒成立问题,以及转化与化归
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的能力。 【易错点】1、不理解题中的存在的意思; 2、 无法从题中的假命题转化出一个真命题导致无法选出正确选项; 3、一元二次不等式恒成立转化成判别式 ? 与 0 的关系确定出错。 【解题思路】 1、 先由题意转化得到: ?x ? R ,使得 x2 ? ax ? a ? 3 ? 0 ”为真命题 2、 由一元二次不等式恒成立转化得到 ? ? a 2 ? 4(a ? 3) ? 0 ,解得 ?2 ? a ? 6 【解析】由题意得: ?x ? R ,使得 x2 ? ax ? a ? 3 ? 0 ”为真命题,即: x2 ? ax ? a ? 3 ? 0 恒
2 成立,所以 ? ? a ? 4(a ? 3) ? 0 ,解得 ?2 ? a ? 6 ,故选 C。

4.已知公比为 q 的等比数列 ?an ? ,且满足条件 q ? 1 , a2 ? a7 ? 2 , a4 a5 ? ?15 ,则 a12 ?

27 25 27 25 C. ? 或 3 25
A. ? 【答案】D

B.

25 3 25 3

D. ?

【考查方向】本题考查等比数列的性质:若 m ? n ? p ? q ,则 am an ? a p aq 。 【易错点】1.忽略题中角标之间的关系导致无法解出答案; 2.对于性质:若 m ? n ? p ? q ,则 am an ? a p aq 理解不好导致运算出错。 【解题思路】 1、先利用等比数列的性质得 a2 a7 ? ?15 ,之后联立方程组解得 a2 ? ?3, a7 ? 5

2、仍然利用等比数列的性质得

a12 ?

2 a7 25 ?? a2 3

a4 a5 ? a2 a7 ? ?15 , 【解析】 由等比数列的性质得: 又因为 a2 ? a7 ? 2 , 所以 a2 ? ?3, a7 ? 5
a12 ?
2 a7 25 ?? a2 3 ,故选 D。

( a2 ? 5, a7 ? ?3 不符合 q ? 1 舍去) ,所以

5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四 个面的面积中最大的是 A.

2 3 正(主)视图 1 2 俯视图 1 侧(左)视图

5

B. 3

C.

3 5 2

D. 3 5

【答案】C 【考查方向】 本题是一道三视图问题, 主要考查几何图形的面积, 空间想象能力和分析问题,
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解决问题的能力。 【易错点】无法由三视图还原到原来的几何体; 【解题思路】 1、将几何体放到长方体中考虑; 2、得到原来的几何体后计算各个面的面积后选出面积的最大值。 【解析】根据三视图将几何体放到长方体中得到原来几 何体为三棱锥 S ? ABC (如图) 且 SC ? 面 ABC , DC ? AB , SC ? 2, AB ? 3 ,

S

C

DC ? 1, AD ? 1, DB ? 2 DC ? AB

A D

B

3 3 5 易求得三角形 ABC, ACS , CBS , ASB 的面积分 , 2, 5, , 2 2
所以则该三棱锥四 个面的面积中最大的是 6.已知 x0 ? 是 A. (

?
3

3 5 2

,故选 C。

是函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? ? ) 的一个极大值点,则 f ( x ) 的一个单调递减区间

? 2?
6 , 3

)

B. (

? 5?
3 , 6

)

C. (

?
2

,? )

D. (

2? ,? ) 3

【答案】B 【考查方向】本题主要考查了三角函数最值和单调区间的求法,属于比较简单问题,在各类 试卷中出现的频率较高。 【易错点】1.将三角函数的最值以极值的形式出现导致无法理解题意致误。 2.将三角函数的最值、单调区间记错、求错出错。 【解题思路】1.先由 x0 ?

?
3

是函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? ? ) 的一个极大值点求出 ? ;

2. 然 后 求 函 数

f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

) 的 单 调 递 减 区 间

5? ?? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z ,最后令 k ? 0 即可得到答案。 ? 6 ?3 ? ? ? 2 x ? ? ) 的 一 个 极 大 值 点 得 f ( ) ? 1, 所 以 【 解 析 】 由 x0 ? 是 函 数 f ( x ) ? s in( 3 3
2

?

3? ? 5? ? 2k ? ,k ? Z ? k? , k ? Z ,所以 f ( x ) 的单 ,得 ? k? ? x ? 2 6 2 3 6 5? ?? ? 调递减区间是 ? ? k? , ? k? ? , k ? Z ,故选 B。 6 ?3 ? ? 2k? ? 2 x? ?

?

3

?? ?

?

2

? 2k? ,k ? Z , 得 ? ? ?

?

?

6

? 2k? , k ? Z , 所 以 f ( x ) ? s i n ( x 2 ?

?

6

)令 ,

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7.若执行右面的程序框图,则输出的 k 值是 A.4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【考查方向】本题是算法程序框图题,主要考查循环结构。 【易错点】循环结束的条件或循环不进行完导致结果出错。 【解题思路】 根据给出的程序框图循环执行,直到符合条件跳出循环。 【解析】由题中程序框图知: n ? 3, k ? 0 ; n ? 10, k ? 1 ;

开始 n=3,k=0 n 为偶数





n n? 2

n ? 3n ? 1

k=k+1

n ? 5, k ? 2 ; n ? 16, k ? 3 ; n ? 8, k ? 4 ,跳出循环,故输
出结果为 4,选 A。 8.已知直线 l : y ? x ? 1 平分圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? b) ? 4 的周
2 2

n=8




输出 k 结束

长,则直线 x ? 3 与圆 C 的位置关系是

A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 【答案】B 【考查方向】本题主要考查直线与圆的位置关系的判定。考查考生的转化与化归的能力。 【易错点】对于题目中的直线 l : y ? x ? 1 平分圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? b) ? 4 的周长不理解导
2 2

致无法进行; 【解题思路】 1、先求出 b 2.利用圆心到直线的距离等于圆的半径得到答案。 【解析】由直线 l : y ? x ? 1 平分圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? b) ? 4 的周长得到圆心 ?1, b ? 在直线
2 2

l : y ? x ? 1 上,所以 b ? 2 ,所以圆 C 的圆心到直线 x ? 3 的距离为 2 等于圆 C 的半径,所
以直线 x ? 3 与圆 C 相切 ,故选 B。 9.设 O 为坐标原点, M ?1, 2 ? ,若 N ? x, y ? 满足 A.10 B.8 C.6

?

2x ? y ? 4 ? 0 ,则 OM ? ON 的最大值为 x? y?2?0
D.4[来源:4

【答案】C 【考查方向】本题主要考查线性规划的知识,考查向量的数量积的坐标表示 【易错点】1.无法将 OM ? ON 正确表示出来, 2.可行域画错,导致结果出错。 【解题思路】1.先画出可行域, 2.将 OM ? ON 表示成 x ? 2 y 的形式, 然后设 z ? x ? 2 y , 将其平移到点 ? 最大为 6. 【解析】1.先画出可行域,
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? 2 8? , ? 时,OM ? ON ? 3 3?

将 OM ? ON 表示成 x ? 2 y 的形式, 然后设 z ? x ? 2 y , 将其平移到点 ? 大为 6。故选 C

? 2 8? , ? 时,OM ? ON 最 ? 3 3?

10.如图所示的阴影部分是由底边长为 1 ,高为 1 的等腰三角形及宽为 1 ,长分别为 2 和 3 的 两矩形所构成.设函数 S ? S (a)(a ? 0) 是图中阴影部分介于平行线 y ? 0 及 y ? a 之间的那 一部分的面积,则函数 S (a) 的图象大致为

【答案】C 【考查方向】本题主要考查求分段函数的解析式以及识别图像的能力。 【易错点】当 0 ? a ? 1 时的解析式求错导致结果出错。 【解题思路】 1、先求当 0 ? a ? 1 时, S ? S (a) 的解析式; 2. 接着求当 a 在其他段时, S ? S (a) 的解析式,然后根据解析式选出正确选项。

【解析】当 0 ? a ? 1 时,

S ? S (a ) ?

1 a2 ? 2a S ? S ( a ) ? ? 2a ;当 1 ? a ? 2 时, ;当 2 2

2 ? a ? 3 时,
C 正确。

S ? S (a ) ?

5 11 S ? S (a ) ? ?a ;当 a ? 3 时, 2 2 ;由 S ? S (a) 的解析式得知

y 2 x2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的下, a 2 b2 上焦点,过 F2 点作以 F1 为圆心, OF1 为半径的圆的切线, P 为
11.如图,已知 F1 , F2 是双曲线 切点,若切线段 PF2 被一条渐近线平分,则双曲线的离心率为 A. 3 B. 2

y F2 M O F1 P x

C. 3 D. 2 【答案】B 【考查方向】 此题主要考查圆的切线的性质, 双曲线的几何性质以及对于几何图形的识图能 力,意在考查考生的综合解题能力。 【易错点】1、无法将题中条件准确转化; 2.焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线的方程与焦点在 x 轴上的渐近线方程不同, 此点容易出错。 【解题思路】1、选根据题中条件求出

?F2 F1P ? 60?, 然后利用中位线得到 F1P OM ,进

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?MOx ? 30?,
a 3 ,从而确定 ,最终确定答案。 ? b ? 3a, c ? 2a b 3
F1F2 ? 2c F1P ? c F1P ? PF2
,所以 , , , 所以

2.利用渐近线的斜率得到 【解析】 设 因为 是

c ? a 2 ? b2
PF2

, 由题意得

?F2 F1P ? 60?,


M

的中点,所以

F1P OM

?F2OM ? 60?,

所以

?MOx ? 30?,

tan ?MOx ?

c a a 3 ,所以 ? ,所以 ,所以 e ? ? 2 ,故选 B。 b ? 3 a , c ? 2 a b 3 a b ( x ? 2016) f ( x ? 2016) 5 f (5) 的解集为 ? 5 x ? 2016 B. ?x x ? ?2011?
D. x ? 2016 ? x ? ?2011

12.函数 f ( x) 是定义在区间 (0,??) 上的可导函数,其导函数为 f ?( x) , 且满足 xf ?( x) ? 2 f ( x) ? 0 ,则不等式 A. ?x ? ?2011?

C. x ? 2011 ? x ? 0

?

?

?

?

【答案】D 【考查方向】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性,利用函数单调性解函数不等式、 求函数的定义域等知识,对考生来说有一定的难度。 【易错点】1、不会通过 xf ?( x) ? 2 f ( x) ? 0 构造函数 y ? x f ( x) ,这是本题最大的难点;
2

2、忽视题中函数 f ( x) 的定义域,而误选 B 【解题思路】 1、先通过题中 xf ?( x) ? 2 f ( x) ? 0 构造函数 y ? x f ( x) ,进而求出其单调性;
2

2、将题中不等式

( x ? 2016) f ( x ? 2016) 5 f (5) 2 构造成 x f ( x) 的形式,最后利用 ? 5 x ? 2016

y ? x 2 f ( x) 的单调性和定义域得到答案。
2 【解析】由 xf ?( x) ? 2 f ( x) ? 0 得 x f ?( x) ? 2 xf ( x) ? 0 即 ? ? x f ( x) ? ? ’ ? 0 ,所以函数

2

y ? x 2 f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增。而不等式 ( x ? 2016) f ( x ? 2016) ? 5 f (5)
2 2

( x ? 2016) f ( x ? 2016) 5 f (5) 可化为 ? 5 x ? 2016

,所以 ?

? x ? 2016 ? 5 ,解得 ?2016 ? x ? ?2011 ,故选 ? x ? 2016 ? 0

D。

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (2 x ? 1)( ? 2 x) 的展开式中的常数项是
6

1 x

.

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【答案】-160 【考查方向】本题主要考查二项式定理,考查指定项的求法,意在考查考生的基础知识与运 算求解能力。 【易错点】 1、可能错求成 ( ? 2 x) 的常数项当成答案。
6

1 x

2.忽视 【解题思路】

2x ?1

中的-1 的符号,误将答案写成 160.

1 r ?1? 6 1.先写出 ( ? 2 x) 的通项公式 Tr ?1 ? C6 ? ? ? x? x
r ?1? 2.然后利用 2x,-1 分别与 Tr ?1 ? C6 ? ? ? x? 6? r

6? r r r 2 r ?6 (2 x)r ? C6 2 x , (0 ? r ? 6) ;

r r 2 r ?6 (2 x)r ? C6 2 x , (0 ? r ? 6) 相乘得到常数项,

?1? 由于 Tr ?1 ? C ? ? ? x?
r 6

6? r

r r 2 r ?6 (2 x)r ? C6 2 x , (0 ? r ? 6) 中没有 1 项,所以常数项只有一项为 x

3 3 ?1 C6 2 ? ?160

1 r ?1? 6 【 解 析 】 ( ? 2 x) 的 通 项 Tr ?1 ? C6 ? ? ? x? x

6? r r r 2 r ?6 (2 x)r ? C6 2 x , (0 ? r ? 6) , 所 以

1 (2 x ? 1)( ? 2 x) 6 展开式中的常数项为 3 3 ?1 C6 2 ? ?160 x 14. 将边长为 2 的正 ?ABC 沿 BC 边上的高 AD 折成直二面角 B ? AD ? C ,则三棱锥 B ? ACD 的外接球的表面积为________. 【答案】 5?
【考查方向】本题主要考查立体几何的折叠问题,线面垂直,二面角以及球的切接问题,意 在考查考生的空间想象能力和运算求解能力。 【易错点】1.无法找到直二面角 B ? AD ? C 的平面角导致无法进行下去; 2.不会将三棱锥 B ? ACD 补形成长方体。 【解题思路】 1.将题中给出的直二面角 B ? AD ? C 的平面角找出, 2.将三棱锥 B ? ACD 补形成长方体, 求长方体外接球的半径, 继而求出三棱锥 B ? ACD 的 外接球的表面积。 【解析】由 ?ABC 是正三角形, AD 为高,折叠后 AD ? BD, AD ? CD ,所以 ?BDC 为

, A? D ? C 二 面 角 B? AD 的 平 面 角 , 所 以 ?BDC ? 90?, 折 叠 后 A D? B D

C, D

BD ? CD ? D ,所以 AD ? 面 BCD ,所以以 BD, CD, AD 分别为长、宽、高补成长方体,
此 长 方 体 的 外 接 球 即 为 三 棱 锥 B ? ACD的 外 接 球 , 而 易 求 长 方 体 的 外 接 球 半 径 为

R?

12 ? 12 ? 2

? 3?

2

?

5 , 所 以 三 棱 锥 B? A C D 的 外 接 球 的 表 面 积 为 2

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? 5? 。 4? R ? 4? ? ? 2 ? ? ? 5? ? ?
2

2

15.用五种不同的颜色给图中编号为 1-6 的六个长方形区域涂色,要求颜色齐全且有公共边 的区域不同色,则共有 种不同

6 的涂色方案. 5 4 【答案】1080 【考查方向】本题主要考查有限制条件的排列、组合问题。 【易错点】不能正确分类和分步导致出错。 【解题思路】1.先确定那两块区域可以涂相同的颜色,共有 9 种情况; 2.将能涂相同颜色的两块区域看做一块, 然后相当于用 5 种不同的颜色给 5 块区域涂色, 共
5 有 A5 种涂法。

1

2

3

【解析】图中一共有六块区域,而五种颜色必须全用,所以有两块区域涂相同的颜色,其余 各块涂不同的颜色。 其中涂相同颜色的有 1 和 3,1 和 4, 1 和 5, 1 和 6, 2 和 5, 2 和 6, 3 和 4, 3
5 和 6, 4 和 6,共九种情况,所以不同的涂色方法共有 9 A5 ? 9 120 ? 1080 种。

16. 已知 A, B, C 是单位圆上互不相同的三点,且满足 AB ? AC ,则 AB? AC 的最小值 为 【答案】 ? .

?

?

?

?

1 2

【考查方向】本题主要考查向量的数量积运算,二次函数的最值,三角函数的化简以及函数 的思想。 【易错点】1.不能正确引入变量表示 AB? AC 2.无法将单位圆与 AB, AC 的长度建立联系,导致没有思路。 【解题思路】1.先设变量 ?BAC ? 2? ,(0 ? 2? ? ? ) ,然后利用正弦定理表示出 AC 2.将 AB? AC 表示成关于 ? 的三角函数,然后配方利用二次函数求出最值。 【解析】1.设 ?BAC ? 2? ,(0 ? 2? ? ? ) ,则 ?ABC ? 由 正 弦 定 理 得
? ?

?

?

?
2

?? ,
所 以

AC sin( ? ? ) 2

?

?2



?? ? AC ? 2sin ? ? ? ? ? 2cos ? , ?2 ?

A ?B

?

?

A C =

? 2cos? ?

2

cos 2? ?

4cos2 ? cos 2? ? 4

1 ? cos 2? cos 2? 2

1 1 ? 2cos2 2? ? 2cos 2? ? 2(cos 2? ? )2 ? , 2 2
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所以当 cos 2? ? ?

? ? 1 1 ,时, AB? AC 取到最小值为 ? 。 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 面积为 S , 已知 a cos 2 (Ⅰ)求证: a、b、c 成等差数列; (Ⅱ)若 B ?

C A 3 ? c cos 2 ? b . 2 2 2

?

3

, S ? 4 3,求 b .

【答案】 (1)证明略; (2)4 【考查方向】本题第(1)问主要考查利用正、余弦定理进行三角形中的边角互化和降幂公 式、两角和与差公式的应用;第(2)问主要考查三角形的面积公式和余弦定理。 【易错点】1.不会利用正余弦定理将三角形中的边角互化。 2.第(2)问中不会将 a ? c 写成 (a ? c) ? 2ac 的形式,导致无法使用第(1)
2 2

2

问的结论。 【解题思路】解题步骤如下: 1、利用正弦定理将题中给定的式子化成角的形式,然后利用降幂公式将角全部变成 A,B, C ,之后利用两角和的正弦公式化简得到 。 2. 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 得 到 , 然 后 利 用 余 弦 定 理 得 到 , 利用第 (1) 问的结论得到 【解析】试题分析:本题属于解三角形中常见问题,题目的难度是逐渐由易到难,第(1) 问主要利用正弦定理将三角形中的边角互化,第(2)问利用三角形面积公式和余弦定理使 得问题得以解决。 解: (1)由正弦定理得: ,最后用正弦定理得到

即 ∴ 即 ∵ ∴ 即 ∴ 成等差数列. (余弦定理也可解决)

………2 分 ………4 分

………6 分

(2)∵


第 9 页 共 23 页

………8 分

又 由(1)得: ∴ 即 18. (本小题满分 12 分) ∴ ………12 分

………10 分

李师傅为了锻炼身体,每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计,他最近 8 天“健步 走”步数的频数分布直方图(图 1)及相应的消耗能量数据表(表 1)如下.
频数(天) 3 2 1

图1

O

16

17

18

表1 (Ⅰ)求李师傅这 8 天 “健步走”步数的平均数(千步) ;

19 步数(千步)

(Ⅱ)从步数为 16 千步,17 千步,18 千步的几天中任选 2 天,设李师傅这 2 天通过健 步走消耗的“能量和”为 X ,求 X 的分布列. 【答案】 (1)17.25 千步 (2) 800 840 880 920

【考查方向】 本题考查了平均数的求法, 利用古典概型求随机变量的分布列以及处理图形和 表格的能力。 【易错点】1、第(1)问中忘记写单位导致扣分。 2、第(2)问不能正确理解题意导致无法得到正确答案,特别需要注意 X =880 的时候有两种情况,不要漏掉情况。 【解题思路】本题考查概率统计的相关知识,解题步骤如下: 1、利用平均数的公式求步数的平均数。 2、列出 X 的取值以及取各个值的概率,列频率分布表。 【解析】试题分析:本题属于概率统计中的基本问题,题目的难度不大,第(1)直接套公 式即可,第(2)问先列出 X 的取值,然后求 X 取各个值时的概率,最后列频率分布表。 (I) 李师傅这 8 天 “健步走”步数的平均数为 (千步). (II) 的各种取值可能为 800,840,880,920. …………………………..4 分

,

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的分布列为: 800 840 880 920

…………………………..12 分 19.(本小题满分 12 分) 已知长方体 AC1 中, AD ? AB ? 2 ,

AA1 ? 1 , E 为 D1C1 的中点,如图所示. (Ⅰ)在所给图中画出平面 ABD1 与平面 B1 EC 的
交线(不必说明理由) ; (Ⅱ)证明: BD1 // 平面 B1 EC ; (Ⅲ)求平面 ABD1 与平面 B1 EC 所成锐二面角的大小. A1

D1

E

C1

B1 D C B

【答案】 (1)略, (2)略, (3)

A

【考查方向】 本题主要考查两个面的交线的做法、 空间线面平面的位置关系以及二面角的求 法,意在考查学生的空间想象能力及其运算求解能力。 【易错点】1、第(1)问无法入手 2、第(3)问由于计算错误得不到正确结论。 【解题思路】本题考查空间线面的位置关系,解题步骤如下: 1、在图形中作出平面 与平面 的交线

2、利用线面平行的判定定理证明 BD1 // 平面 B1 EC
3、建立空间直角坐标系,写成所需要点的坐标,进而求面

与面

的法向量,然后

利用公式求出平面 ABD1 与平面 B1 EC 所成锐二面角的大小。 【解析】试题分析:本题属于立体几何的基本问题,题目的第(1)问稍感觉摸不着头脑, 但是当我们将面 (2)在面 延展到面 ABC1 D1 之后,问题就简单了;第(2) 、 (3)问比较常规, 内找到 BD1 的平行线即可。 (3)建立空间直角坐标系,求出面 与面

的法向量,然后利用公式求出平面 ABD1 与平面 B1 EC 所成锐二面角的大小。

( 1 )连接 示;





,则直线

即为平面

与平面

的交线,如图所

……………………2 分 中,所以 为 的中点,又 为 的中点

(2)由(1)因为在长方体 所以在 中

是中位线,所以

………………………………4 分

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平面



平面 中,所以

,所以

平面

……………6 分 所在直线分

(3)因为在长方体 别为 因为 , .所以 轴,以 , ,

两两垂直,于是以

为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示, ,所以 , , , , D1 , A1 B1 D A D1 E B B1 D C M C C1 y Z E C1

令平面 所以

的一个法向量为 , ,从而有,

A1 X

,即 得到平面 令平面

,不妨令



的一个法向量为 的一个法向量为

,……………………………………… 8 分B A ,所以 , ,从而有,

,即 得到平面 的一个法向量为

,不妨令

, ,………………………………………10 分

因为

.………………………………………11 分

所以平面

与平面

所成锐二面角的大小为

.…………………12 分

20.(本小题满分 12 分)

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,其离心率 e ? ,过椭圆 E 内一点 P (1,1) 的两条 2 2 a b 直线分别与椭圆交于点 A, C 和 B, D , 且满足 AP ? ? PC ,BP ? ? PD , 其中 ? 为实数. 当 5 点 C 恰为椭圆的右顶点时,对应的 ? ? . 7 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)当 ? 变化时, k AB 是否为定值?若是,请求出此
已知椭圆 E : 定值;若不是,请说明理由.
第 12 页 共 23 页

【答案】 (1)

,(2)

为定值.

【考查方向】 本题主要考查椭圆的方程与性质, 离心率等基本量, 考查点差法求直线的斜率, 相似问题的处理方法,意在考查考生的分析转化能力与运算求解能力。 【易错点】1.由于运算较繁琐导致无法进行下去 2.不会利用消元的思想导致变量多无法运算。

【 解 题 思 路 】 1. 利 用 离 心 率 导 出

,接着利用 C 点坐标和

导出

,带入椭圆方程得到 程即可。

,最后解出 a, b 带入椭圆方

2.射出 A, B, C, D 四点的坐标带入椭圆的方程,消元、化简,得到 3x1 ? 4 y1 ? 3x2 ? 4 y2 , 进而化简得到答案。

【解析】 (1)因为

,所以



因为



,所以由

,得



将它代入到椭圆方程中,得 所以 .所求方程为

,解得

, …………………4 分



,得

…………………6 分

第 13 页 共 23 页

从而

,即

为定值.

…………………12 分

法二:设

,由

,得



同理



…………………6 分



坐 标 代 入 椭 圆 方 程 得 ,

, 两 式 相 减 得

即 同理, 而 所以 所以 即 所以 为定值.
2

, , ,所以 , , , …………………12 分 , …………………10 分

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? sin

?
2

x, x ? (0,1) .

(Ⅰ)若 f ( x) 在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 当 a ? ?2 时, 记 f ( x) 的极小值为 f ( x0 ) , 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 求证:x1 ? x2 ? 2 x0 .

? ? ? ? , ?? ? ? ? (2)略 【答案】 (1) ? 2
【考查方向】本题主要考查导数在研究函数性质中的应用,考查分离参数法,将求导进行到 底, 【易错点】1、第(1)问中转化为 时忘记加等号出错;分离参数后的函数求最值

多次求导不会导致无法算出正确答案; 2、第(2)问中构造函数不正确得不到正确结论。 【解题思路】1、求导,然后转化为恒成立问题,分离参数,构造新函数求最值; 2、先求出 x0 所在区间,然后构造新函数 ,求出其单调性,得到

第 14 页 共 23 页

【解析】 (1)

∵f (x)在定义域(0,1)内单调递增



在(0,1)内恒成立,即

在(0,1)内恒成立

令 ∵ ∴

,则 在(0,1)内单调递减,且 在(0,1)上存在唯一零点 m …………5 分

∴g (x)在(0,m)上递增,在(m,1)上递减,∴ (2)证明:当 令 由(1)知, ∴ ∵ 时, ,则 在(0,1)上存在唯一零点 m 在(0,m)上递增,在(m,1)上递减 ,∴

∵f (x)的极小值为 f (x0),∴ ,因此 ∴f (x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,1)上单调递增 不妨设 x1<x2,∵f (x1) = f (x2),∴ 令 ,

则 ∵ 在(0,1)递减,∴ ∴F (x)在(0,1)递减, ∴F (x) <F (0) = 0, 又 ∵ ∵ ,∴ ,f (x)在(0,x0)上单调递减,∴ ,即 ……12 分

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做, 则按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22. (本题满分 10 分)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图所示, PA 为圆 O 的切线, A 为切点 , PO 交圆 O 于 B, C 两点, PA ? 20 ,

PB ? 10, ?BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E . AB PA ? (Ⅰ)求证 ; AC PC C
第 15 页 共 23 页

A

O

D

B

P

E

(Ⅱ)求 AD ? AE 的值. 【答案】 (1)略, (2)360 【考查方向】本题主要考查直线与圆相切的性质及切割线定理,三角形相似等知识,意在考 查考生的分析转化能力与推理论证能力。 【易错点】无法找到角度关系,长度关系导致证明不出来。 【 解 题 思 路 】 1. 利 用 弦 切 角 定 理 得 到 ,又有公共角 ,证明

,进而得到 2.根据切割线定理得到 【解析】 (1)由 又 为圆 的切线,得

; ,又根据相似及第(1)问的结论得到答案。 , ,

为公共角,所以

……4 分 (2)由 为圆 , 的切线, ,又 是过点 的割线, , , ,

又由(1)知 是 的角平分线,且

, ,



, ,



……10 分

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极 轴.已知直线 l 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? y ? 3t

? sin 2 ? ? 8cos ? . (Ⅰ)求 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求弦长 | AB | .
【答案】 (1)

32 , (2) 3

【考查方向】 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化, 直线的参数方程中参数的几 何意义,弦长公式等知识,意在考查考生的分析转化能力与运算求解能力。

第 16 页 共 23 页

【易错点】1、将题中给定的直线 l 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t ( t 为参数)直接带到曲线 C 的 ? y ? 3t

直角坐标方程中。 2.参数方程下的弦长公式不会。 【解题思路】1.直接利用极坐标与直角坐标护化公式化简即可。

2. 先 将 题 中 给 的 直 线 l 的 参 数 方 程 化 为

,然后见其带入

,得到

,然后写出韦达定理,后求得 【解析】
(Ⅰ)由 即曲线 的直角坐标方程为 ,得 . ,



……4 分

(Ⅱ)将直线 l 的方程化标准式

代入

,并整理得,







所以



……10 分

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ? 3 x ? 1 , f ( x) 的最大值为 M ,正数 a, b 满足 (Ⅰ)求 M ; (Ⅱ)是否存在 a, b ,使得 a ? b ? ab ?并说明理由.
6 6

1 1 ? ? Mab . a 3 b3

【答案】 (1)3, (2)不存在符合题意的 【考查方向】本题主要考查含有绝对值的函数的最值的求法,基本不等式的应用等知识。意 在考查考生运算求解能力。 【易错点】1、第(1)问中分类时可能会出现重复、遗漏导致扣分。 2、不会使用基本不等式转化题中的两个方程。 【解题思路】1。利用零点分区间将函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ? 3 x ? 1 最大值,三个最大值中最大的即为 分段,然后在各段内分别求出

M。

第 17 页 共 23 页

2.先用基本不等式将 a ? b ? ab 转化为两边均为
6 6

结构的不等式,进而求出

ab

①;然后将

1 1 ? ? Mab a 3 b3 也利用基本不等式化为

,从而

得到 【解析】 (Ⅰ)当

②,由于①②矛盾,故不存在符合题意的

时,

单调递增,所以





时,

单调递减,所以





时,

单调递减,所以 的 最 大

; 值

所 以 -……4 分 (Ⅱ)假设存在正数 ,使得

,则

所以

;又由于 ……10 分

,所以

所以不存在符合题意的

第 18 页 共 23 页

东北育才学校高中部 2016 届高三第五次模拟数学答案(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 1.C 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B 7.A 8.B 9.D 10.C 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

11.B

12.D

13.

14.

15.1080

16.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.解: (1)由正弦定理得:

即 ∴ 即 ∵ ∴ 即 ∴ 成等差数列. (余弦定理也可解决)

………2 分 ………4 分

………6 分

(2)∵ 又 由(1)得: ∴ 即 ∴ ………12 分



………8 分 ………10 分

18.解: (I) 李师傅这 8 天 “健步走”步数的平均数为 (千步). (II) 的各种取值可能为 800,840,880,920. …………………………..4 分

,

的分布列为: 800 840 880 920

…………………………..12 分
第 19 页 共 23 页

19.(1)连接 示;





,则直线

即为平面

与平面

的交线,如图所

……………………2 分 中,所以 为 的中点,又 为 的中点

(2)由(1)因为在长方体 所以在 又 平面 中

是中位线,所以 , 平面 中,所以 ,所以

………………………………4 分 平面 ……………6 分 所在直线分

(3)因为在长方体 别为 因为 , .所以 轴,以 , ,

两两垂直,于是以

为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示, ,所以 , , , , ,

令平面 所以

的一个法向量为 , ,从而有,

,即 得到平面 令平面

,不妨令

, ,………………………………………8 分 ,所以 , ,从而有,

的一个法向量为 的一个法向量为

,即 得到平面 的一个法向量为

,不妨令

, ,………………………………………10 分

因为

.………………………………………11 分

所以平面

与平面

所成锐二面角的大小为

.…………………12 分

20.解: (1)因为

,所以



第 20 页 共 23 页

因为



,所以由

,得



将它代入到椭圆方程中,得 所以 .所求方程为

,解得

, …………………4 分



,得

…………………6 分

从而

,即

为定值.

…………………12 分

法二:设

,由

,得



同理



…………………6 分



坐 标 代 入 椭 圆 方 程 得 ,

, 两 式 相 减 得

即 同理, 而 所以 ,所以

, , , ,
第 21 页 共 23 页

…………………10 分

所以 即 所以 21.解: ∴ 令 ∵ ∴ 为定值. ,



…………………12 分 ∵f (x)在定义域(0,1)内单调递增

在(0,1)内恒成立,即 ,则 在(0,1)内单调递减,且 在(0,1)上存在唯一零点 m

在(0,1)内恒成立

∴g (x)在(0,m)上递增,在(m,1)上递减,∴ 证明:当 令 由(1)知, ∴ ∵ 时, ,则 在(0,1)上存在唯一零点 m 在(0,m)上递增,在(m,1)上递减 ,∴

…………5 分

∵f (x)的极小值为 f (x0),∴ ,因此 ∴f (x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,1)上单调递增 不妨设 x1<x2,∵f (x1) = f (x2),∴ 令 ,

则 ∵ 在(0,1)递减,∴ ∴F (x)在(0,1)递减, ∴F (x) <F (0) = 0, 又 ∵ ∵ ,∴ ,f (x)在(0,x0)上单调递减,∴ 为圆 的切线,得 , , ,即 ……12 分

22.解: (1)由 又

为公共角,所以

第 22 页 共 23 页

……4 分 (2)由 为圆 , 的切线, ,又 是过点 的割线, , , ,

又由(1)知 是 的角平分线,且

, ,



, ,


23.(Ⅰ)由 即曲线 的直角坐标方程为 ,得 . ,

……10 分

……4 分

(Ⅱ)将直线 l 的方程化标准式

代入

,并整理得,







所以 24.解:(Ⅰ)当



……10 分 ;

时,

单调递增,所以



时,

单调递减,所以





时,

单调递减,所以

;所以 -……4 分

的最大值

(Ⅱ)假设存在正数

,使得

,则

所以

;又由于

,所以

……10 分

第 23 页 共 23 页



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