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高中数学中的存在性问题与恒成立问题



【例1】 关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 2 ≤ a2 ? a ? 1的解集为空集,则实数 a 的取值范围是

_


1 ≥ a ? 2 ? 1 对一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的最大值是 x

【例2】 若不等式 x ?

_________.
?2 ?

?x? 【例3】 设函数 f ( x) ? x2 ? 1 , 对任意 x ? ? ,? ? ? ,f ? ? ? 4m 2 f ( x) ≤ f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒 ?3 ? ?m?

成立,则实数 m 的取值范围是



【例4】 若不等式 ax 2 ? x ? 2 ? 0 的解集为 R ,则 a 的范围是( ) 1 1 A. a ? 0 B. a ? ? C. a ? D. a ? 0 8 8 1 1 1 1 2 【例5】 已知不等式 ? ? ? ? loga ? a ?1? ? 对于一切大于 1 的自然数 n n ?1 n ? 2 2n 12 3

都成立,试求实数 a 的取值范围.

【例6】 若不等式 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是______. 【例7】 f ( x) ? ax2 ? ax ? 1 在 R 上恒满足 f ( x) ? 0 ,则 a 的取值范围是( A. a ≤ 0 B. a ? ?4 C. ? 4 ? a ? 0



D. ?4 ? a ≤ 0

【例8】 若对于 x ? R ,不等式 mx 2 ? 2mx ? 3 ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.
? 1? 【例9】 不等式 x 2 ? ax ? 1≥ 0 对一切 x ? ? 0 , ? 成立,则 a 的最小值为( ) ? 2? 5 A. 0 B. ?2 C. ? D. ?3 2

【例10】 不等式 | x ? 3 | ? | x ? 1≤ | a2 ? 3 a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为

( ) ? 1? A. ? ?? ,
C. [1 ,2]

?4 ,? ? ?

? 2? B. ? ?? ,

?5 ,? ? ? D. ? ?? , 1? ? 2 , ??

1] , 【例11】 对任意 a ? [?1, 函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值恒大于零, 则 x 的取值范

围为


lg 2ax ? 1 在 x ? [1, 2] 时恒成立,试求 a 的取值范围. lg( a ? x)

【例12】 若不等式

? 1? , 1 ? 3x ? ? a ? a2 ? 9x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【例13】 若 x ? ? ?? ,

【例14】 设 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? 2 ,当 x ? ? ?1,? ?? 时,都有 f ? x ? ≥ a 恒成立,求 a 的取值

范围.
4 ? a ? 1? a

【例15】 设对所有实数 x ,不等式 x 2 log 2

? 2 x log 2

? a ? 1? 2a ? log 2 ? 0 恒成立, a ?1 4a 2
2

求 a 的取值范围.

【例16】 已知不等式 ax 2 ? 4 x ? 1≥ ?2 x 2 ? a 对任意实数恒成立,求实数 a 的取值范围. 【例17】 已知关于 x 的不等式 x 2 ? x ? t ? 0 对 x ? R 恒成立,则 t 的取值范围是 【例18】 如果 | x ? 1| ? | x ? 9 |? a 对任意实数 x 恒成立,则 a 的取值范围是( A. {a | a ? 8} B. {a | a ? 8} C. {a | a ≥ 8}

. )

D. {a | a ≤ 8}

【例19】 设不等式 x2 ? 2ax ? a ? 2 ≤ 0 的解集为 M , 如果 M ? [1, 4] , 求实数 a 的取值范围.

3 【例20】 如果关于 x 的不等式 2kx2 ? kx ? ? 0 对一切实数 x 都成立,则 k 的取值范围 8





【例21】 已知函数 f ( x) ? x ? 1g ( x2 ? 1 ? x) ,若不等式 f (m ? 3x ) ? f (3x ? 9x ? 2) ? 0 对任意
x ? R 恒成立,求实数 m 的取值范围.

【例22】 若关于 x 的方程 9x ? (4 ? a)3x ? 4 ? 0 有解,求实数 a 的取值范围.

【例23】 已知 a ? R ,若关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ?

1 ? a ?0 有实根,则 a 的取值范围 4





【例24】 若关于 x 的不等式 2 x 2 ? 8x ? 4 ? a ? 0 在 1 ? x ? 4 内有解,则实数 a 的取值范围是

( ) A. a ? ?4

B. a ? ?4

C. a ? ?12

D. a ? ?12



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