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2.4.2数列通项公式的求法


常见数列通项公式的求法

湖南长郡卫星远程学校

制作

06

2010年上学期

类型1

由sn求a n
2

例1.数列?an ?中前n项和为Sn ? 2n2 ? 3n ?1, 求通项an .
解(1)当n ? 1时, a1 ? S1 ? 2 ?1 ? 3?1 ?1 ? ?2,
(2)当n ? 2时, an ? S n ? S n ?1 ? (2n 2 ? 3n ? 1) ? 2(n ? 1) 2 ? 3(n ? 1) ? 1 ? 2n 2 ? 3n ? 1 ? 2n 2 ? 4n ? 2 ? 3n ? 3 ? 1 ? 4n ? 5

?

?

经验证(1)不包含在(2)中,所以由(1)(2)知通项公式为

? ? 2, 当n ? 1时 an ? ? ? 4n ? 5, 当n ? 2时
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类型2

a n ? 1 ? a n ? f ( n)

求法:累加法 例2

在数列{an }中,已知a1 ? 1, 当n ? 2时, 有an ? an ?1 ? 2n ? 1, 求数列的通项公式.

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06

2010年上学期

解:由n ? 2, an ? an ?1 ? 2n ? 1得 a 2 ? a1 ? 3 a 3 ? a2 ? 5 a 4 ? a3 ? 7 .................. an ? an ?1 ? (2n ? 1 ) 以上n ? 1个等式相加得 an ? a1 ? (3 ? 5 ? 7 ? ........ ? (2n ? 1)) =1+3+5+...........+(2 n ? 1)) ? n2 又 ? a1 ? 1 a n ? n2 (n ? 2) 适合上式 (n ? N ? )
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类型3

a n ? 1 ? a n ? f ( n)

求法:累乘法
例3

在数列{an }中,已知a1 ? 1, 有 nan ?1 ? (n ? 1)an (n ? N , n ? 2), 求数列{an }的通项公式.
?

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2010年上学期

解:由nan ?1 ? (n ? 1)an (n ? N ? , n ? 2), 得 an n ? an ?1 n ? 1 a2 2 ? ? , a1 3 a3 3 an n ? ,............, ? . a2 4 an ?1 n ? 1

以上n ? 1个等式相乘得 an 2 ? .(n ? N ? , n ? 2), a1 n ? 1 2 ? an ? .(n ? N ? , n ? 2), n ?1 又 a1 =1 适合上式, 2 ? an ? .(n ? N ? ) n ?1
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类型4 an?1 ? pan ? q( p ? 0, p ? 1,q ? 0)

求法 : 待定系数法.令an ?1 +? ? p (an +? ), 与原式比较得 (p-1)? =q q ? ?= p ?1 q 化为等比数列{an ? }求通项. p ?1
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例4 数列?an ? 满足a1 =1,an?1 ? 2an ? 3, (n ? N ? ),求an .
解: an ?1 ? 2an ? 3(n ? 1), ? an ?1 +3 ? ( 2 an ? 3) 而a1 ? 3=1+3=4 ? 0 ? an ? 3 ? 0 an ?1 +3 ? =2 an +3

??an +3? 是以4为首项,2为公比的等比数列。 ? an +3=4 ? 2n-1
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an =4 ? 2n-1 ? 3

(n ? 1).

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类型5

an?1 ? pan ? f (n)( p ? 0, p ? 1)

an ?1 an f (n) 求法 : 化为 n ?1 ? n ? n ?1 p p p 后累加法求解.

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2010年上学期

n 在数列 { a } 中 a ? 1 , a ? 2 a ? 2 例5. n 1 n?1 n

( n ? N ? ), 求数列{a n }的通项公式 .
解:由an ?1 ? 2an ? 2n ( n ? N ? )

an ?1 an 1 得 n ?1 ? n ? , 2 2 2 an ?1 an 1 ? n ?1 ? n ? , 2 2 2 a1 1 1 ??an ? 是以 1 = 为首项, 为公差的等差数列。 2 2 2 an n ? n = , 2 2 n ?1 ? ? an ? n 2 (n ? N )
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pan ( p, q, r均不为零) 类型6 an?1 ? qan ? r

求法 : 倒数法, 若p ? r , 则化为等差数列求 通项; 若p ? r , 则化为类型4求通项.
S n ?1 例6 已知数列 {an }中, a1 ? 1, S n ? , 2 S n ?1 ? 1 求{an }的通项公式.
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类型7

S n ? f (an )
{an }或{ S n }的递推关系求解 .

求法 : 利用n ? 2时, an ? S n ? S n?1化为
例7 已知数列{an }满足a1 ? ?2,

S n ? 3an ?1 ? 1, n ? N 其中S n 是{an }的前n项和, 求{an }的通项公式.
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类型8 其它类型 求法:按题中指明方向求解. 例8 设数列{a n }满足a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ?

1 (a n?1 ? 2a n? 2 )( n ? 3,4, ?) 3 (1)求证 : 数列{a n?1 ? a n }是等比数列; ( 2)求数列{a n }的通项公式a n .
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