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福建省三明市2015年普通高中毕业班质量检查文科数学试题



2015 年三明市普通高中毕业班质量检查









本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).本试卷共 5 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.

请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超 出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1,x2, ?,xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 ? ( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? ? n

1 V ? Sh 3
其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 S 为底面面积,h 为高

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题 目要求的. 1.已知集合 A ? y y ? 2 , 0 ? x ? 1 ,集合 B ? ?1,2,3,4? ,则 A ? B 等于
x

?

?

A. ?0,1?

B. ?1, 2?

C. ?2,3?

D. ?0,1, 2?

2.已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i (i 为虚数单位) ,则 z ?

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

3.下列有关命题的说法中,正确的是 A. ?x ? R , lg x ? 0 B. ?x0 ? R ,使得 3 0 ? 0
x

C. “x ?

π 3 ”是“ cos x ? ”的必要不充分条件 6 2

D. “ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件 4.阅读如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是 A.14 C.30 B.20 D.55

5.函数 f ( x) = - x3 + 3x2 - 4 的图象在 x ? 1 处的切线方程为 A.x + 3 y + 5 = 0 B.3x - y - 5 = 0 C.3x + y - 1 = 0 D.x - 3 y - 7 = 0

6.抛物线 y 2 ? 4 x ? 0 上的点 P 到直线 x ? 2 的距离等于 4,则 P 到焦点 F 的距离 | PF |? A.1 B.2 C.3 D.4

7.已知实数 a 满足 a ? 2 ,则事件“点 M (1,1) 与点 N (2, 0) 分别位于直线 l : ax ? 2 y ? 1 ? 0 两侧” 的概 率为 A.

1 8
2 2

B.

3 8

C.

5 8

D.

3 4

8 .已知圆 C 的方程为 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,过直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上一点 P 作圆 C 的切线

PT ,
切点为 T ,则 | PT | 的最小值为 A. 2 2 C. 10 B. 3 D. 4

9.如图是某几何体的三视图,且正视图与侧视图相同,则这 个几何体的表面积是 A. π C. (5 ? 5)π

4 3

B. 7 π D. (4 ? 5)π

10.函数 y ? cos 2 x ? 2cos x ? 1 的最小值和最大值分别是 A. ? ,4

1 2

B.0,4

C. ? ,2

1 4

D.0,2

11.已知双曲线 ? : 曲线 ?

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,斜率为 3 的直线 l 经过双 a2 b2

的右焦点 F2 与双曲线 ? 在第一象限交于点 P ,若 ?PF1 F2 是等腰三角形,则双曲线 ? 的离心率 为 A. 3 B. 3 ? 1 C.

3 ?1 2

D.

3 ?1 2

?? x2 ? 1, ? 1 ? x ? 0, 12.已知函数 f ( x) ? ? 设方程 f ( x) ? x ? 1 的根按从小到大的顺序得到数列 x1 , x 2 , ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0,
?,

xn ,那么 x10 等于
A.8 B.9 C.10 D.11

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 13.某班共有学生 54 人,其中男生 30 人,为了调查该班学生对国学的兴趣情况,现按性别采用分 层抽样 的方法抽取一个容量为 18 的样本,则样本中女生的人数为 . 14.已知数列 {an } 是公比大于 1 的等比数列,其前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 是方程 x ? 5 x ? 4 ? 0 的
2

两根,则 S3 ?


?

15.在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,若 C ? 60 , c ? 2 ,则 a ? b 的最大值 为 .

16.如图,三条平行直线 l1 , l , l2 把平面分成①、②、③、④ 四个区域 (不含边界) , 且直线 l 到 l1 , l2 的距离相等. 点O 在直线 l 上,点 A , B 在直线 l1 上, P 为平面区域内的点, 且满足 OP ? ?1 OA ? ?2 OB (?1 , ?2 ? R) .若 P 所在的区域 为④,则 ?1 ? ?2 的取值范围是 .

??? ?

??? ?

??? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDE 中, CD 和 BE 都垂直于平面 ABC , 且 ?ACB ? 90? , AB ? 4 , BE ? 1 , CD ? 3 , DE ? 2 2 . (Ⅰ)求证: BE ∥平面 ACD ; (Ⅱ)求多面体 ABCDE 的体积.

D

E C B A

18. (本小题满分 12 分) 某市园林管理处为了了解在某片土地上培育的树苗的生长情况,在树苗种植一年后,从中随机抽 取 10 株, 测得它们的高度 (单位: cm) , 并将数据用茎叶图表示 (如图) , 已知 x ? [6,9] , 且 x?N . (Ⅰ) 若这 10 株树苗的平均高度为 130cm,求 x 值; ,140) 和 [140,150) 内的树苗中随机抽取两株,若这两 11 (Ⅱ)现从高度在 [130 4 6 株树苗平均高度不高于 139cm 的概率为

1 ,求 x 的可能取值. 2

12 13 14

2 4 8 6 4 2

6 x

19.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3sin x ,1 ? 3 cos x) , n ? (1 ? sin x,cos x ) ,函数 f ( x) ? m ? n + 3 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的零点; (Ⅱ)若 f (? ) ?

8 π ,且 ? ? ( , π) ,求 cos? 的值. 5 2

20.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 和为 S n ,且 a5 ? S3 ? 9 . (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

2 ,集合 ? ? {Tn | Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , n ? N+ } , an an ?1

(ⅰ)求 Tn ; (ⅱ)若 Ti , Tj ?? (i , j ? 1, 2 , ? , n) ,求 Ti ? T j 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 ? :

1 x2 y 2 ? 2 ?1 (a ? b ? 0) 的离心率为 , 其左、 右焦点分别是 F1 (?1,0) 和 F2 (1, 0) , 2 2 a b

过点 F2 的直线交椭圆于 A , B 两点. (Ⅰ)求椭圆 ? 的标准方程;

5 ,求三角形 AF 1 F2 的面积; 2 (Ⅲ)在椭圆 ? 上是否存在点 P ,使得点 P 同时满足:①过点 P 且平行于 AB 的直线与椭圆 ? 有
(Ⅱ)若 |AF2 |= 且只有一个公共点;②线段 PF1 的中点在直线 AB 上?若存在,求出点 P 的坐标;否则请 说明理由.

22.(本小题满分 14 分)
2 设函数 f ( x) ? 4ln x ? ax ? bx (a, b ? R ) , f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,且 1 和 4 分别是 f ( x) 的两

个极值 点. (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 (m, m ? 3) 上是单调函数,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)若对于 ?x1 ?[1,e] , ?x2 ?[1,e] ,使得 f ( x1 ) ? ?[ f ?( x2 ) ? 5] ? 0 成立,求实数 ? 的取值 范围.

2015 年三明市普通高中毕业班质量检查
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题: 1-6 BCDCBC 二、填空题: 13.8 三、解答题: 17.解: (Ⅰ)因为 CD 和 BE 都垂直平面 ABC ,所以 BE ∥ CD , 又 CD ? 平面 ACD , BE ? 平面 ACD , 所以 BE ∥平面 ACD . (Ⅱ)因为 CD 和 BE 都垂直平面 ABC ,所以 BE ∥ CD , 则四边形 BCDE 是直角梯形, 在平面 BCDE 内过点 E 作 EF ∥ BC ,交 CD 于点 F , 因为 BE ? 1 , CD ? 3 , DE ? 2 2 ,??????(7 分) 在直角三角形 DEF 中, EF ? DE 2 ? DF 2 ? 2 , 所以 BC ? EF ? 2 ,??????????????(8 分) 在直角三角形 ABC 中, AC ? AB2 ? BC 2 ? 2 3 ,????(9 分) 因为 AC ? BC , AC ? DC ,所以 AC ? 平面 DCBE , 而四边形 BCDE 的面积 S ? ( BE ? CD) ? BC ? 4 , ?????? (10 分) 因此多面体 ABCDE 的体积为 V ? S ? AC ? ????????????(6 分) ??????????(5 分) 14.7 15.4 16. (??, ?1) 7—12 BACADB

D

F E C B A

1 2

1 3

8 3 . ?????????????(12 分) 3

18.解: (Ⅰ)设高度高在 [140,150) 的另一株高度为 y (其中 y ? 140 ? x ) , 由

116 ? 119 ? 122 ? 127 ? 124 ? 128 ? 136 ? 134 ? 146 ? y ? 130 , 10
????????????????????(5 分)

得 y ? 148,于是 x ? 8 .

(Ⅱ)由题知,从高度在 [130,140) 和 [140,150) 内的树苗中随机选取两株有以下 10 种选法: (132,134) , (132,136) , (134,136) , (132,146) , (134,146) , (136,146) , (132, z ) , (134, z ) , (136, z ) , (146, z ) , (其中 z ? 140 ? x ) ??????(7 分)

则前六组的平均数分别为 133,134, 135,139,140,141,有 4 组平均高度不高于 139, 由于 p ?

1 ,后四组中只能有一组的平均高度不高于 139,????????????(10 分) 2

显然是(132, z )这一组满足题意. 又由

132 ? z ? 139 ,得 z ? 146 ,注意到 x ? [6,9] ,于是 x ? 6 . 2

???????(12 分)

19.解: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n + 3 ? 3sin x ? 3sin 2 x ? cos x ? 3 cos2 x ? 3

? 3 sin x ? cos x

π ? 2sin( x ? ) ,????????????????????????????(3 6
分)

π π ? kπ (k ? Z) ,所以 x ? kπ ? (k ? Z) , 6 6 π 所以函数 f ( x) 的零点为 x ? kπ ? (k ? Z) . ???????????????????? (6 6
由 2sin( x ? ) ? 0 ,得 x ? 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (? ) ? 2sin(? ? ) ? 分) 因为 ? ? ( , π) , 所以 分) 所以 cos? ? cos[(? ? ) ? ] ? cos(? ? )cos

π 6

π 6

8 π 4 ,所以 sin(? ? ) ? ,????????????(8 5 6 5

π 2

2π π 7π π 3 则c ????????????? (10 ?? ? ? , o s ( ?? ) ?? , 3 6 6 6 5

π π π π π π ? sin(? ? )sin 6 6 6 6 6 6 3 3 4 1 4?3 3 ?? ? ? ? ? . ????????????????????? (12 5 2 5 2 10
1 2

分) 20.解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,由 an ? a1 ? (n ? 1)d , Sn ? na1 ? n(n ? 1)d ,

?a1 ? 4d ? 9, 且 a5 ? S3 ? 9 ,得 ? 解得 a1 ? 1 , d ? 2 , ?3a1 ? 3d ? 9,
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 .????????????????( 4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n ? 1 ,所以 bn ?

2 2 1 1 ? ? ? ,????(6 分) an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

(ⅰ) Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

1 3

1 1 3 5

1 1 5 7

1 1 ? ) 2n ? 1 2n ? 1

?1?

1 . 2n ? 1

???????????????????????????? (8 分)

(ⅱ)因为 Tn ?1 ? Tn ? (1 ?

1 1 2 ) ? (1 ? )? ? 0, 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 3)

所以数列 {Tn } 是递增数列,即 T1 ? T2 ? T3 ? ? ? Tn ,

2 ,而 Ti , Tj ?? (i , j ? 1, 2 , ? , n) , ??????(9 分) 3 4 故 i ? j ? 1 时, | Ti ? T j | 取得最小值为 . ???????????????????(10 分) 9 1 又 Tn ? 1 ? (n ? N? ) ,所以 Tn ? 1 ,则 | Ti ? T j |? 1 ,??????????????(11 分) 2n ? 1 4 因此 ? Ti ? Tj ? 1 . ????????????????????????????(12 分) 9
所以当 n ? 1 时, Tn 取得最小值为 21.解法一: (Ⅰ)由已知, e ?

c 1 ? , c ? 1 ,解得 a ? 2 , b ? 3 , a 2

从而椭圆 ? 的标准方程为: 分)

x2 y 2 ? ? 1 . ?????????????????????? (3 4 3
5 3 ? , ????????????????? 2 2

(Ⅱ)由椭圆定义可得: |AF1| ? 2a ?|AF2 |=4 ? (4 分)

2 2 2 又| F 1F 2 |? 2 ,因此有 | AF 1 2 , ???????????(5 2 | ?| AF 1 | ?| F 1F 2 | ,即 AF1 ?FF

分) 故可得△ AF1 F2 的面积为 分) (Ⅲ)存在,点 P 的坐标为 ( , ?

3 . ??????????????????????????(6 2

4 3

15 ) .理由如下: 3

当直线 AB ? y 轴时,与题意不符. 故设直线 AB : x ? ty ? 1 , 由此可得过点 P 且平行于 AB 的直线为 l : x ? ty ? m ( m ? 1 ) ,

∵线段 PF1 的中点在直线 AB 上, ∴点 F1 到直线 AB 的距离等于两平行直线 AB 与 l 之间的距离, 即:

| ?1 ? 1| t 2 ?1

?

| ?m ? 1| t 2 ?1

, 解得 m ? ?1 或 m ? 3 . ?????????????????? (9

分) 由于 m ? ?1 时, 直线 l : x ? ty ? 1 过点 F1 , 不符合条件, 故舍去. ??????????? (10 分) 由此得直线 l 为 x ? ty ? 3 ,并与方程

x2 y 2 ? ? 1 联立, 4 3
??????????????????? (11

得到 (3t 2 ? 4) y 2 ? 18ty ? 15 ? 0 , ?① 分) 由于直线为 l 与椭圆有且只有一个公共点,

故 ? ? (18t )2 ? 4 ? (3t 2 ? 4) ?15 ? 0 ,解得 t ? ?

15 , 3

此时方程①为 3 y 2 ? 2 15 y ? 5 ? 0 , y ? ?

15 为点 P 的纵坐标, 3

满足题意的点 P 的坐标为 ( , ? 分) 解法二: (Ⅰ) , (Ⅱ)同解法一. 分) (Ⅲ)存在,点 P 的坐标为 ( , ? 当 AB ? x 轴时,不合题意.

4 3

15 ) . ?????????????????????(12 3

??????????????(6

4 3

15 ) .理由如下: 3

故设直线 AB : y ? k ( x ? 1) ,过 P 平行于 AB 的直线 l 的方程为: y ? kx ? m , 由题可知

| ?k ? k | 1? k
2

?

|m?k| k2 ?1

,得 m ? k 或 m ? ?3k ,

???????????????(9

分)

当 m ? k 时,直线 l : y ? kx ? m 过左焦点 F1 ,不合题意,舍去,所以 m ? ?3k ,????(10 分)

? y ? k ( x ? 3), ? 由 ? x2 y2 消去 y 得:(3 ? 4k 2 ) x2 ? 24k 2 x ? 36k 2 ? 12 ? 0 , ?????????? (11 分) ? 1, ? ? 3 ?4
由 ? ? 0 ,得 k 2 ?

3 , 5

24 k 2 8 3 4 ,将 k 2 ? 代入得 2 x0 ? ,? x0 ? , 3 ? 4k 2 3 5 3 5 4 5 于是 y0 ? ? ,? P( , ? ) 即为所求. ?????????????????(12 3 3 3
设 P( x0 , y0 ) ,则 2 x0 ? 分) 22. 解: (Ⅰ) f ?( x ) ? (2 分) 由题意可得: 1 和 4 分别是 f ?( x) ? 0 的两根,

4 2ax 2 ? bx ? 4 ? 2ax ? b ? (x ? 0) ,??????????????? x x

b 4 1 , 1? 4 ? ,解出 a ? , b ? ?5 . 2 2a 2a 1 2 ∴ f ( x) ? 4 ln x ? x ? 5 x . ??????????????????????????? (4 2
即1 ? 4 ? ? 分) (Ⅱ)由上得 f ?( x) ?

4 ( x ? 1)( x ? 4) ? x?5 ? (x ? 0) , x x

由 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 4 ; 由 f ?( x) ? 0 ? 1 ? x ? 4 . 故 f ( x) 的单调递增区间为 (0,1) 和 (4, ??) , 单调递减区间为 (1, 4) , ?????????? (6 分) 从而对于区间 (m, m ? 3) , 有? 分) 解得 m 的取值范围:{1} ? [4, ??) . ??????????????????????(9

? 0 ? m, ? 1 ? m, 或? 或 m ? 4 , ??????????? (8 ?m ? 3 ? 1, ?m ? 3 ? 4,

分) (Ⅲ) “对于 ?x1 ?[1,e] ,?x2 ?[1,e] , 使得 f ( x1 ) ? ?[ f ?( x2 ) ? 5] ? 0 成立” 等价于 “ ?x2 ?[1,e] , 使 ?[ f ?( x2 ) ? 5] ? [? f ( x1 )]min ( x1 ? [1,e] )成立” . 由上可得: x1 ? [1,e] 时, f ( x1 ) 单调递减,故 ? f ( x1 ) 单调递增,∴ [? f ( x1 )]min ? ? f (1) ?

9 ; 2

?????????????????????????????? (11 分) 又 x2 ? [1, e] 时, f ?( x2 ) ? 5 ?

4 ? x2 ? 0 且在 [1, 2] 上递减,在 [2, e] 递增, x2

∴ [ f ?( x2 )]min ? f ?(2) ? 4 , ?????????????????????????? (12 分) 从而问题转化为“ ?x2 ?[1,e] ,使 ? ( x ? ) ?

4 x

9 ” ,即“ ?x2 ?[1,e] ,使 ? ? 2

9 4 2( x ? ) x

成立” ,

故? ?[

9

4 2( x ? ) x 9 ∴ ? ? ( ??, ) . ??????????????????????????????? (14 8
分)

]max ?

9 9 ? . 2? 4 8



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