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圆与方程学案



第四章 圆与方程 课题:§4.1.1 圆的标准方程 一、学习目标 1、初步理解圆的标准方程的形式及圆的标准方程的定义; 2、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程; 二、学习重点 圆的标准方程。 三、学习难点 会求圆的标准方程。 四、学习方法 ⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径。 ⑵比较点到圆心的距离与半径的大小,能得出点与圆的位置关系。 ⑶借助弦心距、弦、半径之

间的关系计算时,可大大化简计算的过程与难度。 五、学习过程 自主学习 教材阅读 阅读教材 P118-P120。 教材解读 1、圆心为 C(a、b),半径为 r 的圆的标准方程为_________________. 2、确定圆方程的条件 圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 中,有三个参数 a, b, r ,只要求出 a, b, r 这时圆
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的方程就被确定.因此确定圆方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆 的定形条件. 定义法确定圆的方程是指用定义求出圆心坐标和半径长,从而得到圆的标准方程。 3、点 P( x0 , y 0 ) 与圆的位置关系 若 ( x0 ? a ) ? ( y0 ? b)
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r 2 ,则点 P 在圆上;若 ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2
2

r 2 ,则点

P 在圆外;若 ( x0 ? a ) ? ( y0 ? b) 教材探究

r 2 ,则点 P 在圆内。

例 1、写出圆心为 A(2, ?3) ,半径长为 5 的圆的方程,并判断点 M1 (5, ?7), M 2 (? 5, ?1) 是否 在这个圆上.

例 2、已知圆 C 经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上,求此圆的标准方程.

学习反思 1、确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于 a, b, r 的方程组,求 a, b, r 或直接 求出圆心 (a, b) 和半径 r ; 2、待定系数法求圆的步骤: (1)根据题意设所求的圆的标准方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ; (2)根据已知条件,建立关于 a, b, r 的方程组; (3)解方程组,求出 a, b, r 的值,并代 入所设的方程,得到圆的方程。

课题:§4.1.2 圆的一般方程 一、学习目标 1、在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般 方程确定圆的圆心半径.掌握方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的条件; 2、能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方 程; 3、圆是高考重点考查的内容,对圆的定义、性质,圆的标准方程和一般方程以及待定系 数法、基本量法、数形结合思想的考查历来都是高考的热点。 二、学习重点 圆的一般方程。 三、学习难点 二元二次方程表示圆的条件。 四、学习方法 方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 中含有三个参变数,因此必须具备三个独立的条件,才能 确定一个圆,还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化. 五、学习过程 自主学习 教材阅读 阅读教材 P121-P123。 教材解读 1、圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中 D2+E2-4F>0),圆心为 ,半径 r = 。 2、二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的方程的充要条件 是 。 3、待定系数法确定圆的方程即列出关于 D, E , F 的方程组,求 D, E , F 而得到圆的一般 方程,一般步骤为: (1)根据题意,没所求的圆的标准方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ;
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(2)根据已知条件,建立关于 D, E , F 的方程组; (3)解方程组。 求出 D, E , F 的值, 并把它们代人所设的方程中去, 就得到所求圆的一般方程。 4、二元二次方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 是否表示圆的条件:
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先 将 二 元 二 次 方 程 配 方 得 (x ?

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? ①,(1) 当 2 2 4

D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程①表示以 (?

D E 1 , ) 为圆心, D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆; 2 2 2

(2)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程①表示点 (?
2 2

D E 2 2 (3)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程 , ); 2 2
2 2

①没有实根,因此它不表示任何图形.当方程①表示圆时, 我们把它叫做圆的一般方程,确定它需三个独立条件 D, E , F , 且 D ? E ? 4F ? 0 ,这 就确定了求它的方程的方法——待定系数法, 注意用待定系数法求圆的方程, 用一般形式比 用标准形式在运算上简单,前者解的是三元一次方程组,后者解的是三元二次方程组.

教材探究 例 1、判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。 ⑴ 4 x2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 ; ⑵ 4 x2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 11 ? 0 。

例 2、 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4,3) , 端点 A 在圆上 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 运动, 求线段 AB
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的中点 M 的轨迹方程。

例 3、求过三点 A(0,0), B(1,1), C(4,2) 的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。

学习反思 待定系数法是数学中常用的一种方法, 在以前也已运用过.例如: 由已知条件确定二次函 数,利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运 用,要求熟练掌握。使用待定系数法的一般步骤:⑴根据题意,选择标准方程或一般方程; ⑵根据条件列出关于 a, b, r 或 D, E , F 的方程组;⑶解出 a, b, r 或 D, E , F ,代入标准方程或一 般方程。 课题:§4.2.1 直线与圆的位置关系 一、学习目标 1、依据直线和圆的方程,能熟练求出它们的交点坐标; 2、能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系; 3、理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解 的对应关系; 4、会处理直线与圆相交时所得的弦长有关的问题; 5、灵活处理与圆相交的问题。 二、学习重点 直线与圆的三种位置关系的判断方法。 三、学习难点 直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解 的对应关系。 四、学习方法 在解决直线与圆的位置关系的问题时,我们通常采用“几何法” .例如,求与圆相切的 直线方程时,先用待定系数法设出直线方程,然后根据 d ? r 即可求得.这种数形结合的思 想贯穿了整个章节。 五、学习过程 自主学习 教材阅读 阅读教材 P126-P128。 教材解读 1、直线与圆有一个交点称为 ,有两个交点称为 ,没有交点称为 。 2、设圆心到直线的距离为 d ,圆半径为 r , 当 时,直线与圆相离, 当 时,直线与圆相切, 当 时,直线与圆相交。 3、直线 l 与圆 C 的方程联立方程组,若方程组无解,则直线与圆 ,若方程组仅有一 组解,则直线与圆 ,若方程组有两组不同的解,则直线与圆 。 教材探究 例 1 用两种方法来判断直线 3x ? 4 y ? 6 ? 0 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 的位置关系。

例 2 已知直线 l 过点 M ? 5,5 ? 且和圆 C : x 2 ? y 2 ? 25 相交,截得弦长为 4 5 ,求 l 的方程

学习反思 1、判断直线与圆的位置关系有两种方法。 2、判断直线与圆的方程组是否有解 A、有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交。 B、无解,则直线与圆相离。 3、如果直线的方程为 Ax ? By ? C ? 0 ,圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,则圆心到直线的 距离 d ?
Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

.

⑴如果 d ? r 直线与圆相交;⑵如果 d ? r 直线与圆相切;⑶如果 d ? r 直线与圆相离。

课题:§4.2.2 圆与圆的位置关系 一、学习目标 1、掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法; 2、利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长; 3、会用连心线长判断两圆的位置关系; 4、了解用代数法研究园与圆的位置关系的优点。 二、学习重点 圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法。 三、学习难点 代数法研究园与圆的位置关系。 四、学习方法 解题时要充分利用两圆位置关系的几何性质。 五、学习过程 自主学习 教材阅读 阅读教材 P129-P130。 教材解读 1、圆与圆之间有 , , , , 五种位置关系。 2、设两圆的半径分别为 r1 , r2 ,圆心距为 d , 当 时,两圆外离, 当 时,两圆外切, 当 时,两圆相交, 当 时,两圆内切, 当 时,两圆内含。 3、思考:用代数方法,通过联立方程组,用判别式法可以判断两个圆的位置关系吗?为什 么?

教材探究 例 1 已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0 , C2 : x 2 ? y 2? 4? 4 ? 2 0 圆 x y ? 的关系? , 试判断圆 C1 与圆 C2

例 2

圆 C1 的 方 程 是 : x2 ? y 2 ? 2mx ? 4 y ? m2

?5 ? 0 , 圆 C2 的 方 程

是: x2 ? y 2 ? 2 x ? 2my ? m2 ?3 ? 0 , m 为何值时两圆⑴相切;⑵相交;⑶相离;⑷内含.

学习反思 1、判断两圆的位置关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定。 (2)依据连心线的长与两半径长的和 r1 ? r2 或两半径的差的绝对值的大小关系。 2、对于求切线问题,注意不要漏解,主要是根据几何图形来判断切线的条数。 3、一般地,两圆的公切线条数为:①相内切时,有一条公切线;②相外切时,有三条公 切线;③相交时,有两条公切线;④相离时,有四条公切线。 4、求两圆的公共弦所在直线方程,就是使表示圆的两个方程相减消去二次项即可得到。

课题:§4.2.3 直线与圆的方程的应用 一、学习目标 1、理解直线与圆的位置关系的几何性质; 2、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 3、会用“数形结合”的数学思想解决问题。 二、学习重点 直线与圆的位置关系的几何性质。 三、学习难点 利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系。 四、学习方法 数形结合。 五、学习过程 自主学习 教材阅读 阅读教材 P130-P132。 教材解读 1、直线方程有几种形式? 分别是哪些?

2、圆的方程有几种形式?分别是哪些?

3、求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?

4、直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?

教材探究 例 1、已知某圆拱形桥,这个圆拱跨度 AB ? 20m ,拱高 OP ? 4m ,建造时每间隔 4m 需要用一 根支柱支撑,求支柱 A2 B2 的高度。(精确 0.01m)

例 2、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条 边长的一半。

学习反思 1.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆,然后 通过对坐标和方程的代数运算,把代数结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论,这 就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”. 2.用坐标法解决几何问题的步骤:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表 示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数 问题;第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 3.解实际问题的步骤:审题—化归—解决—反馈.

课题:§4.3.1 空间直线坐标系 一、学习目标 1、明确空间直角坐标系是如何建立;明确空间中的任意一点如何表示; 2、能够在空间直角坐标系中求出点的坐标。 二、学习重点 求空间直角坐标系中点的坐标。 三、学习难点 求空间直角坐标系中点的坐标。 四、学习方法 点在各坐标轴上的射影即为该点坐标。 五、学习过程 自主学习 教材阅读 阅读教材 P134-P136。 教材解读 1、平面直角坐标系的建立方法,点的坐标的确定过程、表示方法?

2、怎么样建立空间直角坐标系?

3、讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程。

教材探究 例 1、在长方体 OBCD ? D?A?B?C? 中, OA ? 3, OC ? 4 , OD? ? 2. 写出 D?, C, A?, B? 四点坐标。

例 2、 V ? ABCD 为正四棱锥, O 为底面中心,若 AB ? 2,VO ? 3 ,试建立空间直角坐标系, 并确定各顶点的坐标。

学习反思 反思:求空间中点的坐标的步骤:建立空间坐标系 ? 写出原点坐标 ? 各点坐标.

1.求空间直角坐标系中点的坐标时, 可以由点向各坐标轴作垂线, 垂足的坐标即为在该轴上 的坐标. 2.点关于坐标平面对称,则点在该坐标平面内两个坐标不变,另一个变成相反数;关于坐标 轴对称则相对于该轴的坐标不变,另两个变为相反数;关于原点对称则三个全变为相反数; 3.空间直角坐标系的建立要选取好原点, 以各点的坐标比较好求为原则, 另外要建立右手直 角坐标系. 4.关于一些对称点的坐标求法
P( x, y, z ) 关于坐标平面 xoy 对称的点 P ( x, y, ? z ) ; 1 P( x, y, z ) 关于坐标平面 yoz 对称的点 P2 (? x, y, z ) ; P( x, y, z ) 关于坐标平面 xoz 对称的点 P ( x, ? y, z) ; 3 P( x, y, z ) 关于 x 轴对称的点 P4 ( x, ? y, ? z ) ; P( x, y, z ) 关于 y 对轴称的点 P5 (? x, y, ? z ) ; P( x, y, z ) 关于 z 轴对称的点 P6 (? x, ? y, z ) ;

课题:§4.3.2 空间两点间的距离公式 一、学习目标 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式; 2、掌握空间直角坐标系中两点间的距离公式及推导,并能利用公式求空间中两点的距离。 二、学习重点 空间两点间的距离公式运用。 三、学习难点 空间直角坐标系中两点间的距离公式的推导。 四、学习方法 两点间的距离公式是比较整齐的形式,要掌握这种形式特点,另外两个点的相对应的坐 标之间是相减而不是相加。 五、学习过程 自主学习

教材阅读 阅读教材 P136-P138。 教材解读 1、建立空间直角坐标系时,为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点?

2、空间中任意一点 P ( x1 , y1 , z1 ) 与点 P2 ( x2 , y2 , z2 ) 之间的距离公式: 1
P1 P2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2 。

注意:⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似; ⑵公式中 x1 , x2 , y1 , y2 , z1 , z2 可交换位置; ⑶公式的证明充分应用矩形对角线长 ? a 2 ? b2 ? c 2 这一依据. 3、点 M ( x,