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2017-2018学年高中数学(人教A版,必修3)-模块综合测评


模块综合测评
(教师用书独具) (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.问题:①有 1 000 个乒乓球分别装在 3 种箱子内,其中红色箱子内有 500 个,蓝色箱子内有 200 个,黄色箱子内有 300 个,现从中抽取一个容量为 100 的样本;②从 20 名学生中选出 3 名参加座谈会. 方法:Ⅰ.随机抽样法 配对的是( ) B.①Ⅲ,②Ⅰ D.①Ⅲ,②Ⅱ Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能

A.①Ⅰ,②Ⅱ C.①Ⅱ,②Ⅲ 【解析】 【答案】

本题考查三种抽样方法的定义及特点. B

2.从装有 2 个红球和 2 个白球的红袋内任取两个球,那么下列事件中,互 斥事件的个数是( )

①至少有 1 个白球;都是白球. ②至少有 1 个白球;至少有 1 个红球. ③恰好有 1 个白球;恰好有 2 个白球. ④至少有 1 个白球;都是红球. A.0 C.2 【解析】 【答案】 B.1 D.3 由互斥事件的定义知,选项③④是互斥事件.故选 C. C

3.在如图 1 所示的茎叶图中,若甲组数据的众数为 14,则乙组数据的中位 数为( )

1

图1 A.6 C.10 B.8 D.14

【解析】 由甲组数据的众数为 14,得 x=y=4,乙组数据中间两个数分别 为 6 和 14,所以中位数是 【答案】 C ) 6+14 2 =10,故选 C.

4.101110(2)转化为等值的八进制数是( A.46 C.67 【解析】 B.56 D.78

∵101110(2)=1×25+1×23+1×22+1×2=46,46=8×5+6,5=

8×0+5,∴46=56(8),故选 B. 【答案】 B

5. 从甲、 乙两人手工制作的圆形产品中随机抽取 6 件, 测得其直径如下: (单 位:cm) 甲:9.0,9.2,9.0,8.5,9.1,9.2; 乙:8.9,9.6,9.5,8.5,8.6,8.9. 据以上数据估计两人的技术的稳定性,结论是( A.甲优于乙 C.两人没区别 【解析】 B.乙优于甲 D.无法判断 )

1 x 甲=6(9.0+9.2+9.0+8.5+9.1+9.2)=9.0,

1 x 乙=6(8.9+9.6+9.5+8.5+8.6+8.9)=9.0; 1 2 2 2 2 2 s2 甲 = [(9.0 - 9.0) + (9.2 - 9.0) + (9.0 - 9.0) + (8.5 - 9.0) + (9.1 - 9.0) + (9.2 - 6 0.34 9.0)2]= 6 , 1 2 2 2 2 2 s2 乙 = [(8.9 - 9.0) + (9.6 - 9.0) + (9.5 - 9.0) + (8.5 - 9.0) + (8.6 - 9.0) + (8.9 - 6
2

1.04 9.0)2]= 6 .
2 因为 s2 甲<s乙,所以甲的技术比乙的技术稳定.

【答案】

A

6 .某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动 ( 以下简称活 动).该校文学社共有 100 名学生,他们参加活动的次数统计如图 2 所示,则从 文学社中任意选 1 名学生,他参加活动次数为 3 的概率是( )

图2 1 A.10 6 C.10 【解析】 【答案】 3 B.10 7 D.10 30 3 从中任意选 1 名学生,他参加活动次数为 3 的概率是100=10. B )

7.当 m=7,n=3 时,执行如图 3 所示的程序框图,输出的 S 值为(

图3 A.7 C.210 【解析】 B.42 D.840 程序框图的执行过程如下:
3

m=7,n=3 时,m-n+1=5, k=m=7,S=1,S=1×7=7; k=k-1=6>5,S=6×7=42; k=k-1=5=5,S=5×42=210; k=k-1=4<5,输出 S=210.故选 C. 【答案】 C

8.已知函数 f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],那么在区间[-5,5]内任取一点 x0, 使 f(x0)≤0 的概率为( A.0.1 C.0.3 【解析】 ) 2 B.3 2 D.5 在[-5,5]上函数的图象和 x 轴分别交于两点(-1,0),(2,0),当 x0

∈[-1,2]时,f(x0)≤0. P= 区间[-1,2]的长度 3 = =0.3. 区间[-5,5]的长度 10

【答案】

C

9.有 2 个人从一座 10 层大楼的底层进入电梯,设他们中的每一个人自第二 层开始在每一层离开是等可能的,则 2 个人在不同层离开的概率为( 1 A.9 4 C.9 【解析】 2 B.9 8 D.9 法一:设 2 个人分别在 x 层,y 层离开,则记为(x,y).基本事 )

件构成集合 Ω={(2,2),(2,3),(2,4),…,(2,10),(3,2),(3,3),(3,4),…,(3,10), (10,2),(10,3),(10,4),…,(10,10)},所以除了(2,2),(3,3),(4,4),…,(10,10) 以外,都是 2 个人在不同层离开,故所求概率 P= 9×9-9 8 =9. 9×9

法二:其中一个人在某一层离开,考虑另一个人,也在这一层离开的概率为
4

1 8 ,故不在这一层离开的概率为 9 9. 【答案】 D

10. 点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动, 则动点 P 到定点 A 的距离|PA|<1 的概率为( 1 A.4 π C.4 ) 1 B.2 D.π

【解析】 如图所示,动点 P 在阴影部分满足|PA|<1,该 π 阴影是半径为 1,圆心角为直角的扇形,其面积为 S′=4, 又正方形的面积是 S=1,则动点 P 到定点 A 的距离|PA|<1 的 S′ π 概率为 S =4. 【答案】 C

11.已知某 8 个数据的平均数为 5,方差为 3,现又加入一个新数据 5,此 时这 9 个数的平均数为 x ,方差为 s2,则( A. x =5,s2<3 C. x >5,s2<3 )

B. x =5,s2>3 D. x >5,s2>3

1 【解析】 由平均数和方差的计算公式可得 x =5,s2=9(3×8+0)<3,故选 A. 【答案】 A

12.圆 O 内有一内接正三角形,向圆 O 内随机投一点,则该点落在正三角 形内的概率为( 3 3 A. 8π 3 C. 2π ) 3 3 B. 4π 3 D. π

【解析】 设圆 O 的半径为 r,则圆 O 内接正三角形的边长为 3r,设向圆 O 内随机投一点,则该点落在其内接正三角形内的事件为 A,则 P(A)=
5

S正三角形 = S圆

3 2 4 ? 3r? 3 3 πr2 = 4π .故选 B. 【答案】 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线 上). 13.合肥市环保总站发布 2017 年 1 月 11 日到 1 月 20 日的空气质量指数 (AQI),数据如下:153,203,268,166,157,164,268,407,335,119,则这组数据的中位 数是________. 【 解 析 】 将 这 10 个 数 按 照 由 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 166+203 = 2

119,153,157,164,166,203,268,268,335,407, 第 5 和第 6 个数的平均数是 184.5,即这组数据的中位数是 184.5. 【答案】 184.5

14.某学校举行课外综合知识比赛,随机抽取 400 名同学的成绩,成绩全部 在 50 分至 100 分之间,将成绩按如下方式分成五组.第一组,成绩大于等于 50 分且小于 60 分;第二组,成绩大于等于 60 分且小于 70 分;……;第五组,成 绩大于等于 90 分且小于等于 100 分,据此绘制了如图 4 所示的频率分布直方 图.则 400 名同学中成绩优秀(大于等于 80 分)的学生有________名.

图4 【解析】 成绩优秀的频率为 1-(0.005+0.025+0.045)×10=0.25,所以成 绩优秀的学生有 0.25×400=100(名). 【答案】 100

15.在由 1,2,3,4,5 组成可重复数字的二位数中任取一个数,如 21,22 等表示 的数中只有一个偶数“2”,我们称这样的数只有一个偶数数字,则组成的二位数 中只有一个偶数数字的概率为________. 【解析】 由 1,2,3,4,5 可组成的二位数有 5×5=25 个,其中只有一个偶数
6

14 数字的有 14 个,故只有一个偶数数字的概率为25. 【答案】 14 25

16.执行如图 5 所示的程序框图,输出的 a 值为________.

图5 【解析】 由程序框图可知,第一次循环 i=2,a=-2;第二次循环 i=3,

1 1 a=-3;第三次循环 i=4,a=2;第四次循环 i=5,a=3;第五次循环 i=6,a =-2,所以周期为 4,当 i=11 时,循环结束,因为 i=11=4×2+3,所以输出 1 a 的值为-3. 【答案】 1 -3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知算法如下所示:(这里 S1,S2,…分别代表第一 步,第二步,…) (1)指出其功能;(用数学式子表达) (2)画出该算法的算法框图. S1 输入 x. S2 若 x<-2,执行 S3;否则,执行 S6. S3 y=2x+1. S4 输出 y. S5 执行 S12. S6 若-2≤x<2,执行 S7;否则执行 S10.

7

S7 y=x. S8 输出 y. S9 执行 S12. S10 S11 S12 y=2x-1. 输出 y. 结束. (1)该算法的功能是:已知 x 时,

【解】

?2x+1,x<-2, 求函数 y=?x,-2≤x<2, ?2x-1,x≥2
(2)算法框图是:

的值.

18.(本小题满分 12 分)一盒中装有 12 个球,其中 5 个红球,4 个黑球,2 个白球,1 个绿球,从中随机取出 1 球,求: (1)取出 1 球是红球或黑球的概率; (2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率. 【解】 记事件 A1={任取 1 球为红球},A2={任取 1 球为黑球},A3={任

5 4 2 取 1 球为白球},A4={任取 1 球为绿球},则 P(A1)=12,P(A2)=12,P(A3)=12, 1 P(A4)=12.由题意知,事件 A1,A2,A3,A4 彼此互斥. (1)取出 1 球为红球或黑球的概率为: 5 4 3 P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=12+12=4. (2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为:
8

法一:P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) 5 4 2 11 =12+12+12=12. 1 11 法二:P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-12=12. 19.(本小题满分 12 分)某校举行汉字听写比赛,为了了解本次比赛成绩情 况,从得分不低于 50 分的试卷中随机抽取 100 名学生的成绩(得分均为整数,满 分 100 分)进行统计,请根据频率分布表中所提供的数据,解答下列问题: 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计 (1)求 a,b 的值; (2)若从成绩较好的第 3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取 6 人参加市汉字 听写比赛,并从中选出 2 人做种子选手,求 2 人中至少有 1 人是第 4 组的概率. 【解】 (1)a=100-5-30-20-10=35,b=1-0.05-0.35-0.20-0.10= 0.30. (2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽 6 6 取 6 名学生,每组分别为,第 3 组:60×30=3 人,第 4 组:60×20=2 人,第 6 5 组:60×10=1 人,所以第 3、4、5 组应分别抽取 3 人、2 人、1 人. 设第 3 组的 3 位同学为 A1、A2、A3,第 4 组的 2 位同学为 B1、B2,第 5 组 的 1 位同学为 C1,则从 6 位同学中抽 2 位同学有 15 种可能,如下: (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2, B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1).其 中第 4 组被入选的有 9 种, 9 3 所以其中第 4 组的 2 位同学至少有 1 位同学入选的概率为15=5.
9

频数 5 a 30 20 10 100

频率 0.05 0.35 b 0.20 0.10 1.00

20.(本题满分 12 分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽 样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,相关的数据如下表所示: 文艺节目 20 至 40 岁 大于 40 岁 总计 40 15 55 新闻节目 18 27 45 总计 58 42 100

(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关? (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,大于 40 岁的观 众应该抽取几名? (3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率. 【解】 (1)由于大于 40 岁的 42 人中有 27 人收看新闻节目,而 20 至 40 岁 的 58 人中,只有 18 人收看新闻节目,故收看新闻节目的观众与年龄有关. 5 (2)27×45=3,所以大于 40 岁的观众应抽取 3 名. (3)由题意知,设抽取的 5 名观众中,年龄在 20 岁至 40 岁的为 a1,a2,大于 40 岁的为 b1,b2,b3,从中随机取 2 名,基本事件有:(a1,a2),(a1,b1),(a1, b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共 10 个, 设恰有一名观众年龄在 20 至 40 岁为事件 A, 则 A 中含有基本事件 6 个: (a1, b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3), 6 3 所以 P(A)=10=5. 21.(本小题满分 12 分)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位 利用周末时间进行了一次社会实践活动,且每个小组有 5 名同学,在实践活动结 束后,学校团委会对该班的所有同学都进行了测试,该班的 A,B 两个小组所有 同学所得分数(百分制)的茎叶图如图 6 所示,其中 B 组一同学的分数已被污损, 但知道 B 组学生的平均分比 A 组学生的平均分高 1 分.

图6
10

(1)若在 B 组学生中随机挑选 1 人,求其得分超过 85 分的概率; (2)现从 A 组这 5 名学生中随机抽取 2 名同学,设其分数分别为 m,n,求|m -n|≤8 的概率. 【解】 (1)A 组学生的平均分为 94+88+86+80+77 =85(分),∴B 组学生 5

平均分为 86 分. 设被污损的分数为 x,则 91+93+83+x+75 =86,解得 x=88, 5

∴B 组学生的分数分别为 93,91,88,83,75,其中有 3 人的分数超过 85 分. 3 ∴在 B 组学生随机选 1 人,其所得分超过 85 分的概率为5. (2)A 组学生的分数分别是 94,88,86,80,77, 在 A 组学生中随机抽取 2 名同学,其分数组成的基本事件(m,n)有(94,88), (94,86),(94,80),(94,77),(88,86),(88,80),(88,77),(86,80),(86,77),(80,77), 共 10 个. 随机抽取 2 名同学的分数 m, n 满足|m-n|≤8 的基本事件有(94,88), (94,86), (88,86),(88,80),(86,80),(80,77),共 6 个. 6 3 ∴|m-n|≤8 的概率为10=5. 22.(本小题满分 12 分)某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统 计数据: 年份 需求量(万吨) 2008 236 2010 246 2012 257 2014 276 2016 286

(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y=bx+a; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2018 年的粮食需求量. 【解】 (1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,下面

求回归直线方程,为此对数据预处理如下: 年份-2012 需求量-257 -4 -21 -2 -11 0 0 2 19 4 29

对预处理后的数据,容易算得 x =0, y =3.2, b=
11

?-4?×?-21?+?-2?×?-11?+2×19+4×29-5×0×3.2 260 = 40 =6.5, ?-4?2+?-2?2+22+42-5×02 ∴a= y -b x =3.2, 由上述计算结果,知所求回归直线方程为 y-257=b(x-2 012)+a=6.5(x-2 012)+3.2, 即 y=6.5(x-2 012)+260.2. ①

(2)利用直线方程①,可预测 2018 年的粮食需求量为 6.5×(2 018-2 012)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨).

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