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9排列组合、二项式定理、概率及统计


排列组合、二项式定理、概率及统计

一、复习策略 排列与组合是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分, 是进一步学习 概率论的基础知识,该部分内容,不论其思想方法和解题都有特殊性,概念性强,抽象 性强,思维方法新颖,解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误,并且结果数目较大,无 法一一检验,因此给考生带来一定困难.解决问题的关键是加深对概念的理解,掌握知 识的内在联系和区别,科学周全的思考、分析问题. 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识, 把握二项展开式及其通项 公式的相互联系和应用是重点. 概率则是概率论入门,目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础,做 好铺垫.学习中要注意基本概念的理解,要注意与其他数学知识的联系,要通过一些典 型问题的分析,总结运用知识解决问题的思维规律. 纵观近几年高考,排列、组合、二项式定理几乎每年必考,考题多以选择题、填空 题出现,题小而灵活,涉及知识点都在两三个左右,综合运用排列组合知识,分类计数 和分步计数原理; 二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题 也在高考题中常见,概率及概率统计的内容,从近几年新课程卷高考来看,每年都有一 道解答题,占 12 分左右. 排列与组合的应用题, 是高考常见题型, 其中主要考查有附加条件的应用问题.解决 这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主, 应先满足特殊元素的要求, 再考虑其他元素.(2) 以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件, 计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.(4)某些元素要求必须相 邻时,可以先将这些元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排 列,这种方法称为“捆绑法”;(5)某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将 这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”; 在求解排列与组合应用问题时,应注意: (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; (3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏; (4)列出式子计算和作答.

二、典例剖析 题型一:排列组合应用题 解决此类问题的方法是:直接法,先考虑特殊元素(或特殊位置),再考虑其他元 素(或位置);间接法,所有排法中减去不合要求的排法数;对于复杂的应用题,要合 理设计解题步骤,一般是先分组,后分步,要求不重不漏,符合条件. 例 1、(08 安徽理 12)12 名同学合影,站成了前排 4 人后排 8 人.现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( )

A. 解:

B.

C.

D.

从后排 8 人中选 2 人共

种选法,这 2 人插入前排 4 人中且保证前排人的顺序不

变,则先从 4 人中的 5 个空挡插入一人,有 5 种插法;余下的一人则要插入前排 5 人的 空挡,有 6 种插法,故为 ;综上知选 C.

例 2、(08 湖北理 6)将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作,每个场 馆至少分配一名志愿者的方案种数为( ) A.540 解: B.300 C.180 D.150

将 5 分成满足题意的 3 份有 1, 1, 3 与 2, 2, 1 两种, 所以共有 种方案,故 D 正确. 例 3、四棱锥的 8 条棱代表 8 种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放 在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的, 现打算用编号为①、②、③、④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同 方法种数为( )

A.96 解:

B.48

C.24

D.0

由题意分析,如图,先把标号为 1,2,3,4 号化工产品分别放入①②③④4 个仓库 内共有 种放法;再把标号为 5,6,7,8 号化工产品对应按要求安全存放:7

放入①,8 放入②,5 放入③,6 放入④;或者 6 放入①,7 放入②,8 放入③,5 放入 ④;两种放法.综上所述:共有 种放法.故选 B.

例 4、在正方体中,过任意两个顶点的直线中成异面直线的有____________对. 解法一:

连成两条异面直线需要 4 个点, 因此在正方体 8 个顶点中任取 4 个点有

种取法. 每

4 个点可分共面和不共面两种情况, 共面的不符合条件得去掉.因为在 6 个表面和 6 个体 对角面中都有四点共面,故有 体有 3 对异面直线,故共有 解法二: 种.但不共面的 4 点可构成四面体,而每个四面 对.

一个正方体共有 12 条棱、 12 条面对角线、 4 条体对角线, 计 28 条, 任取两条有 种情况,除去其中共面的情况:(1)6 个表面,每个面上有 6 条线共面,共有 (2)6 个体对角面,每个面上也有 6 条线共面,共有 3 条面对角线,任意两条线都共面,共有 =174 对. 条;

条;(3)从同一顶点出发有 - - -

,故共有异面直线

题型二:求展开式中的系数

例 5、(08 广东理 10)已知 则 __________.

( 是正整数)的展开式中,

的系数小于 120,

解:

按二项式定理展开的通项为 数为 ,即 ,也即

,我们知道 ,而 是正整数,故 只能取 1.

的系

例 6、若多项式 A.9 B.10 C.-9 D.-10

,则 a9 等于(



解:

=





例 7、

展开式中第 6 项与第 7 项的系数的绝对值相等,求展开式中系数最大的

项和系数绝对值最大的项. 解:

,依题意有 开式中二项式系数最大的项为 设第 r+1 项系数的绝对值最大,则有 .

,∴n=8.则





则系数绝对值最大项为



例 8、求证:



证:(法一)倒序相加:设



又∵





,∴



由①+②得:

,∴







(法二):左边各组合数的通项为



∴ (法三):



题型三:求复杂事件的概率

例 9、(08 福建理 5)某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为 子恰有 2 粒发芽的概率是( )

,那么播下 4 粒种

A.

B.

C.

D.

解:由



例 10、甲、乙两个围棋队各 5 名队员按事先排好的顺序进行擂台赛,双方 1 号队员先 赛,负者被淘汰,然后负方的队员 2 号再与对方的获胜队员再赛,负者又被淘汰,一直 这样进行下去,直到有一方队员全被淘汰时,另一方获胜,假设每个队员的实力相当, 则甲方有 4 名队员被淘汰,且最后战胜乙方的概率是多少? 解: 根据比赛规则可知,一共比赛了 9 场,并且最后一场是甲方的 5 号队员战胜乙方的 5 号队员,而甲方的前 4 名队员在前 8 场比赛中被淘汰,也就是在 8 次独立重复试验中

该事件恰好发生 4 次的概率,可得

,又第 9 场甲方的 5 号队员战胜乙方

的 5 号队员的概率为

,所以所求的概率为



题型四:求离散型随机变量的分布列、期望和方差 例 11、某先生居住在城镇的 A 处,准备开车到单位 B 处上班. 若该地各路段发生堵车 事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率 如图. (例如:A→C→D 算作两个路段:路段 AC 发生堵车事件的概率为 发生堵车事件的概率为 (1)请你为其选择一条由 A 到 B 的路线,使得途中发生堵车事件的概率最小; (2)若记路线 A→C→F→B 中遇到堵车次数为随机变量 ,求 的数学期望 ,路段 CD

解: (1)记路段 MN 发生堵车事件为 MN.因为各路段发生堵车事件都是独立的,且 在同一路段发生堵车事件最多只有一次,所以路线 A→C→D→B 中遇到堵车的概率 P1 为

=1-[1-P(AC)][1-P(CD)][1-P(DB)]

=1-



同理:路线 A→C→F→B 中遇到堵车的概率 P2 为 1-P(

(小于

).

路线 A→E→F→B 中遇到堵车的概率 P3 为 1-P(

(小于

).

显然要使得由 A 到 B 的路线途中发生堵车事件的概率最小.只可能在以上三条路 线中选择.因此选择路线 A→C→F→B,可使得途中发生堵车事件的概率最小. (2)路线 A→C→F→B 中遇到堵车次数 可取值为 0,1,2,3.

答:路线 A→C→F→B 中遇到堵车次数的数学期望为

例 12、如图所示,甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的

点和

点,每只小

蚂蚁都可以从每一个顶点处等可能地沿各条棱向各个方向移动,但不能按原线路返

回.比如,甲在

处时可以沿





三个方向移动,概率都是

;到达



时,可能沿 个单位.



两个方向移动,概率都是

,已知小蚂蚁每秒钟移动的距离为 1

(Ⅰ)若甲、乙两只小蚂蚁都移动 1 秒钟,则它们所走的路线是异面直线的概率是多 少?它们之间的距离为 的概率是多少?

(Ⅱ)若乙蚂蚁不动,甲蚂蚁移动 3 秒钟后,甲、乙两只小蚂蚁之间的距离的期望值 是多少?

解:

(Ⅰ)甲蚂蚁移动 1 秒可以有三种的走法:即沿 方向时,要使所走的路线成异面直线,乙蚂蚁只能沿





三个方向,当沿

、C1C 方向走,概率为

,同理当甲蚂蚁沿

方向走时,乙蚂蚁走

、C1C,概率为

,甲蚂蚁沿

时,乙蚂蚁走



,概率为

,因此他们所走路线为异面直线的概率为



甲蚂蚁移动 1 秒可以有三种走法:即沿





三个方向,当甲沿



向时,要使他们之间的距离为

,则乙应走

,此时的概率为

,同理,甲

蚂蚁沿

方向走时、甲蚂蚁沿

方向走时,概率都为

,所以距离为



概率为



(Ⅱ)若乙蚂蚁不动,甲蚂蚁移动 3 秒后,甲乙两个蚂蚁之间距离 的取值有且只有 两个: 和 , 当 时, 甲是按以下路线中的一个走的: 、 、 、





,所以其概率为 、 、 、 、

,当 、

时,甲 、

是按以下路线中的一个走的:

所以其概率为

,所以三秒后距离期望值为



例 13、(08 湖北理 17)袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ 表示所取球的标号. (Ⅰ)求 ξ 的分布列,期望和方差; (Ⅱ)若 η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求 a,b 的值. 解:(1)的分布列为:

0

1

2

3

4

所以



(2)由 时,由

,得 ,得 ;当

,即 时,由

,又 ,得

,所以当 .

,或 题型五:统计知识

,即为所求.

例 14、(08 广东)某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学 生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19. 现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( 一年级 女生 男生 373 377 370 ) 二年级 三年级

A.24 解:

B.18

C.16

D.12

依题意我们知道二年级的女生有 380 人,那么三年级的学生的人数应该是 500,即 总体中各个年级的人数比例为 ,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为



答案:C 例 15、在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 .已知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 12 名. (Ⅰ)试问此次参赛学生总数约为多少人? (Ⅱ)若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生,试问设奖的分数线约为多少 分?可共查阅的(部分)标准正态分布表 .

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.2 0.8849 0.8869 0.888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9278 0.9292 0.9306 0.9319 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0. 9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 解:

(Ⅰ)设参赛学生的分数为 ,因为 ~N(70,100),由条件知,

P( ≥90)=1-P( <90)=1-F(90)=1- =1- (2)=1-0.9772=0.0228.

这说明成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生人数约占全体参赛人数的 2.28%,因此,

参赛总人数约为

≈526(人).

(Ⅱ)假定设奖的分数线为 x 分,则

P( ≥x)=1-P( <x)=1-F(90)=1-



=0.0951,



=0.9049,查表得

≈1.31,解得 x=83.1.

故设奖的分数线约为 83.1 分.

冲刺练习
一、选择题

1、在 有( )

这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共

A.36 个 C.18 个

B.24 个 D.6 个

2、从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名女生,则选派方案共有( A.108 种 C.216 种 ) B.186 种 D.270 种

3、某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超 过 2 个,则该外商不同的投资方案有( ) A.16 种 C.42 种 B.36 种 D.60 种

4、 A.0 C.4

的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是( ) B.2 D.6

5、已知

的展开式中第三项与第五项的系数之比为-

,其中

=-1,则

展开式中常数项是( ) A.-45i C.-45 B.45i D.45

6、高三(一)班学生要安排毕业晚会的 4 个音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的 演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( A.1800 C.4320 B.3600 D.5040 )

7、袋中有 40 个小球,其中红色球 16 个、蓝色球 12 个,白色球 8 个,黄色球 4 个,从 中随机抽取 10 个球作为一个样本, 则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为 ( )

A.

B.

C.

D.

8、在正方体上任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为 ( )

A.

B.

C.

D.

9、为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁-18 岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:

根据上图可得这 100 名学生中体重在 A.20 C.40 B.30 D.50

的学生人数是(



10、下图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时,就能 接收到信号, 否则就不能接收到信号. 若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组, 将右端的六个接线点也随机地平均分成三组, 再把所有六组中每组的两个接线点用导线 连接,则这五个接收器能同时接收到信号的概率是( )

A.

B.

C.

D. [提示]

二、填空题 11、某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有 40 人,乙班 50 人. 现分析两个 班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是 90 分,乙班的平均成绩是 81 分,则该校数 学建模兴趣班的平均成绩是__________分. 12、安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都 不能安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排方法共有__________种.(用数字作答)

13、

展开式中的

系数为___________(用数字作答).

14、电视台连续播放 6 个广告,其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告,要 求首尾必须播放公益广告,则共有__________种不同的播放方式(结果用数值表示).

15、若

的展开式中

的系数是-80,则实数 的值是__________.

16、设离散型随机变量 可能取的值为 1,2,3,4. 4).又 的数学期望 ,则 ___________.



1,2,3,

[答案] 三、解答题 17、某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加 了其中一组. 在参加活动的职工中, 青年人占 42.5%, 中年人占 47.5%, 老年人占 10%. 登

山组的职工占参加活动总人数的

,且该组中,青年人占 50%,中年人占 40%,老年

人占 10%.为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样 的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为 200 的样本.试确定: (Ⅰ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (Ⅱ)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数. [答案] 18、在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作 比较. 在试制某种牙膏新品种时, 需要选用两种不同的添加剂. 现有芳香度分别为 0, 1, 2,3,4,5 的六种添加剂可供选用.根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同 的添加剂进行搭配试验.用 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和.

(Ⅰ)写出 的分布列;(以列表的形式给出结论,不必写计算过程)

(Ⅱ)求 的数学期望

.(要求写出计算过程或说明道理)

[答案] 19、每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字 (I)连续抛掷 2 次,求向上的数不同的概率; (II)连续抛掷 2 次,求向上的数之和为 6 的概率. [答案] 20、某运动员射击一次所得环数 的分布如下:

6 0

7

8

9

10

现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为 .

(I)求该运动员两次都命中 7 环的概率; (II)求 的分布列;

(Ⅲ)求 的数学期望. [答案]
1-5BBDBD 6-10 BACCD

提示:

1、 依题意, 所选的三位数字有两种情况: (1) 3 个数字都是奇数, 有 3 个数字中有一个是奇数,有 种方法,故共有 +

种方法 ( 2)

=24 种方法,故选 B.

2、从全部方案中减去只选派男生的方案数,合理的选派方案共有 选 B.

=186 种,

3、 有两种情况, 一是在两个城市分别投资 1 个项目、 2 个项目, 此时有 种方案,二是在三个城市各投资 1 个项目,有 种方案,共计有 60 种方案,选 D.

4、

的展开式通项为

,因此含 x 的

正整数次幂的项共有 2 项,选 B.

5、第三项的系数为-

,第五项的系数为

,由第三项与第五项的系数之比为



可得 n=10,则 =45,选 D.



,令 40-5r=0,解得 r

=8,故所求的常数项为

6、不同排法的种数为

=3600,故选 B.

7、依题意,各层次数量之比为 4∶3∶2∶1,即红球抽 4 个,蓝球抽 3 个,白球抽 2 个,黄球抽一个,故选 A.

8、在正方体上任选 3 个顶点连成三角形可得

=56 个三角形,要得等腰直角三角

形共有 6×4=24 个(每个面内有 4 个等腰直角三角形),得

,所以选 C.

9、根据该图可知,组距为 2,得这 100 名学生中体重在

的学生人数所占

的频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4,所以该段学生的人数是 40,选 C.

10、将六个接线点随机地平均分成三组,共有 能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中,有

种结果,五个接收器 种结果,这五个接收

器能同时接收到信号的概率是

,选 D.

答案: 11、85 12、2400 13、-960

14、48

15、-2

16、

提示:

11、某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有 40 人,乙班 50 人. 现分析 两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩是 90 分,乙班的平均成绩是 81 分,则该

校数学建模兴趣班的平均成绩是

分.

12、先安排甲、乙两人在后 5 天值班,有 有

=20 种排法,其余 5 人再进行排列,

=120 种排法,所以共有 20×120=2400 种安排方法.

13、

展开式中的

项为



的系数为-960.

14、分二步:首尾必须播放公益广告的有 种,从而共有 种,从而应填 48.

种;中间 4 个为不同的商业广告有

15、 是-2.

的展开式中

的系数

=

x3,则实数 a 的值

16、 设离散性随机变量 可能取的值为 ,即 ,又 的数学期望

, 所以 ,则

,即









17、解:(Ⅰ)设登山组人数为 ,游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例

分别为 a、 b、 c, 则有

, 解得 b=50%, c=10%. 故

a=100%-50%-10%=40%,即游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为 40%、 50%、10%.

(Ⅱ)游泳组中,抽取的青年人数为

(人) ;抽取的中年人数为

50%=75(人) ;抽取的老年人数为 18、解:(Ⅰ)

10%=15(人) .

1 P

2

3

4

5

6

7

8

9

(Ⅱ)



19、解:(I)设 A 表示事件“抛掷 2 次,向上的数不同”,则

答:抛掷 2 次,向上的数不同的概率为

(II)设 B 表示事件“抛掷 2 次,向上的数之和为 6”.

向上的数之和为 6 的结果有









5 种,

答:抛掷 2 次,向上的数之和为 6 的概率为

20、解:(Ⅰ)该运动员两次都命中 7 环的概率为



(Ⅱ) 的可能取值为 7、8、9、10

分布列为

7

8

9

10

P 0.04 0.21 0.39 0.36

(Ⅲ)

的数学期望为




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