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四川省成都市六校协作体2014-2015学年高二数学下学期期中联考试题 理



成都市六校协作体高 2013 级第四学期期中试题 理科数学
(全卷满分:150 分 完成时间:120 分钟) 注意事项: 选择题答案用铅笔涂写在机读卡上 ,每小题选出答案后,用铅笔把对应题目的答案标号涂黑.其 它题答在答题卷上. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题(本大题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一 项是符

合题目要求的.) 1.一人连续投掷硬币两次,事件“至少有一次为正面”的互斥事件是 A.至多有一次为正面 B.两次均为正面 C.只有一次为正面 D.两次均为反面 ( ▲ )

?4),则它的标准方程为 ( ▲ ) 2.已知等轴双曲线经过点 M (5,

x2 y2 ? ?1 9 A. 9 x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ? 1 9 9 9 C. 9
2

y2 x2 ? ?1 9 B. 9 x2 y2 ? ?1 D. 41 41
( ▲ )

3.已知 f ( x) ? x ? 3xf '(1) ,则 f '(1) 为 A.-1 B.-2 C .0 D.1 4.下列有关命题的说法正确的是: ( ▲ )

A.命题“若 x2>1,则 x>1”的否命题为“若 x2>1,则 x ? 1 ”. B. “x=-1”是“x2-2x-3=0”的必要不充分条件. C.命题 ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, 均有x ? x ? 1 ? 0 ”.
2 2

D.命题“若 x=y,则 cosx=cosy”的逆否命题为真命题.

x2 y2 ? ?1 2 3 5.若双曲线 a 的离心率为 2,则此双曲线的顶点到渐近线的距离等于

( ▲ )

A. 2

B.

3 2

3 C. 2

D.

3

E:
6.已知椭圆

x2 y2 + =1 a 2 b2 的左右焦点分别为 F1,F2,过右焦点 F2 作 x 轴的垂线,交椭圆
( ▲ )

于 A,B 两点.若等 边△ABF1 的周长为 4 3 ,则椭圆的方程为

-1-

x2 y2 ? ?1 2 A. 3

x2 y2 ? ?1 6 B. 3

x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 3 4 C. 2 D. 9

7.已知函数 y ? f ( x) 的图象是下列四个图象之一,且

y ? f ?( x)

? 其导函数 y ? f ( x) 的图象如右图所示,则该函数的
图象可能是 ( ▲ ) 6 题图

A

B

C

D

8.已知 A ? {x |1 ? x ? 5} , B ? {x | ( x ? a ? 1)( x ? a ? 1) ? 0} ,条件 p: x ? A ,条 件 q: x ? B ,若 A. (2, 4]

? p 是 ? q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( ▲ )
B. [2, 4] C.

? 2, 4?

D.

? 2,4 ?
开始 输入x 否 y=x+3 x≥0? 是 y=x-5 是 x>0? 否 y=0

y?
9.已知

1 3 x ? bx 2 ? (b ? 6) x ? 3 3 在 R 上存在三个

单调区间,则 b 的取值范围是( ▲ ) A. b ? -2或b ? 3 C. ? 2 ? b ? 3 B. - 2 ? b ? 3 D. b ? -2或b ? 3

10.执行如图所示的程序框图 , 在集合 A ? { x ? Z | ?9 ? x ? 10 }

输出y 结束

3] 中随机地取一个数值作为 x 输入,则输出的 y 值落在区间[?4,
内的概率为( ▲ ) 2 3 A. 3 B. 4
4 C. 5 5 D. 6

10 题图

11.若已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点 ,且左右焦点分别为 F1,F2,且两条曲线在第
-2-

一象限的交点为 P,△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双 曲线的离 心率分别为 e1,e2,则 e1·e2 的取 值范围是 ( ▲ )

A. (0,+∞)

1 B. ( 3 ,+∞)

1 C. ( 5 ,+∞)

1 D. ( 9 ,+∞)

12.若实数 a,b, c, d 满足

(b ? 2a 2 -6lna)2 ? 2c ? d ? 6 ? 0 (a ? c)2 ? (b ? d )2 , 的最小值为 m ,

1 f ( x) ? e x ? mx ? 3 5 则函数 零点所在的区间为( ▲ )

? 1 ? ? 1? ? ? ,0? ? 0, ? A. ? 4 ? B . ? 4 ?
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

?1 1? ? , ? C. ? 4 2 ?

?1 ? ? ,1? D. ? 2 ?

二.填空题(本大题共有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案直接填在答题卷指定的横线上.) 13.在边长为 1 的正方体内部有一个与正方体各面均相切的球, 一动点在正方体内运动, 则此 点落在球的内部的概率为 ▲ . 14.函数 f(x)=x3+ax-2 在区间[1,+∞)内是增函数,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

2 15.已知 P 为抛物线 x ? 4 y 上的动点,点 P 在抛物线准线上的射影为 M,点 A 的坐标是 (2, 0) ,则

| PA | ? | PM |

的最小值为





16.下列五个命题: ①“ a ? 2 ”是“ f ( x) ? ax ? sin x 为 R 上的增函数”的充分不必要条件;

1 f ( x) ? ? x3 ? x ? 1 3 ②函数 有两个零点;
1 ③集合 A={2,3 },B={1,2,3},从 A,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于 4 的概率是 3 ;
y ④动圆 C 既与定圆 ( x ? 2) ? y ? 4 相外切,又与 轴相切,则圆心 C 的轨迹方程
2 2

是 y ? 8x( x ? 0) ;
2

f ( x) ? a ln( x ? 2) ?
⑤若函数 确的命题序号是 ▲ .

x x ? 1 ( x ? ?2 , a ? R )有最大值,则 f ( x) 一定有最小值.其中正
2

-3-

三.解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知命题 p:对任意实数 x 都有 x ? ax ? a ? 0 恒成立;
2

2 命题 q:关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有实数根;

如果“或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)

3 点 P(x,y)与定点 ( F 3 3,0) 的距离和它到直线 l : x ? 4 3 的距离的比是常数 2 ,
(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 m 与 P 的轨迹交于不同的两点 B、C,当线段 BC 的中点为 M(4,2)时, 求直线 m 的方程.

19.为了了解“中国好声音”在大众中的熟知度,随机对 15~65 岁的人群抽样了 n 人有关回答 问题,统计结果如下图表. 回答 正确 的人数 a 18 b 9 3 回答正确 的人数占本 组的频率 0.5 x 0.9 0.36 y

频率 组距

组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组

分组 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55)

0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

(Ⅰ)分别求出 a,b,x,y 的值; (Ⅱ)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样 的方法抽取 6 人,再从这 6 人中随机抽取 2 人, 求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率.

15 25 35

45

55

65 年龄

17 题图

20.(本小题满分 12 分) x3 设函数 f(x)= 3 -(a+1)x2+4ax+b,其中 a,b∈R. (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在(-1,1)内有且只有一个极值点,求实数 a 的取值范围.

-4-

21. (本小题满分 12 分)

ab y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 以椭圆 C: a 的中心 O 为圆心,以 2 为半径的圆称为该椭圆
3 的“伴随”.已知椭圆的离心率为 2 ,抛物线 x2=8y 的准线过此椭圆的一个顶点.
(Ⅰ) 求椭圆 C 及其“伴随”的方程;

???? ? ???? (Ⅱ)如果直线 m:y=x-b 与抛物线 x2=8y 交于 M,N 两点,且 OM ? ON ? 0 ,求实数 b 的值;
(Ⅲ) 过点 P(0,m)作“伴随”的切线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,记△A0B(0 为坐标原点)的 面积为 S△A0B , 将 S△A0B 表示为 m 的函数, 并求 S△A0B 的最大值.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? 2 x ? 3x.
x 2

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)判断函数 f ( x) 极值点的个数并说明理由;

? (Ⅲ) k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) ( f ( x) ? 4 x ? 2) +x+1>0,求 k 的最大值.

-5-

成都市六校协作体高 2013 级第四学期期中试题 理科数学参考答案 一.选择题 1.D 2.A 3.A 4.D 二.填空题

5.B

6.A

7.C 8.B

9.D

10.C 11.B

12.C

? 13. 6
三.解答题

14.

??3, ???
2

15. 5

16. ①③⑤

17. 解:对任意实数 x 都有 x ? ax ? a ? 0 恒成立

? ?<0 ? 0 ? a ? 4
命题

p :? 0 ? a ? 4

??????????????????2 分
? 1 ? 4a ? 0 ? a ? 1 4;

2 关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有实数根 ? ? ? 0

命题 :

q

?a?

1 4

??????????????4 分 ??????????????6 分

∵“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题, ∴p 与 q 一真一假.

?0 ? a ? 4 1 ? ?? ? ?a?4 1 4 a? ? p q ? 4 如果 正确,且 不正确 ;

?????8 分

?a ? 0或a ? 4 ? ?? ?a?0 1 a? ? q p ? 4 如 果 正确,且 不正确

????10 分

所以实数 a 的取值范围为

? ??,0? ? ? ?

1 ? ,4 ? ? 4 ? ??????????????12 分

( x ? 3 3)2 ? y 2

18. 解:(Ⅰ)动点

P ( x, y )

满足

|x?4 3|

?

3 2

,

x2 y2 ? ?1 化简得 36 9

????????????????6 分

(Ⅱ)法一:由题意可设直线 l 的方程为 y-2=k(x-4),
-6-

而椭圆的方程可以化为 x2+4y2-36=0. 将直线方程代入椭圆的方程有 (4k2+1) x2-8 k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0.(*)

8k (4k ? 2) ?8 2 1 ∴x1+x2= 4k ? 1 ,∴k=-2.
k=-代入方程(*) ,经检验 ? ? 0 1 ∴直线 l 的方程为 y-2=-2(x-4), 即 x+2y-8=0. ????????????????12 分

本题也可用点差法,但要注意检验的过程。若未检验,酌情扣分。

9 ? 25 19.解: (Ⅰ)由频率表中第 4 组数据可知,第 4 组总人数为 0.36 , 25 ? 100 再结合频率分布直方图可知 n= 0.025 ? 10 , x?
∴ a=100×0.01×10×0.5=5, b=100×0.03×10×0.9=27, ???????????4 分 (Ⅱ)因为第 2,3,4 组回答正确的人数共有 54 人,

18 ? 0.9, 20

y?

3 ? 0.2 15

18 ?6 ? 2 所以利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为:第 2 组: 54 人;第 27 9 ?6 ? 3 ?6 ?1 3 组: 54 人;第 4 组: 54 人????????????????8 分
设第 2 组 2 人为:A1,A2;第 3 组 3 人为:B1,B2,B3;第 4 组 1 人为:C1. 则从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果为:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1), (A2,B1) ,(A2,B2) , (A2,B3) , (A2,C1), (B1,B2) ,(B1,B3) ,(B1,C1), (B2,B3) ,(B2,C1) , (B3,C1) 共 15 个基本事件,其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件, ?????????10 分

P?
∴ 所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率是:

3 1 ? 15 5 .

??????12 分

20.解:(Ⅰ)因为 f′(x)=x2-2(a+1)x+4a= (x-2a)(x-2), 令 f′(x)=0,得 x=2a 或 x=2. 当 a>1 时,f(x)的单调递增区间为(-∞,2),(2a,+∞);
-7-

当 a=1 时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞); 当 a<1 时,f(x)的单调递增区间为(-∞,2a),(2,+∞).

????6 分

?a ? 1 ? f '( ?1) f '(1) ? 0 解得-1<a<1. (Ⅱ)由题意可得 ?
2 2

? 1 1? ?? , ? 所以 a 的取值范围是 ? 2 2 ? .

???????????????12 分

3 21.解: (Ⅰ) 椭圆 C 的离心率为 2 , 则 a=2b,

y2 x2 + 2=1 2 b 设椭圆 C 的方程为 4b ????????????????1 分
y 抛物线 x ? 8 y 的准线方程为 y ? ?2 ,它与 轴的交点 (0, ?2) 是椭圆的一个顶点
2

故 a ? 2 ,∴ b ? 1 ,??????????????????????2 分

y2 ? x2 ? 1 C 4 ∴椭圆 的标准方程为 ,
椭圆 C 的“伴随”方程为 x ? y ? 1. ??????????????3 分
2 2

(Ⅱ)设 M(x3,y3) ,N(x4,y4)

?y ? x ?b 得 ? 2 ?x ? 8y , x2-8x+8b=0
△=64-32b>0 b<2 则 x3+x4=8 , x3x4=8b

△=64-32b>0

∴ b<2

???? ? ???? 2 OM ? ON ? 0 ? x3 y3 ? x4 y4 ? 0 ? x3 x4 ? y3 y4 ? 0 ? 2 x3 x4 ? b( x3 ? x4 ) ? b ? 0
∴b=0 或-8 经检验,符合题意 ∴b=0 或-8 (Ⅲ) 由题意知, | m |? 1 . 易知切线 l 的斜率存在,设切线 l 的方程为 y ? kx ? m, ????????????????6 分

-8-

? y ? kx ? m, ? 2 ?y 2 ? ? x ? 1 (k 2 ? 4) x2 ? 2k mx ? m2 ? 4 ? 0 由? 4 得 ????????????????7 分

( x , y ) ( x2 , y2 ) , 则 设 A , B 两点的坐标分别为 1 1 ,
x1 ? x2 ? ?

m2 ? 4 2km x x ? 1 2 k2 ? 4 , k 2 ? 4 .???????????????8 分

|m|
2 又由 l 与圆 x + y = 1 相切, 所以 k + 1

2

2

=1

2 2 , k = m - 1.

所以

| AB |= 1 + k 2 ( x1 + x2 ) 2 - 4 x1 x2

=

4k 2 m2 4(m2 - 4) 4 3 | m| (1+ k )[ 2 ]= 2 2 (k + 4) k +4 m2 + 3 ????????????10 分
2

S?AOB ?
S ?AOB ?

2 3m 1 AB ? 2 2 m ? 3 , m ? 1 .?????????????????11 分

2 3 2 3 ? ?1 3 3 m? 2 m m m

(当且仅当 m ? ? 3 时取等号) ?????????????12 分

S 所以当 m ? ? 3 时, ?AOB 的最大值为 1.

? ? 22.解: (Ⅰ) f ?x? ? e ? 4 x ? 3, 则f ?1? ? e ? 1 又 f ?1? ? e ? 1 ,
x

?曲线y ? f ?x ?在点?1, f ?1?? 处的切线方程为: y ? e ? 1 ? ?e ? 1??x ? 1?,即?e ? 1?x ? y ? 2 ? 0 ?????????4 分
(Ⅱ)

? f ? ?0? ? e0 ? 3 ? ?2 ? 0, f ? ?1? ? e ? 1 ? 0 ? f ??0? ? f ??1? ? 0, , 月分
x

x h? ? x ? ? e ? 4x ? 0, ? 令 h?x? ? f ?x? ? e ? 4x ? 3 ,则

? f ? ? x ? 在?0,1?

上单调递增,

? f ??x ?在?0, 1? 上存在唯一零点,? f ?x ?在?0,1? 上存在唯一的极值点???8 分

-9-

? (Ⅲ)解:(x-k) ( f ( x) ? 4 x ? 2) +x+1>0 可化为(x-k)(ex-1)+x+1 ? 0 .
等价于 k< x+1 +x (x>0).①??????????????????10 分 ex-1

x+1 令 g(x)= +x,则 ex-1 -xex-1 ex?ex-x-2? g′(x)= +1= . ?ex-1?2 ?ex-1?2

? h(x)=ex-x-2, h ( x) ? e ?1 ? 0 , h( x) 在(0,+∞)上单调递增.而 h(1)<0,h(2)>0,所以
x

h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.????????????12 分 故 g′(x)在(0,+∞)存在唯一的零点.设此零点为 α,则 α∈(1,2). 当 x∈(0, α)时, g′(x)<0; 当 x∈(α, +∞)时, g′(x)>0.所以 g(x)在(0, +∞)上的最小值为 g(α). 又 由 g′(α)=0, 可得 eα=α+2,所以 g(α)=α+1∈(2,3). ????????????13 分 由于①式等价于 k<g(α),故整数 k 的最大值为 2. ???????????14 分

- 10 -



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