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第一讲 不等式和绝对值不等式



第一讲

不等式和绝对值不等式

一、不等式
1.不等式的基本性质 2.基本不等式 (二个重要的不等式不等式) 3.基本不等式的推广

二、绝对值不等式

绝对值不等式
回忆:数轴上的点的坐标的意义 绝对值的几何意义 (1) 实数a的绝对值|a|的几何意义 表示数轴上坐标为a的点

A到原点的距离。 |a| (2) 对于实数a 、b,绝对值|a - b| 的几何意义 |a - b|表示数轴上坐标为a、b的两点A、B之间的距离。 (3) [思考]对于实数a 、b,绝对值 a+b 的几何意义。 结论: 如果a、b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|, 当且仅当ab≥0时,等号成 立. 1 (绝对值三角不等式) 定理
如果a、b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.

定理1 (绝对值三角不等式) 如果a、b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.

证明: (1)当ab≥0时, ab =|ab|,
|a + b|= (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 = |a|2 +2|a||b|+|b|2 = (|a|+|b|)2 =|a|+|b|

(2) 当ab<0时,
ab = -|ab|, |a + b|= (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 = |a|2 -2|ab|+|b|2 < |a|2 +2|a||b|+|b|2 = (|a|+|b|)2 =|a|+|b|

综合(1)、(2)知,定理成立。 [想一想]把定理中的实数a、b换成向量a、b,结果如何?

定理1 (绝对值三角不等式) 如果a、b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立. [想一想]把定理中的实数a、b换成向量a、b,结果如何?
????? a+b ? a

? b

? a

????? a+b

? b

a和b方向相反时,情况如何?

结论: 如果a、b是向量,则|a+b|≤|a|+|b| ------当且仅当a、b 同向时,等号成立.
定理2 如果a、b、c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|, 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.

将定理中的实数a、b换成向量(或复数)仍成立。

例1 已知ε> 0, |x - a|<ε, |y - b|<ε, 求证 |2x + 3y - 2a - 3b|< 5ε
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于 公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时 生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每 · · · 天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处? x 10 20 解: 假设生活区建于公路路碑的第xkm处,两施工队每天往返的路程之和为S(x)km, 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|). ∵ |x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x|≥|(x-10)+(x-20)|=10. 当且仅当(x-10)(20-x)≥0时等号成立。 即当10≤x≤20时,S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值,最小值为2×10=20. 答:生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置,都能使两个施工队每天往 返的路程之和最小。

- 2x + 30 x < 10 则 S(x)=? 10 2x - 30 10 ≤ x ≤ 20 x > 20

所以S()的最小值为10, 60 此时10 ≤ x ≤ 20 40

答: 生活区建于两路碑 间的任意位置都满足条 件.

20

0

10

20

30

练习:P20 2、5



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