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专题24、不等式选讲



1.(2015· 山东,5,易)不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集是( A.(-∞,4) B.(-∞,1)

)

C.(1,4) D.(1,5) 【答案】 A 由|x-1|-|x-5|<2

?x<1, ?? ?-(x-1)+(x-5)<2 ?1≤x<5, 或? ?x-1+(x-5

)<2 ?x≥5, 或? ?x-1-(x-5)<2 ?x<1 或 1≤x<4 或??x<4.故选 A. 2.(2015· 浙江,14,难)若实数 x,y 满足 x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y| 的最小值是________. 【解析】 由图知当 x2+y2≤1 时,6-x-3y>0,即|6-x-3y|=6-x-3y.

如图,直线 2x+y-2=0 将圆 x2+y2=1 分成了两部分: ①在阴影区域内的(x,y)满足 2x+y-2≥0, 即|2x+y-2|=2x+y-2. 此时|2x+y-2|+|6-x-3y|=(2x+y-2)+(6-x-3y)=x-2y+4, ?3 4? 利用线性规划可知在点 A?5,5?处取得最小值 3. ? ? ②在阴影区域外的(x,y)满足 2x+y-2≤0, 即|2x+y-2|=-(2x+y-2), 此时|2x+y-2|+|6-x-3y|=-(2x+y-2)+(6-x-3y)=8-3x-4y, ?3 4? 利用线性规划可知在点 A?5,5?处取得最小值 3. ? ? 3 4 综上,当 x=5,y=5时,|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为 3. 【答案】 3

3.(2015· 江苏,21D,10 分,中)解不等式 x+|2x+3|≥2.

3 ? ?x<- , 2 解:原不等式可化为? ? ?-x-3≥2 3 ? ?x≥- , 2 或? ? ?3x+3≥2. 1 解得 x≤-5 或 x≥-3. 综上,原不等式的解集是
? 1? ?x|x≤-5或x≥- ?. 3? ?

4.(2015· 课标Ⅰ,24,10 分)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,即 x>4,无解; 2 当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,解得3<x<1; 当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2.
? 2 ? 综上,f(x)>1 的解集为?x|3<x<2?. ? ?

(2)由题设可得,

?x-1-2a, f(x)=?3x+1-2a, ?-x+1+2a,

x<-1, -1≤x≤a, x>a.

?2a-1 ? 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A? B(2a ,0?, ? 3 ? 2 +1,0),C(a,a+1),△ABC 的面积为 (a+1)2. 3 2 由题设得3(a+1)2>6,故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2,+∞).

1.(2014· 安徽,9,中)若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的 值为( )

A.5 或 8 B.-1 或 5 C.-1 或-4 D.-4 或 8 【答案】 D ①当 a=2 时,f(x)=3|x+1|≥0,显然不成立.

a ②当 a<2 时,-1<-2,

? ?-x+1-a,-1≤x≤-a 2, f(x)=? a ? ?3x+a+1,x>-2.
-3x-a-1,x<-1, a ③当 a>2 时,-1>-2,

? ? a f(x)=? x+a-1,-2≤x≤-1, ? ?3x+a+1,x>-1.
? a? 在②③两种情况下, f (x) min= f ?-2? = ? ? ? a ? ?-2+1?=3,解得 a=-4 或 8. ? ? 2.(2014· 广东,9,易)不等式|x-1|+|x+2|≥5 的解集为________. 【解析】 当 x≤-2 时,不等式等价于-2x-1≥5,解得 x≤-3;

a -3x-a-1,x<-2,

当-2<x≤1 时,不等式等价于 3≥5,此时不等式无解; 当 x>1 时,不等式等价于 2x+1≥5,解得 x≥2. 综上,不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞). 【答案】 (-∞,-3]∪[2,+∞)
? ?

? 5 1? 3.(2014· 湖南,13,中)若关于 x 的不等式|ax-2|<3 的解集为?x|-3<x<3?,则

a=________. 【解析】 ∵|ax-2|<3,∴-1<ax<5.

1 5 当 a>0 时,-a<x<a,与已知条件不符; 当 a=0 时,x∈R,与已知条件不符; 5 1 5 1 当 a<0 时,a<x<-a,又不等式的解集为{x|-3<x<3},故 a=-3.

【答案】

-3

? 1? 4.(2014· 课标Ⅱ,24,10 分,中)设函数 f(x)=?x+a?+|x-a|(a>0). ? ? (1)证明:f(x)≥2; (2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. 1 1 ? 1? 解:(1)证明:由 a>0,得 f(x)=?x+a?+|x-a|≥|x+a-(x-a)|=a+a≥2,所 ? ? 以 f(x)≥2. 1? ? (2)f(3)=?3+a?+|3-a|. ? ? 1 当 a>3 时,f(3)=a+a, 由 f(3)<5 得 3<a< 5+ 21 2 .

1 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+a, 由 f(3)<5 得 1+ 5 2 <a≤3.

?1+ 5 5+ 21? ?. 综上,a 的取值范围是? , 2 ? ? 2 3 5.(2013· 福建,21(3),7 分,中)设不等式|x-2|<a(a∈N*)的解集为 A,且2∈ 1 A,2?A. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值. 3 1 解:(1)因为2∈A,且2?A, ?3 ? 所以?2-2?<a, ? ? ?1 ? 且?2-2?≥a, ? ? 1 3 解得2<a≤2. 又因为 a∈N*,所以 a=1. (2)因为 f(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2 时取到等号,所以 f(x)的最小值为 3.

6.(2012· 辽宁,24,10 分,中)已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解 集为{x|-2≤x≤1}. (1)求 a 的值;

? x? (2)若 f ? x ? ? 2 f ? ? ? k 恒成立,求 k 的取值范围. ?2?
解:(1)由|ax+1|≤3 得-4≤ax≤2. 又 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}, 所以当 a≤0 时,不合题意. 4 2 当 a>0 时,-a≤x≤a,得 a=2. ?x? (2)记 h(x)=f(x)-2f ?2?=|2x+1|-2|x+1|, ? ?

? ?-4x-3,-1<x<-1 2, 则 h(x)=? 1 ? ?-1,x≥-2,
1,x≤-1, 所以当 x≤-1 时,h(x)=1; 1 当-1<x<-2时,-1<h(x)<1; 1 当 x≥-2时,h(x)=-1. 所以|h(x)|≤1,因此 k≥1.

考向 1

绝对值不等式的解法

1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c 型不等式的解法 (1)若 c>0,则|ax+b|≤c 等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c 等价于 ax+b≥c 或 ax+b≤-c,然后根据 a,b 的值解出即可. (2)若 c<0,则|ax+b|≤c 的解集为?,|ax+b|≥c 的解集为 R. 2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0),|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)零点分区间法 零点分区间法的一般步骤 ①令每个含绝对值符号的代数式为零,并求出相应的根;

②将这些根按从小到大排列,把实数集分为若干个区间; ③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式,解这些不等式,求出解集; ④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集. (2)利用绝对值的几何意义 由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与 x 对应的点到 a, b 对应的 点的距离之和与距离之差, 因此对形如|x-a|+|x-b|<c(c>0)或|x-a|-|x-b|>c(c>0) 的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观. (2013· 辽宁,24,10 分)已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a>1. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4-|x-4|的解集; (2)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},求 a 的值. 【解析】 (1)当 a=2 时,

?-2x+6,x≤2, f(x)+|x-4|=|x-2|+|x-4|=?2,2<x<4, ?2x-6,x≥4.
当 x≤2 时,由 f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得 x≤1; 当 2<x<4 时,f(x)≥4-|x-4|无解; 当 x≥4 时,由 f(x)≥4-|x-4|得 2x-6≥4,解得 x≥5, 所以 f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1 或 x≥5}. (2)记 h(x)=f(2x+a)-2f(x)=|2x|-2|x-a|,

?-2a,x≤0, 则 h(x)=?4x-2a,0<x<a, ?2a,x≥a.
由|h(x)|≤2,又 a>1,所以|4x-2a|≤2, a-1 a+1 解得 2 ≤x≤ 2 . 又已知|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2}, a-1 ? ? 2 =1, 所以? 解得 a=3. a+1 ? ? 2 =2, 【点拨】 解(1)时将不等式转化为 f(x)+|x-4|≥4 后,注意分类讨论;解(2)

的关键是构造辅助函数 h(x)=f(2x+a)-2f(x)进行求解. 含绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法:对 a∈R+,|x|<a?-a<x<a,|x|>a?x<-a 或 x>a. (2)平方法:两边平方去掉绝对值符号. (3)零点分区间法:含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区 间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解. (4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点 的距离求解. (5)数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象, 利用函数图象求解. (2012· 课标全国,24,10 分)已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=-3 时,

?-2x+5,x≤2, f(x)=?1,2<x<3, ?2x-5,x≥3.
当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3,解得 x≥4. 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| ?4-x-(2-x)≥|x+a|?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2, 即-3≤a≤0. 故 a 的取值范围为[-3,0]. 思路点拨:解(1)的关键是去掉绝对值符号;解(2)的关键是把不等式的解集问 题转化为不等式在区间[1,2]上的恒成立问题. 考向 2 与绝对值不等式有关的最值问题

(1)(2014· 江西,11(1))对任意 x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1| 的最小值为( ) C.3 D.4

A.1 B.2

1 (2)(2014· 重庆,16)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+2a+2 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 的取值范围是________. 【思路导引】 题(1)利用三角不等式求解;(2)恒成立问题常转化为函数的最

值问题求解.先求|2x-1|+|x+2|的最小值,再解关于 a 的不等式求出 a 的取值范 围. 【解析】 (1)∵x,y∈R,∴|x-1|+|x|≥|(x-1)-x|=1,

|y-1|+|y+1|≥|(y-1)-(y+1)|=2, ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥1+2=3. ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为 3.

? ?-x+3,-2≤x<1 2, (2)设 y=|2x-1|+|x+2|=? 1 ? ?3x+1,x≥2.
-3x-1,x<-2, 当 x<-2 时,y=-3x-1>5; 1 5 当-2≤x<2时,y=-x+3>2; 1 5 当 x≥2时,y=3x+1≥2; 5 故函数 y=|2x-1|+|x+2|的最小值为2. 1 5 1 ∵不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+2a+2 对任意实数 x 恒成立,∴2≥a2+2a+2. 1? 1 ? 解得-1≤a≤ ,故 a 的取值范围为?-1,2?. 2 ? ? 1? ? 【答案】 (1)C (2)?-1,2? ? ? 求解与绝对值不等式有关的最值问题的方法 求解含参数的不等式存在性问题需要过两关: 第一关是转化关,先把存在性问题转化为求最值问题;不等式的解集为 R 是 指不等式的恒成立问题,而不等式的解集为?的对立面也是不等式的恒成立问题,

此两类问题都可转化为最值问题,即 f(x)<a 恒成立 ?a>f(x)max , f(x)>a 恒成立 ?a<f(x)min. 第二关是求最值关,求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种:①利用 绝对值的几何意义;②利用绝对值三角不等式,即|a|+ |b|≥|a± b|≥||a|- |b||;③利 用零点分区间法. (1)(2013· 重庆,16)若关于实数 x 的不等式|x-5|+|x+3|<a 无解,则 实数 a 的取值范围是________. (2)(2012· 陕西,15A)若存在实数 x 使|x-a|+|x-1|≤3 成立,则实数 a 的取值 范围是________. 【解析】 (1)由绝对值的几何意义知,|x-5|+|x+3|表示数轴上点 x 到 5 和- 3 的距离之和,显然|x-5|+|x+3|≥8,若|x-5|+|x+3|<a 无解,则有 a≤8. (2)方法一:不等式|x-a|+|x-1|≤3 表示数轴上的点 x 到点 a 和点 1 的距离之 和小于等于 3. 因为数轴上的点 x 到点 a 和点 1 的距离之和最小时, 即点 x 在点 a 和点 1 之间时,此时距离之和为|a-1|, 要使不等式|x-a|+|x-1|≤3 有解, 则|a-1|≤3,解得-2≤a≤4. 方法二:因为存在实数 x 使|x-a|+|x-1|≤3 成立, 所以(|x-a|+|x-1|)min≤3, 又|x-a|+|x-1|≥|x-a-(x-1)|=|a-1|, 所以|a-1|≤3,解得-2≤a≤4. 【答案】 (1)(-∞,8] (2)[-2,4]

1.(2015· 安徽阜阳模拟,9)已知关于 x 的不等式|2x-m|≤1 的整数解有且仅有 一个值为 2,则关于 x 的不等式|x-1|+|x-3|≥m 的解集为( A.(-∞,0] C.(0,4] 【答案】 B.[4,+∞) )

D.(-∞,0]∪[4,+∞) D m-1 m+1 由不等式|2x-m|≤1,可得 2 ≤x≤ 2 ,∵不等式的整数

m-1 m+1 解为 2,∴ 2 ≤2≤ 2 ,解得 3≤m≤5. 再由不等式仅有一个整数解 2,∴m=4. 本题即解不等式|x-1|+|x-3|≥4, 当 x<1 时,不等式等价于 1-x+3-x≥4,解得 x≤0,不等式解集为{x|x≤0}. 当 1≤x≤3 时,不等式等价于 x-1+3-x≥4,解得 x∈?,不等式解集为?. 当 x>3 时,不等式等价于 x-1+x-3≥4,解得 x≥4,不等式解集为{x|x≥4}. 综上,原不等式解集为(-∞,0]∪[4,+∞). 2.(2014· 湖南长沙模拟,13)不等式|x-1|<4-|x+2|的解集是________. 【解析】 ?x<-2, 依题意,不等式|x-1|<4-|x+2|等价于? ?-(x-1)<4+(x+2)

?-2≤x≤1, 或? ?-(x-1)<4-(x+2) ?x>1, 或? ?x-1<4-(x+2), 5 3 解得-2<x<-2 或-2≤x≤1 或 1<x<2. ? 5 3? 所以原不等式的解集是?-2,2?. ? ? ? 5 3? 【答案】 ?-2,2? ? ? 3.(2015· 广东深圳模拟,9)关于 x 的不等式|2 014-x|+|2 015-x|≤d 有解时, d 的取值范围是________. 【解析】 ∵|2 014-x|+|2 015-x|≥|2 014-x-2 015+x|=1,

∴关于 x 的不等式|2 014-x|+|2 015-x|≤d 有解时,d≥1. 【答案】 d≥1

? 1? 4.(2015· 湖北咸宁二模,13)不等式?x+x?≥|a-2|+sin y 对一切非零实数 x, ? ? y 均成立,则实数 a 的取值范围为________. 【解析】 1 ∵x+x ∈(-∞,-2]∪[2,+∞),

? 1? ∴?x+x?∈[2,+∞),其最小值为 2. ? ? 又∵sin y 的最大值为 1,

? 1? 故不等式?x+x?≥|a-2|+sin y 恒成立时, ? ? 有|a-2|≤1.解得 a∈[1,3]. 【答案】 [1,3]

思路点拨:首先求出不等式左边的最小值,再由三角函数的性质,求出 sin y 1 的最大值,若不等式|x+x |≥|a-2|+sin y 恒成立,则|a-2|≤1. 5.(2015· 福建泉州模拟,21(3),7 分)已知函数 f(x)=|x+3|-|x-2|. (1)求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≥|a-4|有解,求 a 的取值范围. 解:(1)f(x)=|x+3|-|x-2|≥3, 当 x≥2 时,有 x+3-(x-2)≥3,解得 x≥2; 当 x≤-3 时,-x-3+(x-2)≥3,解得 x∈?; 当-3<x<2 时,有 2x+1≥3,解得 1≤x<2. 综上,f(x)≥3 的解集为{x|x≥1}. (2)由绝对值不等式的性质可得, ||x+3|-|x-2||≤|(x+3)-(x-2)|=5, 则有-5≤|x+3|-|x-2|≤5. 若 f(x)≥|a-4|有解,则|a-4|≤5, 解得-1≤a≤9. 所以 a 的取值范围是[-1,9]. 6.(2014· 辽宁大连模拟,24,10 分)已知函数 f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m). (1)当 m=5 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥1 的解集是 R,求 m 的取值范围. 解:(1)由题意知,|x+1|+|x-2|-5>0, ?x≥2, 则有? ?x+1+x-2>5 ?-1<x<2, ?x≤-1, 或? 或? ?x+1-x+2>5 ?-x-1-x+2>5, 解得 x<-2 或 x>3. ∴函数 f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(3,+∞).

(2)由对数函数的性质知, f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m)≥1=log22, ∴不等式 f(x)≥1 等价于不等式|x+1|+|x-2|≥2+m. ∵当 x∈R 时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,而不等式|x+1|+|x- 2|≥m+2 的解集是 R, ∴m+2≤3,故 m 的取值范围是(-∞,1]. 7.(2015· 河北石家庄模拟,24,10 分)设函数 f(x)=|x-3|-|x+1|,x∈R. (1)解不等式 f(x)<-1; (2)设函数 g(x)=|x+a|-4,且 g(x)≤f(x)在 x∈[-2,2]上恒成立,求实数 a 的 取值范围. 解:(1)∵函数 f(x)=|x-3|-|x+1|

?4,x<-1, =?2-2x,-1≤x≤3, ?-4,x>3,
?2-2x<-1, 故由不等式 f(x)<-1 可得 x>3 或? ?-1≤x≤3. 3 解得 x>2. (2)函数 g(x)≤f(x)在 x∈[-2,2]上恒成立, 即|x+a|-4≤|x-3|-|x+1|在 x∈[-2,2]上恒成立, 在同一个坐标系中画出函数 f(x)和 g(x)的图象,如图所示.

故当 x∈[-2,2]时,若 0≤-a≤4 时,则函数 g(x)在函数 f(x)的图象的下方, g(x)≤f(x)在 x∈[-2,2]上恒成立, 求得-4≤a≤0,故所求的实数 a 的取值范围为[-4,0]. 8.(2015· 吉林长春模拟,24,10 分)已知 a 和 b 是任意非零实数.

(1)求

|2a+b|+|2a-b| 的最小值; |a|

(2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立, 求实数 x 的取值范围. |2a+b|+|2a-b| |a| |2a+b+2a-b| |4a| ≥ = |a| =4, |a| |2a+b|+|2a-b| ∴ 的最小值为 4. |a| 解:(1)∵ (2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立, 即 |2 + x| + |2 - x|≤ |2a+b|+|2a-b| 恒 成 立 , 故 |2 + x| + |2 - x| 小 于 等 于 |a|

|2a+b|+|2a-b| 的最小值. |a| |2a+b|+|2a-b| 由(1)可知, 的最小值为 4, |a| ∴x 的取值范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4 的解集. 解不等式得-2≤x≤2,故实数 x 的取值范围为[-2,2].

1.(2015· 课标Ⅱ,24,10 分,中)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d, 证明: (1)若 ab>cd,则 a+ b> c+ d; (2) a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件. 证明:(1)因为( a+ b)2=a+b+2 ab, ( c+ d)2=c+d+2 cd, 由题设 a+b=c+d,ab>cd 得( a+ b)2>( c+ d)2. 因此 a+ b> c+ d.

(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2, 即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd. 由(1)得 a+ b> c+ d. ②若 a+ b> c+ d, 则( a+ b)2>( c+ d)2, 即 a+b+2 ab>c+d+2 cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd.于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd =(c-d)2. 因此|a-b|<|c-d|. 综上, a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件. 1 1 2.(2015· 湖南,16Ⅲ,6 分,中)设 a>0,b>0,且 a+b=a+b.证明: (1)a+b≥2; (2)a2+a<2 与 b2+b<2 不可能同时成立. 1 1 a+b 证明:由 a+b=a+b= ab ,a>0,b>0,得 ab=1. (1)由基本不等式及 ab=1, 有 a+b≥2 ab=2,即 a+b≥2. (2)假设 a2+a<2 与 b2+b<2 同时成立, 则由 a2+a<2 及 a>0 得 0<a<1; 同理,0<b<1,从而 ab<1, 这与 ab=1 矛盾. 故 a2+a<2 与 b2+b<2 不可能同时成立.

1.(2012· 湖北,6,中)设 a,b,c,x,y,z 是正数,且 a2+b2+c2=10,x2 +y2+z2=40,ax+by+cz=20,则 1 1 A.4 B.3 1 C.2 3 D.4 C 方 法 一 : 由 题 设 及 柯 西 不 等 式 得 |ax + by + a+b+c =( x+y+z )

【答案】

a b c a cz|≤ (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=20,当且仅当 x= y=z 时取等号,此时令x= b c 1 = = k ,由题设条件,易得 k = y z 2, ∴ a+b+c 1 =k=2,故选 C. x+y+z

方法二:由题意得 1 ax+by+cz=2(2ax+2by+2cz) 1?(2a)2+x2 (2b)2+y2 (2c)2+z2? ? ≤2? + + 2 2 2 ? ? 1 =4×(40+40)=20, 当且仅当 2a=x,2b=y,2c=z 时取等号,此时 选 C. 2.(2014· 陕西,15(A),易)设 a,b,m,n∈R,且 a2+b2=5,ma+nb=5, 则 m2+n2的最小值为________. 【解析】 根据柯西不等式(ma+nb)2≤(a2+b2)(m2+n2),得 25≤5(m2+n2), a+b+c a+b+c 1 = =2,故 x+y+z 2a+2b+2c

m2+n2≥5, m2+n2的最小值为 5. 【答案】 5

3.(2013· 陕西,15A,易)已知 a,b,m,n 均为正数,且 a+b=1,mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为________. 【解析】 +b)2=2. 【答案】 2 由柯西不等式知(am+bn)(bm+an)≥( am an+ bm bn)2=mn(a

4.(2014· 福建,21(3),7 分,中)已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x+1|+|x-2| 的最小值为 a. (1)求 a 的值; (2)若 p,q,r 是正实数,且满足 p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3. 解:(1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1≤x≤2 时,等号

成立, 所以 f(x)的最小值等于 3,即 a=3. (2)证明:由(1)知 p+q+r=3,又因为 p,q,r 是正实数, 所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,即 p2+ q2+r2≥3. 思路点拨:第(1)问根据绝对值不等式的性质求解即可;第(2)问利用第(1)问的 结论和柯西不等式证明.

考向 1 (1)绝对值的三角不等式

证明不等式

定理 1:若 a,b 为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立. 定理 2: 设 a, b, c 为实数, 则|a-c|≤|a-b|+|b-c|, 当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等号成立. (2)三个正数的算术几何平均不等式: 如果 a, b, c∈R+, 那么 当且仅当 a=b=c 时等号成立. (3)基本不等式(基本不等式的推广):对于 n 个正数 a1,a2,?,an,它们的算 术平均值不小于它们的几何平均值,即 仅当 a1=a2=?=an 时等号成立. (4)一般形式的柯西不等式
2 2 2 设 a1,a2,a3,?,an,b1,b2,b3,?,bn 是实数,则(a2 1+a2+?+an)(b1+ 2 2 b2 2+?+bn)≥(a1b1+a2b2+?+anbn) ,当且仅当 bi=0(i=1,2,?,n)或存在一个

a+b+c 3 3 ≥ abc,

a1+a2+?+an n ≥ a1·a2·?·an ,当且 n

数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,?,n)时,等号成立. (2013· 课标Ⅱ,24,10 分)设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1, 证明: 1 (1)ab+bc+ca≤3; a2 b2 c2 (2) b + c + a ≥1.

【证明】

(1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca

得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以 3(ab+bc+ca)≤1, 1 即 ab+bc+ca≤3. a2 b2 c2 (2)因为 b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c, a2 b2 c2 故 b + c + a +(a+b+c)≥2(a+b+c), a2 b2 c2 即 b + c + a ≥a+b+c. a2 b2 c2 所以 b + c + a ≥1. 【点拨】 解(1)的关键是将 a+b+c=1 两边平方后结合基本不等式探寻证明 思路;解(2)的关键是“1”的代换,即将不等式两边同时加上 a+b+c,并结合基本 不等式探寻解题思路. 证明不等式常用的方法 (1)证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法.如果已知条件与待证 结论的联系不明显,可考虑用分析法. (2)如果待证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给 出,则考虑用反证法; (3)如果待证不等式与自然数有关,则考虑用数学归纳法等.在必要的情况下, 可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明. (1)(2014· 江苏,21D,10 分)已知 x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+ x2+y)≥9xy. (2)(2015· 江苏苏州质检,21D,10 分)已知函数 f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1), 5 且|a|≤1,求证:|f(x)|≤4. 3 3 证明:(1)因为 x>0,y>0,所以 1+x+y2≥3 xy2>0,1+x2+y≥3 x2y>0,所 3 3 以(1+x+y2)(1+x2+y)≥3 xy2·3 x2y=9xy,当且仅当 x=y=1 时, “=”成立. (2)因为-1≤x≤1,

所以 0<|x|≤1,0<x2≤1. 又因为|a|≤1, 所以|f(x)|=|a(x2-1)+x| ≤|a(x2-1)|+|x| ≤|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x| 1?2 5 5 ? =-?|x|-2? +4≤4. ? ? 考向 2 利用基本不等式、柯西不等式求最值

(1)(2013· 湖南,10)已知 a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则 a2+4b2 +9c2 的最小值为________. 1 1 (2)(2014· 课标Ⅰ,24,10 分)若 a>0,b>0,且a+b= ab. ①求 a3+b3 的最小值; ②是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由. 【解析】 (1)由柯西不等式(a2+4b2+9c2)(12+12+12)≥(a+2b+3c)2 得 3(a2

+4b2+9c2)≥36,所以 a2+4b2+9c2≥12,当且仅当 a=2b=3c=2 时,a2+4b2+ 9c2 取得最小值 12. 1 1 2 (2)①由 ab=a+b≥ ,得 ab≥2,且当 a=b= 2时等号成立. ab 故 a3+b3≥2 a3b3≥4 2,且当 a=b= 2时等号成立. 所以 a3+b3 的最小值为 4 2. ②不存在 a,b,使得 2a+3b=6.理由如下: 由①知,2a+3b≥2 6 ab≥4 3. 由于 4 3>6,从而不存在 a,b,使得 2a+3b=6. 利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法 (1)在运用基本不等式求函数的最大(小)值时, 常需要对函数式作“添、 裂、 配、 凑”变形,使其完全满足基本不等式要求的“正、定、等”三个条件. (2)在应用柯西不等式求最大值时,要注意等号成立的条件,柯西不等式在排 列上规律明显,具有简洁、对称的美感,运用柯西不等式求解时,按照“一看、

二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题. (2015· 福建厦门一模,21(3),7 分)已知函数 f(x)=|x+3|,g(x)=m- 2|x-11|,若 2f(x)≥g(x+4)恒成立,实数 m 的最大值为 t. (1)求实数 m 的最大值 t; t (2)已知实数 x,y,z 满足 2x2+3y2+6z2=a(a>0),且 x+y+z 的最大值为20, 求 a 的值. 解:(1)由题意可得 g(x+4)=m-2|x+4-11|=m-2|x-7|, 若 2f(x)≥g(x+4)恒成立, 则 2|x+3|≥m-2|x-7|, 即 m≤2(|x+3|+|x-7|). 而由绝对值三角不等式可得 2(|x+3|+|x-7|)≥2|(x+3)-(x-7)|=20, ∴m≤20,故 m 的最大值 t=20. (2)实数 x,y,z 满足 2x2+3y2+6z2=a(a>0),由柯西不等式可得

[(

2x)2+( 3y)2+( 6z)2]·

?? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2? ?? ? +? ? +? ? ? ? 3? ? 6? ? ?? 2? 1 1 1 ?2 ? ≥? 2x· + 3y· + 6z· ? 2 3 6? ? 即 a×1≥(x+y+z)2,∴x+y+z≤ a. t 又∵x+y+z 的最大值是20=1, ∴ a=1,∴a=1.

1.(2015· 陕西渭南模拟,15(A))已知 a,b,c∈R,且 2a+2b+c=8,则(a- 1)2+(b+2)2+(c-3)2 的最小值是________. 【解析】 由柯西不等式得

(4+4+1)×[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥[2(a-1)+2(b+2)+c-3]2 ∴9[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥(2a+2b+c-1)2.

∵2a+2b+c=8, 49 ∴(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2≥ 9 , 49 ∴(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2 的最小值是 9 . 【答案】 49 9

x y 2.(2015· 江苏南京模拟,21D,10 分)已知 x,y,z 均为正数,求证:yz+zx+ z 1 1 1 xy≥x+y+ z . 证明:因为 x,y,z 都是为正数, x y 1?y x? 2 所以yz+zx= z ?x+y?≥ z , ? ? 同理,可得 y z 2 z x 2 zx+xy≥ x,xy+yz≥y ,当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2, x y z 1 1 1 得yz+zx+xy≥x +y + z . 3.(2015· 辽宁锦州一模,24,10 分)(1)关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集 不是空集,求 a 的取值范围; x2 y2 z2 (2)设 x,y,z∈R,且16+ 5 + 4 =1,求 x+y+z 的取值范围. 解:(1)∵|x-3|+|x-4|≥|(x-3)-(x-4)|=1,且|x-3|+|x-4|<a 的解集不是 空集, ∴a>1,即 a 的取值范围是(1,+∞). (2)由柯西不等式,得 [42+( 5)2+22]· ?? x?2 ? y ?2 ? z ?2? ?? ? +? ? +? ? ? ?2? ? ? 5? ??4? x y z ?2 ? ≥?4×4+ 5× +2×2? 5 ? ? =(x+y+z)2, 即 25×1≥(x+y+z)2.

∴5≥|x+y+z|,∴-5≤x+y+z≤5. ∴x+y+z 的取值范围是[-5,5]. 4.(2015· 黑龙江大庆二模,24,10 分)已知函数 f(x)=m-|x-1|-|x-2|,m∈ R,且 f(x+1)≥0 的解集为[0,1]. (1)求 m 的值; (2)若 a,b,c,x,y,z∈R,且 x2+y2+z2=a2+b2+c2=m,求证:ax+by+ cz≤1. 解:(1)由 f(x+1)≥0 得|x|+|x-1|≤m. ∵|x|+|x-1|≥1 恒成立, ∴若 m<1,不等式|x|+|x-1|≤m 的解集为?,不合题意. 1-m 1-m 若 m≥1,①当 x<0 时,得 x≥ 2 , 2 ≤x<0; ②当 0≤x≤1 时,得 x+1-x≤m,即 m≥1 恒成立; m+1 m+1 ③当 x>1 时,得 x≤ 2 ,1<x≤ 2 . ?1-m m+1? 综上可知,不等式|x|+|x-1|≤m 的解集为? , 2 ?. ? 2 ? 由题意知,原不等式的解集为[0,1], 1-m ? ? 2 =0, ∴? 解得 m=1. m+1 ? ? 2 =1, (2)证明:∵x2+a2≥2ax,y2+b2≥2by,z2+c2≥2cz, 三式相加,得 x2+y2+z2+a2+b2+c2≥2ax+2by+2cz. 由题设及(1),知 x2+y2+z2=a2+b2+c2=m=1, ∴2≥2(ax+by+cz),即 ax+by+cz≤1,得证. 5.(2015· 河南南阳质检,24,10 分)已知:an= 1×2+ 2×3+ 3×4+? + n(n+1)(n∈N*),求证: n(n+1) n(n+2) < a . n< 2 2

证明:∵ n(n+1)= n2+n,n∈N*, ∴ n(n+1)>n,

∴an= 1×2+ 2×3+?+ n(n+1)>1+2+3+?+n= n+(n+1) ∵ n·(n+1)< , 2 1+2 2+3 3+4 n+(n+1) ∴an< 2 + 2 + 2 +?+ 2 n+1 n(n+2) 1 =2+(2+3+?+n)+ 2 = . 2 综上得 n(n+1) n(n+2) < a . n< 2 2

n(n+1) . 2

6.(2014· 福建福州模拟,21(3),7 分)已知大于 1 的正数 x,y,z 满足 x+y+z =3 3. (1)求证: (2)求 x2 y2 z2 3 + + ≥2; x+2y+3z y+2z+3x z+2x+3y

1 1 1 + + 的最小值. log3x+log3y log3y+log3z log3z+log3x

解:(1)证明:由柯西不等式及题意得, x2 y2 z2 ? ? + + ?x+2y+3z y+2z+3x z+2x+3y? ? ? ·[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)] ≥(x+y+z)2=27. 又(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)=6(x+y+z)=18 3, x2 y2 z2 27 3 ∴ + + ≥ =2, x+2y+3z y+2z+3x z+2x+3y 18 3 当且仅当 x=y=z= 3时,等号成立. (2)∵ 1 1 1 1 1 + + = + + log3x+log3y log3y+log3z log3z+log3x log3(xy) log3(yz)

1 , log3(zx) ∴由柯西不等式得 1 1 1 ? ? ?log (xy)+log (yz)+log (zx)?[log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)]≥9, ? 3 3 3 ? 1 1 1 ? ? ∴?log (xy)+log (yz)+log (zx)? ? 3 3 3 ? 9 ≥ log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)



9 . 2log3(xyz)

3 又∵3 3=x+y+z≥3 xyz, 3 ∴xyz≤3 3,∴log3(xyz)≤2, 9 9 2 ∴ ≥2×3=3, 2log3(xyz) 1 1 1 ∴ + + ≥3,当且仅当 x=y=z= 3时,等 log3x+log3y log3y+log3z log3z+log3x 号成立,故所求的最小值是 3.



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