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集合间的基本关系


1.1.2集合间的基本关系

一、Venn图 含义:在数学中,我们经常用平面上封闭曲线 的内部代表集合,这种图称为Venn图。

A

a b

使用范围:元素易表述或个体数量较少的集合 使用方法:把元素写在封闭曲线的内部

如果把黑龙江 看成集合A, 中国看成集合 B,那么集合A 和集合B有着 什么样的关系?

B

A

观察下面几个例子,你能发现两个集合之间 的关系吗?
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};

⑵设A为三十一中中学高一(5)班女生的全体组成的 集合,B为这个班学生的全体组成的集合; ⑶ 设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是 等腰三角形}.

二、子集的概念
一般地,对于两个集合A、B, 如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个 集合有包含关系,称集合A为集合B的子集. 记作 A ? B (或B ? A) 读作 “A含于B”(或“B包含A” )

B

A

? A={2,3}

B={2} (1)集合A与集合B有什么关系?

B? A
(2)哪些集合是集合A的子集?

{2} {3} {2,3}

三、空集 2 写出方程 x ? 1 ? 0 的解集 我们把不含任何元素的集合叫做空集。 记作? 思考:空集是0吗?空集是{0}吗?
注:空集是任何集合的子集 ? ? 空集有子集吗?

A

四、真子集
自然语言:若集合A ? B ,但存在元素 x ? B 且 x ? A ,称集合A为集合B的真子集。 符号语言: A? B ? Venn图: B

A

注:空集是任何非空集合的真子集

? 例1

写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些 是它的真子集。

? 集合{a,b,c}呢?

集合中元 素个数

1

2

3

n
n

子集的 个数 真子集 的个数

2

4
3

8
7

2

1

2n ? 1

思考:若 A ? B 且 B ? A ,那么集合 A与集合B有着怎样的关系?
结论:A=B

5、两集合相等

自然语言:如果集合A是集合B的子集( A ? B ) 且集合B是集合A的子集(B ? A ),此时,

集合A与集合B中的元素是一样的,因此, 集合A与集合B相等。 符号语言:A ? B且B ? A ? A ? B 图形语言
B (A)

子集、真子集的性质: 1、任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A ?? A 2、空集是任何集合的子集,
? ? A(A ? ?) 3、空集是任何非空集合的真子集, ? 4、对于集合A,B,C,如果 A ? B, B ? C ? A ? C B, B ? C ,那么 A ? C 5、对于集合A,B,C,如果A ? ? ? ?

本节小结
子集、真子集的定义 ? 集合之间的关系 ? 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的 真子集 数学思想方法:数形结合、类比
?


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