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2016-2017学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.2 平面与平面平行的判定课件



第二章
点、直线、平面之间的位置关系

2.2

直线、平面平行的判定及其性质

2.2.2

平面与平面平行的判定

要点整合夯基础 典例讲练破题型

课堂达标练经典 课时作业

[目标] 1.理解并掌握平面与平面平行的判定

定理,明确 定理中“相交”两字的重要性; 2.能利用判定定理解决有 关面面平行问题. [重点] 平面与平面平行的判定定理的理解及应用. [难点] 定理应用条件中“相交”的理解.

平面与平面平行的判定定理
[填一填] 一个平面内的两条相交直线与另一 个平面平行,则这两个平面平行

文字语言

图形语言

符号语言 作用

a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥ α?α∥β 证明两个平面平行

[答一答] 1.如果把定理中的“相交”去掉,这两个平面是否一 定平行,为什么? 提示:不一定平行.如果不是两条相交直线,即使在一 个平面内有无数条直线与另一个平面平行, 也不能判定这两 个平面平行,这是因为在两个相交平面的一个平面内,可以 画出无数条直线与交线平行, 显然这无数条直线都与另一个 平面平行,但这两个平面不平行.

2.如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行, 那么这两个平面平行吗? 提示:不一定平行,这无数条直线可能相互平行,此时 两个平面也可能相交. 3.三角板的两条边所在直线分别与桌面平行,这个三 角板所在平面与桌面的位置关系是什么? 提示:平行.

面面平行判定定理的理解

[例 1] 已知直线 l,m,平面 α,β,下列命题正确的是 ( ) A.l∥β,l ? α?α∥β B.l∥β,m∥β,l ? α,m ? α?α∥β C.l∥m,l ? α,m ? β?α∥β D.l∥β,m∥β,l ? α,m ? α,l∩m=M?α∥β

[解析] 如图所示, 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB∥CD, 则 AB∥平面 DC1,AB ?平面 AC,但是平面 AC 与平面 DC1 不平行,所以选项 A 错误;取 BB1 中点 E,CC1 的中点 F,则 可证 EF∥平面 AC,B1C1∥平面 AC.又 EF ?平面 BC1,B1C1 ?平面 BC1,但是平面 AC 与平面 BC1 不平行,所以选项 B 错 误;可证 AD∥B1C1,AD ?平面 AC,B1C1 ?平面 BC1,又平 面 AC 与平面 BC1 不平行,所以选项 C 错误;很明显选项 D 是 面面平行的判定定理,所以选项 D 正确.故选 D.

[答案]

D

解决此类问题的关键有两点: ?1?借助常见几何体进行分析, 使得抽象问题具体化 .?2? 把握住面面平行的判定定理的关键 “一个平面内两条相交直线均平行于另一个平面”.

[变式训练 1] 在以下说法中,正确的个数是( 行;

)

①平面 α 内有一条直线和平面 β 平行,那么这两个平面平 ②平面 α 内有两条直线和平面 β 平行,那么这两个平面平 行; ③平面 α 内有无数条直线和平面 β 平行,那么这两个平面 平行; ④平面 α 内任意一条直线和平面 β 都无公共点,那么这两 个平面平行. A.0 B.1 C.2 D.3

解析:①平面 α 和平面 β 相交时,平面 α 内与两平面交线 平行的直线与平面 β 都平行,所以该命题不正确; ②当两条直线相交时,两个平面平行;当两条直线平行时, 平面 α 和平面 β 可能相交; ③α 内这无数条直线相互平行时,两平面可能相交,此时 这些直线和两平面的交线平行;

④由直线和平面平行的定义可知,平面 α 内任意一条直线 与平面 β 都平行,所以平面 α 和平面 β 没有公共点,即两个平 面平行,所以该命题正确. 综上所述,只有④正确,故选 B.
答案:B

平面与平面平行的证明

[例 2] 如图所示, 已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为矩形,E、F、H 分别为 AB、CD、PD 的中点. 求证:平面 AFH∥平面 PCE.

[分析] 由面面平行的判定定理可知,要证平面 AFH∥平 面 PCE, 只需证平面 AFH 中两相交直线平行于平面 PCE, 这两 条相交直线不妨取 AF 与 FH.

[证明] 因为 F、H 分别为 CD、PD 的中点,所以 FH∥PC. 又 PC ?平面 PCE,FH ?平面 PCE,所以 FH∥平面 PCE. 因为底面 ABCD 为矩形,所以 AB∥CD,且 AB=CD. 因为 E、F 分别为 AB、CD 的中点, 所以 AE∥CF 且 AE=CF, 所以四边形 AECF 为平行四边形, 所以 AF∥CE,又 CE ?平面 PCE,AF ?平面 PCE, 所以 AF∥平面 PCE. 因为 FH ?平面 AFH,AF ?平面 AFH,FH∩AF=F, 所以平面 AFH∥平面 PCE.

判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后作 的原则, 先在一个平面内找两条与另一个平面平行的相交直线, 找不到再引辅助线.

[变式训练 2] 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M、E、F、N 分别是 A1B1、B1C1、C1D1、D1A1 的中点.

求证:(1)E、F、B、D 四点共面; (2)平面 MAN∥平面 EFDB.

证明:(1)连接 B1D1, ∵E、F 分别是边 B1C1、C1D1 的中点, ∴EF∥B1D1,而 BD∥B1D1,∴BD∥EF. ∴E、F、B、D 四点共面.

(2)易知 MN∥B1D1,B1D1∥BD, ∴MN∥BD. 又 MN ?平面 EFDB, BD ?平面 EFDB. ∴MN∥平面 EFDB. 连接 MF. ∵M、F 分别是 A1B1,C1D1 的中点, ∴MF∥A1D1,MF=A1D1.∴MF∥AD,MF=AD. ∴四边形 ADFM 是平行四边形,∴AM∥DF.

又 AM ?平面 BDFE,DF ?平面 BDFE, ∴AM∥平面 BDFE.又∵AM∩MN=M, ∴平面 MAN∥平面 EFDB.

线面平行、面面平行的综合应用

[例 3] 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, S 是 B1D1 的中点,E、F、G 分别是 BC、DC、SC 的中点,求证: (1)直线 EG∥平面 BDD1B1; (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1.

[证明] (1)如图,连接 SB, ∵E、G 分别是 BC、SC 的中点, ∴EG∥SB. 又∵SB ?平面 BDD1B1, EG ?平面 BDD1B1, ∴直线 EG∥平面 BDD1B1.

(2)连接 SD, ∵F、G 分别是 DC、SC 的中点,∴FG∥SD. 又∵SD ?平面 BDD1B1,FG ?平面 BDD1B1, ∴FG∥平面 BDD1B1, 且 EG ?平面 EFG, FG ?平面 EFG, EG∩FG=G,∴平面 EFG∥平面 BDD1B1.

?1?要证明两平面平行,只需在其中一个平面内找到两条相 交直线平行于另一个平面. ?2?判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后 作的原则,即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交 直线,若找不到再作辅助线.

[变式训练 3] 如图所示,两三角形 ABC 和 A1B1C1 的对应顶点的连线 AO BO CO 2 AA1,BB1,CC1 交于同一点 O,且 = = = . A1O B1O C1O 3

(1)求证:平面 ABC∥平面 A1B1C1; (2)求 S△ABC:S△A B C .
1 1 1

解:(1)证明:∵AA1 与 BB1 交于 O 点, AO BO 2 且 = = , A1O B1O 3 ∴AB∥A1B1. 同理 AC∥A1C1,BC∥B1C1.又 AB∩AC=A,A1B1∩A1C1 =A1,AB,AC ?平面 ABC,A1B1,A1C1 ?平面 A1B1C1, ∴平面 ABC∥平面 A1B1C1. (2)由(1)易知△ABC∽△A1B1C1,且相似比为 23, S△ABC 4 ∴ = . S△A B C 9
1 1 1

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平行中的探究性问题 [开讲啦] 对于开放性问题,要仔细观察题目本身的特点, 结合相应的定理,大胆地进行猜想,然后给予证明.

[典例] 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,M 分别是棱 B1C1,BB1,C1D1 的中点,是否存在过点 E,M 且与 平面 A1FC 平行的平面?若存在,请作出并证明;若不存在, 请说明理由.

1 [解] 如图,设 N 是棱 C1C 上的一点,且 C1N= C1C, 4 则平面 EMN 为符合要求的平面. 证明如下:设 H 为棱 C1C 的中点,连接 B1H,D1H.

1 1 ∵C1N= C1C,∴C1N= C1H. 4 2 又 E 为 B1C1 的中点,∴EN∥B1H. 又 CF∥B1H,∴EN∥CF. 又 EN ?平面 A1FC, CF ?平面 A1FC, ∴EN∥平面 A1FC. 同理 MN∥D1H,D1H∥A1F,∴MN∥A1F, ∴MN∥平面 A1FC. 又 EN∩MN=N,∴平面 EMN∥平面 A1FC.

[对应训练] 如下图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E, F,G,H 分别是棱 CC1,C1D1,D1D,CD 的中点,N 是 BC 的 中点, 点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动, 则点 M 满足________ 时,有 MN∥平面 B1BDD1.

解析:如图所示,连接 HN,NF, HF,因为 HN∥BD, HF∥DD1 , HN∩HF = H , HN ? 平面 B1BDD1 , BD ? 平面 B1BDD1,所以 HN∥平面 B1BDD1,同理 HF∥平面 B1BDD1, 所以平面 NHF∥平面 B1BDD1,所以 FH 上任意点 M 与 N 连接 都有 MN∥平面 B1BDD1.

答案:M∈线段 FH



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