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【创新设计】(山东专用)2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示习题



第五章 平面向量 第 2 讲 平面向量基本定理及坐标表示习题 理 新 人教 A 版
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 → 1.已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为( 4? ?3 A.? ,- ? 5? ?5 3? ?4 B.? ,- ? 5? ?5 )

? 3 4? C.?- , ? ? 5 5?<

br />
? 4 3? D.?- , ? ? 5 5?

→ → → 解析 ∵AB=OB-OA=(4,-1)-(1,3)=(3,-4), → 4? AB ?3 → ∴与AB同方向的单位向量为 =? ,- ?. 5? → ?5 |AB| 答案 A → → → → 2.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC 的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5), → 则BC等于( A.(-2,7) C.(2,-7) → → → 解析 AQ=PQ-PA=(-3,2), ∵Q 是 AC 的中点, → → → → → ∴AC=2AQ=(-6,4),PC=PA+AC=(-2,7), → → → → ∵BP=2PC,∴BC=3PC=(-6,21). 答案 B 3.已知向量 a=(1, 2), b=(1, 0), c=(3, 4).若 λ 为实数, (a+λ b)∥c, 则 λ 等于( A. 1 4 B. 1 2 C.1 D.2 ) ) B.(-6,21) D.(6,-21)

解析 ∵a+λ b=(1+λ ,2),c=(3,4), 1+λ 2 且(a+λ b)∥c,∴ = , 3 4 1 ∴λ = ,故选 B. 2 答案 B
1

4.(2016·青岛质量检测)已知向量 a=(-1, 2), b=(3, m), m∈R, 则“m=-6”是“a∥(a +b)”的( ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分必要条件 C.必要不充分条件

解析 由题意得 a+b=(2,2+m),由 a∥(a+b),得-1×(2+m)=2×2,所以 m=-6, 则“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件,故选 A. 答案 A → → 5.(2016·河南八市质检)已知点 M 是△ABC 的边 BC 的中点,点 E 在边 AC 上,且EC=2AE, → 则向量EM=( 1→ 1→ A. AC+ AB 2 3 1→ 1→ C. AC+ AB 6 2 → → 解析 如图,∵EC=2AE, → → → 2→ ∴EM=EC+CM= AC+ 3 1→ 2→ 1 → → 1→ 1→ CB= AC+ (AB-AC)= AB+ AC. 2 3 2 2 6 答案 C 二、填空题 1 1 6.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + 的值为________. ) 1→ 1→ B. AC+ AB 2 6 1→ 3→ D. AC+ AB 6 2

a b

→ → 解析 AB=(a-2,-2),AC=(-2,b-2),依题意,有(a-2)(b-2)-4=0,即 ab- 1 1 1 2a-2b=0,所以 + = . a b 2 答案 1 2

7.(2015·全国Ⅱ卷 ) 设向量 a , b 不平行,向量 λ a + b 与 a + 2b 平行,则实数 λ = ____________. 解析 ∵向量 a,b 不平行,∴a+2b≠0,又向量 λ a+b 与 a+2b 平行,则存在唯一的实
? ?λ =μ , 数 μ ,使 λ a+b=μ (a+2b)成立,即 λ a+b=μ a+2μ b,则得? 解得 λ =μ ?1=2μ , ?

1 = . 2 答案 1 2
2

8. (2016·昌邑一中模拟)已知 A(-3, 0), B(0, 3), O 为坐标原点, C 在第二象限, 且∠AOC → → → =30°,OC=λ OA+OB,则实数 λ 的值为________________. → → 解析 由题意知OA=(-3,0),OB=(0, 3), → 则OC=(-3λ , 3), 由∠AOC=30°知,以 x 轴的非负半轴为始边,OC 为终边的一个角为 150°, 3 3 3 ∴tan 150°= ,即- =- ,∴λ =1. -3λ 3 3λ 答案 1 三、解答题 → → → 9.已知 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB,试问: (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?在 y 轴上?在第三象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形,若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由. 解 → → (1)∵OA=(1,2),AB=(3,3),

→ → → ∴OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t). 2 若点 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,解得 t=- ; 3 1 若点 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,解得 t=- ; 3
?1+3t<0, ? 2 若点 P 在第三象限,则? 解得 t<- . 3 ?2+3t<0. ?

→ → (2)若四边形 OABP 为平行四边形,则OP=AB,
?1+3t=3, ? ∴? ∵该方程组无解,∴四边形 OABP 不能成为平行四边形. ?2+3t=3. ?

→ 10.如图,在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知AM → → → =c,AN=d,试用 c,d 表示AB,AD. → → 解 法一 设AB=a,AD=b, → → ? 1 ? 则 a=AN+NB=d+?- b?,① ? 2 ? → → ? ? b=AM+MD=c+?- a?.② 1 ? 2 ?

? 1?? ? 1 ?? 将②代入①,得 a=d+?- ??c+?- a??, ? 2?? ? 2 ??

3

4 2 2 ∴a= d- c= (2d-c),③ 3 3 3 2 ? 1? 2 将③代入②,得 b=c+?- ?× (2d-c)= (2c-d). 2 3 3 ? ? → 2 → 2 ∴AB= (2d-c),AD= (2c-d). 3 3 → → 法二 设AB=a,AD=b.因 M,N 分别为 CD,BC 的中点, → 1 → 1 所以BN= b,DM= a, 2 2 1 2 ? ?c=b+2a, ? ?a=3(2d-c), 因而? ?? 1 2 ?d=a+2b ? ?b=3(2c-d), ? → 2 → 2 即AB= (2d-c),AD= (2c-d). 3 3 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) → → 11.(2016·长沙调研)如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,OP=xOA+

yOB,且BP=2 PA,则(
2 1 A.x= ,y= 3 3 1 3 C.x= ,y= 4 4







) 1 2 B.x= ,y= 3 3 3 1 D.x= ,y= 4 4

→ → → → → → → 2→ → 2 → → 2→ 1→ 解析 由题意知OP=OB+BP, 又BP=2PA, 所以OP=OB+ BA=OB+ (OA-OB)= OA+ OB, 3 3 3 3 2 1 所以 x= ,y= . 3 3 答案 A 12.(2016·南昌十校联考)已知 a=( 3,1),若将向量-2a 绕坐标原点逆时针旋转 120° 得到向量 b,则 b 的坐标为( A.(0,4) C.(-2 3,2) ) B.(2 3,-2) D.(2,-2 3)

解析 ∵a=( 3,1),∴-2a=(-2 3,-2),易知向量-2a 与 x 轴正半轴的夹角 α =150°(如图).向量-2a 绕坐标原点逆时针旋转 120°得到向量 b,在第四象限,与 x 轴 正半轴的夹角 β =30°,∴b=(2 3,-2),故选 B.

4

答案 B 13.向量 a, b, c 在正方形网格中的位置如图所示, 若 c=λ a+μ b(λ , λ μ ∈R),则 =________. μ 解析 以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长 为 1),

→ → → 则 A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),∴a=AO=(-1,1),b=OB=(6,2),c=BC=(- 1,-3). ∵c=λ a+μ b,∴(-1,-3)=λ (-1,1)+μ (6,2), 即-λ +6μ =-1,λ +2μ =-3, 1 λ 解得 λ =-2,μ =- ,∴ =4. 2 μ 答案 4 14.如图,已知点 A(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求以 A,B,C 为 顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标. 解 如图所示, 以 A, B, C 为顶点的平行四边形可以有三种情况: ① ②

ABCD;

ADBC;③

ABDC.设 D 的坐标为(x,y),
→ →

①若是

ABCD,则由AB=DC,得

(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y), 即(-1,2)=(-1-x,-2-y),
? ?-1-x=-1, ∴? ∴x=0,y=-4. ?-2-y=2, ?

∴D 点的坐标为(0,-4)(如图中所示的 D1). → → ②若是?ADBC,由CB=AD,得 (0,2)-(-1,-2)=(x,y)-(1,0), 即(1,4)=(x-1,y),解得 x=2,y=4. ∴D 点的坐标为(2,4)(如图中所示的 D2).

5

→ → ③若是?ABDC,则由AB=CD,得 (0,2)-(1,0)=(x,y)-(-1,-2), 即(-1,2)=(x+1,y+2).解得 x=-2,y=0. ∴D 点的坐标为(-2,0)(如图中所示的 D3), ∴以 A,B,C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标为(0,-4)或(2,4)或(-2,0).

6



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