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1.2.2函数的表示(1)



§ 1.2.2 函数的表示法(1) 知识要点:
1. 函数有三种表示方法: 解析法(用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,优点:简明,给自变量可求函数值) ; 图象法(用图象表示两个变量的对应关系,优点:直观形象,反应变化趋势) ; 列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系,优点:不需计算就可看出函数值). 2. 分段函数的表示法与意义(一个函数,不同范围的 x,对

应法则不同). 在求分段函数的值 f(x0)时,一定要首先判断 x0 属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式; 分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集. 3. 函数解析式的确定方法 (1)代入法-- -已知 f ( x) ,求 f ( x ? 1) 等; (2)配凑法--已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代

g(x)便得 f(x)的解析式;
(3)换元法-----已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; ?1? (4)方程组法----已知关于 f(x)与 f? ?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式

?x?

组成方程组,通过解方程组求出 f(x). (5)待定系数法;若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; (6)特殊值法

例题精讲:
y ? f ( x) .

【例 1】某种笔记本的单价是 5 元,买 x( x ? 1,2,3,4,5?) 个笔记本需要 y 元,试用三种表示法表示函数

?

【例 2】画出下列函数的图象: (1) y ? 2x ? 1, x ? ?0, 2? ; (2) y ? x ? 2, x ? Z且 x ? 2 ;
2

(3) y ? x2 ? 2x, x ???1,2?

(4) y ?| x ? 2 |

(5) y ? x2 ? 2x ? 3 ;

(6) y ?| x ? 1| ? | x ? 2 |

1

【例 3】求下列函数的解析式: (1)已知 f ( x) ? x2 ? 5x ? 6 ,求 f ( x ? 1) ;

(2)已知 f ( x ? 1) ? x2 ? 3x ? 2 ,求 f ( x)

(3)已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x)

1 (4)已知 2 f ( ) ? f ( x) ? x,( x ? 0) ,求 f ( x) x

(5)已知 f ( x) 是一次函数,且 f ? f ( x)? ? 4 x ? 1 ,求 f ( x)

(6) 已知 f ( x) 是二次函数,且 f (0) ? 1, f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,求 f ( x)

【例 4】设 f ( x) 施 R 上的函数,且满足 f (0) ? 1 ,并且对任意实数 x, y 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) ,求 f ( x) 的表达式。

2

【例 5】 (1)在国内投寄平信,每封信不超过 20g 重付邮资 80 分,超过 20g 重但不超过 40g 重付邮资 160 分,将 每封信的应付邮资(分)表示为信重 x(0﹤x≤40)g 的函数,则 f(x)=
2 ? ? x ? 2, ? x ? 0 ? (2)设函数 f ? x ? ? ? ,且 f ? x0 ? ? 8 ,则 x0 ? _____。 ? ? 2 x, ? x ? 2 ?



(3)若函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, ( x ? 0) ,则 f (?3) = ? f ( x ? 2), ( x ? 0)



(4)设函数 f ( x) ? ?

? x ? 3,( x ? 10) ,则 f (5) = ? f ( f ( x ? 5)),( x ? 10)



(5)已知函数 f(x)的图象如图所示:则 f(x)的解析式是______.

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ? 【例 6】.已知函数 f(x)= ?1, x ? 0, ?? x ? 1, x ? 0. ?

(1)求 f{f[f(-1)]}的值; (2)画出函数的图象.

【例 7】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:(1)乘坐汽车 5 千米以内(含 5 千米),票价 2 元;(2)5 千米以上,每增加 5 千米,票价增加 1 元(不足 5 千米按 5 千米计算),如果某条线路的总里程为 20 千米,请根据 题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.

3

§1.2.2

函数的表示法(1)练习题

,x ? 0 ?2 x 1.函数 f(x)= ? ,则 f ( ?2) =( ). A. 1 B .2 C. 3 D. 4 ? x( x ? 1) , x ? 0 2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先跑,跑累了再走余下的路,设在途中花的时间为 t,离开家里的 路程为 d,下面图形中,能反映该同学的行程的是( ).

d

d

d

d

O A.

t

O B.

t

O C.

t

O D.

t

3.设 g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 f(x)等于(
2

)A.-2x+1

B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7 13 D. 9 )

x +1,x≤1, ? ? 1 2 4.设函数 f(x)=?2 则 f(f(3))=( ) A. B .3 C. 5 3 ? ?x,x>1, ?4 x ? 4, x ? 1, 5.函数 f ( x) ? ? 2 的图象和函数 g ( x) ? ?3x ? 2 的图象的交点个数是( x ? 4 x ? 3 , x ? 1 ? A.0 B .3 C .2 D.1 ;若 f ( x0 ) ? 8, 则x0 ? .
? x 2 ? 4, 0 ? x ? 2 6、已知函数f ( x) ? ? , 则f (2) ? ? 2x , x ? 2

7. 已知 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,则 f (2) .______.已知 f ( 8.画出下列函数的图象: (1) y ?| x ? 3 | .

1 x

1 ? x 1 ? x2 )? ,则 f ( x) = 1 ? x 1 ? x2

(2) y ? ? x2 ? 2 | x | ?3 ;

(3) y ? 2x ? 4x ? 3,(0 ? x ? 3) .
2

4

? 3 x ? 5 ( x ? 0) ? 9 、 已 知 函 数 f ( x) 的 解 析 式 为 f ( x) ? ? x ? 5 (0 ? x ? 1) ( 1 ) 画 出 这 个 函 数 的 图 象 ; ? ? 2 x ? 8 ( x ? 1) ?
(2)求函数 f ( x) 的值域。

10.①已知 f ( x) ? x 2 ? 1, 求 f ( x ? 1) ;

②已知 f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1,求 f ( x) .

11、①已知 f ( x ? 1) ? x ?

1 ,求 f ( x) ; x

②已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 ,求 f ( x ? 1) . x x

12. ①已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式;

? 1? 2 1 ②已知 f?x+ ?=x + 2,求 f(x)的解析式; ?
x? x

5

13.已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x).

14.已知 f ( x) 是一次函数,满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ;

15、已知 3 f ( x) ? 2 f ( ) ? 4 x ,求 f ( x) .

1 x

16、已知函数 y=

2x ? 3 的定义域为 R,求 k 的取值范围. kx ? 4 kx ? 5
2

6

16、解: 由已知 kx +4kx+5≠0 的解集为 R 当 k=0 时,函数 y=

2

2x ? 3 的定义域为 R 5
2

当 k≠0 时,Δ =(4k) -20k<0 解得 0<k< ∴所求 k 的范围是[0,

5 4

5 ) 4

7



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