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江西省九江市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析



江西省九江市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)已知集合 A={y|y=2 ,x<0},集合 B={x|x≥0},则 A∩B=() A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(0,+∞) 2. (5 分)若直线的倾斜角为 120°,则直线的斜率为() A. B. C. D.
﹣x

D.[0,+∞)

3. (5 分)设 f:x→ln|x|是集合 M 到集合 N 的映射,若 N={0,1},则 M 不可能是() A.{1,e} B.{﹣1,1,e} C.{1,﹣e,e} D.{0,1,e} 4. (5 分)圆(x+2) +y =4 与圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的位置关系为() A.内切 B.相交 C.外切
2 2 2 2

D.相离

5. (5 分)已知两条不同的直线 m,n 和两个不同的平面 α,β,以下四个结论中正确的个数为 () ①若 m∥α,n∥β,且 α∥β,则 m∥n; ②若 m∥α,n⊥β,且 α⊥β,则 m∥n; ③若 m⊥α,n∥β,且 α∥β,则 m⊥n; ④若 m⊥α,n⊥β,且 α⊥β,则 m⊥n. A.1 个 B .2 个 C.3 个 D.4 个 6. (5 分)函数 f(x)=e +x 的零点所在一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
x

D.(1,2)

7. (5 分)若直线 l1:ax+3y+1=0 与 l2:2x+(a+1)y+1=0 互相平行,则 a 的值是() A.﹣3 B .2 C.﹣3 或 2 D.3 或﹣2 8. (5 分)已知函数 f(x)=ln A.关于 x 轴对称 C. 关于原点对称 ,则函数 f(x)的图象() B. 关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称

9. (5 分)如图所示是某一几何体的三视图,则它的体积为()

A.16+12π

B.48+12π

C.64+12π

D.64+16π

10. (5 分)已知函数 f(x)= A.0 B .1
2 2

, (其中 a>1) ,则 f[f(a )]=() C.2 D.loga2

2

11. (5 分)直线 l:y=kx﹣1 与曲线 C:x +y ﹣4x+3=0 有且仅有 2 个公共点,则实数 k 的取 值范围是() A. B. C. D.

12. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上 的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S,则下列命题正确的是() ①三棱锥 P﹣AA1Q 的体积为定值; ②当 CQ= 时,S 为等腰梯形; ③当 <CQ<1 时,S 为六边形; ④当 CQ=1 时,S 的面积为 .

A.①④

B.①②③

C.②③④

D.①②④

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. (5 分)过点(1,3)且与直线 x+2y﹣1=0 垂直的直线方程是.

14. (5 分)函数 f(x)=

的定义域为.

15. (5 分)函数 f(x)=(m ﹣m﹣1)x 是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上为减函数,则实数 m 的值是. 16. (5 分)已知圆 C1:x +y =1 与圆 C2: (x﹣2) +(y﹣4) =5,过动点 P(a,b)分别作 2 2 圆 C1,圆 C2 的切线 PM,PN( M、N 分别为切点) ,若 PM=PN,则(a﹣5) +(b+1) 的 最小值是.
2 2 2 2

2

m

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 2 17. (12 分)已知集合 A={x|a﹣2<x<a+2},B={x|x ﹣(a+2)x+2a=0},a∈R. (1)若 a=0,求 A∪B 的值; (2)若(?RA)∩B≠?,求 a 的取值范围. 18. (12 分) 如图所示, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形, PA⊥平面 ABCD, 且 PA=AD=2,AB=1,AC= . (1)证明:CD⊥平面 PAC; (2)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

19. (12 分)如图所示,光线从点 A(2,1)出发,到 x 轴上的点 B 后,被 x 轴反射到 y 轴 上的 C 点,又被 y 轴反射,这时反射线恰好经过点 D(1,2) . (1)求直线 BC 的方程; (2)求线段 BC 的中垂线方程.

20. (12 分)已知函数 f(x)=e ﹣e . (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若函数 f(x)在区间(a﹣1,a+1)上存在零点,求实数 a 的取值范围.

x

﹣x

21. (12 分)如图所示,已知圆 C:x +y =r (r>0)上点(1,

2

2

2

)处切线的斜率为



圆 C 与 y 轴的交点分别为 A,B,与 x 轴正半轴的交点为 D,P 为圆 C 在第一象限内的任意一 点,直线 BD 与 AP 相交于点 M,直线 DP 与 y 轴相交于点 N. (1)求圆 C 的方程; (2)试问:直线 MN 是否经过定点?若经过定点,求出此定点坐标;若不经过,请说明理由.

【选做题】 (请考生在第 22-24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. ) 22. (10 分)求函数 y=(2 ) ﹣2
x 2 x+1

+5,x∈[﹣1,2]的最大值和最小值.

23.已知函数 f(x)=loga(x+1)是定义在区间[1,7]上的函数,且最大值与最小值之和是 2, 求函数 f(x)的最大值和最小值.

24.已知函数 f(x)=



+5,x∈[2,4],求 f(x)的最大值及最小值.

江西省九江市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)已知集合 A={y|y=2 ,x<0},集合 B={x|x≥0},则 A∩B=() A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(0,+∞) D.[0,+∞) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中 y 的范围确定出 A,找出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:由 A 中 y=2 ,x<0,得到 y>1,即 A=(1,+∞) ,
﹣x ﹣x

∵B=[0,+∞) , ∴A∩B=(1,+∞) , 故选:A. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)若直线的倾斜角为 120°,则直线的斜率为() A. B. C. D.

考点: 直线的斜率. 专题: 计算题. 分析: 根据直线的斜率等于倾斜角的正切值,根据 tan120°利用诱导公式及特殊角的三角函 数值得到直线 l 的斜率即可. 解答: 解:因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值, 所以直线 l 的斜率 k=tan120°=tan(180°﹣60°)=﹣tan60°=﹣ . 故选 B 点评: 此题比较简单,要求学生掌握直线的斜率等于直线倾斜角的正切值,以及灵活运用 诱导公式及特殊角的三角函数值进行化简求值. 3. (5 分)设 f:x→ln|x|是集合 M 到集合 N 的映射,若 N={0,1},则 M 不可能是() A.{1,e} B.{﹣1,1,e} C.{1,﹣e,e} D.{0,1,e} 考点: 映射. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意知|x|=1,|x|=e;从而解得. 解答: 解:∵N={0,1}, ∴|x|=1,|x|=e; 故 A,B,C 正确, D 不正确; 故选 D. 点评: 本题考查了映射的概念与应用,属于基础题. 4. (5 分)圆(x+2) +y =4 与圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的位置关系为() A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 求出两圆的圆心和半径,计算两圆的圆心距,将圆心距和两圆的半径之和或半径之 差作对比,判断两圆的位置关系. 2 2 解答: 解:圆(x+2) +y =4 的圆心 C1(﹣2,0) ,半径 r=2. 2 2 圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的圆心 C2(2,1) ,半径 R=3, 两圆的圆心距 d= R+r=5,R﹣r=1, = ,
2 2 2 2

R+r>d>R﹣r, 所以两圆相交, 故选 B. 点评: 本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法,关键是求圆心距和两圆的半径. 5. (5 分)已知两条不同的直线 m,n 和两个不同的平面 α,β,以下四个结论中正确的个数为 () ①若 m∥α,n∥β,且 α∥β,则 m∥n; ②若 m∥α,n⊥β,且 α⊥β,则 m∥n; ③若 m⊥α,n∥β,且 α∥β,则 m⊥n; ④若 m⊥α,n⊥β,且 α⊥β,则 m⊥n. A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用线面平行、面面平行以及线面垂直、面面垂直的性质对选项分别分析解答. 解答: 解:对于①,若 m∥α,n∥β,且 α∥β,则 m∥n 或者异面;故①错误; 对于②,若 m∥α,n⊥β,且 α⊥β,利用线面平行、线面垂直的性质,可得 m 与 n 平行或异 面;故②不正确; 对于③,若 m⊥α,n∥β,且 α∥β,利用线面平行、线面垂直,面面平行的性质,可得 m⊥n; 正确 对于④,若 m⊥α,n⊥β,且 α⊥β,利用线面垂直、面面垂直的性质可得 m⊥n.正确 故正确的有 2 个; 故选 B. 点评: 本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直以及面面垂直的性质,熟练掌握定理是 解答的关键. 6. (5 分)函数 f(x)=e +x 的零点所在一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
x

D.(1,2)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 函数 f(x)是 R 上的连续函数,且 f(﹣1)?f(0)<0,根据函数的零点的判定 定理得出结论. 解答: 解:∵函数 f(x)=e +x 是 R 上的连续函数,f(﹣1)= ﹣1<0,f(0)=1>0, ∴f(﹣1)?f(0)<0, x 故函数 f(x)=e +x 的零点所在一个区间是 (﹣1,0) , 故选 B. 点评: 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,属于基础题. 7. (5 分)若直线 l1:ax+3y+1=0 与 l2:2x+(a+1)y+1=0 互相平行,则 a 的值是() A.﹣3 B. 2 C . ﹣3 或 2 D.3 或﹣2
x

考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 利用两条直线平行,斜率相等,建立等式即可求 a 的值. 解答: 解:直线 l1:ax+3y+1=0,的斜率存在,斜率为﹣ , l2:2x+(a+1)y+1=0,斜率为﹣ ∵直线 l1:ax+3y+1=0 与 l2:2x+(a+1)y+1=0 互相平行 ∴﹣ =﹣ 解得:a=﹣3 或 2 当 a=2 时,两直线重合, ∴a=﹣3 故选:A. 点评: 本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系,属基础题. 8. (5 分)已知函数 f(x)=ln A.关于 x 轴对称 C. 关于原点对称 ,则函数 f(x)的图象() B. 关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意先求定义域,再判断 f(﹣x)与 f(x)的关系. 解答: 解:∵函数 f(x)=ln 又∵ 的定义域为(﹣1,1) ; ,

∴f(x)是奇函数, 故选 C. 点评: 本题考查了函数的性质的判断,属于基础题. 9. (5 分)如图所示是某一几何体的三视图,则它的体积为()

A.16+12π

B.48+12π

C.64+12π

D.64+16π

考点: 由三视图求面积、体积.

专题: 空间位置关系与距离. 分析: 几何体是圆柱与正四棱锥的组合体,根据三视图判断圆柱的高与底面半径,判断正 四棱锥的高及侧面上的斜高, 求出正四棱锥的底面边长, 把数据代入圆柱与棱锥的体积公式计 算. 解答: 解:由三视图知:几何体是圆柱与正四棱锥的组合体, 2 圆柱的高为 3,底面直径为 4,∴圆柱的体积为 π×2 ×3=12π; 正四棱锥的高为 3,侧面上的斜高为 5,∴正四棱锥的底面边长为 2 ∴四棱锥的体积为 ×8 ×3=64. 故几何体的体积 V=64+12π. 故选:C. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应 的几何量是关键.
2

=8,

10. (5 分)已知函数 f(x)= A.0 B. 1 C. 2

, (其中 a>1) ,则 f[f(a )]=() D.loga2

2

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 a>1 可得 a >a,然后依次代入分段函数解析式求得答案. 2 解答: 解:∵a>1,∴a >a, 2 ∴f(a )=1, 2 则 f(f(a ) )=f(1)=loga1=0, 故选:A. 点评: 本题考查了分段函数的函数值的求法,考查了对数的运算性质,是基础题. 11. (5 分)直线 l:y=kx﹣1 与曲线 C:x +y ﹣4x+3=0 有且仅有 2 个公共点,则实数 k 的取 值范围是() A. B. C. D.
2 2 2

考点: 专题: 分析: 解答:

直线与圆的位置关系. 计算题;直线与圆. 求出直线 l:y=kx﹣1 与曲线 C 相切时 k 的值,即可求得实数 k 的取值范围. 2 2 解:如图所示,直线 y=kx﹣1 过定点 A(0,﹣1) ,直线 y=0 和圆(x﹣2) +y =1 相 ,
2 2

交于 B,C 两点,





∵直线 l:y=kx﹣1 与曲线 C:x +y ﹣4x+3=0 有且仅有 2 个公共点, ∴0 故选 A. ,

点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,考查数形结合的数学思想,比较基础. 12. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上 的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S,则下列命题正确的是() ①三棱锥 P﹣AA1Q 的体积为定值; ②当 CQ= 时,S 为等腰梯形; ③当 <CQ<1 时,S 为六边形; ④当 CQ=1 时,S 的面积为 .

A.①④

B.①②③

C.②③④

D.①②④

考点: 棱柱的结构特征. 专题: 立体几何. 分析: ①通过计算点 P 到平面 AA1Q 的距离,利用体积公式计算即可; ②通过条件可得 PQ∥AD1,从而得出结论; ③当 时,S 为五边形,故③错误;

④通过条件可知 S 为平行四边形 APC1R,利用面积计算公式即得结论. 解答: 解:①点 P 到平面 AA1Q 的距离 ∴ ②当 ③当 , ,故①正确. 时,PQ∥AD1,S 为等腰梯形 APQD1,故②正确. 时,S 为五边形,故③错误.

④设 A1D1 的中点为 R,当 CQ=1 时,S 为平行四边形 APC1R, 易得 S 的面积为 故选:D. ,故④正确.

点评: 本题考查点到直线的距离公式,棱锥的体积公式,面积公式,注意解题方法的积累, 属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. (5 分)过点(1,3)且与直线 x+2y﹣1=0 垂直的直线方程是 2x﹣y+1=0. 考点: 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系;直线的点斜式方程. 专题: 计算题. 分析: 由两条直线垂直斜率之积为﹣1,求出所求直线的斜率,再代入点斜式直线方程,最 后需要化为一般式方程. 解答: 解:由题意知,与直线 x+2y﹣1=0 垂直的直线的斜率 k=2, ∵过点(1,3) , ∴所求的直线方程是 y﹣3=2(x﹣1) , 即 2x﹣y+1=0, 故答案为:2x﹣y+1=0. 点评: 本题考查了直线垂直和点斜式方程的应用,利用斜率都存在的两条直线垂直,斜率 之积等于﹣1,求出直线斜率的值,代入点斜式直线方程,从而得到直线的方程;

14. (5 分)函数 f(x)=

的定义域为(0,2)∪(2,3].

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用分母不为 0,偶次方非负,对数的真数为正数,得到不等式组,求解即可.

解答: 解:要使函数有意义,必须:

,解得 x∈(0,2)∪(2,3].

所以函数的定义域是: (0,2)∪(2,3]. 故答案为: (0,2)∪(2,3]. 点评: 本题考查函数的定义域的求法,基本知识的考查. 15. (5 分)函数 f(x)=(m ﹣m﹣1)x 是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上为减函数,则实数 m 的值是﹣1. 考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 分析: 运用幂函数的定义,可得 m ﹣m﹣1=1,解得 m,再由幂函数的单调性即可得到 m. 2 解答: 解:由幂函数定义可知:m ﹣m﹣1=1, 解得 m=2 或 m=﹣1, 又函数在 x∈(0,+∞)上为减函数, 则 m=﹣1. 故答案为:﹣1.
2 m

点评: 本题考查幂函数的定义和性质,考查函数的单调性的判断,考查运算能力,属于基 础题. 16. (5 分)已知圆 C1:x +y =1 与圆 C2: (x﹣2) +(y﹣4) =5,过动点 P(a,b)分别作 2 2 圆 C1,圆 C2 的切线 PM,PN( M、N 分别为切点) ,若 PM=PN,则(a﹣5) +(b+1) 的 最小值是 .
2 2 2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 2 2 分析: 根据条件 PM=PN,求出 P 的轨迹方程, (a﹣5) +(b+1) 的几何意义为 P 到定点 (5,﹣1)的距离的平方,即可得到结论. 解答: 解:∵过动点 P(a,b)分别作圆 C1,圆 C2 的切线 PM,PN( M、N 分别为切点) , 若 PM=PN, 2 2 ∴|PC1| ﹣1=|PC2| ﹣5, 2 2 2 2 即 a +b ﹣1=(a﹣2) +(b﹣4) ﹣5, 即 a+2b﹣4=0,即动点 P(a,b)在直线 x+2y﹣4=0 上, (a﹣5) +(b+1) 的几何意义为 P 到定点(5,﹣1)的距离的平方, 则点(5,﹣1)到直线 x+2y﹣4=0 的距离为
2 2 2 2



故(a﹣5) +(b+1) 的最小值为 , 故答案为: 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,以及点到直线的距离公式的应用,利用 距离的几何意义是解决本题的关键. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 2 17. (12 分)已知集合 A={x|a﹣2<x<a+2},B={x|x ﹣(a+2)x+2a=0},a∈R. (1)若 a=0,求 A∪B 的值; (2)若(?RA)∩B≠?,求 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (1)若 a=0,求出集合 A,B 即可求 A∪B 的值; (2)根据集合关系进行求解即可. 2 解答: 解: (1)若 a=0,则 A={x|﹣2<x<2},B={x|x ﹣2x=0}={0,2}, 则 A∪B={x|﹣2<x≤2} (2)?RA={x|x≥a+2 或 x≤a﹣2},且 a??RA, 2 B={x|x ﹣(a+2)x+2a=0}={x|x=2 或 x=a}, 若(?RA)∩B≠?, ∴2∈CRA,2≤a﹣2,2≥a+2, ∴a≤0 或 a≥4.

点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 18. (12 分) 如图所示, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形, PA⊥平面 ABCD, 且 PA=AD=2,AB=1,AC= . (1)证明:CD⊥平面 PAC; (2)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由 PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD 可证明 PA⊥CD,在△ ACD 中,由已知 可得 AC +CD =AD ,即 CD⊥AC,又 PA∩AC=A,PA?平面 PAC,AC?平面 PAC,从而证明 CD⊥平面 PAC. (2)先求 S 四边形 ABCD=AB×AC= ,从而由 VP﹣ABCD= S 四边形 ABCD×PA,即可求解.
2 2 2

解答: (本小题满分 12 分) 解: (1)证明:∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD ∴PA⊥CD…(2 分) 在△ ACD 中,AD=2,CD=1,AC= , ∴AC +CD =AD ∴∠ACD=90°,即 CD⊥AC…(4 分) 又 PA∩AC=A,PA?平面 PAC,AC?平面 PAC, ∴CD⊥平面 PAC…(6 分) (2)∵S 四边形 ABCD=AB×AC= ∴VP﹣ABCD= …(9 分) …(12 分) S 四边形 ABCD×PA=
2 2 2

点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,考查了棱柱、棱锥、棱台的体积的解法, 体现了数形结合和等价转化的数学思想,属于中档题. 19. (12 分)如图所示,光线从点 A(2,1)出发,到 x 轴上的点 B 后,被 x 轴反射到 y 轴 上的 C 点,又被 y 轴反射,这时反射线恰好经过点 D(1,2) . (1)求直线 BC 的方程; (2)求线段 BC 的中垂线方程.

考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)求出点 A(2,1)关于 x 轴的对称点 A′(2,﹣1) ,点 D(1,2)关于 y 轴的 对称点 D′(﹣1,2) ,然后由直线方程的两点式求得直线 BC 的方程; (2)由(1)求得 B,C 的坐标,进一步求得 BC 的中点坐标,再求出直线 BC 的斜率,得到 BC 的中垂线的斜率,代入直线方程点斜式得答案. 解答: 解: (1)点 A(2,1)关于 x 轴的对称点为 A′(2,﹣1) , 点 D(1,2)关于 y 轴的对称点为 D′(﹣1,2) , 根据反射原理,A′,B,C,D′四点共线. ∴直线 BC 的方程为 (2)由(1)得 B(1,0) ,C(0,1) . ∴BC 的中点坐标为( ∴线段 BC 的中垂线方程为 ) ,kBC=﹣1. ,即 x﹣y=0. ,即 x+y﹣1=0;

点评: 本题考查了点关于直线的对称点的求法,考查了直线方程的两点式与点斜式,是基 础题. 20. (12 分)已知函数 f(x)=e ﹣e . (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若函数 f(x)在区间(a﹣1,a+1)上存在零点,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)先求出函数 f(x)的定义域为 R,再可判断 f(﹣x)=e ﹣e =﹣(e ﹣e )= ﹣f(x) ;从而判断. (2)易知函数 f(x)在 R 上单调递增,从而化函数 f(x)在区间(a﹣1,a+1)上存在零点 为 ,从而解得.
﹣x

x

﹣x

x

x

﹣x

解答: 解: (1)函数 f(x)的定义域为 R, 且 f(﹣x)=e ﹣e =﹣(e ﹣e )=﹣f(x) ; 则函数 f(x)为奇函数. (2)易知函数 f(x)在 R 上单调递增, ∵函数 f(x)在区间(a﹣1,a+1)上存在零点,
﹣x

x

x

﹣x





解得﹣1<a<1; 故实数 a 的取值范围为(﹣1,1) . 点评: 本题考查了函数的性质的判断与应用,同时考查了函数零点判定定理的应用,属于 基础题.
2 2 2

21. (12 分)如图所示,已知圆 C:x +y =r (r>0)上点(1,

)处切线的斜率为



圆 C 与 y 轴的交点分别为 A,B,与 x 轴正半轴的交点为 D,P 为圆 C 在第一象限内的任意一 点,直线 BD 与 AP 相交于点 M,直线 DP 与 y 轴相交于点 N. (1)求圆 C 的方程; (2)试问:直线 MN 是否经过定点?若经过定点,求出此定点坐标;若不经过,请说明理由.

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)根据条件结合点在圆上,求出圆的半径即可求圆 C 的方程; (2)根据条件求出直线 MN 的斜率,即可得到结论. 解答: 解: (1∵点 ∴
2 2

在圆 C:x +y =r 上, .

2

2

2

故圆 C 的方程为 x +y =4. 2 2 (2)设 P(x0,y0) ,则 x0 +y0 =4, 直线 BD 的方程为 x﹣y﹣2=0,直线 AP 的方程为 y= +2

联立方程组

,得 M(



) ,

易得 N(0,

) ,

∴kMN=2X

=

=

=



∴直线 MN 的方程为 y=

x+



化简得(y﹣x)x0+(2﹣x)y0=2y﹣2x…(*) 令 ,得 ,且(*)式恒成立,故直线 MN 经过定点(2,2) .

点评: 本题主要考查圆的方程的求解,以及直线和圆的位置关系的应用,考查学生的计算 能力. 【选做题】 (请考生在第 22-24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. ) 22. (10 分)求函数 y=(2 ) ﹣2
x 2 x+1

+5,x∈[﹣1,2]的最大值和最小值.

考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用换元法,结合指数函数和一元二次函数的性质进行求解即可. 解答: 解:设 t=2 , ∵x∈[﹣1,2],∴t=2 ∈[ ,4]) , 则函数等价为 y=t ﹣2t+5=(t﹣1) +4, 当 t=1 时,y 取最小值 4, 当 t=4 时,y 取最大值 13. 点评: 本题主要考查复合函数性质的应用,利用换元法结合指数函数和一元二次函数的性 质是解决本题的关键. 23.已知函数 f(x)=loga(x+1)是定义在区间[1,7]上的函数,且最大值与最小值之和是 2, 求函数 f(x)的最大值和最小值. 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题;函数的性质及应用.
2 2 x x

分析: 由对数函数的单调性可得 f(7)+f(1)=2,运用对数的运算性质解得 a=4,再由对 数函数的单调性即可得到最值. 解答: 解:∵函数 f(x)在区间[1,7]上是单调函数, ∴f(x)最大值与最小值之和是 f(7)+f(1)=2, 即 loga8+loga2=2,解得 a=4, ∴函数 f(x)=log4(x+1)在区间[1,7]上单调递增, ∴ . 点评: 本题考查对数函数的单调性和运用:求最值,考查运算能力,属于基础题. ,

24.已知函数 f(x)=



+5,x∈[2,4],求 f(x)的最大值及最小值.

考点: 对数函数的值域与最值;二次函数在闭区间上的最值. 专题: 计算题. 分析: 利用换元法,把函数变为闭区间上的二次函数,然后求出函数的最值. 解答: 解:因为函数 ,

设 t=

,t∈[﹣1,﹣ ].

函数化为:g(t)=t ﹣t+5,t∈[﹣1,﹣ ]. 函数 g(t)的开口向上,对称轴为 t= , 函数在 t∈[﹣1,﹣ ].上是减函数, 所以函数的最小值为:g( 最大值为:g(﹣1)=7. 所以函数 f(x)的最大值及最小值为:7;5 . 点评: 本题是基础题,考查换元法的应用,二次函数闭区间上的最值的求法,考查计算能 力. )=5 .

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