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高2014级零诊文科数学练习题(三)



1

高 2014 级零诊文科数学练习题(三)
一、选择题:(共 60 分.)
2 2 1.如果 A ? {x x ? x ? 0}, B ? {x x ? x ? 0}, 那么 A ? B ? (



A.0

B. ?0?

C. ?

/>D. ??1,0,1?

2.函数 y ?

x ?1 的定义域为( x ?1

) A. x x ? 1 ? x x ? ?1

?

? ?

? ?

B. x x ? 1

?

?

C. x ?1 ? x ? 1

?

?

D. x x ? 1 ? x x ? ? 1

?

? ?

3. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 7 ? 35 ,则 a 4 ? ( A .8 B.7 C.6 D.5 4.已知具有线性相关的两个变量 x,y 之间的一组数据如下:



x y

0 2.2

1 4.3

2 t )

3 4.8

4 6.7

? ? 0.95x ? 2.6 ,则 t=( 且回归方程是 y
A.4.7 B.4.6

C.4.5

D.4.4 )

5.已知 a,b,c,d 为实数,且 c<d,则“a>b”是“a-c>b-d”的( (A) 充分而不必要条件

(B) 必要而不充分条 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件

6.已知 a ? (1, 2), b ? (?3, 2), 并且 ka ? b 与 a ? 3b 垂直,则实数 k =( A.—19 B.19 C.—18 D.18

?

?

? ?

?

?



7.在极坐标系中与圆 ? ? 4sin ? 相切的一条直线的方程为( A. ? cos? ? 2 B. ? sin ? ? 2



? ? C. ? ? 4 sin(? ? ) D. ? ? 4 sin(? ? ) 3 3 8.已知 m,n 为异面直线, m ? 平面 ? , n ? 平面 ? , a ? ? ? l ,则 l ( )
A.与 m,n 都相交 C.与 m,n 都不相交 B.与 m,n 中至少一条相交 D.至多与 m,n 中有一条相交

2 9.已知 R 上的可导函数 f ? x ? 的图象如图所示,则不等式 x ? 2 x ? 3 f ? ? x ? ? 0 的解集为

?

?



) B. ? ??, ?2? ? ?1, 2? D. ? ??, ?1? ? ? ?1,1? ? ?3, ??? ) .

A. ? ??, ?2? ? ?1, ??? C. ? ??, ?1? ? ? ?1,0? ? ? 2, ???

10.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为( A.1 B.15 C.16 D.105

1

2

(9 题) 11.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆

(10 题)

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭 2 a

圆的另一个焦点在 BC 边上,△ABC 的周长为 4 3 ,则该椭圆的离心率为( )

A.

2 3 3

B.

2 3

C.

6 3

D.

2 3

12.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足: f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 f ( x) 在[-3,-2]上是减函数,

? 、 ? 是锐角三角形的两个内角,则( B. f (cos? ) ? f (sin ? ) C. f (sin? ) ? f (sin ? )
又 二、填空题(共 20 分) 13.函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是____.

) A . f (sin ? ) ? f (cos? ) D. f (cos? ) ? f (cos? )

14.设集合 A ? {?2,1} , B ? {?1, 2} ,定义集合 A ? B ? {x | x ? x1 x2 , x1 ? A, x2 ? B} ,则

A ? B 中所有元素之积为
15.已知函数 f ( x) ? ?

。 在 f [ f ( )] 的值是

?log2 x( x ? 0)
x

?3 ( x ? 0) 1 ? sin 2 x 16 . 已 知 f ( x) ? , 给 出 下 列 结 论 : ① f ( x) 的 定 义 域 为 sin x ? cos x ? ? ? ? x | x ? 2k? ? , k ? Z ? ;② f ( x) 的值域为[-1,1];③ f ( x) 是周期函数,最小正周期 4 ? ? ? ? 为 2? ;④ f ( x) 的图象关于直线 x ? 对称;⑤将 f ( x) 的图象按向量 a ? ( ,0) 平移得到 2 4 g ( x) 的图象,则 g ( x) 为奇函数。其中正确的结论是 。
三、解答题(共 70 分) 17、 (12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 cosA= (I)求 sin
2

1 4

B?C ? cos 2 A 的值; 2

4 , 5

(II)若 b=2,△ABC 的面积 S=3,求 a.

2

3

18. (12 分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为 50 的学生成绩样本, 得频率分布表如下: 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 [230,235) [235,240) [240,245) [245,250) [250,255] 合计 频数 8 ① 15 10 5 50 频率 0.16 0.24 ② 0.20 0.10 1.00

(1)写出表中①②位置的数据; (2)为了选拔出更优秀的学生,高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名学生 进行第二轮考核,分别求第三、四、五各组参加考核人数; (3)在(2)的前提下,高校决定在这 6 名学生中录取 2 名学生,求 2 人中至少有 1 名是第 四组的概率.

19. (12 分)如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,E、F 分别为 PC、BD 的中点,平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA=PD= (2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD.

2 AD. 2

(1)求证:EF∥平面 PAD;

3

4

20.(12 分)已知 f ( x) ? ax2 ? 2 ln x , x ? (0 , e] , 其中 e 是自然对数的底 . (1)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间;

21. (12 分)已知圆 M : ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 36, 定点N ( 5,0),点P为圆M 上的动点,点 Q 在 NP 上,点 G 在 MP 上,且满足 NP ? 2 NQ , GQ ? NP ? 0 . (1)求点 G 的轨迹 C 的方程; (2)过点(2,0)作直线 l ,与曲线 C 交于 A、B 两点, O 是坐标原点,设 OS ? OA ? OB, 是否存在这样的直线 l ,使四边形 OASB 的对角线相等 (即|OS|=|AB|)?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由.

??? ?

???? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

22.(10 分)过点 P (

10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 1交于点 M , N , 2

求 | PM | ? | PN | 的最小值及相应的 ? 的值.

4

5

高 2014 级零诊文科数学练习题(三)参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 A 6 B 7 A 8 B 9 D 10 B 11 C 12 A

4.C【解析】试题分析: x ? 样本点的中心 ? 2,

0 ?1? 2 ? 3 ? 4 2.2 ? 4.3 ? 6.7 ? 4.8 ? t 18 ? t ? 2, y ? ? , 5 5 5

? 18 ? t ? 18 ? t ? 0.95 ? 2 ? 2.6 ,得 t ? 4.5 ,故答案为 C. ?? 5 5 ? ?

(? ?, ?1 )(, ? 1 ? ?) 9.【解析】由函数图象可知 f ? ? x ? ? 0 的解集为: ,
f( ? x)<0 的解集为: (-1,1) .由 (x2 ? 2x ? 3)f ? ? x ? ? 0 ,
得?

? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ? ? ①或 ? ②,解①得:x<-1 或 x>3;解②得:-1<x<1. ? ? ? f ?? x? ? 0 ? f ?? x? ? 0
2

∴不等式 (x ? 2x ? 3)f ? ? x ? ? 0 的解集为: ? ??, ?1? ? ? ?1,1? ? ?3, ??? .故选 D 10.B 试题分析:第一次运行, i ? 1 ,满足 i ? 6 , s ? 1?1 ? 1, i ? 1 ? 2 ? 3 第二次运行, i ? 3 ,满足 i ? 6 , s ? 1? 3 ? 3, i ? 3 ? 2 ? 5 第三次运行, i ? 5 ,满足 i ? 6 , s ? 3 ? 5 ? 15, i ? 5 ? 2 ? 7 第四次运行, i ? 7 ,不满足满足 i ? 6 ,输出 s ? 15 。 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. ? , ?? ? 17.【解】 :

?1 ?e

? ?

14. 8

15.

1 9

16. ③④

5

6

18、 【解】 【答案】 (1)①的位置为 12,②的位置为 0。30;(2)3、2、1;(3) 【解析】 试题分析: (1)①的位置为 12,②的位置为 0。30??4 分

3 5

6 1 ? ,所以第三、四、五组抽中的人数为 3、2、1??8 分 30 5 6 3 ? ??12 分 (3)设 2 人中至少有 1 名是第四组为事件 A,则 P ( A) ? 1 ? 15 5
(2)抽样比为 考点:本题考查了统计与概率的求解 点评:高考中对于统计方面的知识常常会命制一道解答题,从近 3 年高考试题中不难发现, 文科主要考查统计学知识,包括茎叶图,频率分布直方图,统计案例(线性回归分析和独立 性检验) .希望同学们在这些方面加以练习,尤其是他们之间的综合问题更应引起重视,以 及与概率等知识综合在一起进行设计试题是近几年高考的一种命题趋势 19. 【解析】试题解析: (1)连接 AC ,则 F 是 AC 的中点,又? E 为 PC 的中点,

? 在 ?CPA 中, EF ? PA ,又? EF ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD ,? EF ?平面 PAD ;
(2)? 平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , CD ? 平面 ABCD ,

CD ? AD ,? CD ? 平面 PAD ,又? PA ? 平面 PAD ,? CD ? PA ,
? PA ? PD ?

? 2 AD ,? ?PAD 是等腰直角三角形,且 ?APD ? ,即 PA ? PD , 2 2
又? PA ? 平面 PAB ,

又? CD ? PD ? D ,? PA ? 平面 PCD ,

? 平面 PAB ? 平面 PCD .

2 2ax2 ? 2 20【解析】 :(1 ) f ?( x) ? 2ax ? ? . x x 由已知 f ?(1) ? 2a ? 2 ? 0 , 解得 a ? 1 .

经检验, a ? 1 符合题意.
2 2ax2 ? 2 (2) f ?( x) ? 2ax ? ? . x x 1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 在 (0 , e] 上是减函数.

2)当 a ? 0 时, f ?( x) ? ①若

2a ( x ?

a a ) (x ? ) a a . x

a 1 ? e ,即 a ? 2 , a e a a ) 上是减函数,在 ( , e] 上是增函数; a a

则 f ( x) 在 (0 ,

6

7

②若

a ?e a

,即 0 ? a ?

1 ,则 f ( x) 在 (0 , e] 上是减函数. e2

综上所述,当 a ? 当a?

1 时, f ( x) 的减区间是 (0 , e] , e2

a a 1 ) ,增区间是 ( , e] . 时, f ( x) 的减区间是 (0 , 2 a a e

21.【解】 : (1)

∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,其长半轴长 a ? 3 ,半 焦距 c ?

NP ? 2 NQ ? ? ? ? Q 为 PN 的中点且 GQ⊥PN GQ ? PN ? 0? ? ?GQ 为 PN 的中垂线 ? |PG|=|GN|

5 ,∴短半轴长 b=2,∴点 G 的轨迹方程是

x2 y2 ? ? 1 ??6 分 9 4

(2)因为 OS ? OA ? OB ,所以四边形 OASB 为平行四边形 若存在 l 使得| OS |=| AB |,则四边形 OASB 为矩形? OA ? OB ? 0 ?x ? 2 ?x ? 2 ? 若 l 的斜率不存在,直线 l 的方程为 x=2,由 ? 2 2 得? ?x y 2 5 ? 1 ?y ? ? ? ? 4 ?9 3 ?

16 ? 0, 与OA ? OB ? 0 矛盾,故 l 的斜率存在. 9 设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ? y ? k ( x ? 2) ? 由? x 2 y 2 ? (9k 2 ? 4) x 2 ? 36k 2 x ? 36(k 2 ? 1) ? 0 ?1 ? ? 4 ?9 36k 2 36(k 2 ? 1) ? x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? ① 9k ? 4 9k 2 ? 4 y1 y2 ? [k ( x1 ? 2)][k ( x2 ? 2)] ? OA ? OB ?

20k 2 ② 9k 2 ? 4 3 把①、②代入 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0得k ? ? 2 ∴存在直线 l : 3x ? 2 y ? 6 ? 0或3x ? 2 y ? 6 ? 0 ? k 2 [ x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4] ? ?
使得四边形 OASB 的对角线相等. ??12 分

? 10 ? t cos ? ?x ? 22. 解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线 2 ? y ? t sin ? ?
并整理得 (1 ? sin ? )t ? ( 10 cos ? )t ?
2 2

3 ? 0, 2

3 2 则 | PM | ? | PN |?| t1t2 |? , 1 ? sin 2 ? ? 3 ? 2 所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ? , | PM | ? | PN | 的最小值为 ,此时 ? ? . 2 4 2
7



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