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上海市2014届高考数学模拟试卷



上海市 2014 届高考数学模拟试卷
考生注意: 1. 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料, 所有解答必须写在答题纸上规定位置, 写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效; 得分 评卷人 2.答卷前,考生务必将学校、姓名、学号等相关信息在答题纸上填写清 楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一、填空题(本大题满分 56 分,共

14 小题,每小题满分 4 分) 1.函数 y ? x ? bx ? c ( x ? [0, ??)) 是单调函数的充要条件是
2

2.若抛物线 y ? 2 px 的焦点坐标为(1,0),则 p =____
2

3.若 2、 a 、 b 、 c 、9 成等差数列,则 c ? a ? ___________

?1? 4.函数 y ? ? ? ?2?

| x | ?2

的值域是

5.已知正四棱锥的所有棱长均相等,则侧面与底面所成二面角的余弦值为_________
5 2 5 6. 设 (2 x ? 3) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a5 x , 则 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ?

7.下图是某市 5 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图 (空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染)

由图判断从 5 月

日开始连续三天的空气质量指数方差最大

? ? ? ? ? ? ? ? 8.若非零向量 a, b 满足 a ? 3 b ? a ? 2b ,则 a, b 夹角的余弦值为_______
9. 设 0 ? ? ? ? , 不等式 8 x ? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立 , 则 ? 的取值范围为
2

____________. 10.某轻轨列车有 4 节车厢,现有 6 位乘客准备乘坐,设每一位乘客进入每节车厢是等可能 的,则这 6 位乘客进入各节车厢的人数恰好为 0,1,2,3 的概率为

x2 y2 ? ? 1 的左焦点, P, Q 为 C 上的点,若 PQ 的长等于虚轴长的 2 11.已知 F 为双曲线 C : 9 16
倍,点 A ? 5, 0 ? 在线段 PQ 上,则 ?PQF 的周长为___________

12.设 a + b = 2, b>0, 则

1 |a| 的最小值为______ ? 2|a| b

13.若定义在区间 D 上的函数 f ? x ? 对于 D 上的任意 n 个值 x1 , x 2 ,?, x n 总满足,

f ? x1 ? ? f ?x 2 ? ? ? f ?x n ? ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? x n ? ? f? 1 现已知 ? 则称 f ? x ? 为 D 上的凸函数, n n ? ?

f ?x ? ? cos x 在(0,
值是_______

? )上是凸函数,则在锐角 ?ABC 中, cos A ? cos B ? cosC 的最大 2

14.对于各数互不相等的正数数组 ?i1 , i2 , ?, in ? ( n 是不小于 2 的正整数) ,如果在 p ? q 时 有 i p ? iq ,则称 i p 与 i q 是该数组的一个“逆序” ,一个数组中所有“逆序”的个数称为此 数组的“逆序数” 。例如,数组 ?2,4,3,1? 中有逆序“2,1” , “4,3” , “4,1” , “3,2” ,其“逆 序数”等于 4。若各数互不相等的正数数组 ?a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 , a6 ? 的“逆序数”是 2,则

?a6 , a5 , a4 , a3 , a2 , a1 ? 的“逆序数”是
二、选择题(本大题满分 20 分,共 4 小题,每小题满分 5 分) 得分 评卷人 15.方程 log 3 x ? x ? 3 的解所在区间是 A. (0,2) B(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 1 0.5 2 1 a b c
C1

16.在如图的表格中,每格填上一个数字 后,使每一横行成等差数列,每一纵行成等比 数列,则 a+b+c 的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 1 17.如图, 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1 , 点 M 在棱 AB 上, 且 AM ? , 点P 3 是平面 ABCD 上的动点,且动点 P 到直线 D
1

A1 D1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1 ,则动点 P 的轨迹是 A1
A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线
D P

B1

18.函数 y ? x ? sin x , x ? [?? , ? ] 的大致图象是 y y y
A

C B

M

?
??
o A

?
x

y

?
?
??
x o C

? ? ??
??
x o D

? ??

?? o
B

? ??

x

三、解答题(本大题满分 74 分,共 5 小题)

得分

评卷人

19.(本题满分 12 分)第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分.第(3)小题 4 分. 已知边长为 6 的正方形 ABCD 所在平面外 P 一点 P,PD?平面 ABCD,PD=8

(1)连接 PB、AC,证明:PB ? AC (2)连接 PA,求 PA 与平面 PBD 所成的角的大小 (3)求点 D 到平面 PAC 的距离。 A B D C

得分

评卷人

20.(本题满分 14 分)第(1)小题 7 分,第(2)小题 7 分. 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,面积为 S,且 满足:

C C? ? S ? ? tan ? cot ? ? 18 . 2 2? ?
(1) 求 ab 的值; (2) 若 c ? 3 2 ,试确定∠C 的范围.

得分

评卷人

21.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 8 分,第(2)小题 6 分. 设某旅游景点每天的固定成本为 500 元,门票每张为 30 元,变动成本与 .....

购票进入 旅游景点的人数的算术平方根成正比 。一天购票人数为 25 时, .... ................ 该旅游景点收支平衡;一天购票人数超过 100 时,该旅游景点须另交保险费 200 元。设每天 的购票人数为 x ,盈利额为 y 。 (1)求 y 与 x 之间的函数关系,并用程序框图描述算法(要求:输入购票人数,输出盈利 额) (2)该旅游景点希望在人数达到 20 人时即不出现亏损,若用提高门票价格的措施,则每张 门票至少要多少元(取整数)? 注:可选用数据: 2 ? 1.41, 3 ? 1.73, 5 ? 2.24 .

得分

评卷人

22.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分 已知函数 f ? x ? ?

1 x ?4
2

?x ? ?2?

(1)求 f

?1

?x ? ;
1 a n ?1
2

(2)设 a1 ? 1 ,
2

??f

?1

?an ??n ? N * ? ,求 a n ;
2

* (3) 设 bn ? a n ?1 ? a n ? 2 ?... ? a 2 n ?1 , 是否存在最小正整数 m, 使对任意 n ? N , 有 bn ?

m 25

成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由。

得分

评卷人

23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 8 分,第(3)小题 6 分. 已知半椭圆
2 2

x2 y 2 y 2 x2 与半椭圆 ? ? 1 x ? 0 ? ? 1? x ? 0 ? 组成的曲 ? ? a 2 b2 b2 c2
2

线称为“果圆” ,其中 a ? b ? c , a ? 0, b ? c ? 0 。如图,设点 F0 , F1 , F2 是相应椭圆 的焦点, A1 , A2 和 B1 , B 2 是“果圆” 与 x , y 轴的交点, (1)若三角形 F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形,求“果圆”的方程; (2)若 A1 A ? B1 B ,求

b 的取值范围; a

(3)一条直线与果圆交于两点,两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数 k ,使得斜率 为 k 的直线交果圆于两点, 得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上?若存在, 求出所有 k 的值;若不存在,说明理由。

y
B2

.F
A1

2

O M

.

.

F0

A2

x

F1 B1

参考答案
b?0
1 4 2 2 3 5 6

7 2

? 1? ? 0, ? ? 4?
5

3 3
?
44

55

7 1 0 1 3 1 5 1 8

8 1 1

1 3

9 1 2

45 128

? 5? [0, ] ? [ , ? ] 6 6 3 4

3 2
C C

1 4 1 6

13
A 1 7 B

19.(本题满分 12 分)第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分.第(3)小题 4 分. (1)证明:连接 BD,在正方形 ABCD 中,AC ? BD, 又 PD?平面 ABCD,所以,PD?AC, 所以 AC ?平面 PBD,故 PB ? AC。 (2) 解: 因为 AC ?平面 PBD, 设 AC 与 BD 交于 O, 连接 PO, 则?APO 就是 PA 与平面 PBD 所成的角 在?APO 中,AO=3 2 ,AP = 10 所以 sin ?APO = P

3 2 10

D A O B

C

3 2 ?APO=arcsin 10
PA 与平面 PBD 所成的角的大小为 arcsin

3 2 10

(3)解:连接 PC,设点 D 到平面 PAC 的距离为 h, 则有 VD–PAC =VP–ACD,即:

1 1 ? S?PAC ? h = ?PD?AD?DC 3 6

在?PAC 中,显然 PO?AC,PO= 82 h=

24 41 41

所以点 D 到平面 PAC 的距离为

24 41 41

20.(本题满分 14 分)第(1)小题 7 分,第(2)小题 7 分. (1)∵ tan ∴S?

c c 1 ? cos C 1 ? cos C 2 ? cot ? ? ? 2 2 sin C sin C sin C

2 1 2 ? 18 ? ab sin C ? ? 18 ? ab ? 18 sin C 2 sin C
a 2 ? b 2 ? c 2 2ab ? c 2 ? 2ab 2ab

(2)∵ cos C ? ∴ cos C ?

1 0 ,∴ ?C 取值范围为 0 ? ?C ? 60 2

21.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 10 分,第(2)小题 4 分. (1)根据题意,当购票人数不多于 100 时,可设 y 与 x 之间的函数关系为

y ? 3 0x ? 5 0 0 ?k

x .

∵人数为 25 时,该旅游景点收支平衡, ∴ 30 ? 25 ? 500 ? k 25 ? 0 ,解得 k ? 50.
? ? ?30 x ? 50 x ? 500 ( x ? N , x ? 100), ∴y?? ? ? ?30 x ? 50 x ? 700 ( x ? N , x ? 100).

(2)设每张门票价格提高为 m 元,根据题意,得

m ? 20 ? 50 20 ? 500 ? 0
∴ m ? 25 ? 5 5 ? 36.2 。 从而,每张门票最少要 37 元。 22.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分

(1) f

?1

1 ? 4x 2 ?x ? = ? x
??f
?1

(x>0)
2 1 ? 4a n

(2)?

1 a n ?1

?a n ? ?

an

?

1 a
2 n ?1

?

1 ?4 2 an
又 an ? 0

? a1 ? 1

?
2

1 ? 1 ? (n ? 1)4 ? 4n ? 3 2 an
2 2

? an ?

1 4n ? 3

(3)由 bn ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ... ? a 2 n ?1 ,
2 2 2 ? bn ? bn ?1 ? a n ?1 ? a 2 n ? 2 ? a 2 n ? 3 ?

2 2 2 bn?1 ? a n ? 2 ? a n ?3 ? ? ? a 2 n ?3

1 1 1 ? ? 4(n ? 1) ? 3 4(2n ? 2) ? 3 4(2n ? 3) ? 3

=

1 ? 4n ? 1

1 5 2(4n ? ) 2

?

1 9 2(4n ? ) 2

?

1 1 1 ? ? ?0 4n ? 1 2(4n ? 1) 2(4n ? 1)

? bn ? bn ?1
2 2 ? b1 ? a 2 ? a3 ?

即 ?bn ?中 b1 最大

1 1 14 m ? ? ? 5 9 45 25

即m ?

70 9

?存在最小正整数 m=8

23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 8 分,第(3)小题 6 分. (1)? F0 ( c, 0), F1 0, ? b2 ? c2 , F2 0,b2 ? c2 ,
? F0 F2 ?

?

?

?

?

?b

2

? c 2 ? ? c 2 ? b ? 1, F1 F2 ? 2 b 2 ? c 2 ? 1 ,

3 7 于是 c 2 ? , a2 ? b2 ? c2 ? ,所求“果圆”方程为 4 4 4 2 4 x ? y 2 ? 1 ( x ≥ 0) , y 2 ? x 2 ? 1 ( x ≤ 0) 7 3

(2)由题意,得

a ? c ? 2b ,即 a 2 ? b 2 ? 2b ? a .
b 4 ? . a 5

? ( 2b)2 ? b2 ? c 2 ? a 2 ,? a 2 ? b 2 ? (2b ? a) 2 ,得

b2 1 b ? 2 4? , ? ? . ? ?? 又b ? c ? a ? b , ? 2 ?. a ? 2 a ? 2 5?
2 2 2 2

(3)设“果圆” C 的方程为 记平行弦的斜率为 k .

x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1 ( x ≥ 0) , 2 ? 2 ? 1 ( x ≤ 0) . 2 a b b c x2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 0) 的交点是 a 2 b2

当 k ? 0 时,直线 y ? t ( ? b ≤ t ≤ b ) 与半椭圆

P ? a 1?
? ?

?

t2 ? y 2 x2 , t ? , 与半椭圆 ? ? 1 ( x ≤ 0) 的交点是 Q b2 ? b2 c2 ?

? ? t2 t ?. ? ? c 1? 2 , ? ? b ? ?

? a?c t2 x2 y2 ?x ? ? 1? 2 , ? ? 1. 得 y ) 满足 ? ? P,Q 的中点 M ( x, 2 b 2 b2 ? y ? t, ? a?c ? ? ? ?

?

2

?

a ? c ? 2b a ? c ? 2b ? a?c ? 2 ? ?0. ? a ? 2b ,? ? ? ?b ? 2 2 ? 2 ?

2

综上所述,当 k ? 0 时, “果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上. 当 k ? 0 时 , 以 k 为 斜 率 过 B1 的 直 线 l 与 半 椭 圆
? 2ka 2b k 2 a 2b ? b3 ? . ,2 2 ? 2 2 2 2 ? ?k a ?b k a ?b ?

x2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 0) 的 交 点 是 a 2 b2

由此,在直线 l 右侧,以 k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 y ? ? 即不在某一椭圆上. 当 k ? 0 时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.

b2 x 上, k a2



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