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2013年湖南省普通高中学业水平数学考试试卷及答案



2013 年湖南省普通高中学业水平考试试卷





本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 5 页。时量 120 分钟,满分 100 分。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M ? ?0

,1, 2? , N ? ? x? ,若 M ? N ? ?0,1, 2,3? ,则 x 的值为( A. 3 B. 2 C. 1 ,则 f ?1? 的值为( ) D. 0 )

2.已知函数 f ? x ? ? ? x A. 0

?1 ? , x ?1 ? ? 2, x ? 1
B. 1

C. 2 )

D. ?1

3.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为( A.球 C.圆柱 B.圆锥 D.圆台 )

正视图 侧视图

4.函数 y ? 2cos x ?1 , x ? R 的最小值是( A. ?3 C. 1 B. ?1 D. 3

俯视图 (第3题图)

5.已知向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? x, 4 ? ,若 a ∥ b ,则实数 x 的值为( A. 8 B. 2 C. ?2 D. ?8

?

?

?

?



6.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600,400,800。为了了解教师的教学 情况, 该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取 45 名学生进行座谈, 则高一、 高二、 高三年级抽取的人数分别为( A. 15 , 5 , 25 B. 15 , 15 , 15 ) C. 10 , 5 , 30 D. 15 , 10 , 20

7.某袋中有 9 个大小相同的球,其中有 5 个红球,4 个白球,现从中任意取出 1 个,则取 出的球恰好是白球的概率为( A. ) C.

1 5

B.

1 4

4 9

D.
y

5 9
(1,2) (3,2)

8.已知点 ? x, y ? 在如图所示的平面区域(阴影部分)内运动, 则 z ? x ? y 的最大值是( A. 1 C. 3 ) B. 2 D. 5
o

(1,0) (第8题图)

x

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第 1 页 共 6 页

9.已知两点 P ? 4, 0 ? , Q(0, 2) ,则以线段 PQ 为直径的圆的方程是( A. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5
2 2



B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 10
2 2

C. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5
2 2

D. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 10
2 2

10.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度, 工程技术人员已测得隧道两端的两点 A, B 到点 C 的距离 AC ? BC ? 1km ,且 ?ACB ? 120? , 则 A, B 两点间的距离为( A. ) B. D.
1km B

3km

2km

120° A 1km C (第10题图)

C. 1.5km

2km

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分。 11.计算: log 2 1 ? log 2 4 ? ______________. 12.若 1, x,9 成等比数列,则实数 x ? ______________. 13.经过点 A ? 0, 3 ? ,且与直线 y ? ? x ? 2 垂直的直 线方程是______________. 14.某程序框图如图所示,若输入的 x 值为 2 ,则 输出的 y 值为______________. 15.已知向量 a 与 b 的夹角为 开始 输入 x

x ? 0?

y ? 2x ?1



y? x

?

?

? ? , a ? 2 ,且 4

输出 y 结束 (第 14 题图)

? ? ? a ? b ? 4 ,则 b ? ______________.

三、解答题:本小题共 5 小题,满分 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。 16. (本小题满分 6 分) 已知 cos ? ?

1 ? ?? , ? ? ? 0, ? 。 2 ? 2?

(1)求 tan ? 的值; (2)求 sin ? ? ?

? ?

??

? 的值。 6?

数学试题卷

第 2 页 共 6 页

17. (本小题满分 8 分) 某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况, 抽样调查了 100 位职员的早餐日平均费用 (单位:元) ,得到如图所示的频率分布直方图,图中标注 a 的数字模糊不清。 (1)试根据频率分布直方图求 a 的值,并估计该公司职员早餐日平均费用的众数; (2) 已知该公司有 1000 名职员, 试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于 8 元?
频率 组距 a 0.10 0.05

0

2

4

6

8

10

12 早餐日平均费用(元)

(第17题图)

18. (本小题满分 8 分) 如图,在三棱锥 A ? BCD 中, AB ⊥平面 BCD , BC ⊥ BD , BC ? 3 , BD ? 4 ,直 线 AD 与平面 BCD 所成的角为 45 ,点 E , F 分别是 AC , AD 的中点。 (1)求证: EF ∥平面 BCD ; (2)求三棱锥 A ? BCD 的体积。
A F E B D
?

C

(第18题图)

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19. (本小题满分 8 分) 已知数列 ? an ? 满足: a3 ? ?13 , an ? an ?1 ? 4 ( n ? 1 , n ? N ) 。 (1)求 a1 , a2 及通项 an ; (2)设 S n 为数列 ? an ? 的前 n 项和,则数列 S1 , S 2 , S 3 ,?中哪一项最小?并求 出这个最小值。

20. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 ? ? ? 2 ( ? ? R ) 。
x ?x

(1)当 ? ? ?1 时,求函数 f ? x ? 的零点; (2)若函数 f ? x ? 为偶函数,求实数 ? 的值; (3)若不等式

1 ? f ? x ? ? 4 在 x ? ? 0,1? 上恒成立,求实数 ? 的取值范围。 2

数学试题卷

第 4 页 共 6 页

一、选择题 BCABD 二、填空题 11. 1 4

[来源:学科网 ZXXK]

ADBDC

12.-9

13.(-∞,-1)∪(1,+∞)

14.92

三、解答题 15.解: (Ⅰ)f (x)=(sinx-cos x)2+m=m+1-sin2x, 所以 f (x)的最小正周期为 T= 2? =?. 2

??????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 sin2x=-1 时,f (x)取最大值, 故有 m+2=3,得 m=1. ??????8 分 16.解: (Ⅰ)由 3Sn=an+4,得 3Sn-1=an-1+4,两式相减,得 an 1 3(Sn-Sn-1)=(an+4)-(an-1+4)=an-an-1,整理,得 =- (n≥2) . 2 an-1 1 又 3a1=a1+4,得 a1=2,所以数列{an}是以 2 为首项,以- 为公比的等比数列, 2 故有 an=2× -

(

1 2

)

n-1



??????4 分 1 (Ⅱ)由已 知,得 b2=- =-8,又等差数列{bn}的公差 d=3, a5 故 bn=b2+(n-2)d=3n-14,因此当 n≤4 时,bn<0,当 n≥5 时,bn>0 , 所以 n=4 时,{bn}的前 n 项和 Tn 最小, 4(b1+b4) 最小值为 T4= =-26. 2 ??????8 分 17.解:由茎叶图知:6 天有 4 天空气质量未超标,有 2 天空气质量超标. 记未超标的 4 天为 a,b,c,d,超标的两天为 e,f.则从 6 天中抽取 2 天的所有情况 为: ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,基本事件数为 15. ?2 分 (Ⅰ)记“6 天中抽取 2 天,恰有 1 天空气质量超标”为事件 A, 8 可能结果为:ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,基本事件数为 8.∴P(A)= . 15 ?5 分 (Ⅱ)记“至多有一天空气质量超标”为事件 B, “2 天都超标”为事件 C,其可能结果 为 ef, 1 14 故 P(C)= ,∴P(B)=1-P(C)= . 15 15 ???????8 分 18.解: (Ⅰ)设点 P(x,y),由 (x-1)2+y2 1 = , (x-4)2+y2 2
第 5 页 共 6 页

数学试题卷

化简,得轨迹 C 的方程是:x2+y2=4. ???????4 分 (Ⅱ)因为直线 l:y=kx+3 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点, |3| 5 5 所以 2 <2,解得 k> 2 或 k<- 2 . 1+k 假设存在点 M,使得四边形 OAMB 为菱形,则 OM 与 AB 互相垂直且平分,所以原点 O 到 直线 l:y |3| 1 =kx+3 的距离为 d= |OM|=1.所以 =1,解得 k2=8,即 k=±2 2 ,经验证满足 2 1+k2 条件. 所以存在两点 M,使得四边形 OAMB 为菱形.

数学试题卷

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