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重庆一中2015 届高三上学期第一次月考 数学理



秘密★ 启用前 2014 年重庆一中高 2015 级高三上期第一次月考 数 学 试 题 卷(理科) 2014. 9 数学试题共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦擦干净后,再选涂其他答案标号. 3

.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 一. 选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 z 满足 (1 ? i )z ? i , 则 z =(

)

1 1 ? i A. 2 2

1 1 ? i B. 2 2

1 1 ? ? i 2 2 C.

1 1 ? ? i 2 2 D.

2. 设 a ? 3 ,
0.5

b ? log 3 2 , c ? log 0.5 3 , 则(
B. c ? a ? b

) D. b ? c ? a

A. c ? b ? a

C. a ? b ? c

- x 3. 函数 y = e

2

+ 2x

(0? x
- 3

3 ) 的值域是(
C. (e , e]
- 3

) D. (1, e]

A. (e ,1)

- 3

B. [e ,1)

4. 把 y = ln( x + 1) 的图像的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的三倍,再向右移动一个单位, 得到的函数解析式是( A. y = ln 3 x )

y = ln
B.

x 3

y = ln
C.

x+ 2 3

D. y = ln(3 x - 2)

5. 函数 A. 1

f ( x) = 2 ln x + 2 x - 5
B. 2

的零点个数为( C. 0

) D. 3

6.若定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 0 , 成立, 则 f (2015) = ( ) A. 4 B. 3

f ( x ? 2) ?

1 f ( x) , 对任意 x ? R 恒
D. 1

C. 2

7. 若某程序框图如右图所示, 当输入 50 时, 则该程序运算后输出的结果是( A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

)

8. 如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体 . 开始输液时, 滴管内匀速滴下液体 (滴管内液体忽略不计 ), 设输液开始后 x 分钟, 瓶内液面与进气管的距离为 h 厘米, 已知当
x ? 0 时, h ? 13 . 如果瓶内的药液恰好 156 分钟滴完. 则函数

h ? f ( x) 的图像为(



A.

B.

C.

D.

ì x= 1 ? a, f ( x) = ? í | x- 1| 2 ? ? ? 2 + 1, x 1 , 若关于 x 的方程 2 f ( x) - (2a + 5) f ( x) + 5a = 0 有五 9. 函数
个不同的实数解, 则 a 的取值范围是( )

5 5 (2, ) ( , ??) 2 2 A.

B. (2, +

)

C. [2, +

)

5 5 [2, ) U ( , + 2 2 D.

)

10. 若定义域在 [0,1] 的函数 f ( x) 满足: ①对于任意 ②f (0) = 0 ;

x1 , x2 ? [0,1] ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

x 1 f ( ) = f ( x) 2 ③ 3 ;
④f (1- x) + f ( x) = - 1 ,

1 9 f ( )? f ( )? 2014 ( 则 3



A.

9 16

17 B. 32 -

174 C. 343 -

512 D. 1007 -

二. 填空题: 本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡 相应位置上。

2 N ? {x ∣ ≥ 1} (? M ) I N =____. ∣x ? 4} , x ?1 11. 设全集 U 是实数集 R , M ? {x , 则 R
2

ì 1 ? ? ( )x , x? 4 ? f ( x) = í 2 ? ? ? ? f ( x + 1), x < 4 , 则 f (2) 的值为__________. 12. 已知函数
f ( x) ? log 1
13. 若函数 ______. 考生注意:14, 15, 16 三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 14. 如图, P 为 e O 外一点, 过 P 点作 e O 的两条切线, 切点分别为 A , B , 过 PA 的中点
2

ax ? 2 x ? 1 ( a 为常数 ) 在区间 (2, 4) 上是减函数 , 则 a 的取值范围是

Q 作割线交 e O 于 C ,

D 两 点 ,
______.

若 QC = 1 ,

CD = 3 ,



PB =

15. 在直角坐标平面内, 以坐标原点 O 为极点、 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知

? ? x ? 1 ? 2 cos ? ?? ? ? 4 2, ? ? 4 ? y ? 2 sin ? ? ? C 点 M 的极坐标为 , 曲线 的参数方程为 ? ( ? 为参数), 则点 M
到曲线 C 上的点的距离的最小值为 .

16. 若关于 x 的不等式 _______.

x ? 1 ? x ? 2a ? 1

在实数集 R 上的解集为 ? , 则 a 的取值范围为

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算过程.
2 2 17. (本小题满分 13 分) 已知 p : 实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 , 其中 a ? 0 ;

q : 实数 x 满足 2 < x

3.

(1) 若 a ? 1, 且 p ? q 为真, 求实数 x 的取值范围; (2) 若 p 是 q 的必要不充分条件, 求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 13 分) 函数 f ( x) ? ka ? a
x

?x

( a > 0 且 a ? 1 )是定义在实数集 R 上的奇函

数. (1) 若 f (1) ? 0 , 试求不等式 f ( x ? 2 x) ? f ( x ? 4) ? 0 的解集;
2

f (1) ?
(2) 若

3 2x ?2 x 2 且 g ( x) ? a ? a ? 2mf ( x) 在 [1, ??) 上的最小值为 - 2 , 求 m 的值.

19. (本小题满分 13 分) 如下图 1, 在 RtD ABC 中, ? C

90o , BC = 3 , AC = 6 . D , E

D A1 DE 的位置 , 使 分别是 AC , AB 上的点 , 且 DE // BC , 将 D ADE 沿 DE 折起到 A1 D ^ CD (如下图 2). A DC ; (1) 求证: BC ^ 平面 1 A BC 所成角的正弦值. (2) 若 CD = 2 , 求 BE 与平面 1

图1 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ( a ? R ).

图2

(1) 若曲线 y ? f ( x) 在点 P (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行, 求 y ? f ( x) 的单调区间和极值; (2) 讨论 f ( x) 在 (0, ??) 上的单调性;

g ( x) ? f ( x) ?
(3) 若

1 x 在 [2, ??) 上是单调函数, 求 a 的取值范围.

C:
21. (本小题满分 12 分) 以椭圆

ab y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的中心 O 为圆心,以 2 为半径

3 1 ( , 3) 的圆称为该椭圆的“伴随”. 已知椭圆的离心率为 2 , 且过点 2 .
(1) 求椭圆 C 及其“伴随”的方程; (2) 过点 积为

P ? 0, m ?

作“伴随”的切线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点, 记 ?AOB (O 为坐标原点)的面

S ?AOB , 将 S ?AOB 表示为 m 的函数, 并求 S ?AOB 的最大值.

22. (本小题满分 12 分)已知定义在 (0, +

1 x f ( x) = 1 ([ x] + 1)([ ] + 1) ) 上的函数 x , 其中 [ x? x+

表示不小于 x 的最小整数,如 [2] = 2 , [0.3] = 1 , [2.3] = 3 . (1) 求 f (p ) 的值, 其中 p 为圆周率; (2) 若在区间 (2,3] 上存在 x , 使得 f ( x) ? k 成立, 求实数 k 的取值范围; (3) 求函数 f ( x) 的值域.

2014 年重庆一中高 2015 级高三上期第一次月考 数 学 答 案(理科) 2014. 9 一. 选择题 1. A 2. A 二. 填空题

3. C

4. C

5. A

6. D

7. B

8. A

9. A

10. B

11. {x|1<x≤2} 14. 4 三. 解答题

1 12. 16
15. 5 ? 2

13. [1, 2) 16. (- ? , 1) U (0, +

)

2 2 17.解: (1)对 p :由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a )( x ? a ) ? 0 ,

因为 a > 0 , 所以 a < x < 3a

..……...……..2 分

当 a ? 1 时,解得 1< x ? 3 ,即 p 为真时,实数 x 的取值范围是 1< x ? 3 . 又 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 …………………..4 分 若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真, 所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . …………………..7 分

? q, (2) p 是 q 的必要不充分条件,即 q ? p,且 p ?
设 A=

? x p( x)? , B = ? x q( x)? ,
?a ? 2, ? ?3 ? 3a,

则 A ? B,

?

…………………..10 分

又 B ? (2,3] ,A= (a,3a) ;

所以有

解得 1 ? a ? 2; …………………..13 分

所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 .

18.解: (1)

f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,
………………….2 分

? f (0) ? 0, ? k ? 1 ? 0, ? k ? 1

f (1) ? 0,? a ?

1 ?0 a ,又 a ? 0 且 a ? 1,? a ? 1. …………4 分

易知 f ( x) 在 R 上单调递增,原不等式化为: f ( x ? 2 x) ? f (4 ? x)
2

? x 2 ? 2 x ? 4 ? x ,即 x 2 ? 3 x ? 4 ? 0

? x ? 1或x ? ?4
?不等式的解集为 {x | x ? 1或x ? ?4} .
…………………..7 分

f (1) ?
(2)

3 1 3 1 ,? a ? ? 2a 2 ? 3a ? 2 ? 0, ? a ? 2或a ? ? 2 a 2 ,即 2 (舍去)

? g ( x) ? 22 x ? 2?2 x ? 2m(2 x ? 2? x ) ? (2 x ? 2 ? x ) 2 ? 2m(2 x ? 2 ? x ) ? 2 ……9 分
令 t ? f ( x) ? 2 ? 2
x ?x

x ? 1,? t ? f (1) ? m?


3 ,? g (t ) ? t 2 ? 2mt ? 2 ? (t ? m) 2 ? 2 ? m 2 2

3 2 2 时,当 t ? m 时, g (t ) min ? 2 ? m ? ?2,? m ? 2 3 3 17 t? g (t ) min ? ? 3m ? ?2 2 时,当 2 时, 4 ,…………………..12 分

m?


m?
解得

25 3 ? 12 2 ,舍去.
………………….13 分

综上可知 m ? 2 .

19. 解:(1) 证明: 在△ ABC 中,

?C ? 90?, DE // BC ,? AD ? DE
? A1D ? DE
又 ………………2 分

A1 D ? CD, CD ? DE ? D,
.

? A1 D ? 面BCDE
由 BC ? 面BCDE ,

? A1 D ? BC

……………...4 分

BC ? CD, CD ? BC ? C ,

? BC ? 面A1 DC .

……………...7 分

DA1 分别为 x 轴, y 轴, z 轴, 建立空间直角坐标系. (2) 如图, 以 D 为原点, DE , DC , AD = A1 D = 4 , 因为 CD = 2 , 所以
DE AD 4 = = AC 6 , 所以 DE = 2 . 又 DE // AC , 所以 BC

uur D (0, 0, 0), E (2, 0, 0), B (3, 2, 0), C (0, 2, 0), A (0, 0, 4) 1 则 . BE = (- 1, - 2, 0) .
设 n ? ( x, y, z ) 为平面 因为 CB ? (3, 0, 0),

A1BC 的一个法向量,

………..8 分

CA1 ? (0, ?2, 4),

uur ì ? n ? CB ? r í uuu ? n ? CA ? 1 ? 所以 ?

0

?3 x ? 0 ? 0 ?2 y ? 4 z ? 0 ,令 y ? 2 ,得 x =0, z =1 . , 即?

所以 n ? (0,2,1) 为平面 设 BE 与平面

A1BC 的一个法向量.

………..11 分

A1BC 所成角为 ? ,
BE ? n BE ? n ? 4 4 ? 5? 5 5

sin ? = cos ? BE ? n ? ?




4 A BC 所成角的正弦值为 5 . 所以 BE 与平面 1

…………13 分

f ?( x) ? a ?
20. 解:(1)

1 ax ? 1 ? x x ,有 f ?(1) ? 0, ?x ?1 x .

得 a ? ?1 ,故

f ?( x) ?

……………….……….………..2 分

? 令 f ( x) ? 0, 得 x ? (0,1) ,故 f ( x) 在 (0,1) ? 令 f ( x) ? 0, 得 x ? (1, ??) ,故 f ( x) 在 (1, ??)
故 f ( x) 的增区间为 (0,1) ,减区间为 (1, ??) ,

f极大值 ( x) ? f (1) ? ?1

, 无极小值.

.…...4 分

f ?( x) ?
(2)

ax ? 1 ( x ? 0) x

? ① 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ??)

1 x ? (0, ? ) ? a , ② 当 a ? 0 时,令 f ( x) ? 0, 得 1 x ? (? , ??) ? a 令 f ( x) ? 0, 得 1 (0, ? ) a 1 (? , ??) a

所以 f ( x) 在

,在 f ( x) 在

综上: 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ??)

1 (0, ? ) a 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 g ( x) = ax + ln x +
(3)由题意可知:

1 (? , ??) ,在 f ( x) 在 a 1 x 在 [2, ??) 上是单调函数

………..8 分

g ?( x) ?

1 1 ax 2 ? x ? 1 ? 2 ?a ? x x x2

2 [2, + 当 a ? 0 时, ax ? x ? 1 在

) 上恒大于零,即 f ?( x) > 0 ,符合要求;

当 a < 0 时,令 h( x) ? ax ? x ? 1 ,则由题意可知
2

D = 1 + 4a

ì ? ? ? D = 1 + 4a > 0 ? ? ? h(2) ? 0 í ? ? 1 ? ? 2 a? ? 2a 0 或? ? ,解得:
(- ? , 1 ] U[0, + 4 )

1 4.

a 的取值范围是 ∴

……………..12 分

3 21. 解: (1) 椭圆 C 的离心率为 2 , 则 a = 2b ,

y2 x2 + =1 2 b2 设椭圆 C 的方程为 4b

……………2 分

1 3 1 ( , 3) ? 2 ?1 2 4b 4b ∵ 椭圆 C 过点 2 ,∴ ,

b ? 1, a ? 2 ∴

…………….………..4 分

y2 ? x2 ? 1 ∴ 椭圆 C 的标准方程为 4 ,
椭圆 C 的“伴随”方程为 x ? y ? 1 .
2 2

………..6 分

(2) 由题意知, | m |? 1 . 易知切线 l 的斜率存在,设切线 l 的方程为 y ? kx ? m,

? y ? kx ? m, ? 2 ?y 2 ? ? x ? 1 (k 2 ? 4) x 2 ? 2k mx ? m 2 ? 4 ? 0 ? 4 由 得 ………..8 分

( x , y ) ( x2 , y2 ) , 则 设 A , B 两点的坐标分别为 1 1 ,
x1 ? x2 ? ?

m2 ? 4 2km x x ? 1 2 k2 ? 4 . k2 ? 4 ,

|m|
2 又由 l 与圆 x + y = 1 相切, 所以 k + 1
2 2

=1

, k = m - 1.

2

2

所以

| AB |= 1 + k 2 ( x1 + x2 ) 2 - 4 x1 x2
= (1 + k 2 )[ 4k 2 m 2 4(m 2 - 4) 4 3|m| ]= 2 2 2 (k + 4) k +4 m 2 + 3 ……10 分

S ?AOB ?
S ?AOB ?

2 3m 1 AB ? 2 2 m ? 3 , m ? 1.

2 3 2 3 ? ?1 3 3 m? 2 m m m

(当且仅当 m ? ? 3 时取等号) ………..12 分

S 所以当 m ? ? 3 时, ?AOB 的最大值为 1.

1 p2 + 1 1 p f ( p ) = = [ ]= 1 (4 + 1)? (1 1) 10p …..3 分 22. 解: (1) 因为 [p ] = 4 , p , 所以 p+

(2) 因为 2 < x

1 [ ]= 1 3 , 所以 [ x] = 3 , x .

…. …. …. ….…..4 分

1 1 1 x f ( x) = = (x + ) (3 + 1)? (1 1) 8 x . 则 x+
f? ( x) =
求导得

1 1 (1- 2 ) 8 x , 当2< x

3 时,显然有 f ?( x) ? 0 ,

所以 f ( x) 在区间 (2,3] 上递增,

即可得 f ( x) 在区间 (2,3] 上的值域为 16 12 ,

(

5

,

5

]

…. …. …. ….….6 分

在区间 (2,3] 上存在 x , 使得 f ( x) ? k 成立,所以

k?

5 16 .

…. ….…..7 分

1 f ( x) = f ( ) x 恒成立, 且 x > 0 , 不妨设 x ? 1 . (3) 由于

f (1) =
易知

1+ 1 1 = (1 + 1)? (1 1) 2 , 下面讨论 x > 1 的情况.

…. ….…..8 分

当 x ? (1, 2] 时, [ x] = 2 ,

1 1 1 1 5 [ ]= 1 f ( x) = ( x + ) ? ( , ] x 6 x 3 12 . 所以

I1

,

1 [ ]= 1 当 x ? (n, n 1] , n ? N , n ? 2 时, [ x] = n + 1 , x .
+

f ( x) =

1 1 (x + ) 2(n + 2) x
1 1 g ' ( x) ? 1 ? 2 ? 0, x x, 所以 g ( x) 在 [1, +

g ( x) = x +


) 上是增函数,

故当 n ? 2 时,

f ( x) ? (

n2 + 1 (n + 1) 2 + 1 , ] 2n(n + 2) 2(n + 1)(n + 2)

In

+ ,n? N , n? 2

1 { } U I1 U I 2 U I 3 UL U I n UL 因此 f ( x) 的值域为 2

…. ….…..10 分

n2 + 1 (n + 1) 2 + 1 an = bn = 2n(n + 2) , 2(n + 1)(n + 2) . 记

an+ 1 - an =

2n 2 - 3 2n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

a - an > 0 , 即 a2 < a3 < L < an < L 当 n ? 2 时, n+ 1
bn+ 1 - bn = n- 1 2(n + 1)(n + 2)(n + 3)

b - bn > 0 , 即 b2 < b3 < L < bn < L 当 n ? 2 时, n+ 1
an+ 1 - bn =
而 所以

1 1 1 1 (n + 1 + )(n + 1 + )< 0 2(n + 3) n + 1 2(n + 2) n+ 1 ,

I n I I n+ 1 蛊 .

1 { } U (a1 , b1 ] U (a2 , b2 ] U ( a3 , b3 ] UL U ( an , bn ] UL 故 f ( x) 的值域为 2

1 = { } U (a1 , b1 ] U (a2 , lim bn ) n 2 1 1 5 5 1 = { }U( , ]U( , ) 2 3 12 16 2
5 1 = ( , ] 16 2

…. ….…..12 分



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