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2009届福建省厦门高三下学期模拟试题分类汇编——10圆锥曲线



福建省厦门 2009 届高三下学期模拟试题分类汇编—圆锥曲线 珠海市第四中学 邱金龙
一、选择题 1、 (2009 厦门北师大海沧附属实验中学)如图,过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、 交其准线于点 C, B, 若|BC|=2|BF|, 且|AF|=3, 则此抛物线的方程为( )

3 x 2

9 2 C. y ? x 2
A. y ?
2

B. y 2 ? 3x D. y 2 ? 9 x

B 2、(2009 厦门华侨中学)椭圆 ( A. 1 B B. 15 或

x2 y 2 10 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 m 值为( 5 m 5
C. 15 D. 3 或

).

5 15 3

25 3

x2 y2 3、 (2009 厦门集美中学)设 F1 , F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点, P 是椭圆上一 a b
点, ?F1 PF2 ? 90 ,则该椭圆离心率的最小值为(
0

)

A. B

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2

2 2 4、 (2009 厦门同安一中)已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 恰好是椭圆 x ? y ? 1 的右焦 2 2

a

b

点,且两条曲线交点的连线过点 F ,则该椭圆的离心率为 A. 2 ? 1 A 5、 (2009 厦门一中)双曲线 B. 2( 2 ?1) C.
5 ?1 2

D. 2
2

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 10 2
C. 3 3 D. 4 3





A. 3 2 D 二、填空题

B. 4 2

1、 (2009 厦门大同中学)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2,则实数 m ? 4 m
2 2

12

2、 (2009 厦门科技中学) 与该椭圆 x ? 4 y ? 16 有共同焦点,且一条渐近线方程是

x ? 3 y ? 0 的双曲线的方程是
三、解答题



x2 y 2 ? ?1 9 3

1、 (2009 厦门北师大海沧附属实验中学)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它 的一个顶点恰好是抛物线 y ?

1 2 2 5 x 的焦点,离心率为 . 4 5

(1)求椭圆 C 的标准方程;

B (2) 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A 、 两点, y 轴于 M 点, 若 MA ? ?1 AF , 交

????

??? ?

???? ??? ? MB ? ?2 BF ,求证: ?1 ? ?2 ? ?10 .
(1)解:设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 (a >b >0 ) ,……1 分 a 2 b2

抛物线方程化为 x2 ? 4 y ,其焦点为 (0,1) , ………………2 分 则椭圆 C 的一个顶点为 (0,1) ,即 b ? 1 ………………3 分

c a 2 ? b2 2 5 2 由e ? ? ,∴ a ? 5 , ? 2 a a 5
所以椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 5

………………6 分

(2)证明:易求出椭圆 C 的右焦点 F (2, 0) , ………………7 分 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ) ,显然直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,代入方程

x2 ? y 2 ? 1 并整理, 5
………………9 分



(1 ? 5k 2 ) x2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0
20k 2 20k 2 ? 5 , x1 x2 ? 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

∴ x1 ? x2 ?

………………10 分

又,MA ? ( x1 , y1 ? y0 ) ,MB ? ( x2 , y2 ? y0 ) ,AF ? (2 ? x1 , ? y1 ) ,BF ? (2 ? x2 , ? y2 ) , 而 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF , 即 ( x1 ? 0, y1 ? y0 ) ? ?1 (2 ? x1 , ? y1 ) , ( x2 ? 0, y2 ? y0 ) ? ?2 (2 ? x2 , ? y2 )

????

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

∴ ?1 ?

x1 x2 , ?2 ? , 2 ? x1 2 ? x2

……………………12 分

所以

?1 ? ?2 ?

x1 x 2( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? ? ?10 ………14 分 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2

2、 (2009 厦门二中)已知点 A、B 的坐标分别为(0,-2 3 )、(0, 2 3 ),曲线 C 上任意一 点P满足 PA ? PB
2 2

? ? 8 , PA ? PB ? 0 .(1)求曲线 C 的方程; 且 (2)已知点 Q(0, 5 ),

轨迹 C 上是否存在满足 MQ ? NQ ? 0 的 M、N 两点?证明你的结论. (1)解:由已知得: PA ? | PB |? 8 | | ∴曲线 C 是以 A、B 为焦点的椭圆 (去除短轴两端点) ∵2a = 8,a = 4, c ? 2 3 ,∴ b 2 ? 4 ∴曲线 C 的方程为 (2)解:不存在. 设过点 Q(0,-5),斜率为 k 的直线方程为 y = kx-5(斜率不存在时,显然不合题 意) 由 ? x2 2分 4分 6分

y2 x2 ? ? 1 (x≠0) 4 16

? y ? kx ? 5 ? 得: (4 ? k 2 ) x 2 ? 10kx ? 9 ? 0 y2 ? 4 ? 16 ? 1 ?
2

8分

由△≥0 得 k ≥

9 4

10 分

假设在轨迹 C 上存在两点 M、N,令 MQ、NQ 的斜率分别为 k1、k2, 则| k1 |≥

3 3 ,| k2 |≥ ,显然不可能满足 k1k2 = -1 2 2
13 分

∴轨迹 C 上不存在满足 MQ ? NQ ? 0 的两点.

3、 (2009 厦门集美中学)已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F ,直线 l 过点 A(4,0) 且与
2

抛物线交于 P, Q 两点.并设以弦 PQ 为直径的圆恒过原点. (Ⅰ)求焦点坐标; (Ⅱ)若 FP ? FQ ? FR ,试求动点 R 的轨迹方程. (Ⅰ)设直线 l 方程为 x ? ky ? 4 ,代入 y ? 2 px 得 y ? 2kpy ? 8 p ? 0
2 2

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,则有 y1 ? y2 ? 2kp, y1 y2 ? ?8 p 而 OP ? OQ ? 0 , 故 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? (ky1 ? 4)(ky2 ? 4) ? 8 p ? k 2 y1 y2 ? 4k ( y1 ? y2 ) ? 16 ? 8 p 即 0 ? ?8k 2 p ? 8k 2 p ? 16 ? 8 p ,得 p ? 2 ,焦点 F (1,0) . (Ⅱ)设 R( x, y) ,由 FP ? FQ ? FR 得 ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x2 ? 1, y2 ) ? ( x ? 1, y) 所以 x1 ? x2 ? x ? 1, y1 ? y2 ? y
2 2 而 y1 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 ,可得 y( y1 ? y2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y 2 ) ? 4( x1 ? x2 )

又 FR 的中点坐标为 M (

x ?1 y , ), 2 2

当 x1 ? x 2 时,利用 k PQ

y 4 y ? y2 2 ? ? k MA 有 ? 1 x ?1 y x1 ? x 2 ?4 2

整理得, y 2 ? 4x ? 28 . 当 x1 ? x 2 时, R 的坐标为 (7,0) ,也满足 y 2 ? 4x ? 28 . 所以 y ? 4x ? 28 即为动点 R 的轨迹方程.
2

4、 (2009 厦门科技中学)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的点到右焦点 F 的最小距 a2 b2

离是 2 ? 1 ,
F 到上顶点的距离为 2 ,点 C (m,0) 是线段 OF 上的一个动点.

(I)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在过点 F 且与 x 轴不垂直的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点, 使得 (CA ? CB) ? BA,并说明理由.
解析:(1)由题意可知 a ? c ?

2 ? 1且 c2 ? b2 ? 2 ,解得 a ? 2, b ? c ? 1 ,

? 椭圆的方程为 x

2

2

? y2 ? 1;

(2)由(1)得 F (1,0) ,所以 0 ? m ? 1 .假设存在满足题意的直线 l ,设 l 的方程为

y ? k ( x ? 1) ,代入 x ? y 2 ? 1 ,得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,
2
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x
1

2

? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x 2 ? 2 2k ? 1 2k 2 ? 1
2

①? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2) ? ? 2k , 2
2k ? 1

? CA ? CB ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y 2 ) ? (

4k ? 2k ? 2m, 2 ) , 2 2k ? 1 2k ? 1

? (CA ? CB) ? AB, 而 AB 的方向向量为 (1, k ) ,
; ?

1 4k 2 ? 2k m ,即存 ? 2m ? 2 ? k ? 0 ? (1 ? 2m)k 2 ? m ? 当 0 ? m ? 时, k ? ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1 1 ? 2m
1 ? m ? 1 时, k 不存在,即不存在这样的直线 l 2

在这样的直线 l ;当

5、 (2009 厦门十中)椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为 A ( 0 , 2 ) ,右焦点 F 与点

B( 2 , 2) 的距离为 2 。
(1)求椭圆的方程; (2) 是否存在斜率 k ? 0 的直线 l : y ? kx ? 2 , 使直线 l 与椭圆相交于不同的两点 M , N 满 足 | AM | ? | AN | ,若存在,求直线 l 的倾斜角 ? ;若不存在,说明理由。 解: (1)依题意,设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,则其右焦点坐标为 a2 b2
………… 1 分

F (c , 0 ) , c ? a 2 ? b 2



2 2 由 | FB |? 2 ,得 (c ? 2) ? (0 ? 2) ? 2 ,

即 (c ? 2)2 ? 2 ? 4 ,解得 c ? 2 2 。

………… 3 分

x2 y2 ? ? 1 。 ……4 分 又 ∵ b ? 2 ,∴ a ? c ? b ? 12 ,即椭圆方程为 12 4
2 2 2

(2)由 | AM | ? | AN | 知点 A 在线段 MN 的垂直平分线上,

? y ? kx ? 2 ? 2 2 由 ? x2 消去 y 得 x ? 3(kx ? 2) ? 12 y2 ? ?1 ? ?12 4
即 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 0
2 2

(*) ………… 6 分

2 2 由 k ? 0 ,得方程(*)的 ? ? (?12k ) ? 144k ? 0 ,即方程(*)有两个不相等的实数根。

…………7 分 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,线段 MN 的中点 P ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x 2 ?

x ? x2 12 k 6k ? ,? x0 ? 1 , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

? y 0 ? kx0 ? 2 ?

6k 2 ? 2 (1 ? 3k 2 ) 6k ?2 ?2 , ) ? ,即 P ( 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k

……… 9 分

?2 ?2 2 ? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) ,……………10 分 ? k ? 0 ,∴直线 AP 的斜率为 k1 ? 1 ? 3k ? 6k 6k 1 ? 3k 2
由 AP ? MN ,得

? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) ? k ? ?1 , 6k

…………………… 11 分

∴ 2 ? 2 ? 6k ? 6 ,解得: k ? ?
2

3 3 ,即 tan? ? ? , 3 3
5? , 6

…… 12 分

又 0 ? ? ? ? ,故 ? ?

?
6

,或 ? ?

∴ 存在直线 l 满足题意,其倾斜角 ? ?

?

6

,或 ? ?

5? 。…………… 13 分 6

6、 (2009 厦门一中)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 两焦点分别为 F1、F2、P 是椭圆在第一象限弧上一 2 4

点,并满足 PF ? PF2 ? 1 ,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点 1 (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值; (3)求△PAB 面积的最大值。

解: (1)由题可得 F1 (0, 2 ), F2 (0 ? 2 ),设P ( x0 , y0 )(x0 ? 0, y0 ? 0) 0 则 PF ? (? x0 , 2 ? y0 ), PF2 ? (? x0 ,? 2 ? y0 ) …………2 分 1

2 2 ? PF1 ? PF2 ? x0 ? (2 ? y 0 ) ? 1,

? 点P( x0 , y 0 )在曲线上, 则
2 0

2 2 x0 y 0 ? ? 1, 2 4

2 2 4 ? y0 4 ? y0 2 ?x ? , 从而 ? (2 ? y 0 ) ? 1, 2 2 得y 0 ? 2 , 则点P的坐标为(1, 2 ).????5分

(2)由题意知,两直线 PA、PB 的斜率必存在, 设 PB 的斜率为 k (k ? 0) ,…………6 分 则 BP 的直线方程为: y ? 2 ? k ( x ? 1).

? y ? 2 ? k ( x ? 1) ? 由? x 2 y 2 得(2 ? k 2 ) x 2 ? 2k ( 2 ? k ) x ? ( 2 ? k ) 2 ? 4 ? 0, ?1 ? ? 4 ?2 2k ( k ? 2 ) 2k ( k ? 2 ) k 2 ? 2 2k ? 2 , xB ? ?1 ? , 2? k2 2? k2 2? k2 k 2 ? 2 2k ? 2 4 2k 同理可得x A ? , 则x A ? x B ? .????9分 2 2?k 2? k2 y ? yB 所以 : AB的斜率k AB ? A ? 2为定值.????10分 x A ? xB 设B( x B , y B ),则1 ? x B ?
(3)设 AB 的直线方程: y ?

2x ? m

? y ? 2x ? m ? 由? x 2 y 2 , 得4 x 2 ? 2 2m x ? m 2 ? 4 ? 0 ?1 ? ? 4 ?2

由? ? (2 2m) 2 ? 16(m2 ? 4) ? 0, 得 ? 2 2 ? m ? 2 2
P 到 AB 的距离为 d ?

|m| 3

, …………12 分

则S ?PAB ? ?

1 1 1 |m| 1 2 | AB | ?d ? (4 ? m 2 ) ? 3 ? ? m (?m 2 ? 8) 2 2 2 3 8
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1 m2 ? m2 ? 8 2 ( ) ? 2. 8 2

当且仅当m ? ?2 ? (?2 2 ,2 2 )取等号 ? 三角形PAB面积的最大值为 2.????14分



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