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学案7离散型随机变量的均值与方差



滕州一中东校高三数学第一轮复习

选修 2-3 计数原理 学案 7 赵似花

创作时间:2006-12-2225

学案 7 离散型随机变量的均值与方差
复习目标: 复习目标: 1, 理解取有限个值的离散型随机变量均值,方差的概念; , 理解取有限个值的离散型随机变量均值,方差的概念; 2, 能计算简单离散型随机变量的均值,方差,并能解决一些实际问题. , 能计算简单离散型随机变量的均值,方差,并能解决一些实际问题. 复习重点: 复习重点: 简单的离散型随机变量的均值, 简单的离散型随机变量的均值,方差的计算 复习过程: 复习过程: 知识回顾: 一, 知识回顾: 1,离散型随机变量的期望: ,离散型随机变量的期望: 若 随 机 变 量 ξ 的 概 率 分 布 列 为 P(ξ = xi ) = p i , i = 1,2, 则 称 Eξ = x1 p1 + x 2 p 2 + + x n p n + 为 ξ 的数学期望或 数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 了离散型随机变量取值的平均水平 服从二项分布, (1) 随机变量 ξ 服从二项分布,则 ξ ~ B(n, p ) ,则 Eξ = ) 为常数, (2) 若 η = aξ + b ,其中 a, b 为常数,则有 Eξ = E ( aξ + b) = ) 2 , 若 随 机 变 量 ξ 的 概 率 分 布 列 为 P(ξ = xi ) = p i , i = 1,2, 则 称
Dξ = ( x1 Eξ ) 2 p1 + ( x 2 Eξ ) 2 p 2 + + ( x n Eξ ) 2 p n + 为 ξ 的

标准 ,

差是 (1) 若 D(aξ + b) = a 2 Dξ ) 服从二项分布, (2) 若随机变量 ξ 服从二项分布,即 ξ ~ B(n, p ) ,则 Dξ = ) 说明: 说明: 数学期望和方差,标准差都是离散型随机变量最重要的特征数( 数字特征) 数学期望和方差,标准差都是离散型随机变量最重要的特征数(或数字特征) . 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平, 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平,方差与标准差都反映了离散型随 机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度. 机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.离散型随机变量的期望与方差 都与随机变量的分布列有密切关系.方差又与期望紧密相连. 都与随机变量的分布列有密切关系.方差又与期望紧密相连. 过关练习: 二, 过关练习: (1)已知 ξ ~ B(n, p ) , Eξ = 8, Dξ = 1.6 ,则 n 与 p 的值分别是 已知 头牛,因误食疯牛病毒污染的饲料被感染, (2)一牧场的 10 头牛,因误食疯牛病毒污染的饲料被感染,已知疯牛病发病 一牧场的 的概率为 0 02 ,若发病的牛数为 ξ 头,则 Dξ = 个黄球. (3) 一个袋子中装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球.从中同时取出 2 个, ) 则其中含红球个数的数学期望是 表示结果中有正面向上, (4) 同时抛掷两枚相同的均匀硬币,随机变量 ξ =1 表示结果中有正面向上, ) 同时抛掷两枚相同的均匀硬币, 表示结果中没有正面向上, ξ =0 表示结果中没有正面向上,则 Eξ =

滕州一中东校高三数学第一轮复习

选修 2-3 计数原理 学案 7 赵似花

创作时间:2006-12-2225

次独立重复试验, (5) 设一次试验成功的概率为 p,进行 100 次独立重复试验,当 p= ) , 成功次数的标准差的值最大, 时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为 典型例题分析: 三, 典型例题分析: 例 1,一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗遇到 ,一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗, 1 红灯这一件事是相互独立的, 红灯这一件事是相互独立的,并且概率都是 . 3 (1)求这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率; )求这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率; 的期望和方差. (2)求这位司机在途中遇到红灯数 ξ 的期望和方差. )

个黑球, 个黑球, 例 2,已知甲袋中有 3 个白球和 4 个黑球,乙袋中有 5 个白球和 4 个黑球,现在 , 个球,试求: 从两个袋中各取 2 个球,试求: 个球均是白球的概率; (1) 取得的 4 个球均是白球的概率; ) 的数学期望. (2) 取得白球个数 ξ 的数学期望. )

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选修 2-3 计数原理 学案 7 赵似花

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例 3,有甲,乙两种材料,从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下: ,有甲,乙两种材料,从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下:

ξ
P 甲

110 0.1 . 100 0.1 .

120 0.2 . 115 0.2 .

125 0.4 . 125 0.4 .

130 0.1 . 130 0.1 .

135 0.2 . 145 0.2 .

η
P乙

分别表示甲,乙两种材料的抗拉强度, 其中 ξ 和 η 分别表示甲,乙两种材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于 120 的条件下,比较甲,乙两种材料哪一种稳定性较好? 的条件下,比较甲,乙两种材料哪一种稳定性较好?

四,

强化训练: 强化训练: , D (5ξ + 3) =

1,设 ξ 服从二项分布 B(n,p ) ,则 E (5ξ + 3) = , 2,若 P 为非负实数,随机变量 ξ 的概率分布为: , 为非负实数, 的概率分布为:

ξ
P 则 Eξ 的最大值为

0
1 p 2

1
p

2
1 2

, Dξ 的最大值为
D 2 (ξ )

3, 随机变量 ξ 服从二项分布 ξ ~ B(n, p ) ,则 ,

(Eξ )2

=

4, 把 4 个球随机地投入 4 个盒子中去,设 ξ 表示空盒子的个数,求 Eξ , Dξ , 个盒子中去, 表示空盒子的个数,

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选修 2-3 计数原理 学案 7 赵似花

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班级 A 组:

姓名

滕州一中东校高三数学作业 学号

1 1,设随机变量 ξ 服从二项分布 B 4, ,则 Dξ = , 3

2,随机变量 ξ 的分布列为: 的分布列为:

ξ
P

0
1 5

1
p

x
3 10

且 E ξ = 1 . 1 , 则 Dξ =

3,抛掷一枚硬币,出现正面向上记 1 分,出现反面向上记 2 分,若一共抛出硬 抛掷一枚硬币,
且每一次抛掷的结果相互之间没有影响, 币 4 次,且每一次抛掷的结果相互之间没有影响,则总得分 ξ 的期望 Eξ =

B 组: 4,一袋中装有 6 只球,编号为 1,2,3,4,5,6,在袋中同时取 3 只,求三只 只球,
的数学期望. 球中的最大号码 ξ 的数学期望.


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