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山西省运城市夏县中学2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题 理



山西省运城市夏县中学 2014-2015 学年高二上学期期末考试 数学理试题
本试题满分 100 分,考试时间 90 分钟。答案一律写在答卷页上

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1 2 1.已知命题 p:“任意 x∈R 时,都有 x -x+ >0”;命题 q:“存在 x∈R,使 sinx+cosx 4 = 2

成立”.则下列判断正确的是( A.命题 q 为假命题 C.p∧q 为真命题 )

B.命题 P 为真命题 D. p∨q 是真命题 )

1 a 1 b 2.已知 a,b∈R,则“lna>lnb”是“( ) <( ) ”的( 3 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3. 抛物线 y 2 ? 4ax(a ? 0) 的焦点坐标是 ( A、 ( a , 0) B、(- a , 0) C、 (0, a )

) D、 (0, - a )

4. 如图: 在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点。 若 AB ? a ,

AD ? b , AA1 ? c 则下列向量中与 BM 相等的向量是( ) 1 1 1 1 (A) ? a ? b ? c (B) a ? b ? c 2 2 2 2 1 1 1 1 (C) ? a ? b ? c (D) a ? b ? c 2 2 2 2
5. 已知△ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,-4),C (0,4),则顶 点 A 的轨迹方程是 ( ) (A)

D1 A1

M B1

C1

D A B

C

x2 y2 x2 y2 (B) ? ? 1 (x≠0) ? ? 1 (x≠0) 36 20 20 36 x2 y2 x2 y2 (C) (D) ? ? 1 (x≠0) ? ? 1 (x≠0) 6 20 20 6 6. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值
A. 2 4 B. 2 3
2

为(

)

C.

3 3

D.

3 2

7. 过抛物线 y = 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1)B(x2, y2)两点,如果 x1 ? x 2 =6, 那么 AB = (A)6 ( ) (C)9
2 2

(B)8

(D)10

8.设 ? ? ? 0, ? ? ,则方程 x sin ? ? y cos ? ? 1 不能表示的曲线为

-1-

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.圆

9.下列说法中错误 的个数为 .. ①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;②若一个命题的否命题为假,则它本 身一定为真; ③? 是“

?x ? 1 ?x ? y ? 3 是? 的充要条件; ④ a ? b 与 a ? b 是等价的; ⑤ “ x ? 3” ? y ? 2 ? xy ? 2
B.3 C.4 D.5

x ? 3 ”成立的充分条件。

A.2

10. 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点, 那么 k 的取值范围是 ( ) A、 (?

15 15 ) , 3 3
2

B、 ( 0,

15 ) 3

C、 (?

15 ,0 ) 3

D、 (?

15 ,?1 ) 3

11.在抛物线 y ? ?4 x 上求一点 P,使其到焦点 F 的距离与到 A?? 2,1? 的距离之和最小, 则该点坐标为 (A) ? ,1? ( ) (C) ? 2,?2 2

?1 ? ?4 ?

(B) ? ?

? 1 ? ,1? ? 4 ?

?

?

(D) ? 2,2 2

?

?

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆 a 2 b2 交于 A、B 两点,若△ABF2 为正三角形,则该椭圆的离心率 e 为 ( ) 1 1 2 3 (A) (B) (C) (D) 2 3 2 3
12.已知点 F1、F2 分别是椭圆

15. 如 果 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 的 弦 被 点 (4 , 2) 平 分 , 则 这 条 弦 所 在 的 直 线 方 程 是 36 9
x2
25 1 2 - =1 与椭圆 +y =1 有相同的焦点; ②“- <x<0” 9 35 2 ③若 a 与 b 共线, 则 a, b 所在直线平行;
2

___________。 16.有下列命题:①双曲线
2

y2

x2

是“2x -5x-3<0”的必要不充分条件;



若 a,b,c 三向量两两共面,则 a,b,c 三向量一定也共面;

⑤? x∈R,x -3x+3≠0.

其中正确的命题有________.(把你认为正确的命题的序号填在横线上) 三、解答题(本大题共 4 小题,共 48 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分 10 分)
-2-

设p: 方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,q : 方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,
2

若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 已知直线 l 交抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 于 A,B 两点,且 ?AOB ? 90? , 其中,点 O 为坐标 原点,点 A 的坐标为 (1, 2) .

19.(本小题满分 12 分) 如图,在底面是正方形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? 1 , PB ? PD ? 在 PD 上,且 PE : ED ? 2 :1 . (Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 D ? AC ? E 的余弦值; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F , 使得 BF // 平面 ACE .

P

2 ,点 E

E

A
B
C

D

20. (本小题满分 14 分) 椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,点 A1 , A2 分别是椭圆的左、右顶点, B 为椭圆的上顶点,一个焦点

为 F ( 3, 0) ,离心率为

3 .点 M 是椭圆 C 上在第一象限内的一个动点,直线 A1M 与 y 轴交于 2

点 P ,直线 A2 M 与 y 轴交于点 Q . (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)若把直线 MA1 , MA2 的斜率分别记作 k1 , k2 ,求证: k1k2 ? ?

1 ; 4

-3-

(III) 是否存在点 M 使 | PB |?

1 | BQ | ,若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,说明理由. 2

-4-

2015 .1

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 题 号 答 案 1 D 2 A 3 A 4 A 5 B 6 C 7 B 8 C 9 C 10 D 11 B 12 D

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分)

三、解答题(本大题共 4 小题,共 48 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、 (本小题满分 10 分) 解:若方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,则 ? 所以 m ? 2 ,即 p : m ? 2 .
2

? ? ? m2 ? 4 ? 0 , ? x1 ? x2 ? ?m ? 0

??2 分

????????????3 分
2

若方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,则 ? ? 16(m ? 2) ? 16 ? 0 , 即1 ? m ? 3 , 所以 p :1 ? m ? 3 .

??5 分

??????????????6 分

因为 p ? q 为真,则 p, q 至少一个为真,又 p ? q 为假,则 p, q 至少一个为假. 所以 p, q 一真一假,即“ p 真 q 假”或“ p 假 q 真” . 所以 ? ????????8 分 ?????????10 分

?m ? 2 ? m?2 或? ? m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3

18. (本小题满分 12 分) 解: (I)因为点 A?1,2 ? 在抛物线 y ? 2 px 上,
2

所以 2 ? 2 p ,
2

---------2 分 ---------3 分

解得 p ? 2 ,

-5-

故抛物线 C 的方程为 y ? 4 x .
2

----------4 分

(II)设点 B 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,由题意可知 x0 ? 0 , 直线 OA 的斜率 k OA ? 2 ,直线 OB 的斜率 k OB ?

y0 , x0
---------6 分

因为 ?AOB ? 90? ,所以 k OA ? k OB ?
2

2 y0 ? ?1 , x0

又因为点 B? x0 , y0 ? 在抛物线 y ? 4 x 上,

19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 正方形 ABCD 边长为 1,PA ? 1 ,PB ? PD ?

2,

所以 ?PAB ? ?PAD ? 90? ,即 PA ? AB , PA ? AD , 因为 AB ? AD ? A , 所 以

PA ?



面 ???

A BC D.
???4 分

(Ⅱ)如图,以 A 为坐标原点,直线 AB , AD , AP 分 别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系,则 AC ? (1 ,, 1 0) , AE ? (0 , , ) . 由(Ⅰ)知 AP 为平面 ACD 的法向量,

????

??? ?

2 1 3 3

??? ?

??? ? AP ? (0 , 0, 1) ,
设平面 ACE 的法向量为 n ? (a , b, c) , 由 n ? AC , n ? AE ,
-6-

?

?

????

?

??? ?

?a ? b ? 0 , ? 得 ?2 1 b ? c ? 0, ? 3 ?3
令 c ? 6 ,则 b ? ?3 , a ? 3 , 所以 n ? (3 , ? 3, 6) ,

?

??????6 分

? ? ??? ??? ? ? n ? AP 6 所以 cos ? AP , , n ?? ? ??? ? ? 3 n AP
即所求二面角的余弦值为

6 . 3
??? ?

??????8 分

(Ⅲ)设 PF ? ? PC (? ? [0 , 1]) ,则 PF ? ? (1 , 1, ? 1) ? (? , ?, ? ?) ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? BF ? BP ? PF ? (? ? 1 , ?, 1? ?) ,
若 BF // 平面 ACE ,则 BF ? n ,即 BF ? n ? 0 , (? ? 1 , ?, 1 ? ? ) ? (3 , ? 3, 6) ? 0 , 解得 ? ?

??? ?

?

??? ? ?

1 , 2

??????10 分

所以存在满足题意的点, 当 F 是棱 PC 的中点时, BF // 平面 ACE . 20. (本小题满分 14 分) 解: (I)由题意,可设椭圆 C 的方程为 ????12 分

c 3 x2 y2 , ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? ,则 c ? 3 , ? 2 a 2 a b
----------2 分

所以 a ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

---------4 分

(II)由椭圆 C 的方程可知,点 A1 的坐标为 ?? 2,0 ? ,点 A2 的坐标为 ?2,0 ? , 设动点 M 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,由题意可知 0 ? x0 ? 2 , 直线 MA1 的斜率 k1 ?
2

y0 y0 ? 0 ,直线 MA2 的斜率 k2 ? ? 0, x0 ? 2 x0 ? 2
----------6 分

所以 k1 ? k 2 ?

y0 , 2 x0 ? 4

-7-

因为点 M ? x0 , y 0 ? 在椭圆
2

x2 ? y 2 ? 1 上, 4
2

所以

x0 x 2 2 ? y0 ? 1 ,即 y0 ? 1 ? 0 , 4 4
1?

2 x0 1 所以 k1 ? k 2 ? 2 4 ? ? . x0 ? 4 4

---------8 分

(III)设直线 MA1 的方程为 y ? k1 ? x ? 2 ? , 令 x ? 0 ,得 y ? 2k1 ,所以点 P 的坐标为 ? 0, 2k1 ? , 设直线 MA2 的方程为 y ? k2 ? x ? 2 ? , 令 x ? 0 ,得 y ? ?2k2 ,所以点 Q 的坐标为 ? 0, ?2k2 ? , 由椭圆方程可知,点 B 的坐标为 ?0,1? , -------10 分 -------9 分

1 1 BQ ,得 |1 ? 2k1 |? | ?2k2 ? 1 | , 2 2 1 由题意,可得 1 ? 2k1 ? ( ?2k2 ? 1) 2
由 PB ? 整理得 4k1 ? 2k2 ? 3 , --------11 分

1 联立,消 k1 可得 2k2 2 ? 3k2 ? 1 ? 0 , 4 1 解得 k2 ? ?1 或 k2 ? ? , 2
与 k1k2 ? ? 所以直线 MA2 的直线方程为 y ? ? ( x ? 2) 或 y ? ? 因为 y ? ?

------12 分

1 ( x ? 2) , 2

1 ( x ? 2) 与椭圆交于上顶点,不符合题意. 2

把 y ? ?( x ? 2) 代入椭圆方程,得 5 x 2 ? 16 x ? 12 ? 0 , 解得 x ?

6 或2 , 5

---------13 分

因为 0 ? x0 ? 2 ,所以点 M 的坐标为 ? 说明:解答题有其它正确解法的请酌情给分.

?6 4? , ?. ?5 5?

--------14 分

-8-



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