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2013-2014广东省深圳市宝安区高三调研测试理科数学试卷


2013-2014 学年第一学期深圳市宝安区高三调研测试卷 数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6}, 集合 P ? {1, 2,3, 4}, Q ? {3, 4,5}, 则 P ? (CU Q) ? ( ). A. {1, 2,3, 4, 6,} B. {1, 2,3, 4,5} C. {1, 2,5} D. {1, 2} 1 2.复数 i ? ( 其中 i 是虚数单位)=( ). i 1 A. 0 B. i C. ? 2i D. 2i 2 1 3 3.已知平面向量 a ? (1,1),b ? (1,?1), 则向量 a ? b ? ( ). 2 2 A. (?2,?1) B. (2,?1) C. (?1,0) D. (1,2)
4.为了了解深圳市高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5—18 岁的男生体重(kg), 得到频率分布直方图如下: 频率 组距

图4

0.07

0.05 0.03 0.03

体重(kg)
54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5

根据上图可得这 100 名学生中,体重在[56.5,64.5]的学生人数是( 5.下列函数中,在其定义域中,既是奇函数又是减函数的是( ). A. f ( x) ?

).
开始

?x

B. f ( x) ? 2 D. f ( x) ?

?x

? 2x

C. f ( x) ? ? tan x

1 x
).

n ? 1, s ? 0


6. 运行右图框图输出的 S 是 254,则①应为( A. n ? 5 B. n ? 6 C. n ? 7 D. n ? 8 7.函数 f ( x) ? 2 sin(

?
).


?

A.最小正周期为 2? 的奇函数 B. 最小正周期为 ? 的奇函数 2? 的偶函数 C.最小正周期为 D. 最小正周期为 ? 的偶函数 8.给出下列关于互不相同的直线 m, l , n 和平面 ? , ? 的四个命题: ① m ? ? , l ? ? ? A, 点 A ? m ,则 l 与 m 不共面; 若 ② m, l 是异面直线, l // ? , m // ? ,且 m ? l , n ? m ,则 n ? ? ; 若 ③ l // ? , m // ? , ? // ? ,则 l // m ; 若
1

4

? x) sin(

?

4

? x)( x ? R) 是(

s ? s ? 2n
n ? n ?1

输出 s 结束

④ l ? ? , m ? ? , l ? m ? A, l // ? , m // ? , ,则 ? // ? . 若

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 (一)必做题(9—13 题)
9.右图中的三个直角三角形是一个体积为 20cm3 的几何体的三视图, 则 h=______cm.
1

?lg x( x ? 0), ? 10.若函数 f ( x) ? ? f ( f (1)) ? 8, 则 a 2 ? x ? ?0 3t dt( x ? 0), ? a 的值为__________. 11.已知 {an } 为等差数列,若 a1 ? a3 ? a9 ? 8? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为________.
x2 y2 12.以抛物线 y ? 20x 的焦点为圆心,且与双曲线 ? ?1 16 9
2

6 5

正视图

侧视图

6
俯视图

(单位:cm)

的两条渐近线都相切的圆的方程为______________________.

? x ? 1, ? 13.实数 x, y 满足 ? y ? a ( a ? 1), 若目标函数 z ? x ? y 取得最大值 4,则实数 a 的值为________. ? x ? y ? 0, ? B (二)选做题(14—15 题)
14.(几何证明选讲选做题)如图,⊙ 的割线 PAB O 交⊙ 于 A,B 两点,割线 PCD 经过圆心 O,已知 O A P C O D

22 , PO=12,则⊙ 的半径是________. PA=6,AB= O 3
15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,经过点 (2 2 , 标方程为________________.

?
4

) 作圆 ? ? 4 sin ? 的切线,则切线的极坐 A

三、解答题:本题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.本小题 12 分) y ? 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ) 的部分图像如图所示. 2 2 (1)求函数 f (x) 的解析式; π 5π ? ? ? ? O (2)若 f ( ? ) ? 1, ? ? (0, ), 求 cos( ? ? ). 6 12 2 6 2 4
17.(本小题 12 分) 为了参加 2013 年东亚运动会,从四支较强的排球队中选出 18 人 组成女子排球国家队,队员来源如下表: 对别 北京 上海 天津 4 6 3 人数

x

广州 5

(1)从这 18 名对员中随机选出两名,求两人来自同一个队的概率; (2)比赛结束后,若要求选出两名队员代表发言,设其中来自北京的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列, P 及数学期望. 18. (本小题 14 分) 如图,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ 平面 ABC, E PB=BC=CA=4,∠ BCA=90° 为 PC 中点. ,E (1)求证:BE⊥ 平面 PAC; (2)求二面角 E-AB-C 的正弦值. C B 19.(本小题 14 分) A
2

设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? 2 ? (1)求数列 {an } 的通项公式;

1 , 2n ?1

(2)设 Tn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? ?? log 2 an, 求证:

1 1 1 ? ? ? ? ? ?2(n ? N* , n ? 2) T1 T2 Tn

20. (本小题 14 分) 已知点 F (0,1), 直线 l : y ? ?1, P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q ,且

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? QP ? QF ? FP ? FQ .

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2) A, B 是轨迹 M 上异于坐标原点 O 的不同两点,轨迹 M 在点 A, B 处的切线分别为 l1 , l2 ,且 l1 ? l2 ,

l1 , l2 相交于点 D,求点 D 的纵坐标.
21.(本小题 14 分)

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x . 2 (1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 4 处的切线相互平行,求 a 的值; (2)试讨论 y ? f ( x) 的单调性;
已知函数 f ( x) ? (3)设 g ( x) ? x2 ? 2 x, 对任意的 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ), 试求实数 a 的取值 范围.

2013-2014 学年第一学期宝安区高三调研测试卷答案
一、选择题:1、D 2、A 3、B 4、A 5、B. 6、C. 7、B 8、D 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 1 9. h ? 4cm 10、2 11、 ? 12、 (x - 5) 2 + y 2 = 9 2 13、 a ? 2 。 14. R ? 8 。15、 ? cos? ? 2 三、16、 (本小题 12 分) (Ⅰ )由图象知 A ? 2 5? ? 2? ?2 f ( x) 的最小正周期 T ? 4 ? ( ? ) ? ? ,故 ? ? ……3 分 12 6 T ? ? ? 将点 ( , 2) 代入 f ( x ) 的解析式得 sin( ? ? ) ? 1 ,又 | ? |? , 6 3 2 ? ? ∴? ? 故函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ……………6 分 6 6 ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? f ? ? ? ? 2sin ? 2( ? ) ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 cos ? ? 1 (II) f ( x) ? 2sin(2 x ? ) , ? 2 6 ? ……8 分 6? 2? ? 2 6 ? 6

1 3 ? ?? ? cos ? ? 又? ? ? 0, ? 所以sin ? ? 2 2 ? 2?

…………10 分

?? ? ? 6? 2 ? …………12 分 ? cos ?? ? ? ? cos ? cos ? sin ? sin ? 4? 4 4 4 ? 17、 )“从这 18 名队员中随机选出两名,两人来自于同一队”记作事件 A, (Ⅰ

3

则 P( A) ?

2 C4 ? C62 ? C32 ? C52 2 ? . ………………………………………5 分 2 9 C18

(Ⅱ ? 的所有可能取值为 0,1,2. ) ∵ P(? ? 0) ?

…………………………………………………7 分

2 2 1 1 C14 91 C4 6 C4 C14 56 ? ? , P (? ? 1) ? , P(? ? 2) ? 2 ? , 2 2 C18 153 C18 153 153 C18

∴? 的分布列为:

?

0
91 153

1
56 153

2
6 153

P

……………………10 分 ∴E(? ) ? 0 ?

91 56 6 4 ? 1? ? 2? ? . ……………………………12 分 153 153 153 9
P

18.证明 (1): ? PB ? 面ABC,AC ? 面ABC

? PB ? AC ???1分 ? BC ? AC , PB ? 面 PBC, ? 面PBC , PB ? BC ? B BC ? AC ? 面PBC ??? 3分 又BE ? 面PBC,故AC ? BE ? PB ? BC , E为中点 ? BE ? PC???5分 ? AC ? 面PAC,PC ? 面PAC,PC ? AC=C ? BE ? 面PAC??? 6分
A C E

B

(2)方法一:过 E 作 EF⊥ BC,F 为垂足.由已知得 EF⊥ ABC,过 F 作 FM⊥ 面 AB,M 为垂足,连接 EM, 方法一:取BC中点为F,过F作FM ? AB,连接FM . ………………8 分

? EF//PB 由(1)知EF ? 面ABC ? AB ? 面ABC ? EF ? AB ? FM ? AB ? AB ? 面EFM ? EM ? 面EFM ? EM ? AB ? ?EMF 为二面角E-AB-C的平面角。 ?????11分 1 在Rt ?EFM 中,EF = PB =2,FM =FB sin ?B ? 2 2
FM 3 所以,EM ? EF ? FM ? 6, cos ? EMF ? ? EM 3
2 2

P

E

C

F M A

B

Z P

………………12 分 故 二 面 角 E ? AB ? C 的 余 弦 值 为
4 X

E

C A

B

Y

3 3

………………14 ………………7 分

方法二:以 B 为原点建立空间直角坐标系 B-xyz

B(0,0,0),C(4,0,0),A(4,4,0),P(0,0,4),E(2,0,2),则 BA ? 4,4, , BE ? 2,0,2) ………………9 分 ( 0) ( 平面 ABC 法向量为 n1 ? (0,0,1) ; ………………10 分 设平面 ABE 法向量为 n2 ? ( x, y, z) . 则 BA? n2 ? 0 BE ? n2 ? 0

?4 x ? 4 y ? 0 . ? ?2x ? 2 z ? 0
令 z=1,得 x=-1,y=1,.即 n2 ? (-1,1,1) 设二面角 E-AB-C 为 ? ,则 cos? ? ………………12 分

n1 ? n2 n1 ? n2

=

3 3

3 ………………14 分 3 19.解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1.…………2 分 1 1 1 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (2 ? n ?1 ) ? (2 ? n ? 2 ) ? n ?1 ,此式对 n ? 1 也成立. 2 2 2 1 ? a n ? n ?1 (n ? N * ) .…………5 分 2 (2)证明:设 bn ? log2 an ,则 bn ? log2 21?n ? 1 ? n .…………………………………(7 分)
故二面角 E ? AB ? C 的余弦值为 所以 ?bn ? 是首项为 0,公差为 ?1 的等差数列.

n(n ? 1) n(n ? 1) (?1) = Tn ? …………………………(10 分) 2 2 ? 2 ? 1 1 1 2 2 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? (n ? N , n ? 2) T2 T3 Tn 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n ? ? Tn ?

1 1 1 1 ? ?1 1 ? 1? ? ?2 ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? ? ?2 ?1 ? ? ? ?2 2 3 n ?1 n ? n ?1 2 ??? ???? ? ? ??? ? ? ??? ? 20.解: (1)设 P ? x, y ? ,则 Q ? x, ?1? ,∵QP ? QF ? FP ? FQ ,
2

…………………………(14 分)

∴? 0, y ?1? ? ? ?x,2? ? ? x, y ?1? ? ? x, ?2? . 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ?1? ,即 x ? 4 y ,
2

所以动点 P 的轨迹 M 的方程 x2 ? 4 y .

……………4 分

(2) 解法一:设点 A 、 B 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? 、 ? x2 , y2 ? ,
∵ l1 、 l2 分别是抛物线 C 在点 A 、 B 处的切线, ∴ 直线 l1 的斜率 k1 ? y ∵ l1 ? l2 , ∴ k1k2 ? ?1, ∴ y1 ? 得 x1 x2 ? ?4 . ① …………8 分 ∵ A 、 B 是抛物线 C 上的点,
' x ? x1

?

x1 ' ,直线 l2 的斜率 k2 ? y 2

x ? x2

?

x2 . 2

…………6 分

x12 x2 , y2 ? 2 . 4 4
5

………10 分

x12 x1 x2 x ? ? x ? x1 ? ,直线 l2 的方程为 y ? 2 ? 2 ? x ? x2 ? . …………12 分 4 2 4 2 ? x ?x x2 x ? x? 1 2, y ? 1 ? 1 ? x ? x1 ? , ? ? ? ? 2 4 2 由? 解得 ? 2 2 ? y ? ? ? ?1. ? y ? x2 ? x2 ? x ? x ? , 2 ? ? ? 2 ? 4 2 ∴ D 的纵坐标为 ?1 . 点 ………… 14 分
∴ 直线 l1 的方程为 y ? 21.

(1)=f ?(4) ,即 a-(2a+1)+2= 4a -(2a+1)+ 依题意, f ?

1 1 ,解得 a = (4 分) 2 2

(9 分) (3) 由已知,在(0,2]上有 f(x)max<g(x)max. 由已知,g(x)max=0,由(2)可知, 1 ① a≤ 时,f(x)在(0,2]上单调递增, 当 2 故 f(x)max=f(2)=2a-2(2a +1)+2ln2 =-2a-2+2ln2, 1 ∴ -2a-2+2ln2<0,解得 a>ln2-1,ln2-1<a≤ . 2 1 1 ② a> 时,f(x)在?0,a ]上单调递增,在]上单调递减, 当 ? 2
6

1 1 故 f(x)max=f?a?=-2- -2lna. ? ? 2a 1 1 1 由 a> 可知 lna>ln >ln =-1,2lna>-2,-2lna<2, 2 2 e ∴ -2-2l na<0,f(x)max<0, 综上所述,a>ln2-1.(14 分)

7


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