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高中数学 新课标高考总复习 第一至二章



第一节 集 合

[备考方向要明了]

考 什 么 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义,体会元素与集合的属于 关系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举 法或描述法)描述不同的具体问题. 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别 给定集合的子集. (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义. 3.集合

的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求 两个简单集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含 义,会求给定子集的补集. (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关 系及集合的基本运算.

怎 么 考 1.对集合的含义与表示的考查主要涉及集合中 元素的互异性以及元素与集合之间的关系, 考 查利用所学的知识对集合的性质进行初步探 究的基本逻辑能力.如 2012 年天津 T9 等. 2.对于两个集合之间关系的考查主要涉及以下 两个方面: (1)判断给定两个集合之间的关系, 主要是子集 关系的判断.如 2012 年全国 T1,福建 T1,湖 北 T1 等. (2)以不等式的求解为背景, 利用两个集合之间 的子集关系求解参数的取值范围问题. 3.集合的基本运算在高考命题中主要与简单不 等式的求解、 函数的定义域或值域的求法相结 合考查集合的交、并、补运算,以补集与交集 的基本运算为主,考查借助数轴或 Venn 图进 行集合运算的数形结合思想和基本运算能 力.2012 陕西 T1、上海 T2 等.

[归纳· 知识整合] 1.元素与集合 (1)集合元素的特性:确定性、互异性、无序性. (2)集合与元素的关系:若 a 属于 A,记作 a∈A;若 b 不属于 A,记作 b?A. (3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集及其符号表示 数集 符号 自然数集 N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

[探究] 1.集合 A={x|x2=0},B={x|y=x2},C={y|y=x2},D={(x,y)|y=x2}相同吗? 它们的元素分别是什么? 提示:这 4 个集合互不相同,A 是以方程 x2=0 的解为元素的集合,即 A={0};B 是函 数 y=x2 的定义域,即 B=R;C 是函数 y=x2 的值域,即 C={y|y≥0};D 是抛物线 y=x2 上 的点组成的集合. 2.0 与集合{0}是什么关系??与集合{?}呢? 提示:0∈{0},?∈{?}或??{?}. 2.集合间的基本关系 表示 关系 相等 子集 真子集 空集 文字语言 符号语言 A?B 且 B?A?A= B A 中任意一个元素均为 B 中的元素 A 中任意一个元素均为 B 中的元素, B 中至少有一个 且 元素不是 A 中的元素 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 A?B 或 B?A A? 或 B? B A ??A?? B(B≠?)

集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同

[探究] 3.对于集合 A,B,若 A∩B=A∪B,则 A,B 有什么关系? 提示:A=B.假设 A≠B,则 A∩B? A∪B,与 A∩B=A∪B 矛盾,故 A=B.

3.集合的基本运算 集合的并集 符号表示 A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为 U, 则集合 A 的补集为?UA

图形表示 意义 {x|x∈A,或 x∈B} {x|x∈A,且 x∈B} ?UA={x|x∈U, x?A} 且

[探究] 4.同一个集合在不同全集中的补集相同吗? 提示:一般情况下不相同,如 A={0,1}在全集 B={0,1,2}中的补集为?BA={2},在全集 D={0,1,3}中的补集为?DA={3}. [自测· 牛刀小试] 1.(2012· 山东高考)已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( ) A.{1,2,4} C.{0,2,4} B.{2,3,4} D.{0,2,3,4}

解析:选 C 由题意知?UA={0,4},又 B={2,4},所以(?UA)∪B={0,2,4}. 2.(教材改编题)已知集合 A={x|2x-3<3x},B={x|x≥2},则( A.A?B C.A??RB B.B?A D.B??RA )

解析:选 B ∵A={x|2x-3<3x}={x|x>-3}, B={x|x≥2}, ∴B?A. 3.已知集合 M={1,m+2,m2+4},且 5∈M,则 m 的值为( A.1 或-1 C.-1 或 3 解析:选 B ∵5∈{1,m+2,m2+4}, ∴m+2=5 或 m2+4=5, 即 m=3 或 m=± 1. 当 m=3 时,M={1,5,13};当 m=1 时,M={1,3,5}; 当 m=-1 时 M={1,1,5}不满足互异性. ∴m 的值为 3 或 1. 4.(教材改编题)已知集合 A={1,2},若 A∪B={1,2},则集合 B 有________个. 解析:∵A={1,2},A∪B={1,2}, ∴B?A,∴B=?,{1},{2},{1,2}. 答案:4 5.已知集合 A={x|a-1≤x≤a+1},B={x|x2-5x+4≥0},若 A∩B=?,则实数 a 的取 值范围是________. B.1 或 3 D.1,-1 或 3 )

解析:∵B={x|x2-5x+4≥0}={x|x≥4,或 x≤1}, 且 A∩B=?,
? ? ?a-1>1, ?a>2, ∴? ∴? 即 2<a<3. ? ? ?a<3. ?a+1<4,

答案:(2,3)

集合的基本概念

[例 1]

(2013· 济南模拟)若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B} ) B.4 D.2

中的元素的个数为( A.5 C.3

(2)已知集合 A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},若 9∈(A∩B),则实数 a 的值为 ________. [自主解答] (1)集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3}. 故所求集合中元素的个数为 3. (2)∵9∈(A∩B),∴9∈A 且 9∈B, ∴2a-1=9 或 a2=9. ∴a=5 或 a=± 3.当 a=5 时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意;当 a=3 时, A={-4,5,9},B 不满足集合中元素的互异性,故 a≠3;当 a=-3 时,A={-4,-7,9},B ={-8,4,9},符合题意. ∴a=5 或 a=-3. [答案] (1)C (2)5 或-3

本例(2)中,将“9∈(A∩B)”改为“A∩B={9}”,其他条件不变,则实数 a 为何值? 解:∵A∩B={9},∴9∈A 且 9∈B, ∴2a-1=9 或 a2=9, 即 a=5 或 a=± 3. 当 a=5 时,A={-4,9,25},B={0,-4,9}, ∴A∩B={-4,9},不满足题意, ∴a≠5. 当 a=3 时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},不满足集合中元素的互异性,∴a≠3. 当 a=-3 时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9}, ∴A∩B={9},符合题意,

综上 a=-3. ————— —————————————— 解决集合问题的一般思路 (1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描 述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么. (2)对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合是否满足互异性.

1.(1)已知非空集合 A={x∈R|x2=a-1},则实数 a 的取值范围是________. (2)已知集合 A={x|x2-2x+a>0},且 1?A,则实数 a 的取值范围是________. 解析:(1)∵集合 A={x∈R|x2=a-1}为非空集合, ∴a-1≥0,即 a≥1. (2)∵1?{x|x2-2x+a>0},∴1∈{x|x2-2x+a≤0}, 即 1-2+a≤0,∴a≤1. 答案:(1)[1,+∞) (2)(-∞,1]

集合间的基本关系

1 ? ? [例 2] 已知集合 A={x|0<ax+1≤5},B=?x|-2<x≤2?,若 A?B,则实数 a 的取值范围
? ?

是________. [自主解答] A 中不等式的解集应分三种情况讨论: ①若 a=0,则 A=R; 1? ? 4 ②若 a<0,则 A=?x|a≤x<-a?; ? ? 1 4? ? ③若 a>0,则 A=?x|-a<x≤a?. ? ? 当 a=0 时,若 A?B,此种情况不存在. 当 a<0 时,若 A?B,如图,

?a>-2, 则? 1 ?-a≤2,
4 1

?a>0或a<-8, ? 即? 1 ? ?a>0或a≤-2.

又∵a<0,∴a<-8. 当 a>0 时,若 A?B,如图,

?-a≥-2, 则? 4 ?a≤2,
1 1 又∵a>0,∴a≥2.

? ?a≥2或a<0, 即? ? ?a≥2或a<0.

综上知,当 A?B 时,a<-8 或 a≥2. [答案] (-∞,-8)∪[2,+∞)

保持例题条件不变,当 a 满足什么条件时,B?A? 解:当 a=0 时,显然 B?A; 当 a<0 时,若 B?A,如图,

?a≤-2, 则? 1 ?-a>2,
4 1

?-8≤a<0, ? 即? 1 ?-2<a<0. ?

1 又∵a<0,∴- <a<0. 2 当 a>0 时,若 B?A,如图,

?-a≤-2, 则? 4 ?a≥2,
1 1

? ?0<a≤2, 即? ? ?0<a≤2.

又∵a>0,∴0<a≤2. 1 综上知,当 B?A 时,- <a≤2. 2 ————— —————————————— 根据两集合的关系求参数的方法 已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为 参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析,而且经常要对参数 进行讨论.

2.已知集合 A={2,3},B={x|mx-6=0},若 B?A,则实数 m 等于( A.3 C.2 或 3 B.2 D.0 或 2 或 3

)

解析:选 D 当 B=?时,m=0,显然成立; 6 当 B={2}时, =2,即 m=3; m 6 当 B={3}时, =3,即 m=2. m 故 m=0 或 2 或 3.

集合的基本运算

[例 3]

(1)(2012· 陕西高考)集合 M={x|lg x>0},N={x|x2≤4},则 M∩N=( B.[1,2) D.[1,2]
? ?

)

A.(1,2) C.(1,2]

?1? (2)(2013· 威海模拟)已知集合 A={1,2a},B={a,b},若 A∩B=?2?,则 A∪B=( ?1 ? A.?2,1,b? ? ? ?1 ? C.?2,1? ? ? ?1 ? B.?2,-1? ? ? ? ?1 ? D.?2,1,-1? ?

)

(3)(2013· 武汉模拟)已知 A, 均为集合 U={1,2,3,4,5,6}的子集, A∩B={3}, UB)∩A B 且 (? ={1},(?UA)∩(?UB)={2,4},则 B∩(?UA)=________. [自主解答] (1)由 lg x>0?x>1,∴M={x|x>1}, 由 x2≤4?-2≤x≤2,∴N={x|-2≤x≤2}, ∴M∩N={x|x>1}∩{x|-2≤x≤2}={x|1<x≤2}. 1? 1? ?1? 1 1 ? ? (2)由 A∩B=?2?得 2a= ,解得 a=-1,则 b= .所以 A=?1,2?,B=?-1,2?,则 A 2 2 ? ? ? ? ? ? 1? ? ∪B=?1,-1,2?.
? ?

(3)依题意及韦恩图得,B∩(?UA)={5,6}.

[答案] (1)C (2)D ————— 1.集合的运算口诀

(3){5,6} ——————————————

集合运算的关键是明确概念.集合的交、并、补运算口诀如下:交集元素仔细找,属于 A 且属于 B;并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集 U 是大范围,去掉 U 中 A 元素,剩余元 素成补集. 2.解决集合的混合运算的方法 解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分.当集合是用列举法表示的数集时,可 以通过列举集合的元素进行运算;当集合是用不等式形式表示时,可运用数轴求解.

3. (2013· 枣庄模拟)已知全集 U=Z, 集合 A={x|x2=x}, B={-1,0, 1,2},则图中阴影部分所表示的集合为( A.{-1,2} C.{0,1} ) B.{-1,0} D.{1,2}

解析:选 A 由题易得集合 A={0,1},图中阴影部分所表示的集合是不在集合 A 中,但 在集合 B 中的元素的集合,即(?UA)∩B,易知(?UA)∩B={-1,2}.故图中阴影部分所表示的 集合为{-1,2}. 集合中的新定义问题

[例 4] 非空集合 G 关于运算⊕满足: (1)对任意 a、 b∈G, 都有 a⊕b∈G; (2)存在 c∈G, 使得对一切 a∈G,都有 a⊕c=c⊕a=a,则称集合 G 关于运算⊕为“融洽集”.现给出下列 集合和运算: ①G={非负整数},⊕为整数的加法; ②G={偶数},⊕为整数的乘法; ③G={平面向量},⊕为平面向量的加法; ④G={二次三项式},⊕为多项式的加法. 其中 G 关于运算⊕为“融洽集”的是( A.①② C.②③ ) B.①③ D.②④

[自主解答] ②错,因为不满足条件(2);④错,因为不满足条件(1). [答案] B ————— —————————————— 解决新定义问题应注意以下几点 (1)遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质. (2)按新定义的要求,“照章办事”逐步分析、验证、运算,使问题得以解决. (3)对于选择题,可以结合选项通过验证,排除、对比、特值等方法解诀.

1 1 ? ? 4.若 x∈A,则 ∈A,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M=?-1,0,2,2,3?的所有非空 x ? ? 子集中具有伙伴关系的集合的个数是( A.1 C.7 ) B.3 D.31

1 解析:选 B 具有伙伴关系的元素组是-1; ,2. 2 1 ? ?1 ? ? 所以具有伙伴关系的集合有 3 个:{-1},?2,2?,?-1,2,2?.
? ? ? ?

? 1 组转化——两个集合的运算与包含关系之间的转化 在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系,在一定的情况下, 集合的运算关系和包含关系之间可以相互转化,如 A?B?A∩B=A?A∪B=B??UA??UB ?A∩(?UB)=?,在解题中运用这种转化能有效简化解题过程. ? 3 种技巧——集合的运算技巧 (1)对连续数集间的运算, 借助数轴的直观性, 进行合理转化; 对已知连续数集间的关系, 求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号. (2)对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图.这是数形结合思想 的又一体现. (3)两个有限集合相等,可以从两个集合中的元素相同求解,如果是两个无限集合相等, 从两个集合中元素相同求解就不方便,这时就根据两个集合相等的定义求解,即如果 A?B, B?A,则 A=B. ? 5 个注意——解答集合题目应注意的问题 (1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条 件. (2)要注意区分元素与集合的从属关系;以及集合与集合的包含关系. (3)要注意空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身. (4)运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心. (5)在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不 满足“互异性”而导致解题错误.

创新交汇——与集合运算有关的交汇问题

1.集合的运算是高考的常考内容,以两个集合的交集和补集运算为主,且常与函数、不 等式、三角函数、向量等内容相结合,以创新交汇问题的形式出现在高考中. 2.解决集合的创新问题常分三步: (1)信息提取,确定化归的方向; (2)对所提取的信息进行加工,探求解决方法; (3)将涉及到的知识进行转换, 有效地输出, 其中信息的提取和转化与化归是解题的关键, 也是解题的难点. 1 ? ? 2 [典例] (2012· 重庆高考)设平面点集 A=??x,y?|?y-x??y-x?≥0?, ? ? ? B={(x,y)|(x-1) +(y ? -1)2≤1},则 A∩B 所表示的平面图形的面积为( 3 A. π 4 4 C. π 7 3 B. π 5 π D. 2 )

?y-x≥0, ?y-1?≥0 可化为? 1 [解析] 不等式(y-x)? x? ? 或 ? ?y-x≥0, ?y-x≤0, ? ? 1 集合 B 表示圆(x-1)2+(y-1)2=1 上以及圆内部的点所构 y- ≤0. ? x ?
1 成的集合,A∩B 所表示的平面区域如图所示.曲线 y= ,圆(x-1)2+(y-1)2=1 均关于直线 x y=x 对称,所以阴影部分占圆面积的一半. [答案] D [名师点评] 1.本题具有以下创新点

??y-x??y-1?≥0, ? ? x? (1)命题方式的创新:题目并不是直接求解不等式组? 所表示的平面 ??x-1?2+?y-1?2≤1 ?
区域的面积,而是以求集合交集的形式考查. 1 (2)考查内容的创新:本题通过集合 A,B 考查了一元一次函数 y=x、反比例函数 y= 的 x 1 图象和圆的方程(x-1)2+(y-1)2=1,以及圆和函数 y= 的图象的对称性、不等式所表示的 x 平面区域等内容. 2.解决本题的关键有以下两点 (1)正确识别集合 A 与集合 B 中元素的几何性质,并正确画出各自所表示的区域;

1 (2)注意到圆(x-1)2+(y-1)2=1 与函数 y= (x>0)的图象都关于直线 y=x 对称. x 3.在解决以集合为背景的创新交汇问题时,应重点关注以下两点 (1)认真阅读,准确提取信息,是解决此类问题的前提.如本题应首先搞清集合 A 与 B 的 性质,即不等式表示的点集. (2)剥去集合的外表, 将陌生转化为熟悉是解决此类问题的关键, 如本题去掉集合的外表, 将问题转化为求解不等式组表示的平面区域问题. [变式训练] x2 y2 ? ? 1.已知 A={(x,y)|y=|ln x|},B=??x,y?| 9 + 4 =1?,则 A∩B 的子集个数为(
? ?

)

A.3 C.2

B.4 D.8

x2 解析:选 B A∩B 中元素的个数就是函数 y=|ln x|的图象与椭圆 + 9 y2 =1 的交点个数,如图所示.由图可知,函数图象和椭圆有两个交点, 4 即 A∩B 中有两个元素,故 A∩B 的子集有 22=4 个. 2. 设集合 M={y|y=|cos2x-sin2x|, x∈R}, ?x N=
? ?

|| x-

1? i ?<

2,i为虚数单位,x∈R?,
?

?

则 M∩N 为( A.(0,1) C.[0,1)

) B.(0,1] D.[0,1]

解析:选 C ∵y=|cos2x-sin2x|=|cos 2x|,且 x∈R, 1 ∴y∈[0,1],∴M=[0,1].在 N 中,x∈R 且?x- i ?< ? ? ∴x2+1<2,解得-1<x<1, ∴N=(-1,1). ∴M∩N=[0,1). 3.设 M={a|a=(2,0)+m(0,1),m∈R}和 N={b|b=(1,1)+n(1,-1),n∈R}都是元素为 向量的集合,则 M∩N=( A.{(1,0)} C.{(2,0)} ) B.{(-1,1)} D.{(2,1)} 2,∴|x+i|< 2,

解析:选 C 设 c=(x,y)∈M∩N,则有(x,y)=(2,0)+m(0,1)=(1,1)+n(1,-1),即(2, m)=(1+n,1-n),
? ?2=1+n, 所以? 由此解得 n=1,m=0,(x,y)=(2,0), ? ?m=1-n,

即 M∩N={(2,0)}.

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.(2012· 辽宁高考)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3,5,8},集合 B= {2,4,5,6,8},则(?UA)∩(?UB)=( A.{5,8} C.{0,1,3} 解析:选 B ) B.{7,9} D.{2,4,6} ?UA={2,4,6,7,9},?UB={0,1,3,7,9},则(?UA)∩(?UB)={7,9}. )

2.已知 S={(x,y)|y=1,x∈R},T={(x,y)|x=1,y∈R},则 S∩T=( A.空集 C.(1,1) B.{1} D.{(1,1)}

解析:选 D 集合 S 表示直线 y=1 上的点,集合 T 表示直线 x=1 上的点,S∩T 表示直 线 y=1 与直线 x=1 的交点. 3.已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=( A.0 或 3 C.1 或 3 B.0 或 3 D.1 或 3 )

解析:选 B 由 A∪B=A 得 B?A,有 m∈A,所以有 m= m或 m=3,即 m=3 或 m=1 或 m=0,又由集合中元素互异性知 m≠1. 4.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x2-2x-3≤0},则 A∩(?RB)=( A.(1,4) C.(1,3) 解析:选 B B={x|-1≤x≤3}, A∩(?RB)={x|3<x<4}. 5.(2012· 湖北高考)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满 足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4


)

B.(3,4) D.(1,2)∪(3,4)

解析:选 D A={1,2},B={1,2,3,4},A?C?B,则集合 C 的个数为 24 2=22=4,即 C ={1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 6.(2013· 厦门模拟)设函数 f(x)=lg(1-x2),集合 A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则图中 阴影部分表示的集合为( )

A.[-1,0] C.(-∞,-1)∪[0,1)

B.(-1,0) D.(-∞,-1]∪(0,1)

解析:选 D 因为 A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1<x<1},则 u=1-x2∈(0,1],所以 B={y|y=f(x)}={y|y≤0},A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0], 故图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1]∪(0,1). 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 9a ? ? 2 7.若 1∈?a-3, 2 -1,a +1,-1?,则实数 a 的值为________.
? ?

9a 9a 解析:若 a-3=1,则 a=4,此时 -1=a2+1=17 不符合集合中元素的互异性;若 2 2 4 9a -1=1,则 a= ,符合条件;若 a2+1=1,则 a=0,此时 -1=-1,不符合集合中元素 9 2 4 的互异性.综上可知 a= . 9 4 答案: 9 8.设集合 U={1,2,3,4},M={x∈U|x2-5x+p=0},若?UM={2,3},则实数 p 的值为 ________. 解析:由条件可得 M={1,4},把 1 代入 x2-5x+p=0,可得 p=4,再检验可知结论成 立. 答案:4 9.(2013· 合肥模拟)对于任意的两个正数 m,n,定义运算⊙:当 m,n 都为偶数或都为 m+n 奇数时,m⊙n= ,当 m,n 为一奇一偶时,m⊙n= mn,设集合 A={(a,b)|a⊙b=6, 2 a,b∈N*},则集合 A 中的元素个数为________. a+b 解析:(1)当 a,b 都为偶数或都为奇数时, =6?a+b=12,即 2+10=4+8=6+6 2 =1+11=3+9=5+7=12,故符合题意的点(a,b)有 2×5+1=11 个. (2)当 a,b 为一奇一偶时, ab=6?ab=36,即 1×36=3×12=4×9=36,故符合题意 的点(a,b)有 2×3=6 个. 综上可知,集合 A 中的元素共有 17 个. 答案:17 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.A={x|-2<x<-1 或 x>1},B={x|a≤x<b},A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x<3}, 求实数 a,b 的值.

解:∵A∩B={x|1<x<3},∴b=3, 又 A∪B={x|x>-2}, ∴-2<a≤-1, 又 A∩B={x|1<x<3}, ∴-1≤a<1, ∴a=-1. 11.设全集 I=R,已知集合 M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6=0}. (1)求(?IM)∩N; (2)记集合 A=(?IM)∩N,已知集合 B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若 B∪A=A,求实数 a 的取值范围. 解:(1)∵M={x|(x+3)2≤0}={-3}, N={x|x2+x-6=0}={-3,2}, ∴?IM={x|x∈R 且 x≠-3}, ∴(?IM)∩N={2}. (2)A=(?IM)∩N={2}, ∵A∪B=A,∴B?A,∴B=?或 B={2}, 当 B=?时,a-1>5-a,∴a>3;
?a-1=2, ? 当 B={2}时,? 解得 a=3, ? ?5-a=2,

综上所述,所求 a 的取值范围为{a|a≥3}. 12.设集合 A={x|x+1≤0,或 x-4≥0},B={x|2a≤x≤a+2}. (1)若 A∩B≠?,求实数 a 的取值范围; (2)若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 解:A={x|x≤-1,或 x≥4}. (1)∵A∩B≠?,
?2a≤a+2, ?2a≤a+2, ? ? ∴? 或? ? ? ?a+2≥4 ?2a≤-1,

? ?a≤2, ? ? ? ∴ 或? 1 ? ?a≥2 ?a≤- ,
a≤2, 2

?

1 ∴a=2 或 a≤- .即 a 的取值范围是 2 1? ? ?a|a=2,或a≤- ?. 2? ? (2)∵A∩B=B,∴B?A,且有三种情况.

?2a≤a+2, ? ①? 解得 a≤-3; ? ?a+2≤-1, ? ?2a≤a+2, ②? 解得 a=2; ? ?2a≥4,

③由 B=?,得 2a>a+2,得 a>2. ∴a 的取值范围是(-∞,-3]∪[2,+∞).

1.已知集合 M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且 a≠b},则集合 M 与集合 N 的 关系是( ) B.M?N D.M∩N=?

A.M=N C.N?M

解析:选 C 由于 M={-1,0,1},所以 x=0,-1,故 N={0,-1},所以 N?M. 2. 设全集 U=R, A={x|-x2-3x>0}, B={x|x<-1}, 则图中阴影部分表示的集合为( A.{x|x>0} B.{x|-3<x<-1} C.{x|-3<x<0} D.{x|x<-1} 解析:选 B 依题意得集合 A={x|-3<x<0},所求的集合即为 A∩B,所以图中阴影部分 表示的集合为{x|-3<x<-1}. 3.若集合 A={x|x≥1},B={0,1,2},则下列结论正确的是( A.A∪B={x|x≥0} C.(?RA)∩B={0,1} B.A∩B={1,2} D.A∪(?RB)={x|x≥1} ) )

解析:选 B 依题意得,A∪B={x|x≥1}∪{0},A∩B={1,2},(?RA)∩B={0},A∪(?RB) =(-∞,0)∪(0,+∞),因此结合各选项知,选 B. 4.已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实数 a 的取值范围是(c,+ ∞),其中 c=________. 解析:A={x|log2x≤2}={x|0<x≤4},即 A=(0,4],由 A?B,B=(-∞,a),且 a 的取值 范围是(c,+∞),可以结合数轴分析得 c=4. 答案:4

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考 1.对本节内容的考查形式多为选择题或填空题. 2.对命题及其关系的考查主要有以下两种方式: (1)考查简单命题的真假判断,其中结合命题的四种形式、充 要条件以及复合命题、 全称命题等组成的混合选项问题是命题 的重点.

1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的 命题的逆命题、否命题和逆 否命题,会分析四种命题的 相互关系. 3.理解必要条件、 充分条件与 充要条件的意义.

(2)考查命题的四种形式,以原命题的否命题、逆否命题的形 式为考查重点.如 2012 年湖南 T3. 3.对充要条件的考查,主要从以下三个方面命题: (1)以其他知识模块内容为背景,考查充要条件的判断,多以 函数的性质、 不等式的性质及其应用、 解析几何中的直线与圆、 圆锥曲线的位置关系以及空间中的线面位置关系等为主.如 2012 年福建 T3,天津 T5,上海 T16 等. (2)以其他知识模块内容为背景,考查充要条件的探求,尤其 要注意逻辑联结词“非”与充要条件相结合的问题. (3)考查利用条件和结论之间的充要条件关系求解参数的取值 范围.如 2011 年陕西 T14.

[归纳· 知识整合] 1.命题 在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中 判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系: ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. [探究] 1.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这 4 个命题中,真命题的个数可能有 几个? 提示:由于原命题与逆否命题是等价命题;逆命题与否命题是等价命题,所以真命题的 个数可能为 0,2,4. 3.充分条件与必要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. (2)如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的充分必要条件.记作 p?q. [探究] 2.“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”两者的说法 相同吗? 提示:两者说法不相同.“p 的一个充分不必要条件是 q”等价于“q 是 p 的充分不必要 条件”,显然这与“p 是 q 的充分不必要条件”是截然不同的. 3.命题“若 p,则 q”的逆命题为真,逆否命题为假,则 p 是 q 的什么条件? 提示:逆命题为真即 q?p,逆否命题为假,即 p?/ q,故 p 是 q 的必要不充分条件. [自测· 牛刀小试] 1.(教材改编题)给出命题:“若 x2+y2=0,则 x=y=0”,在它的逆命题、否命题、逆 否命题中,真命题的个数是( A.0 个 C.2 个 ) B.1 个 D.3 个

解析:选 D 逆命题为:若 x=y=0,则 x2+y2=0,是真命题. 否命题为:若 x2+y2≠0,则 x≠0 或 y≠0,是真命题. 逆否命题为:若 x≠0 或 y≠0,则 x2+y2≠0,是真命题. 2.下列命题: ①“a>b”是“a2>b2”的必要条件; ②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件; ③“a>b”是“a+c>b+c” 的充要条件. 其中是真命题的是( )

A.①② C.①③

B.②③ D.①②③

解析:选 B ①a>b?/ a2>b2,且 a2>b2?/ a>b;故①不正确;②a2>b2 ?|a|>|b|,故② 正确; ③“a>b”?a+c>b+c,且 a+c>b+c?a>b,故③正确. 3.命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 解析:选 B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论,故“若 f(x)是奇函数,则 f(-x) 是奇函数”的否命题是 B 选项. π 4.(2012· 湖南高考)命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是( 4 π A.若 α≠ ,则 tan α≠1 4 π C.若 tan α≠1,则 α≠ 4 π B.若 α= ,则 tan α≠1 4 π D.若 tan α≠1,则 α= 4 ) )

π π 解析:选 C 命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是“若 tan α≠1,则 α≠ ”. 4 4 5.(2012· 天津高考)设 φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos (x+φ)(x∈R)为偶函数”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:选 A 因为 f(x)是偶函数?φ=kπ,k∈Z,所以“φ=0”是“f(x)是偶函数”的充 分而不必要条件.

四种命题及其真假判断

[例 1] 在命题 p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中,真命题的个数记 为 f(p),已知命题 p:“若两条直线 l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0 平行,则 a1b2 -a2b1=0”.那么 f(p)等于( A.1 C.3 ) B.2 D.4

[自主解答] 原命题 p 显然是真命题,故其逆否命题也是真命题.而其逆命题是:若 a1b2

-a2b1=0,则两条直线 l1 与 l2 平行,这是假命题,因为当 a1b2-a2b1=0 时,还有可能 l1 与 l2 重合,逆命题是假命题,从而否命题也为假命题,故 f(p)=2. [答案] B ————— —————————————— 判断四种命题间的关系的方法 (1)在判断四种命题之间的关系时,首先要注意分清命题的条件与结论,再比较每个命题 的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就 相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”. (2)当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时, 必须保留大前提, 也就是大前提不动; 对于由多个并列条件组成的命题,在写其他三种命题时,应把其中一个(或 n 个)作为大前提.

1.设原命题是“当 c>0 时,若 a>b,则 ac>bc”,写出它的逆命题、否命题与逆否命题, 并分别判断它们的真假. 解: “当 c>0 时”是大前提, 写其他命题时应该保留, 原命题的条件是 a>b, 结论是 ac>bc. 因此它的逆命题: c>0 时, ac>bc, a>b.它是真命题; 当 若 则 否命题: c>0 时, a≤b, 当 若 则 ac≤bc.它是真命题; 逆否命题:当 c>0 时,若 ac≤bc,则 a≤b.它是真命题. 充分条件、必要条件的判断

[例 2]

(1)(2012· 浙江高考)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

+(a+1)y+4=0 平行”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

(2)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分不必要的条件是( A.a>b+1 C.a2>b2 B.a>b-1 D.a3>b3

[自主解答] (1)“直线 l1: ax+2y-1=0 与直线 l2: x+(a+1)y+4=0 平行”的充要条件 -1 a 2 是:由 = ≠ ,解得 a=-2 或 1. 1 a+1 4 故“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的充分不必 要条件. (2)a>b+1?a-b>1>0?a>b,但 a=2,b=1 满足 a>b,但 a=b+1,故 A 项正确.或用 排除法:对于 B,a>b-1 不能推出 a>b,排除 B;而 a2>b2 不能推出 a>b,如 a=-2,b=1,

(-2)2>12,但-2<1,故 C 项错误;a>b?a3>b3,它们互为充要条件,排除 D. [答案] (1)A (2)A ————— —————————————— 充分条件、必要条件的判断方法 判断 p 是 q 的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件 p 能否推得条件 q;二是由条 件 q 能否推得条件 p.

2.已知命题 p:函数 f(x)=|x-a|在(1,+∞)上是增函数,命题 q:f(x)=ax(a>0 且 a≠1) 是减函数,则 p 是 q 的( A.必要不充分条件 C.充要条件 ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 A 若命题 p 为真,则 a≤1;若命题 q 为真, 则 0<a<1.∵由 q 能推出 p 但由 p 不能推出 q, ∴p 是 q 的必要不充分条件.

充要条件的应用

[例 3] 已知 P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}. (1)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件,若存在,求出 m 的范围; (2)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件,若存在,求出 m 的范围. [自主解答] (1)由 x2-8x-20≤0 得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, ∵x∈P 是 x∈S 的充要条件,∴P=S,
? ? ?1-m=-2, ?m=3, ∴? ∴? ?1+m=10, ?m=9, ? ?

这样的 m 不存在. (2)由题意 x∈P 是 x∈S 的必要条件,则 S?P.
?1-m≥-2, ? ∴? ? ?1+m≤10,

∴m≤3. 综上,可知 m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件.

保持本例条件不变,若綈 P 是綈 S 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

解:由例题知 P={x|-2≤x≤10}, ∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件, ∴P?S 且 S?/ P. ∴[-2,10]? [1-m,1+m].
? ? ?1-m≤-2, ?1-m<-2, ∴? 或? ?1+m>10 ?1+m≥10. ? ?

∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞). ————— ——————————————

1.解决与充要条件有关的参数问题的方法 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根 据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解. 2.利用转化的方法理解充分必要条件 若綈 p 是綈 q 的充分不必要?必要不充分、充要?条件,则 p 是 q 的必要不充分?充分不必 要、充要?条件.

1 - 3. p: ax>0; ?2?x 1>1, p 是 q 的充分不必要条件, a 的取值范围是________. 设 log q: ? 若 则 ? 解析:由已知 q:x<1,当 0<a<1 时,p:0<x<1,符合条件.当 a>1 时,p:x>1,不符 合条件. 答案:(0,1)

? 1 个转化——正难则反的转化 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而当判断一个命题的真假比较困难 时,可转化为判断它的逆否命题的真假. ? 2 个区别——“否命题”与“命题的否定”以及“充分条件”与“必要条件”的区别 (1)否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论,而命题的否定是只否定命题的结 论.要注意区别. (2)充分必要条件的判断应注意问题的设问方式,①A 是 B 的充分不必要条件是指:A?B 且 B?/ A;②A 的充分不必要条件是 B 是指:B?A 且 A?/ B,在解题中一定要弄清它们的 区别,以免出现错误. ? 3 种方法——判断充分条件和必要条件的方法 (1)命题判断法.

设“若 p,则 q”为原命题,那么: ①原命题为真,逆命题为假时,p 是 q 的充分不必要条件; ②原命题为假,逆命题为真时,p 是 q 的必要不充分条件; ③原命题与逆命题都为真时,p 是 q 的充要条件; ④原命题与逆命题都为假时,p 是 q 的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法. 从集合的观点看,建立命题 p,q 相应的集合:p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}, 那么: ①若 A?B,则 p 是 q 的充分条件;若 A? 时,则 p 是 q 的充分不必要条件; B ②若 B?A,则 p 是 q 的必要条件;若 B? 时,则 p 是 q 的必要不充分条件; A ③若 A?B 且 B?A,即 A=B 时,则 p 是 q 的充要条件. (3)等价转化法. p 是 q 的什么条件等价于綈 q 是綈 p 的什么条件.

创新交汇——与充要条件有关的交汇问题

1.充分条件、必要条件和充要条件的判断是每年高考的热点内容,多与函数、不等式、 向量、立体几何、解析几何等交汇命题. 2.突破此类问题的关键有以下四点: (1)要分清命题的条件与结论; (2)要善于将文字语言转化为符号语言进行推理; (3)要注意等价命题的运用; (4)当判断多个命题之间的关系时,常用图示法,它能使问题直观、易于判断. [典例] (2011· 陕西高考)设 n∈N*, 一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根的充要条件是 n =________. 4± 16-4n [解析] x= =2± 4-n,因为 x 是整数,即 2± 4-n为整数,所以 4-n为 2 整数,且 n≤4,又因为 n∈N*,取 n=1,2,3,4,验证可知 n=3,4 符合题意,所以 n=3,4 时可 以推出一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根. [答案] 3 或 4 [名师点评] 1.本题有以下两个创新点 (1)考查内容创新:本题以一元二次方程为背景,探求方程有整数根的充要条件.

(2)命题方式创新:此题目的特点是给出结论,未给条件,由结论探求条件. 2.解决本题的关键有以下两点 (1)从结论出发,正确求出使结论成立的必要条件; (2)要验证所得到的必要条件是否满足充分性,否则极易得出 n=1,2,3,4 的错误答案. [变式训练] 1.已知向量 a=(x-1,2),b=(2,1),则 a⊥b 的充要条件是( 1 A.x=- 2 C.x=5 B.x=-1 D.x=0 )

解析:选 D a⊥b?a· b=0,a· b=(x-1,2)· (2,1)=2(x-1)+2×1=2x=0,∴x=0. 2.对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx2+ny2=1 的曲线是椭圆”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:选 B 当 m<0,n<0 时,mn>0,但 mx2+ny2=1 没有意义,不是椭圆;反之,若 mx2+ny2=1 表示椭圆,则 m>0,n>0,即 mn>0. 3.设集合 A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B” 是“x∈C”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

解析:选 C 化简得 A={x|x>2},B={x|x<0}, C={x|x<0,或 x>2}. ∵A∪B=C,∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题应该是( A.若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m>0 B.若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m≤0 C.若方程 x2+x-m=0 无实根,则 m>0 D.若方程 x2+x-m=0 无实根,则 m≤0 解析:选 D 根据原命题与逆否命题的结构关系可知,其逆否命题为:若方程 x2+x-m =0 无实根,则 m≤0. 2.设集合 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ) )

C.充要条件 解析:选 B 充分条件.

D.既不充分也不必要条件 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},所以 N? M,故 a∈M 是 a∈N 的必要不

3.(2013· 日照模拟)已知直线 l1:x+ay+1=0,直线 l2:ax+y+2=0,则命题“若 a=1 或 a=-1,则直线 l1 与 l2 平行”的否命题为( A.若 a≠1 且 a≠-1,则直线 l1 与 l2 不平行 B.若 a≠1 或 a≠-1,则直线 l1 与 l2 不平行 C.若 a=1 或 a=-1,则直线 l1 与 l2 不平行 D.若 a≠1 或 a≠-1,则直线 l1 与 l2 平行 解析:选 A 命题“若 A,则 B”的否命题为“若綈 A,则綈 B”,显然“a=1 或 a=- 1”的否定为“a≠1 且 a≠-1”,“直线 l1 与 l2 平行”的否定为“直线 l1 与 l2 不平行”. 4.已知 a,b 为非零向量,则“函数 f(x)=(ax+b)2 为偶函数”是“a⊥b”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ) )

解析:选 C 依题意得 f(x)=a2x2+2(a· b)x+b2.由函数 f(x)是偶函数,得 a· b=0,又 a· b 为非零向量,所以 a⊥b;反过来,由 a⊥b 得,a· b=0,f(x)=a2x2+b2,函数 f(x)是偶函数.综 上所述,“函数 f(x)=(ax+b)2 为偶函数”是“a⊥b”的充要条件. 5.(2012· 安徽高考)设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 A 若 α⊥β,又 α∩β=m,b?β,b⊥m,根据两个平面垂直的性质定理可得 b ⊥α,又因为 a?α,所以 a⊥b;反过来,当 a∥m 时,因为 b⊥m,一定有 b⊥a,但不能保证 b⊥α,即不能推出 α⊥β. 6.(2013· 潍坊模拟)命题“?x∈[1,2],x2 -a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 ( ) A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 解析:选 C 命题“?x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是 a≥4.故其充分不必 要条件是集合[4,+∞)的真子集. 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.(2013· 南京模拟)有下列几个命题: ①“若 a>b,则 a2>b2”的否命题; ②“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题;

③“若 x2<4,则-2<x<2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________. 解析:①原命题的否命题为“若 a≤b 则 a2≤b2”错误. ②原命题的逆命题为:“x,y 互为相反数,则 x+y=0”正确. ③原命题的逆否命题为“若 x≥2 或 x≤-2,则 x2≥4”正确. 答案:②③ 8.(2013· 石家庄质检)下列四个命题: ①“?x∈R,x2-x+1≤0”的否定; ②“若 x2+x-6≥0,则 x>2”的否命题; 1 ③在△ABC 中,“A>30° ”是“sin A> ”的充分不必要条件; 2 ④“函数 f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=kπ(k∈Z)”.其中真命题的序号 是________(把真命题的序号都填上). 解析:“?x∈R,x2-x+1≤0”的否定为“?x∈R,x2-x+1>0”,①是真命题;“若 x2+x-6≥0, x>2”的否命题是“若 x2+x-6<0, x≤2”, 则 则 ②也是真命题; 在△ABC 中, 1 “A>30° ”是“sin A> ”的必要不充分条件,③是假命题;“函数 f(x)=tan(x+φ)为奇函数” 2 kπ 的充要条件是“φ= (k∈Z)”,④是假命题. 2 答案:①② 9. 已知 α: x≥a, |x-1|<1.若 α 是 β 的必要不充分条件, β: 则实数 a 的取值范围为________. 解析:α:x≥a,可看作集合 A={x|x≥a}, ∵β:|x-1|<1,∴0<x<2, ∴β 可看作集合 B={x|0<x<2}. 又∵α 是 β 的必要不充分条件,∴B? A,∴a≤0. 答案:(-∞,0] 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.已知集合 A={x|x2-4mx+2m+6=0},B={x|x<0},若命题“A∩B=?”是假命题, 求实数 m 的取值范围. 解:因为“A∩B=?”是假命题,所以 A∩B≠?. 设全集 U={m|Δ=(-4m)2-4(2m+6)≥0}, 3 则 U={m|m≤-1 或 m≥ }. 2 假设方程 x2-4mx+2m+6=0 的两根 x1,x2 均非负,则有

?m∈U, ? ?x1+x2≥0, ?x x ≥0 ?12

?m∈U, ? ??4m≥0, ?2m+6≥0 ?

3 ?m≥ . 2

3 又集合{m|m≥ }关于全集 U 的补集是{m|m≤-1}, 2 所以实数 m 的取值范围是{m|m≤-1}.
? ? 3 3 2 11.已知集合 A=?y?y=x -2x +1,x∈?4,2??,B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x ? ?? ? ?

∈B”的充分条件,求实数 m 的取值范围. 3 3 7 解:y=x2- x+1=?x-4?2+ , ? ? 16 2 3 7 ∵x∈?4,2?,∴ ≤y≤2, ? ? 16
? 7 ? ∴A=?y|16≤y≤2?. ? ?

由 x+m ≥1,得 x≥1-m2, ∴B={x|x≥1-m2}. ∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件, 7 ∴A?B,∴1-m2≤ , 16 3 3 解得 m≥ 或 m≤- , 4 4 3 3 故实数 m 的取值范围是?-∞,-4?∪?4,+∞?. ? ? ? ? 12.已知两个关于 x 的一元二次方程 mx2-4x+4=0 和 x2-4mx+4m2-4m-5=0,求两 方程的根都是整数的充要条件. 解:∵mx2-4x+4=0 是一元二次方程, ∴m≠0. 又另一方程为 x2-4mx+4m2-4m-5=0,且两方程都要有实根,
?Δ1=16?1-m?≥0, ? ∴? 2 2 ? ?Δ2=16m -4?4m -4m-5?≥0,

2

5 解得 m∈?-4,1?. ? ? ∵两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数,

?m∈Z, ? ∴?4m∈Z, ?4m -4m-5∈Z. ?
4
2

∴m 为 4 的约数. 5 又∵m∈?-4,1?, ? ? ∴m=-1 或 1. 当 m=-1 时,第一个方程 x2+4x-4=0 的根为非整数; 而当 m=1 时,两方程的根均为整数, ∴两方程的根均为整数的充要条件是 m=1.

1.已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题是( A.若 a+b+c≠3,则 a +b +c <3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3
2 2 2

)

解析:选 A a+b+c=3 的否定是 a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3 的否定是 a2+b2+c2<3. 2.设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 A 由 x≥2 且 y≥2 可得 x2+y2≥4,但反之不成立. 3.“a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x-a)2+(y-b)2=2 相切”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 解析:选 A a=b 时,圆心到直线距离 |a-b+2| d= = 2, 2 |a-b+2| 所以相切;若直线与圆相切时,有 d= = 2, 2 所以 a=b 或 a=-4+b.
? 1 x ? 4.已知集合 A=?x|2<2 <8,x∈R?,B={x|-1<x<m+1,x∈R},若 x∈B 成立的一个充 ? ?

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

分不必要的条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是________.
? 1 x ? 解析: ?x|2<2 <8,x∈R?={x|-1<x<3}, A= ∵x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A, ? ?

∴A? B,∴m+1>3,即 m>2. 答案:(2,+∞)

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[备考方向要明了]

考 什 么 1.了解逻辑联结词 “或”“且”“非”的含 义. 2.理解全称量词与存在量 词的意义. 3.能正确地对含有一个量 词的命题进行否定.

怎 么 考 1.新课标对三个逻辑联结词的要求虽然只是了解, 但这三个逻辑 联结词却是高考试题中的常客,多为选择题,其中,综合其他 知识对含有这几个逻辑联结词的命题的判断问题成为高考命题 的一个热点.如 2012 年山东 T5 等. 2.对全称量词与存在量词的考查, 主要是结合其他知识点考查含 有全称量词与存在量词的命题的判断,多为选择题或填空题, 试题难度一般.如 2012 年安徽 T4,辽宁 T5,湖北 T4 等.

[归纳· 知识整合] 1.命题 p∧q、p∨q、綈 p 的真假判定 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 綈p 假 假 真 真

[探究] 关系?

1.逻辑联结词“且”“或”“非”与集合运算中的“交”“并”“补”有什么

提示: “且”“或”“非”三个逻辑联结词, 对应着集合运算中的“交”“并”“补”, 因此,常常借助集合的“交”“并”“补”的意义来解答由“且”“或”“非”三个联结词 构成的命题问题. 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词有:所有的,任意一个,任给,用符号“?”表示;存在量词有:存在一个,

至少有一个,有些,用符号“?”表示. (2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”用符号简 记为:?x∈M,p(x). (3)含有存在量词的命题,叫做特称命题.“存在 M 中元素 x0,使 p(x0)成立”用符号简 记为:?x0∈M,p(x0). 3.含有一个量词的命题的否定 命题 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0) 命题的否定 ?x0∈M,綈 p(x0) ?x∈M,綈 p(x)

[探究] 什么关系?

2.全称命题(特称命题)的否定还是全称命题(特称命题)吗?其真假性与原命题有

提示:不是.全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,它们的真假性 与原命题恰好相反. [自测· 牛刀小试] 1.(教材改编题)下列命题是真命题的是( ①27 是 3 的倍数或 27 是 9 的倍数; ②27 是 3 的倍数且 27 是 9 的倍数; ③平行四边形的对角线互相垂直且平分; ④平行四边形的对角线互相垂直或平分; ⑤1 是方程 x-1=0 的根,且是方程 x2-5x+4=0 的根. A.①③⑤ C.①②④⑤ B.①②③⑤ D.①②③④⑤ )

解析:选 C 平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直,故③错误. π 2.命题 p:“已知 0<x< ,若 xcos x<1,则 xcos2x<1”的否定为( 2 π A.已知 x≤0 或 x≥ ,若 xcos x<1,则 xcos2x≥1 2 π B.已知 x≤0 或 x≥ ,若 xcos x≥1,则 xcos2x≥1 2 π C.已知 0<x< ,若 xcos x<1,则 xcos2x≥1 2 π D.已知 0<x< ,若 xcos x≥1,则 xcos2x≥1 2 )

π 解析:选 C 在命题 p 中,“已知 0<x< ”为大前提,在命题的否定中不能改变,命题 2 π “若 A,则 B”的否定是“若 A,则綈 B”,故命题 p 的否定为:已知 0<x< ,若 xcos x<1, 2 则 xcos2x≥1. 3.下列命题中的假命题是( A.?x∈R,2x 1>0 C.?x0∈R,lg x0<1


) B.?x∈N*,(x-1)2>0 D.?x0∈R,tan x0=2


解析:选 B A 项,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得 2x 1>0;B 项,∵x∈N*, 1 1 ∴当 x=1 时,(x-1)2=0 与(x-1)2>0 矛盾;C 项,当 x0= 时,lg =-1<1;D 项,当 x0 10 10 ∈R 时,tan x0∈R,∴?x0∈R,tan x0=2. 4.(教材改编题)(1)命题 p:任意两个等边三角形都是相似的,则綈 p:__________. (2)命题 p:?x0∈R,x2+2x0+2=0,则綈 p:__________. 0 解析:(1)全称命题的否定为特称命题,则綈 p:存在两个等边三角形,它们不相似. (2)特称命题的否定为全称命题,则 綈 p:?x∈R,x2+2x+2≠0 答案:(1)存在两个等边三角形,它们不相似 (2)?x∈R,x2+2x+2≠0 5.已知命题 p:?x0∈R,x0 2+ p∨q 中是真命题的是________. 解析:x0=± 时,p 成立,所以 p 真,q 假,p∧q 假,p∨q 真. 1 答案:p、p∨q 1 ≤2;命题 q 是命题 p 的否定,则命题 p、q、p∧q、 x0 2

含有逻辑联结词的命题的真假判断

[例 1] 已知命题 p: (a-2)2+|b-3|≥0(a, b∈R), 命题 q:2-3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}, x 给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧綈 q”是假命题; ③命题“綈 p∨q”是真命题;

④命题“綈 p∨綈 q”是假命题.其中正确的是( A.②③ C.①③④ B.①②④

)

D.①②③④

[自主解答] 命题 p:(a-2)2+|b-3|≥0(a,b∈R)是真命题,命题 q:x2-3x+2<0 的解 集是{x|1<x<2}也是真命题,故①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈 q”是假命题;③命 题“綈 p∨q”是真命题;④命题“綈 p∨綈 q”是假命题. [答案] D ————— ——————————————

判断“p∧q”、“p∨q”、“綈 p”形式命题真假的步骤 (1)准确判断简单命题 p、q 的真假; (2)根据真值表判断“p∧q”、“p∨q”、“綈 p”命题的真假.

1.(2013· 长春名校联考)命题 p:若 a· b>0,则 a 与 b 的夹角为锐角;命题 q:若函数 f(x) 在(-∞,0]及(0,+∞)上都是减函数,则 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.下列说法中正确 的是( ) B.“p 或 q”是假命题 D.綈 q 为假命题

A.“p 或 q”是真命题 C.綈 p 为假命题

解析:选 B ∵当 a· 时,a 与 b 的夹角为锐角或零度角,∴命题 p 是假命题;命题 q b>0
?-x+1,x≤0, ? 是假命题,例如 f(x)=? 综上可知,“p 或 q”是假命题. ?-x+2,x>0, ?

全称命题、特称命题的真假判断

[例 2]

(1)下列命题中,真命题是(

)

π A.?x0∈?0,2?,sin x0+cos x0≥2 ? ? B.?x∈(3,+∞),x2>2x+1 C.?x0∈R,x0 2+x0=-1 π D.?x∈?2,π?,tan x>sin x ? ? (2)已知 a>0,函数 f(x)=ax2+bx+c,若 m 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选项中 的命题为假命题的是( )

A.?x0∈R,f(x0)≤f(m) B.?x0∈R,f(x0)≥f(m)

C.?x∈R,f(x)≤f(m) D.?x∈R,f(x)≥f(m) π [自主解答] (1)对于选项 A,sin x+cos x= 2sin?x+4?≤ ? ? 2,∴此命题不成立;对于

选项 B,x2-2x-1=(x-1)2-2,当 x>3 时,(x-1)2-2>0,∴此命题成立;对于选项 C,x2 1 3 +x+1=?x+2?2+ >0, 2+x=-1 对任意实数 x 都不成立, ∴此命题不成立; 对于选项 D, ? ? 4 ∴x π 当 x∈?2,π?时,tan x<0,sin x>0,命题显然不成立. ? ? b (2)∵a>0,∴函数 f(x)=ax2+bx+c 在 x=- 处取得最小值. 2a ∴f(m)是函数 f(x)的最小值.故 C 错误. [答案] (1)B (2)C

在本例(2)中,若将“a>0”改为“a<0”,其他条件不变,则如何选择? 解析:选 D 若 a<0,则 f(m)为函数 f(x)的最大值,故选项 D 错误. ————— ——————————————

1.全称命题真假的判断方法 (1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x,证明 p(x)成 立. (2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合 M 中的一个特殊值 x=x0,使 p(x0)不 成立即可. 2.特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合 M 中,找到一个 x=x0,使 p(x0)成立 即可,否则这一特称命题就是假命题.

2.下列命题中,真命题是(

)

A.?m0∈R,使函数 f(x)=x2+m0x(x∈R)是偶函数 B.?m0∈R,使函数 f(x)=x2+m0x(x∈R)是奇函数 C.?m∈R,函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 D.?m∈R,函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数 解析:选 A 由于当 m0=0 时,函数 f(x)=x2+m0x=x2 为偶函数,故“?m0∈R,使函 数 f(x)=x2+m0x(x∈R)为偶函数”是真命题. 含有一个量词的命题的否定

[例 3] 写出下列命题的否定,并判断其真假.

1 (1)p:?x∈R,x2-x+ ≥0; 4 (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x0∈R,x2+2x0+2≤0; 0 (4)s:至少有一个实数 x0,使 x3+1=0. 0 1 2 [自主解答] (1)綈 p:?x0∈R,x0-x0+ <0,假命题. 4 (2)綈 q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)綈 r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题. (4)綈 s:?x∈R,x3+1≠0,假命题. ————— ——————————————

1.对含有一个量词的命题进行否定的方法 一般地, 写含有一个量词的命题的否定, 首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题, 并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全 称量词,同时否定结论. 2.常见词语的否定形式 正面词语 是 都是 至少有 > 一个 一个也 没有 至多有一 个 至少有两 个 对任意 x∈A 使 p(x)真 存在 x0∈A, 使 p(x0)假

否定词语

不是

不都是



3.命题“能被 5 整除的数,末位是 0”的否定是________. 解析:省略了全称量词“任何一个”,否定为:有些可以被 5 整除的数,末位不是 0. 答案:有些可以被 5 整除的数,末位不是 0

根据命题真假确定参数的取值范围

[例 4] (2013· 济宁模拟)已知命题 p:关于 x 的方程 x2-ax+4=0 有实根;命题 q:关于 x 的函数 y=2x2+ax+4 在[3,+∞)上是增函数.若 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题,则实 数 a 的取值范围是( )

A.(-12,-4]∪[4,+∞) B.[-12,-4]∪[4,+∞) C.(-∞,-12)∪(-4,4)

D.[-12,+∞) a [自主解答] 命题 p 等价于 Δ=a2-16≥0,即 a≤-4 或 a≥4;命题 q 等价于- ≤3, 4 即 a≥-12.由 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题知,命题 p 和 q 一真一假.若 p 真 q 假,则 a<-12;若 p 假 q 真,则-4<a<4.故 a 的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4). [答案] C

保持本例条件不变,若 p∧q 为真,则如何选择? 解析:选 B p∧q 为真,∴p 和 q 均为真.

∴a 的取值范围为[-12,-4]∪[4,+∞).

—————

—————————————— 根据命题真假求参数的方法步骤

(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.

4.已知 c>0,且 c≠1,设 p:函数 y=cx 在 R 上单调递减;q:函数 f(x)=x2-2cx+1 在

?1,+∞?上为增函数,若“p 且 q”为假,“p 或 q”为真,求实数 c 的取值范围. ?2 ?
解:∵函数 y=cx 在 R 上单调递减,∴0<c<1. 即 p:0<c<1,∵c>0 且 c≠1,∴綈 p:c>1. 1 1 1 又∵f(x)=x2-2cx+1 在?2,+∞?上为增函数,∴c≤ .即 q:0<c≤ ,∵c>0 且 c≠1, ? ? 2 2 1 ∴綈 q:c> 且 c≠1. 2 又∵“p 或 q”为真,“p 且 q”为假, ∴p 真 q 假或 p 假 q 真. 1 ? ? ? 1 ? ①当 p 真,q 假时,{c|0<c<1}∩?c|c>2且c≠1?=?c|2<c<1?.
? ? ? ?

1? ? ②当 p 假,q 真时,{c|c>1}∩?c|0<c≤2?=?.
? ? ? 1 ? 综上所述,实数 c 的取值范围是?c|2<c<1?. ? ?

? 1 个规律——含逻辑联结词的命题的真假判断规律

(1)p∨q:p、q 中有一个为真,则 p∨q 为真,即一真全真; (2)p∧q:p、q 中有一个为假,则 p∧q 为假,即一假即假; (3)綈 p:与 p 的真假相反,即一真一假,真假相反. ? 2 种方法——含量词的命题的否定及真假判断方法 (1)全称命题真假的判断方法(见例 2); (2)特称命题真假的判断方法(见例 2); (3)含量词的命题的否定方法是“改量词,否结论”,即把全称量词与存在量词互换,然 后否定原命题的结论. ? 2 个易错点——命题否定中的两个易错点 (1)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写 出命题的否定. (2)p 或 q 的否定为:綈 p 且綈 q;p 且 q 的否定为:綈 p 或綈 q.

易误警示——辨析含有量词的命题的否定中的易误点 [典例] (2012· 辽宁高考)已知命题 p: 1,2∈R, 2)-f(x1))(x2-x1)≥0, ?x x (f(x 则綈 p 是( A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 [解析] 题目中命题的意思是“对任意的 x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0 都成立”, 要否定它,只要找到至少一组 x1,x2,使得(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 即可,故命题“?x1,x2∈ R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0”的否定是“?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0”. [答案] C [易误辨析] 1.因忽视对量词的改写,错选 D;因忽视对不等号的改写,误选 B;因对量词的改写不 准确,误选 A. 2.此类问题,还易出现以下错误: 有的全称命题的全称量词往往可以不写,从而在进行命题否定时将全称命题只否定判断 词,而不否定省略了的全称量词.如命题“三角形的两边之和大于第三边”的否定应为“有 些三角形的两边之和小于或等于第三边”而不是“三角形的两边之和小于或等于第三边”. 3.为避免上述错误,对含有一个量词的命题进行否定时,应重点关注以下几点: (1)正确理解含有一个量词的命题的否定的含义,从整体上把握,明确其否定的实质. )

(2)明确命题的类型,是全称命题还是特称命题. (3)记住一些常用的词语的否定形式及其规律. [变式训练] 1.命题“?x0∈R,x2-2x0+1<0”的否定是( 0 A.?x0∈R,x2-2x0+1≥0 0
2 B.?x0∈R,x0-2x0+1>0

)

C.?x∈R,x2-2x+1≥0 D.?x∈R,x2-2x+1<0 解析:选 C 因为特称命题 p:?x0∈A,P(x0),它的否定是綈 p:?x∈A,綈 P(x),所 以命题“?x0∈R,x2-2x0+1<0”的否定是“?x∈R,x2-2x+1≥0”. 0 π π 2.若命题 p:?x∈?-2,2?,tan x>sin x,则命题綈 p:( ? ? π π A.?x0∈?-2,2?,tan x0≥sin x0 ? ? π π B.?x0∈?-2,2?,tan x0>sin x0 ? ? π π C.?x0∈?-2,2?,tan x0≤sin x0 ? ? π π D.?x0∈?-∞,-2?∪?2,+∞?,tan x0>sin x0 ? ? ? ? π π 解析: C ?x 的否定为?x0, 选 >的否定为≤, 所以命题綈 p 为?x0∈?-2,2?, x0≤sin ? ? tan x0. )

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.(2013· 长沙模拟)设 p、q 是两个命题,则“复合命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假”的充 要条件是( ) B.p、q 中至少有一个为假 D.p 为真,q 为假

A.p、q 中至少有一个为真 C.p、q 中有且只有一个为真

解析:选 C ∵p 或 q 为真?p、q 中至少有一个为真;p 且 q 为假?p、q 中至少有一个 为假, ∴“命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假”?p 与 q 一真一假. 而由 C 选项?“命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假”. 2.下列四个命题中的真命题为( A.?x0∈Z,1<4x0<3 ) B.?x0∈Z,5x0+1=0

C.?x∈R,x2-1=0 解析:选 D

D.?x∈R,x2+x+2>0

1 3 1 1<4x0<3, <x0< ,这样的整数 x0 不存在,故 A 错误;5x0+1=0,x0=- 4 4 5

1 7 ?Z,故 B 错误;x2-1=0,x=± 1,故 C 错误;对任意实数 x,都有 x2+x+2=?x+2?2+ >0. ? ? 4 5 3.(2013· 揭阳模拟)已知命题 p:?x0∈R,cos x0= ;命题 q:?x∈R,x2-x+1>0,则 4 下列结论正确的是( )

A.命题 p∧q 是真命题 B.命题 p∧綈 q 是真命题 C.命题綈 p∧q 是真命题 D.命题綈 p∨綈 q 是假命题 解析:选 C 命题 p 是假命题,命题 q 是真命题, ∴p∧q 是假命题,p∧綈 q 是假命题, 綈 p∧q 是真命题,綈 q∨綈 p 是真命题. π 1 4.已知命题 p:?x0∈?0,2?,sin x0= ,则綈 p 为( ? ? 2 π 1 A.?x∈?0,2?,sin x= ? ? 2 π 1 B.?x∈?0,2?,sin x≠ ? ? 2 π 1 C.?x0∈?0,2?,sin x0≠ ? ? 2 π 1 D.?x0∈?0,2?,sin x0> ? ? 2 π 1 解析:选 B 依题意得,命题綈 p 应为:?x∈?0,2?,sin x≠ . ? ? 2 5.(2013· 青岛模拟)设 α、β 为两个不同的平面,m,n 为两条不同的直线,且 m?α,n ?β,有两个命题,p:若 m∥n,则 α∥β;q:若 m⊥β,则 α⊥β.那么( A.“p 或 q”是假命题 C.“非 p 或 q”是假命题 B.“p 且 q”是真命题 D.“非 p 且 q”是真命题 ) )

解析:选 D 依题意得,命题 p 是假命题,命题 q 为真命题,所以“非 p 且 q”是真命 题. 6.已知下列命题: ①命题“?x0∈R,x2+1>3x0”的否定是“?x∈R,x2+1<3x”; 0 ②已知 p、q 为两个命题,若“p∨q”为假命题,则“綈 p∧綈 q”为真命题;

③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件; ④“若 xy=0,则 x=0 且 y=0”的逆否命题为真命题. 其中所有真命题的序号是( A.①②③ C.② 解析:选 C ) B.②④ D.④ 命题“?x0∈R,x2+1>3x0”的否定是“?x∈R,x2+1≤3x”,故①错; 0

“p∨q”为假命题说明 p 假 q 假,则“綈 p∧綈 q”为真命题,故②对;a>5?a>2,但 a>2 ?/ a>5,故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件,故③错;因为“若 xy=0,则 x=0 或 y=0”, 所以原命题为假命题,故其逆否命题也为假命题,故④错. 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是____________. 解析:全称命题的否定为特称命题,所以该命题的否定为:?x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3. 答案:?x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3 8.命题 p:若 a,b∈R,则 ab=0 是 a=0 的充分条件,命题 q:函数 y= x-3的定义 域是[3,+∞),则“p∨q”、“p∧q”、“綈 p”中是真命题的有________. 解析:依题意 p 假,q 真,所以 p∨q,綈 p 为真. 答案:p∨q,綈 p 9.若命题“?x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数 a 的取值范围是________.
? ?a<0, 解析: a=0 时, 当 不等式显然成立; a≠0 时, 当 由题意知? 得-8≤a<0. 2 ?Δ=a +8a≤0, ?

综上,-8≤a≤0. 答案:[-8,0] 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.写出下列命题的否定,并判断真假. (1)q:?x∈R,x 不是 5x-12=0 的根; (2)r:有些素数是奇数; (3)s:?x0∈R,|x0|>0. 解:(1)綈 q:?x0∈R,x0 是 5x-12=0 的根,真命题. (2)綈 r:每一个素数都不是奇数,假命题. (3)綈 s:?x∈R,|x|≤0,假命题. 11.已知命题 p:?x∈[1,2],x2-a≥0,命题 q:?x0∈R,x2+2ax0+2-a=0,若“p 0

且 q”为真命题,求实数 a 的取值范围. 解:由“p 且 q”为真命题,则 p,q 都是真命题. p:x2≥a 在[1,2]上恒成立,只需 a≤(x2)min=1, 所以命题 p:a≤1; q:设 f(x)=x2+2ax+2-a,存在 x0∈R 使 f(x0)=0, 只需 Δ=4a2-4(2-a)≥0, 即 a2+a-2≥0?a≥1 或 a≤-2, 所以命题 q:a≥1 或 a≤-2.
?a≤1, ? 由? 得 a=1 或 a≤-2 ? ?a≥1或a≤-2

故实数 a 的取值范围是 a=1 或 a≤-2. 1 - 12.设 a 为实数,给出命题 p:关于 x 的不等式?2?|x 1|≥a 的解集为?,命题 q:函数 f(x) ? ? 9 2 =lg?ax +?a-2?x+8?的定义域为 R,若命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,求 a 的取值范 ? ? 围. 1 - 解:①若 p 正确,则由 0<?2?|x 1|≤1,得 a>1. ? ? 9 ②若 q 正确,则 ax2+(a-2)x+ >0 解集为 R. 8 9 当 a=0 时,-2x+ >0 不合题意,舍去; 8

?a>0, ? 当 a≠0 时,则? 9 2 ??a-2? -4a×8<0, ?
1 解得 <a<8. 2 ③∵p 和 q 中有且仅有一个正确,

?a>1, ?a≤1, ? ? ∴? 1 或?1 ? ? ?a≤2或a≥8 ?2<a<8,
1 ∴a≥8 或 <a≤1. 2

1.若 p 是真命题,q 是假命题,则( A.p∧q 是真命题 C.綈 p 是真命题

) B.p∨q 是假命题 D.綈 q 是真命题

解析:选 D 本题主要考查含有逻辑联结词的命题的真假判断.直接利用真值表进行判 断即可. 2.命题“存在 x0∈R,2x0≤0”的否定是( A.不存在 x0∈R,2x0>0 B.存在 x0∈R,2x0≥0 C.对任意的 x∈R,2x≤0 D.对任意的 x∈R,2x>0 解析:选 D 原命题的否定可写为:“不存在 x0∈R,2x0≤0”.其等价命题是:“对任 意的 x∈R,2x>0”. 3.已知命题 p1:函数 y=2x-2 x 在 R 上为增函数, p2:函数 y=2x+2 x 在 R 上为减函数. 则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(綈 p1)∨p2 和 q4:p1∧(綈 p2)中,真命题是( A.q1,q3 C.q1,q4 解析:选 C B.q2,q3 D.q2,q4 p1 是真命题,则綈 p1 为假命题;p2 是假命题,则綈 p2 为真命题.所以 q1: )
- -

)

p1∨p2 是真命题, 2: 1∧p2 是假命题, 3: p1)∨p2 为假命题, 4: 1∧(綈 p2)为真命题. q p q (綈 q p 即 真命题是 q1,q4. 4.已知命题 p:方程 x2-(2+a)x+2a=0 在[-1,1]上有且仅有一解;命题 q:存在实数 x 使不等式 x2+2ax+2a≤0 成立.若命题“p∧q”是真命题,求 a 的取值范围. 解:由 x2-(2+a)x+2a=0,得(x-2)(x-a)=0, ∴x=2 或 x=a. 又方程 x2-(2+a)x+2a=0 在[-1,1]上有且仅有一解, ∴-1≤a≤1. ∵存在实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a≤0, ∴Δ=4a2-8a≥0,解得 a≤0 或 a≥2. 又∵命题“p∧q”是真命题,∴命题 p 和命题 q 都是真命题. ∴a 的取值范围为{a|-1≤a≤0}.

三法破解集合运算和充要条件判断的问题

一、三法定乾坤——谈集合运算问题的三种方法

集合的基本运算主要包括交集、并集、补集,集合是历年高考的必考内容,解决集合的 基本运算问题,首先要明确集合中元素的性质,通过解不等式求出每个集合,然后弄清几个 集合之间的关系,最后利用列举法、借助数轴或 Venn 图等根据交集、并集、补集的定义进 行基本运算,从而得出结果. 1.列举法 列举法就是通过枚举集合中所有的元素,然后根据集合基本运算的定义求解的方法.此 类方法适用于数集的有关运算以及集合的新定义运算问题.其基本的解题步骤是:

[例 1] 设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P*Q={z|z=a÷ b,a∈P,b∈Q},若 P ={-1,0,1},Q={-2,2},则集合 P*Q 中元素的个数是( A.2 C.4 B.3 D.5 )

[解析] 当 a=0 时,无论 b 取何值,z=a÷ b=0; 1 当 a=-1,b=-2 时,z=(-1)÷ (-2)= ; 2 1 当 a=-1,b=2 时,z=(-1)÷ 2=- ; 2 1 当 a=1,b=-2 时,z=1÷ (-2)=- ; 2 1 当 a=1,b=2 时,z=1÷ 2= . 2 1 1? ? 故 P*Q=?0,-2,2?,该集合中共有 3 个元素.
? ?

[答案] B [点评] 求解两个集合之间的运算应该注意三个问题:一是集合中元素的形式,元素是

数还是有序数对,是函数的定义域还是函数的值域等;二是注意集合中对应不等式端点值的 处理,尤其是求解集合补集的运算,一定要搞清端点值的取舍;三是求解集合的补集运算时, 一定要先求出原来的集合,然后求其补集,不要直接转化条件而导致漏解出错,如集合 A=
? 1? ? 1? ? 1 ? ? | ? ? ? ? ? ?x log 1 x≥2?的补集不是 B=?x|log 1 x<2?,而是 B=?x|log 1 x<2,或x≤0?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2

2.数形结合法 数形结合法就是利用数轴或 Venn 图表示出相关集合,然后根据图形求解集合的补集或 者进行相关集合的交集、并集的基本运算.其求解的基本步骤是:

[例 2]

(2013· 嘉兴模拟)已知全集 U=R,集合 A={x|log 1 (x-1)>0},B=?x?
2

? ?

? ? 2x-3 <0 ?, ? ? ? ? x ?

则 B∩(?UA)=( A.[0,1] C.(0,1)

) B.[0,1) D.(0,1]

[解析] 由 log 1 (x-1)>0,得 0<x-1<1,即 1<x<2,
2

∴A=(1,2). 由 2x-3 3 <0,得 x(2x-3)<0,即 0<x< , x 2

3 ∴B=?0,2?. ? ? 如图所示,在数轴上表示出集合 A,B. 则?UA=(-∞,1]∪[2,+∞), ∴B∩(?UA)=(0,1].

[答案] D [点评] 数形结合法主要是利用图形的直观性来进行集合的基本运算,应注意利用数轴

表示集合时,要根据端点值的取舍情况正确选用实心点或空心点标注对应集合,避免因区间 端点值的取舍不当造成增解或漏解. 3.属性分析法 属性分析法就是根据元素与集合之间的确定关系来进行集合基本运算的方法,主要是解 决点集问题中某个集合与已知集合之间的关系问题.解决此类问题的基本步骤是:

[例 3] 已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},M={3,4,5},N={1,3,6},则集合{2,7}=( A.M∩N B.(?UM)∩(?UN)

)

C.(?UM)∪(?UN) [解析] 显然 2∈U,2?M,2?N,

D.M∪N

所以 2∈?UM,2∈?UN,所以 2∈(?UM)∩(?UN); 而 7∈U,7?M,7?N, 所以 7∈?UM,7∈?UN,所以 7∈(?UM)∩(?UN). 综上,易知{2,7}=(?UM)∩(?UN). [答案] B [点评] 属性分析法的实质是利用集合中元素的确定性,即元素与集合之间的关系:属

于与不属于.在推理过程中还要注意已知集合之间的关系,如 a∈U,a?A 且 A?U,则必有 a∈?UA. 二、三法破解充要条件的判断问题 充要条件是历年高考的必考内容,主要包括两个方面:一是以函数、数列、不等式、立 体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断; 二是根据充要条件求解参数的取值范围, 这两类问题常以填空题的形式进行考查,试题难度不大. 充要条件的判断问题要注意“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”这两种叙述方式的差异,先将问题转化为第一种基本的叙述方式,然后再判断.利用充要 条件之间的关系求解参数的取值范围可将其转化为两个集合之间的关系,然后构造相应的不 等式进行处理. 1.定义法 定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若 p,则 q”与“若 q,则 p”的判 断,根据两个命题是否正确,来确定 p 与 q 之间的充要关系.其基本步骤是:

π [例 1] 设 0<x< ,则“xsin2x<1”是“xsin x<1”的________条件. 2 π [解析] 因为 0<x< ,所以 0<sin x<1, 2 不等式 xsin x<1 两边同乘 sin x,可得 xsin2x<sin x,所以有 xsin2x<sin x<1.即 xsin x<1? xsin2x<1; 1 1 不等式 xsin2x<1 两边同除以 sin x,可得 xsin x< ,而由 0<sin x<1,知 >1,故 xsin sin x sin x x<1 不一定成立,即 xsin2x<1?/ xsin x<1.

综上,可知“xsin2x<1”是“xsin x<1”的必要不充分条件. [答案] 必要不充分 [点评] 判断 p、q 之间的关系,只需判断两个命题 A:“若 p,则 q”和 B:“若 q,则 p”的真假.两命题的真假与 p、q 之间的关系如下表所示: 命题 A 真 真 假 假 2.等价转化法 等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时,根据原命 题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断.其基本步骤 为: 命题 B 真 假 真 假 p、q 之间的关系 p 为 q 的充分必要条件 p 为 q 的充分不必要条件 p 为 q 的必要不充分条件 p 为 q 的既不充分又不必要条件

4 [例 2] 已知条件 p: ≤-1,条件 q:x2-x<a2-a,且綈 q 的一个充分不必要条件是 x-1 綈 p,则 a 的取值范围是________. 4 [解析] 解 ≤-1,得-3≤x<1. x-1 由 x2-x<a2-a,即(x-a)[x+(a-1)]<0, 1 当 a>1-a,即 a> 时,不等式的解为 1-a<x<a; 2 1 当 a=1-a,即 a= 时,不等式的解为?; 2 1 当 a<1-a,即 a< 时,不等式的解为 a<x<1-a. 2 由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p,可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,即 p 为 q 的 一个必要不充分条件,即条件 q 对应的 x 取值集合是条件 p 对应的 x 取值集合的真子集.
?-3≤1-a, ? 1 1 当 a> 时,由{x|1-a<x<a}? {x|-3≤x<1},得? 解得 <a≤1; 2 2 ? ?1≥a,

1 当 a= 时,因为空集是任意一个非空集合的真子集,所以满足条件; 2

?-3≤a, ? 1 1 当 a< 时,由{x|a<x<1-a}? {x|-3≤x<1},得? 解得 0≤a< . 2 2 ? ?1≥1-a,

综上,a 的取值范围是[0,1]. [答案] [0,1] [点评] 判断两个命题綈 p 和綈 q 之间的关系,一般是直接利用定义法,寻找两者之间 的关系, 或利用集合的方法寻找与之对应的两个集合之间的关系, 当两种方法都较难判断时, 可转化为 p、q 之间的关系,再利用互为逆否命题的等价性进行判断.它们之间的对应关系如 下表所示:

p、q 之间的关系 p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件 p 是 q 的充要条件 p 是 q 的既不充分也不必要条件 3.集合法

綈 p 和綈 q 之间的关系 綈 p 是綈 q 的必要不充分条件 綈 p 是綈 q 的充分不必要条件 綈 p 是綈 q 的充要条件 綈 p 是綈 q 的既不充分也不必要条件

集合法就是利用满足两个条件的参数取值集合之间的关系来判断充要关系的方法.主要 解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题.其解决的一般步骤是:

[例 3] 若 A:log2a<1,B:x 的二次方程 x2+(a+1)x+a-2=0 的一个根大于零,另一 根小于零,则 A 是 B 的________条件. [解析] 由 log2a<1, 解得 0<a<2, 所以满足条件 A 的参数 a 的取值集合为 M={a|0<a<2}; 而方程 x2+(a+1)x+a-2=0 的一根大于零, 另一根小于零的充要条件是 f(0)<0, a-2<0, 即 解得 a<2,即满足条件 B 的参数 a 的取值集合为 N={a|a<2},显然 M? N,所以 A 是 B 的充 分不必要条件. [答案] 充分不必要 [点评] 设 p、q 对应的集合分别记为 A、B.则 p、q 之间的关系可转化为与之相应的两个 集合之间的关系.它们之间的关系如下表所示: A、B 之间的关系 p、q 之间的关系

A=B A? B A? B A?B 且 B?A

p 为 q 的充分必要条件 p 为 q 的充分不必要条件 p 为 q 的必要不充分条件 p 为 q 的既不充分又不必要条件

第一节 函数及其表示

[备考方向要明了]

考 什 么 1.了解构成函数的要素,了解映射 的概念.

怎 么 考 1.考查方式多为选择题或填空题. 2.函数的表示方法是高考的常考内容,特别是图象法与

2.在实际情境中,会根据不同的需 要选择恰当的方法(如图象法、 列表

解析式更是高考的常客,如 2011 年湖南 T16 等. 3.分段函数是高考的重点也是热点,常以求解函数值,

法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单 应用.

由函数值求自变量以及与不等式相关的问题为主,如 2012 年福建 T9 等.

[归纳· 知识整合] 1.函数与映射的概念 函数 两集合 A, B 对应关系 按照某种确定的对应关系 f,对于集合 按某一个确定的对应关系 f,对于集合 A,B 是两个非空数集 映射 A,B 是两个非空集合

f:A→B

A 中的任意一个数 x,在集合 B 中有唯 一确定的数 f(x)和它对应

A 中的任意一个元素 x 在集合 B 中都有 唯一确定的元素 y 与之对应 对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个映射

名称 记法

f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数 y=f(x),x∈A

对应 f:A→B 是一个映射

[探究] 1.函数和映射的区别与联系是什么? 提示:二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合,可以不是数集,而函数中的 两个集合必须是非空数集,二者的联系是函数是特殊的映射. 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A }叫做函数的值域.显然,值域是集合 B 的子集. (2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. 3.相等函数 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数. [探究] 2.若两个函数的定义域与值域都相同,它们是否是同一个函数? 提示:不一定.如函数 y=x 与 y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不是同一个函数; 再如 y=sin x 与 y=cos x,其定义域都为 R,值域都为[-1,1],显然不是同一个函数.因为定 义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同,所以定义域和对应关系完全相同的两个 函数才是同一个函数. 4.函数的表示方法 表示函数的常用方法有:解析法、列表法和图象法. 5.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这 种函数称为分段函数,分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函 数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. [自测· 牛刀小试] 1.(教材习题改编)给出下列五个命题,正确的有( ①函数是定义域到值域的对应关系; ②函数 f(x)= x-4+ 1-x; ③f(x)=5,因这个函数的值不随 x 的变化而变化,所以 f(t2+1)也等于 5; ④y=2x(x∈N)的图象是一条直线; )

⑤f(x)=1 与 g(x)=x0 表示同一个函数. A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

? ?x-4≥0, 解析:选 B 由函数的定义知①正确;②错误;由? 得定义域为?,所以不是 ? ?1-x≥0,

函数;因为函数 f(x)=5 为常数函数,所以 f(t2+1)=5,故③正确;因为 x∈N,所以函数 y =2x(x∈N)的图象是一些离散的点,故④错误;由于函数 f(x)=1 的定义域为 R,函数 g(x)= x0 的定义域为{x|x≠0},故⑤错误.综上分析,可知正确的个数是 2. 2.(教材习题改编)以下给出的对应是从集合 A 到 B 的映射的有( )

①集合 A={P|P 是数轴上的点},集合 B=R,对应关系 f:数轴上的点与它所代表的实 数对应. ②集合 A={P|P 是平面直角坐标系中的点},集合 B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系 f: 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应; ③集合 A={x|x 是三角形},集合 B={x|x 是圆},对应关系 f:每一个三角形都对应它的 内切圆; ④集合 A={x|x 是新华中学的班级},集合 B={x|x 是新华中学的学生},对应关系 f:每 一个班级都对应班里的学生. A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

解析:选 C 由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个,即一个班级对应的学生 不止一个,所以④不是从集合 A 到集合 B 的映射.

?x +1,x≤1, ? 3.(2012· 江西高考)设函数 f(x)=?2 则 f(f(3))=( ? ?x,x>1,
1 A. 5 2 C. 3 B.3 13 D. 9

2

)

2 2 13 解析:选 D ∵f(3)= ,∴f(f(3))=?3?2+1= . ? ? 3 9 x+2 4. (教材习题改编)已知函数 f(x)= , f(f(4))=________; f(a)=2, a=________. 则 若 则 x-6 x+2 4+2 解析:∵f(x)= ,∴f(4)= =-3. x-6 4-6 -3+2 1 ∴f(f(4))=f(-3)= = . -3-6 9

a+2 ∵f(a)=2,即 =2, a-6 解得 a=14. 1 答案: 14 9 5.(教材习题改编)A={x|x 是锐角},B=(0,1),从 A 到 B 的映射是“求余弦”,与 A 中 元素 60° 相对应的 B 中的元素是________;与 B 中元素 3 相对应的 A 中的元素是________. 2

1 1 解析:∵cos 60° ,∴与 A 中元素 60° = 相对应的 B 中的元素是 . 2 2 又∵cos 30° = 1 答案: 30° 2 3 3 ,∴与 B 中元素 相对应的 A 中的元素是 30° . 2 2

函数与映射的概念

[例 1] 有以下判断:
?1,?x≥0? ? |x| (1)f(x)= 与 g(x)=? 表示同一个函数. x ? ?-1,?x<0?

(2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个. (3)f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+1 是同一函数. 1 (4)若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f?2??=0. ? ? ?? 其中正确判断的序号是________. |x| [自主解答] 对于(1),函数 f(x)= 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0},而函数 g(x)= x
? ?1?x≥0?, ? 的定义域是 R,所以二者不是同一函数;对于(2),若 x=1 不是 y=f(x)定义域内 ? ?-1?x<0?

的值,则直线 x=1 与 y=f(x)的图象没有交点,若 x=1 是 y=f(x)定义域内的值,由函数的定 义可知,直线 x=1 与 y=f(x)的图象只有一个交点,即 y=f(x)的图象与直线 x=1 最多有一个 交点;对于(3),f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应关系均相同,所以 f(x)与 g(t)表示同一函数; 1 1 1 对于(4),由于 f?2?=?2-1?-?2?=0, ? ? ? ? ? ? 1 所以 f?f?2??=f(0)=1. ? ? ??

综上可知,正确的判断是(2)(3). [答案] (2)(3) ————— ——————————————

1.判断两个变量之间是否存在函数关系的方法 要检验两个变量之间是否存在函数关系,只需检验:(1)定义域和对应关系是否给出;(2) 根据给出的对应关系,自变量 x 在其定义域中的每一个值,是否都能找到唯一的函数值 y 与 之对应. 2.判断两个函数是否为同一个函数的方法 判断两个函数是否相同,要先看定义域是否一致,若定义域一致,再看对应法则是否一 致,由此即可判断.

1.(1)以下给出的同组函数中,是否表示同一函数?为什么?

?1,x≤1, ? x ①f1:y= ;f2:y=1.②f1:y=?2,1<x<2, x ?3,x≥2; ?
f2: x y x≤1 1 1<x<2 2 x≥2 3

③f1:y=2x;f2:如图所示. 解:①不同函数.f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0},f2(x)的定义域为 R. ②同一函数.x 与 y 的对应关系完全相同且定义域相同,它们是同 一函数的不同表示方式. ③同一函数.理由同②. (2)已知映射 f:A→B.其中 A=B=R,对应关系 f:x→y=-x2+2x,对于实数 k∈B,在 集合 A 中不存在元素与之对应,则 k 的取值范围是( A.k>1 C.k<1 B.k≥1 D.k≤1 )

解析:选 A 由题意知,方程-x2+2x=k 无实数根,即 x2-2x+k=0 无实数根. 所以 Δ=4(1-k)<0,解得 k>1 时满足题意.

求函数的解析式

[例 2]

(1)已知 f(x+1)=x2+4x+1,求 f(x)的解析式.

(2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-f(x)=2x+9.求 f(x). [自主解答] (1)法一:(换元法)设 x+1=t,则 x=t-1, ∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1, 即 f(t)=t2+2t-2. ∴所求函数为 f(x)=x2+2x-2. 法二:(配凑法)∵f(x+1)=x2+4x+1=(x+1)2+ 2(x+1)-2, ∴所求函数为 f(x)=x2+2x-2. (2)(待定系数法)由题意,设函数为 f(x)=ax+b(a≠0), ∵3f(x+1)-f(x)=2x+9, ∴3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9, 即 2ax+3a+2b=2x+9.
?2a=2, ? 由恒等式性质,得? ? ?3a+2b=9,

解得 a=1,b=3. ∴所求函数解析式为 f(x)=x+3.

2 若将本例(1)中“f(x+1)=x2+4x+1”改为“f?x+1?=lg x”,如何求解? ? ? 2 解:令 +1=t,∵x>0, x 2 ∴t>1 且 x= . t-1 ∴f(t)=lg 2 2 ,即 f(x)=lg (x>1). t-1 x-1

—————

—————————————— 求函数解析式的常用方法

(1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的表达式; (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法; (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; 1 (4)解方程组法:已知关于 f(x)与 f?x?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一 ? ? 个等式组成方程组,通过解方程求出 f(x).

2.给出下列两个条件: (1)f( x+1)=x+2 x; (2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2. 试分别求出 f(x)的解析式. 解:(1)令 t= x+1,

∴t≥1,x=(t-1)2. 则 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1). (2)设 f(x)=ax2+bx+c,又∵f(0)=c=3. ∴f(x)=ax2+bx+3, ∴f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+3)=4ax+4a+2b=4x+2.
?4a=4, ?a=1, ? ? ∴? 解得? ∴f(x)=x2-x+3. ? ? ?4a+2b=2, ?b=-1.

分段函数求值

?1,x>0, ? [例 3] (2012· 福建高考)设 f(x)=?0,x=0, ?-1,x<0, ?
? ?1,x为有理数, g(x)=? 则 f(g(π))的值为( ?0,x为无理数, ?

)

A.1 C.-1 [解析] ∵g(π)=0,f(g(π))=f(0)=0, ∴f(g(π))=0. [答案] B —————

B.0 D.π

—————————————— 解决分段函数求值问题的方法

(1)求分段函数的函数值时,应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解,有时每 段交替使用求值. (2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围,应根据每一段的解析 式分别求解,但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围,做到分段函 数分段解决.

? x ?2 +1,x<1, 3.已知函数 f(x)=? 2 若 f(f(0))=4a,则实数 a 等于( ? ?x +ax,x≥1,

)

1 A. 2 C.2

4 B. 5 D.9

解析:选 C ∵x<1,f(x)=2x+1,∴f(0)=2. 由 f(f(0))=4a,得 f(2)=4a,∵x≥1,f(x)=x2+ax, ∴4a=4+2a,解得 a=2.

? 4 种方法——函数解析式的求法 求函数解析式常用的方法有:(1)待定系数法;(2)换元法;(3)配凑法;(4)解方程组法.具 体内容见例 2[方法· 规律]. ? 2 两个易误点——映射的概念及分段函数求值问题中的易误点 (1)判断对应是否为映射,即看 A 中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”.但要注 意:①A 中不同元素可有相同的象,即允许多对一,但不允许一对多;②B 中元素可无原象, 即 B 中元素可有剩余. (2)求分段函数应注意的问题 在求分段函数的值 f(x0)时,一定要首先判断 x0 属于定义域的哪个子集,然后再代入相应 的关系式;分段函数的值域是其定义域内不同子集上对应的各关系式的值域的并集.

数学思想——分类讨论思想在分段函数中的应用

当数学问题不宜用统一的方法处理时,我们常常根据研究对象的差异,按照一定的分类 方法或标准,将问题分为“全而不重,广而不漏”的若干类,然后逐类分别讨论,再把结论 汇总,得出问题答案的思想,这就是主要考查了分类讨论的数学思想,由于分段函数在不同 定义区间上具有不同的解析式,在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解,然后 整合,这恰好是分类讨论的一种体现.
? ?2x+a,x<1, [典例] (2011· 江苏高考)已知实数 a≠0, 函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+ ?-x-2a,x≥1, ?

a),则 a 的值为________.

[解析] ①当 1-a<1,即 a>0 时,此时 a+1>1,由 f(1-a)=f(1+a),得 2(1-a)+a 3 =-(1+a)-2a,计算得 a=- (舍去);②当 1-a>1,即 a<0 时,此时 a+1<1,由 f(1- 2 3 a)=f(1+a),得 2(1+a)+a=-(1-a)-2a,计算得 a=- ,符合题意,所以综上所述,a= 4 3 - . 4 3 [答案] - 4 [题后悟道] 1.在解决本题时,由于 a 的取值不同限制了 1-a 及 1+a 的取值,从而应对 a 进行分类 讨论. 2.运用分类讨论的思想解题的基本步骤 (1)确定讨论对象和确定研究的区域; (2)对所讨论的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重不漏,标准统一、分层不越级); (3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决; (4)归纳总结,整合得出结论. [变式训练]

?log2x,x>0, ? 1.设函数 f(x)=?log ?-x?,x<0, 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( ? 1 ? 2
A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

)

解析:选 C ①当 a>0 时,∵f(a)>f(-a), 1 ∴log2a>log 1 a=log2 . a
2

1 ∴a> ,得 a>1. a ②当 a<0 时,∵f(a)>f(-a), ∴log 1 (-a)>log2(-a)=log 1
2 2

1 . -a

1 ∴-a< 得-1<a<0,故 C 项为正确选项. -a
? x ?2 ,x∈?-∞,1?, 2.设函数 f(x)=? 2 若 f(x)>4,则 x 的取值范围是________________. ?x ,x∈[1,+∞?, ?


解析:当 x<1 时,由 f(x)>4 得 2 x>4,即 x<-2; 当 x≥1 时,由 f(x)>4 得 x2>4,所以 x>2 或 x<-2,但由于 x≥1,所以 x>2.



综上,x 的取值范围是 x<-2 或 x>2. 答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.下列各组函数中,表示相等函数的是( 5 A.y= x5与 y= x2 B.y=ln ex 与 y=eln x ?x-1??x+3? C.y= 与 y=x+3 x-1 1 D.y=x0 与 y= 0 x 5 5 解析:选 D y= x5=x,y= x2=|x|,故 y= x5与 y= x2不表示相等函数;B、C 选项 中的两函数定义域不同;D 选项中的两函数是同一个函数.
?1 ? 2.设 A={0,1,2,4},B=?2,0,1,2,6,8?,则下列对应关系能构成 A 到 B 的映射的 ? ?

)

是(

) A.f:x→x3-1 C.f:x→2x
-1

B.f:x→(x-1)2 D.f:x→2x

解析:选 C 对于 A,由于集合 A 中 x=0 时,x3-1=-1?B,即 A 中元素 0 在集合 B 中没有元素与之对应, 所以选项 A 不符合; 同理可知 B、 两选项均不能构成 A 到 B 的映射, D C 符合.
?2x 2,x≥0, ? 3.已知函数 f(x)=? 则 f(f(-10))=( ? ?lg?-x?,x<0,


)

1 A. 2 C.1

1 B. 4 1 D.- 4

解析:选 A 依题意可知 f(-10)=lg 10=1, 1 - f(1)=21 2= . 2 4.(2013· 杭州模拟)设函数 f(x)=? A.-3 C.-1

? x,x≥0, ? -x,x<0,
B.± 3 D.± 1

若 f(a)+f(-1)=2,则 a=(

)

解析:选 D ∵f(a)+f(-1)=2,且 f(-1)=

1=1,

∴f(a)=1,当 a≥0 时,f(a)= 当 a<0 时,f(a)=

a=1,∴a=1;

-a=1,∴a=-1. )

5.若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)-f(-x)=3x+1,则 f(x)=( A.x-1 C.2x+1 B.x+1 D.3x+3

解析:选 B 由题意知 2f(x)-f(-x)=3x+1.① 将①中 x 换为-x,则有 2f(-x)-f(x)=-3x+1.② ①×2+②得 3f(x)=3x+3, 即 f(x)=x+1. 1 6.(2013· 泰安模拟)具有性质:f?x?=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数, ? ? 下列函数:

?x,0<x<1, ?0,x=1, 1 1 ①f(x)=x- ;②f(x)=x+ ;③f(x)=? x x ? 1 ?-x,x>1.
A.①② C.②③ B.①③ D.只有①

满足“倒负”变换的函数是(

)

1 1 解析:选 B ①f? x?= -x=-f(x)满足. ? ? x 1 1 ②f?x?= +x=f(x)不满足. ? ? x 1 ③0<x<1 时,f? x?=-x=-f(x), ? ? 1 x=1 时,f?x?=0=-f(x), ? ? 1 1 x>1 时,f?x?= =-f(x)满足. ? ? x 二、填空题 1 1 7.已知 f?x-x ?=x2+ 2,则函数 f(3)=________. ? ? x 1 1 1 解析:∵f?x-x?=x2+ 2=?x-x?2+2, ? ? ? x ? ∴f(x)=x2+2.∴f(3)=32+2=11. 答案:11 f?2? f?3? f?2 012? 8.若 f(a+b)=f(a)· f(b)且 f(1)=1,则 + +?+ =________. f?1? f?2? f?2 011?

f?a+1? 解析:令 b=1,∵ =f(1)=1, f?a? ∴ f?2? f?3? f?2 012? + +?+ =2 011. f?1? f?2? f?2 011?

答案:2 011
?2x,x≤0, ? 9.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? 则 f(3)的值为________. ? ?f?x-1?-f?x-2?,x>0,

解析:由题意得 f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0)=-20=-1. 答案:-1 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分)
?x-1,x>0, ? 10.已知 f(x)=x2-1,g(x)=? ? ?2-x,x<0.

(1)求 f(g(2))和 g(f(2))的值; (2)求 f(g(x))和 g(f(x))的解析式. 解:(1)由已知,g(2)=1,f(2)=3, 因此 f(g(2))=f(1)=0, g(f(2))=g(3)=2. (2)当 x>0 时,g(x)=x-1, 故 f(g(x))=(x-1)2-1=x2-2x; 当 x<0 时,g(x)=2-x, 故 f(g(x))=(2-x)2-1=x2-4x+3.
?x2-2x,x>0, ? 所以 f(g(x))=? 2 ? ?x -4x+3,x<0.

当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>0, 故 g(f(x))=f(x)-1=x2-2; 当-1<x<1 时,f(x)<0, 故 g(f(x))=2-f(x)=3-x2.
?x2-2,x>1或x<-1, ? 所以 g(f(x))=? 2 ?3-x ,-1<x<1. ?

11.二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x)>2x+5. 解:(1)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ∵f(0)=1,∴c=1. 把 f(x)的表达式代入 f(x+1)-f(x)=2x,有

a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. ∴2ax+a+b=2x. ∴a=1,b=-1. ∴f(x)=x2-x+1. (2)由 x2-x+1>2x+5,即 x2-3x-4>0, 解得 x>4 或 x<-1. 故原不等式解集为{x|x>4 或 x<-1}. 12. 规定[t]为不超过 t 的最大整数, 例如[12.6]=12, [-3.5]=-4, 对任意实数 x, f1(x) 令 =[4x],g(x)=4x-[4x],进一步令 f2(x)=f1[g(x)]. 7 (1)若 x= ,分别求 f1(x)和 f2(x); 16 (2)若 f1(x)=1,f2(x)=3 同时满足,求 x 的取值范围. 7 7 解:(1)∵x= 时,4x= , 16 4 7 ∴f1(x)=?4?=1. ? ? 7 7 3 ∵g(x)= -?4?= . 4 ? ? 4 3 ∴f2(x)=f1[g(x)]=f1?4?=[3]=3. ? ? (2)∵f1(x)=[4x]=1,g(x)=4x-1, ∴f2(x)=f1(4x-1)=[16x-4]=3.
? ?1≤4x<2, 7 1 ∴? ∴ ≤x< . 16 2 ? ?3≤16x-4<4,

1.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了 一觉,当它醒来时,发现乌龟快到达终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达 了终点?,用 s1,s2 分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则下图与故事情节相吻合的 是( )

解析:选 B 根据故事的描述,乌龟是先于兔子到达终点,到达终点的最后时刻乌龟的 路程大于兔子的路程,并且兔子中间有一段路程为零,分析知 B 图象与事实相吻合. 2.下列对应关系是集合 P 上的函数的是________. (1)P=Z,Q=N*,对应关系 f:对集合 P 中的元素取绝对值与集合 Q 中的元素相对应; (2)P={-1,1,-2,2},Q={1,4},对应关系:f:x→y=x2,x∈P,y∈Q; (3)P={三角形},Q={x|x>0},对应关系 f:对 P 中三角形求面积与集合 Q 中元素对应. 解析:对于(1),集合 P 中元素 0 在集合 Q 中没有对应元素,故(1)不是函数;对于(3)集 合 P 不是数集,故(3)不是函数;(2)正确. 答案:(2) 3.试判断以下各组函数是否表示同一函数: (1)y= x-2· x+2,y= x2-4; 3 (2)y=x,y= t3; (3)y=|x|,y=( x)2. 解:∵y= x-2· x+2的定义域为{x|x≥2}, y= x2-4的定义域为{x|x≥2 或 x≤-2}, ∴它们不是同一函数. 3 (2)∵它们的定义域相同,且 y= t3=t, 3 ∴y=x 与 y= t3是同一函数. (3)∵y=|x|的定义域为 R,y=( x)2 的定义域为{x|x≥0}, ∴它们不是同一函数.

?x+2,x≤-1, ?2x,-1<x<2, 4.已知 f(x)=? ?x ? 2 ,x≥2,
2

且 f(a)=3,求 a 的值.

解:①当 a≤-1 时,f(a)=a+2, 由 a+2=3,得 a=1,与 a≤-1 相矛盾,应舍去. ②当-1<a<2 时,f(a)=2a, 3 由 2a=3,得 a= ,满足-1<a<2. 2 a2 ③当 a≥2 时,f(a)= , 2 a2 由 =3,得 a=± 6, 2 又 a≥2,故 a= 6. 3 综上可知,a 的值为 或 6. 2

第二节 函数的定义域和值域

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考 1.函数的定义域经常作为基本条件或工具出现在高考试题的客观题

会求简单函数的定 义域和值域.

中,且多与集合问题相交汇,考查与对数函数、分式函数、根式函 数有关的定义域问题.如:2012 年山东 T3,安徽 T2,广东 T11 等. 2.函数的值域或最值问题很少单独考查,通常与不等式恒成立等问 题相结合作为函数综合问题中的某一问出现在试卷中.

[归纳· 知识整合] 1.常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数被开方式大于或等于 0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为 R. (4)y=ax(a>0 且 a≠1),y=sin x,y=cos x,定义域均为 R. (5)y=logax(a>0 且 a≠1)的定义域为(0,+∞). π ? ? (6)y=tan x 的定义域为?x|x≠kπ+2,k∈Z?.
? ?

(7)实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有意义外,还要考虑实际问题对函数 自变量的制约. 2.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是 R. (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是: 当 a>0 时,值域为?y|y≥
? ? ? ?

4ac-b2? ?; 4a ? 4ac-b2? ?. 4a ?

当 a<0 时,值域为?y|y≤

k (3)y= (k≠0)的值域是{y|y≠0}. x (4)y=ax(a>0 且 a≠1)的值域是{y|y>0}. (5)y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是 R. (6)y=sin x,y=cos x 的值域是[-1,1]. (7)y=tan x 的值域是 R. [探究] 1.若函数 y=f(x)的定义域和值域相同,则称函数 y=f(x)是圆满函数,则函数①y 1 = ;②y=2x;③y= x x;④y=x2 中是圆满函数的有哪几个?

1 1 提示:①y= 的定义域和值域都是(-∞,0)∪(0,+∞),故函数 y= 是圆满函数;②y x x =2x 的定义域和值域都是 R,故函数 y=2x 是圆满函数;③y= +∞),故 y= 圆满函数. 2.分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系? 提示:分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集. [自测· 牛刀小试] 1.(教材习题改编)函数 f(x)= A.[-∞,4] C.(-∞,4) 4-x 的定义域为( x-1 ) x的定义域和值域都是[0,

x是圆满函数;④y=x2 的定义域为 R,值域为[0,+∞),故函数 y=x2 不是

B.[4,+∞) D.(-∞,1)∪(1,4]

解析:选 D 要使函数 f(x)= 义域为(-∞,1)∪(1,4].

?4-x≥0, ?x≤4, ? ? 4-x 有意义,只需? 即? 所以函数的定 x-1 ? ? ?x-1≠0, ?x≠1.

2.下表表示 y 是 x 的函数,则函数的值域是( x y 0<x<5 2 5≤x<10 3

) 15≤x≤20 5

10≤x<15 4

A.[2,5] C.(0,20]

B.N D.{2,3,4,5}

解析:选 D 函数值只有四个数 2,3,4,5,故值域为{2,3,4,5}. 3.若 f(x)= ,则 f(x)的定义域为( log 1 ?2x+1?
2

1

)

1 A.?-2,0? ? ? 1 C.?-2,+∞? ? ?

1 B.?-2,0? ? ? D.(0,+∞)

解析:选 A 根据题意得 log 1 (2x+1)>0,
2

1 1 即 0<2x+1<1,解得- <x<0,即 x∈?-2,0?. ? ? 2 4.(教材改编题)函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的定义 域为________,值域为________. 解析:由图象可知,函数 y=f(x)的定义域为[-6,0]∪[3,7),值域为[0, +∞). 答案:[-6,0]∪[3,7) [0,+∞) 5.(教材改编题)若 x-4有意义,则函数 y=x2-6x+7 的值域是________. 解析:∵ x-4有意义,∴x-4≥0,即 x≥4. 又∵y=x2-6x+7=(x-3)2-2, ∴ymin=(4-3)2-2=1-2=-1. ∴其值域为[-1,+∞). 答案:[-1,+∞)

求函数的定义域

[例 1]

1 (1)(2012· 山东高考)函数 f(x)= + ln?x+1?

4-x2的定义域为(

)

A.[-2,0)∪(0,2] C.[-2,2]

B.(-1,0)∪(0,2] D.(-1,2]

(2)已知函数 f(x2-1)的定义域为[0,3],则函数 y=f(x)的定义域为________.

?x+1>0, ? [自主解答] (1)x 满足?x+1≠1, ?4-x2≥0, ?
解得-1<x<0 或 0<x≤2. (2)∵0≤x≤3, ∴0≤x2≤9,-1≤x2-1≤8. ∴函数 y=f(x)的定义域为[-1,8]. [答案] (1)B (2)[-1,8]

?x>-1, ? 即?x≠0, ?-2≤x≤2. ?

本例(2)改为 f(x)的定义域为[0,3],求 y=f(x2-1)的定义域. 解:∵y=f(x)的定义域为[0,3], ∴0≤x2-1≤3, 解得-2≤x≤-1 或 1≤x≤2, 所以函数定义域为[-2,-1]∪[1,2].

—————

—————————————— 简单函数定义域的类型及求法

(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. (3)对抽象函数: ①若已知函数 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求 出. ②若已知函数 f(g(x))的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a,b]时的值域.

1.(1)(2012· 江苏高考)函数 f(x)=

1-2log6x的定义域为________.

(2)已知 f(x)的定义域是[-2,4],求 f(x2-3x)的定义域. 1 解析:(1)由 1-2log6x≥0 解得 log6x≤ ?0<x≤ 6,故所求定义域为(0, 6 ]. 2

答案:(0, 6 ] (2)∵f(x)的定义域是[-2,4], ∴-2≤x2-3x≤4,由二次函数的图象可得,-1≤x≤1 或 2≤x≤4. ∴定义域为[-1,1]∪[2,4]. 求函数的值域

[例 2] 求下列函数的值域: x-3 4 (1)y= ;(2)y=x- 1-2x;(3)y=x+ . x x+1 x-3 x+1-4 4 4 [自主解答] (1)法一:(分离常数法)y= = =1- .因为 ≠0,所以 1- x+1 x+1 x+1 x+1 4 ≠1, x+1 即函数的值域是{y|y∈R,y≠1}. x-3 法二:由 y= 得 yx+y=x-3. x+1 y+3 解得 x= ,所以 y≠1, 1-y 即函数值域是{y|y∈R,y≠1}. 1-t2 1-t2 1 (2)法一:(换元法)令 1-2x=t,则 t≥0 且 x= ,于是 y= -t=- (t+1)2+1, 2 2 2 1? 1 ? 由于 t≥0,所以 y≤ ,故函数的值域是?y|y≤2?. 2 ? ? 1 法二:(单调性法)容易判断函数 y=f(x)为增函数,而其定义域应满足 1-2x≥0,即 x≤ . 2 1 1 1? ? 所以 y≤f?2?= ,即函数的值域是?y|y≤2?. ? ? 2 ? ? (3)法一:(基本不等式法)当 x>0 时, 4 x+ ≥2 x 4 x× =4, x

当且仅当 x=2 时“=”成立; 4 4 当 x<0 时,x+ =-(-x- )≤-4, x x 当且仅当 x=-2 时“=”成立. 即函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).
2 4 x -4 法二:(导数法)f′(x)=1- 2= 2 . x x

x∈(-∞,-2)或 x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增,

当 x∈(-2,0)或 x∈(0,2)时,f(x)单调递减. 故 x=-2 时,f(x)极大值=f(-2)=-4; x=2 时,f(x)极小值=f(2)=4. 即函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).

4 若将本例(3)改为“y=x- ”,如何求解? x 4 4 解:易知函数 y=x- 在(-∞,0)和(0,+∞)上都是增函数,故函数 y=x- 的值域为 x x R.

—————

—————————————— 求函数值域的基本方法

(1)观察法:一些简单函数,通过观察法求值域. (2)配方法:“二次函数类”用配方法求值域. (3)换元法:形如 y=ax+b± cx+d(a,b,c,d 均为常数,且 a≠0)的函数常用换元法求 值域,形如 y=ax+ a-bx2的函数用三角函数代换求值域. cx+d ?4?分离常数法:形如 y= ?a≠0?的函数可用此法求值域. ax+b ?5?单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其增 减性进而求最值和值域. ?6?数形结合法:画出函数的图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其 变化范围.

2.求下列函数的值域. (1)y=x2+2x,x∈[0,3]; x2-x (2)y= 2 ; x -x+1 (3)y=log3x+logx3-1. 解:(1)(配方法)y=x2+2x=(x+1)2-1, ∵0≤x≤3, ∴1≤x+1≤4.∴1≤(x+1)2≤16. ∴0≤y≤15, 即函数 y=x2+2x(x∈[0,3])的值域为[0,15].

x2-x+1-1 1 (2)y= 2 =1- 2 , x -x+1 x -x+1 1 3 3 ∵x2-x+1=?x-2?2+ ≥ , ? ? 4 4 ∴0< 1 4 ≤ , x2-x+1 3

1 1 ∴- ≤y<1,即值域为?-3,1?. ? ? 3 (3)y=log3x+ 令 log3x=t, 1 则 y=t+ -1(t≠0), t 当 x>1 时,t>0,y≥2 1 t·-1=1, t 1 -1, log3x

1 当且仅当 t= 即 log3x=1,x=3 时,等号成立; t 当 0<x<1 时,t<0, 1 y=-??-t?+?- t ??-1≤-2-1=-3. ? ? ?? 1 1 当且仅当-t=- 即 log3x=-1,x= 时,等号成立. t 3 综上所述,函数的值域是(-∞,-3]∪[1,+∞). 与定义域、值域有关的参数问题

[例 3] 已知函数 f(x)= ax2+bx.若至少存在一个正实数 b,使得函数 f(x)的定义域与值 域相同,求实数 a 的值. [自主解答] ①若 a=0,则对于每个正数 b,f(x)= bx的定义域和值域都是[0,+∞), 故 a=0 满足条件; b ②若 a>0, 则对于正数 b, f(x)= ax2+bx的定义域为 D={x|ax2+bx≥0}=?-∞,-a?∪ ? ? [0,+∞),但 f(x)的值域 A?[0,+∞),故 D≠A,即 a>0 不符合条件; ③若 a<0,则对于正数 b, b f(x)= ax2+bx的定义域 D=?0,-a?, ? ? b b 由于此时 f(x)max=f?-2a?= ? ? 2 -a, b ? ? 故 f(x)的值域为?0, ?, ? 2 -a?

?a<0, b b 则- = ?? ?a=-4. a 2 -a ?2 -a=-a
综上所述,a 的值为 0 或-4. ————— —————————————— 由函数的定义域或值域求参数的方法 已知函数的值域求参数的值或取值范围问题,通常按求函数值域的方法求出其值域,然 后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围.

3. (2013· 温州模拟)若函数 f(x)=

1 1 在区间[a, b]上的值域为?3,1?, a+b=________. ? ? 则 x-1

解析:∵由题意知 x-1>0,又 x∈[a,b], ∴a>1.则 f(x)= 1 在[a,b]上为减函数, x-1

1 1 1 则 f(a)= =1 且 f(b)= = , a-1 b-1 3 ∴a=2,b=4,a+b=6. 答案:6

? 1 种意识——定义域优先意识 函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质的基础.因 此,我们一定要树立函数定义域优先的意识. ? 4 个注意——求函数定义域应注意的问题 (1)如果没有特别说明,函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数 x 的集合. (2)不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化. (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得 各式子都有意义的公共部分的集合. (4)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接, 而应该用并集符号“∪”连接. ? 4 个准则——函数表达式有意义的准则 函数表达式有意义的准则一般有:①分式中的分母不为 0;②偶次根式的被开方数非负; ③y=x0 要求 x≠0;④对数式中的真数大于 0,底数大于 0 且不等于 1. ? 6 种技巧——妙求函数的值域 (1)当所给函数是分式的形式,且分子、分母是同次的,可考虑用分离常数法;

(2)若与二次函数有关,可用配方法; (3)若函数解析式中含有根式,可考虑用换元法或单调性法; (4)当函数解析式结构与基本不等式有关,可考虑用基本不等式求解; (5)分段函数宜分段求解; (6)当函数的图象易画出时,还可借助于图象求解.

易误警示——与定义域有关的易错问题

?x+1?2 [典例] (2013· 福州模拟)函数 f(x)= - 1-x的定义域为________________. x+1
?1-x≥0, ?x≤1, ? ? ?x+1?2 [解析] ∵要使函数 f(x)= - 1-x有意义,则? ∴? x+1 ?x+1≠0, ?x≠-1, ? ?

∴函数 f(x)的定义域为{x|x≤1,且 x≠-1}. [答案] (-∞,-1)∪(-1,1] [易误辨析] 1.本题若将函数 f(x)的解析式化简为 f(x)=(x+1)- 1-x后求定义域,会误认为其定义 域为(-∞,1].事实上,上述化简过程扩大了自变量 x 的取值范围. 2.在求函数的值域时,要特别注意函数的定义域.求函数的值域时,不但要重视对应关 系的作用,而且还要特别注意定义域对值域的制约作用. [变式训练] 1 1 1.若函数 f(x)的值域是?2,3?,则函数 F(x)=f(x)+ 的值域是( ? ? f?x? 1 A.?2,5? ? ? 10 C.?2, 3 ? ? ? 1 解析:选 C 令 t=f(x),则 ≤t≤3. 2 1 1 易知函数 g(t)=t+ 在区间?2,1?上是减函数,在[1,3]上是增函数. ? ? t 1 5 10 又因为 g?2?= ,g(1)=2,g(3)= . ? ? 2 3 10 1 可知函数 F(x)=f(x)+ 的值域为?2, 3 ?. ? ? f?x? 2.已知函数 f( x+2)=x+2 x,则函数 f(x)的值域为________. 5 B.?6,5? ? ? 10 D.?3, 3 ? ? ? )

解析:令 2+ x=t,则 x=(t-2)2(t≥2). ∴f(t)=(t-2)2+2(t-2)=t2-2t(t≥2). ∴f(x)=x2-2x(x≥2). ∴f(x)=(x-1)2-1≥(2-1)2-1=0, 即 f(x)的值域为[0,+∞). 答案:[0,+∞)

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.已知 a 为实数,则下列函数中,定义域和值域都有可能是 R 的是( A.f(x)=x2+a C.f(x)=ax2+x+1 B.f(x)=ax2+1 D.f(x)=x2+ax+1 )

解析:选 C 当 a=0 时,f(x)=ax2+x+1=x+1 为一次函数,其定义域和值域都是 R. 2.已知等腰△ABC 周长为 10,则底边长 y 关于腰长 x 的函数关系为 y=10-2x,则函数 的定义域为( A.R C.{x|0<x<5} ) B.{x|x>0}
? 5 ? D.?x|2<x<5? ? ?

?x>0, ? 解析:选 D 由题意知?10-2x>0, ?2x>10-2x, ?

5 即 <x<5. 2

3.设 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数 f(x)的定义域为 M,值域为 N,则 f(x) 的图象可以是( )

解析:选 A A 中定义域是[-2,2],值域为[0,2];B 中定义域为[-2,0],值域为[0,2];C 不表示函数;D 中的值域不是[0,2]. 4.(2013· 南昌模拟)函数 y= 1 x?x-1?-lg 的定义域为( x )

A.{x|x>0} C.{x|x≥1,或 x<0}

B.{x|x≥1} D.{x|0<x≤1}

?x?x-1?≥0, ? 解析:选 B 由?1 得 x≥1. ? ?x>0,
5.函数 y=2- -x2+4x的值域是( A.[-2,2] C.[0,2] ) B.[1,2] D.[- 2, 2 ]

解析:选 C ∵-x2+4x=-(x-2)2+4≤4,0≤ -x2+4x≤2,-2≤- -x2+4x≤0, 0≤2- -x2+4x≤2,∴0≤y≤2. 6.用 min{a,b,c}表示 a, b,c 三个数中的最小值. f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0), 设 则 f(x)的最大值为( A.4 C.6 解析:选 C ) B.5 D.7 f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)的图象如图.令 x+2=10-x,得 x=4.

当 x=4 时,f(x)取最大值,f(4)=6. 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.函数 y= 1 的定义域是________. 6-x-x2

解析:由函数解析式可知 6-x-x2>0,即 x2+x-6<0,故-3<x<2. 答案:(-3,2) 1 8.设函数 f(x)= (x+|x|),则函数 f[f(x)]的值域为________. 2 解析:先去绝对值, 当 x≥0 时,f(x)=x,故 f[f(x)]=f(x)=x; 当 x<0 时,f(x)=0,故 f[f(x)]=f(0)=0.
?x?x≥0?, ? 即 f[f(x)]=? 易知其值域为[0,+∞). ? ?0?x<0?,

答案:[0,+∞) 9.(2013· 厦门模拟)定义新运算“⊕”:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b2.设 函数 f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2],则函数 f(x)的值域为________.
?x-2,x∈[-2,1], ? 解析:由题意知,f(x)=? 3 ? ?x -2,x∈?1,2].

当 x∈[-2,1]时,f(x)∈[-4,-1];当 x∈(1,2]时,f(x)∈(-1,6],故当 x∈[-2,2]时,f(x)

∈[-4,6]. 答案:[-4,6] 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 1 10.若函数 f(x)= x2-x+a 的定义域和值域均为[1,b](b>1),求 a,b 的值. 2 1 1 解:∵f(x)= (x-1)2+a- , 2 2 ∴其对称轴为 x=1, 即[1,b]为 f(x)的单调递增区间. 1 ∴f(x)min=f(1)=a- =1,① 2 1 f(x)max=f(b)= b2-b+a=b.② 2

? 3 ?a=2, 由①②解得? ? ?b=3.
11.设 O 为坐标原点,给定一个定点 A(4,3),而点 B(x,0)在 x 轴的正半轴上移动,l(x)表

??? ? x 示 AB 的长,求函数 y= 的值域. l?x?
解:依题意有 x>0, l(x)= ?x-4?2+32= x2-8x+25, x x 所以 y= = 2 = l?x? x -8x+25 1 . 8 25 1- + 2 x x

1 4 8 25 9 由于 1- + 2 =25?x-25?2+ , ? ? 25 x x 所以 8 25 3 5 1- + 2 ≥ ,故 0<y≤ . x x 5 3

5 x 即函数 y= 的值域是?0,3?. ? ? l?x? x+1-a 1 12.已知函数 f(x)= (a∈R 且 x≠a),求 x∈?a-1,a-2?时,f(x)的值域. ? ? a-x -?a-x?+1 1 解:∵f(x)= =-1+ , a-x a-x 1 1 当 a-1≤x≤a- 时,-a+ ≤-x≤-a+1, 2 2 1 1 ∴ ≤a-x≤1.∴1≤ ≤2. 2 a-x ∴0≤-1+ 1 ≤1,即 f(x)的值域为[0,1]. a-x

1.下列函数中,与函数 y= A.f(x)=ln x C.f(x)=|x| 解析:选 A 当 x>0 时,

1 有相同定义域的是( x 1 B.f(x)= x D.f(x)=ex

)

1 1 有意义,因此函数 y= 的定义域为{x|x>0}. x x

对于 A,函数 f(x)=ln x 的定义域为{x|x>0}; 1 对于 B,函数 f(x)= 的定义域为{x|x≠0,x∈R}; x 对于 C,函数 f(x)=|x|的定义域为 R; 对于 D,函数 f(x)=ex 的定义域为 R. 所以与函数 y= 2.函数 y= 1 有相同定义域的是 f(x)=ln x. x 的定义域为( ) B.(-4,1) D.(-1,1]
2 ? ?-x -3x+4>0 由? 得-1<x<1,因此该函数的定义域是(-1,1). ? ?x+1>0

ln?x+1? -x2-3x+4

A.[-4,-1) C.(-1,1) 解析:选 C

f?2x? 3.若函数 y=f(x)的定义域为[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是( x-1 A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4] B.[0,1) D.(0,1)

)

?0≤2x≤2, ? 解析:选 B 要使 g(x)有意义,则? ? ?x-1≠0,

解得 0≤x<1.故定义域为[0,1). 1 4.已知函数 f(x)=?3?x,x∈[-1,1],函数 g(x)=f2(x)-2af(x)+3 的最小值为 h(a). ? ? (1)求 h(a)的解析式; (2)是否存在实数 m,n 同时满足下列两个条件:①m>n>3;②当 h(a)的定义域为[n,m] 时,值域为[n2,m2]?若存在,求出 m,n 的值;若不存在,请说明理由. 1 解:(1)由 f(x)=?3?x,x∈[-1,1], ? ? 1 1 知 f(x)∈?3,3?,令 t=f(x)∈?3,3? ? ? ? ?

记 g(x)=y=t2-2at+3,则 g(x)的对称轴为 t=a,故有: 1 28 2a ①当 a≤ 时,g(x)的最小值 h(a)= - , 3 9 3 ②当 a≥3 时,g(x)的最小值 h(a)=12-6a, 1 ③当 <a<3 时,g(x)的最小值 h(a)=3-a2 3

? 9 - 3 ,a≤3, ? 1 综上所述,h(a)=? 3-a , <a<3, 3 ? ?12-6a,a≥3,
28 2a
2

1

(2)当 a≥3 时,h(a)=-6a+12,故 m>n>3 时,h(a)在[n,m]上为减函数, 所以 h(a)在[n,m]上的值域为[h(m),h(n)].
2 2 ? ? ?h?m?=n , ?-6m+12=n , 由题意, 则有? ?? , 两式相减得 6n-6m=n2-m2, m≠n, 又 2 2 ?h?n?=m , ?-6n+12=m , ? ?

所以 m+n=6,这与 m>n>3 矛盾,故不存在满足题中条件的 m,n 的值.

第三节 函数的单调性与最值

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考

1.理解函数的单调 性、最大值、最小值 及其几何意义. 2.会利用函数的图象 理解和研究函数的 性质.

1.函数的单调性,是高考考查的重中之重,主要考查求函数的单调区 间、利用函数的单调性比较函数值的大小、利用函数单调性求函数值 域或最值、利用函数的单调性解不等式等相关问题. 2.函数的最值问题是每年高考的必考内容,一般情况下,不会对最值 问题单独命题,主要是结合其他知识综合在一起考查,主要考查求最 值的基本方法.

[归纳· 知识整合] 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义: 增函数 减函数

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两 定义 个自变量的值 x1,x2. 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就 说函数 f(x)在区间 D 上是减函数

图象描述 自左向右看图象是逐渐上升的 自左向右看图象是逐渐下降的

(2)如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x)在区间 D 具有(严 格的)单调性,这一区间叫做 y=f(x)的单调区间. 1 [探究] 1.函数 y= 的单调递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞),这种表示法对吗? x 提示:首先函数的单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式的形式表示;如果一 个函数有多个单调区间应分别写,分开表示,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或” 联结. 2.函数 f(x)在区间[a,b]上单调递增与函数 f(x)的单调递增区间为[a,b]含义相同吗? 提示:含义不同.f(x)在区间[a,b]上单调递增并不能排除 f(x)在其他区间上单调递增, 而 f(x)的单调递增区间为[a,b]意味着 f(x)在其他区间上不可能单调递增. 2.函数的最值 前提 条件 结论 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M; 存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M 为最大值 对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M; 存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M 为最小值

[探究] 3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图象上有什么特征? 提示:函数的单调性反映在图象上是上升或下降的,而最大(小)值反映在图象上为其最 高(低)点的纵坐标的值. [自测· 牛刀小试]

1.(教材习题改编)函数 f(x)=

2 ,x∈[2,6],则下列说法正确的有( x-1

)

①函数 f(x)为减函数;②函数 f(x)为增函数;③函数 f(x)的最大值为 2;④函数 f(x)的最小 2 值为 . 5 A.①③ C.②③④ 解析: B 易知函数 f(x)= 选 =2. 2.函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则( 1 A.k> 2 1 C.k>- 2 1 B.k< 2 1 D.k<- 2 ) B.①③④ D.②④ 2 2 在 x∈[2,6]上为减函数, f(x)min=f(6)= , max=f(2) 故 f(x) 5 x-1

1 解析:选 D 使 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则 2k+1<0,即 k<- . 2 1 3.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f??x ??<f(1)的实数 x 的取值范围是( ?? ?? A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) )

解析:选 C ∵函数 f(x)为 R 上的减函数, 1 且 f??x??<f(1), ?? ?? 1 ∴? x?>1,即|x|<1 且|x|≠0. ? ? ∴x∈(-1,0)∪(0,1). 4 . (教 材 习 题 改 编 )f(x)= x2 - 2x(x ∈ [ - 2,4])的 单 调 递 增 区 间 为 ________ ; f(x)max = ________. 解析:∵函数 f(x)=x2-2x 的对称轴为 x=1. ∴函数 f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调递增区间为[1,4],单调递减区间为[-2,1). 又 f(-2)=4+4=8,f(4)=16-8=8. ∴f(x)max=8. 答案:[1,4] 8 5.(教材习题改编)若函数 f(x)=4x2-kx-8 在[5,20]上是单调递增函数,则实数 k 的取值 范围是________. k 解析:∵函数 f(x)=4x2-kx-8 的对称轴为 x= , 8

又函数 f(x)在[5,20]上为增函数, k ∴ ≤5,即 k≤40. 8 答案:(-∞,40]

函数单调性的判断或证明

[例 1] 已知函数 f(x)=

x2+1-ax,其中 a>0.

(1)若 2f(1)=f(-1),求 a 的值; (2)证明:当 a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为单调减函数. [自主解答] (1)由 2f(1)=f(-1), 可得 2 2-2a= 2+a,得 a= 2 . 3

(2)证明:任取 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2, f(x1)-f(x2)= x2+1- 1 =
2 x1+1+

x2+1-ax1- 1 x2+1-a(x1-x2) 2 -a(x1-x2) x2+1 2

x2+1+ax2= 2

2 x1-x2 2

=(x1-x2)? ∵0≤x1< ∴0<

x1+x2 ? -a?. ? 2 ? x1+1+ x2+1 ? 2 x2+1,0<x2< 1 x2+1, 2

x1+x2 <1. 2 x1+1+ x2+1 2

又∵a≥1,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x)在[0,+∞)上单调递减. ————— —————————————— 判断或证明函数的单调性的两种方法 (1)利用定义的基本步骤是: 取值 ? 作差?商?变形 ? 确定符号 ? 得出结论 (2)利用导数的基本步骤是: 求导函数 ? 确定符号 ? 得出结论

a 1.已知 a>0,函数 f(x)=x+ (x>0),证明函数 f(x)在(0, a ]上是减函数,在( a,+∞) x 上是增函数. 证明:设 x1,x2 是任意两个正数,且 0<x1<x2,则 a a x1-x2 f(x1)-f(x2)=?x1+x ?-?x2+x ?= (x x -a). ? ? x1x2 1 2 1? 2? 当 0<x1<x2≤ a时,0<x1x2<a,又 x1-x2<0,所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),所以函

数 f(x)在(0, a ]上是减函数; 当 a≤x1<x2 时,x1x2>a,又 x1-x2<0,所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),所以函数 f(x) 在[ a,+∞)上是增函数. 求函数的单调区间

[例 2] 求下列函数的单调区间. (1)y=-x2+2|x|+3; (2)y=log2(x2-1). [自主解答] (1)依题意,可得 当 x≥0 时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4; 当 x<0 时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4. 由二次函数的图象知, 函数 y=-x2+2|x|+3 在(-∞,-1],[0,1]上是增函数,在[-1,0],[1,+∞)上是减函 数. (2)∵y=log2(x2-1), ∴该函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). 又∵y=log2(x2-1)可看作由 y=log2μ 和 μ=x2-1 两个函数复合而成的,且 y=log2μ 在 μ ∈(0,+∞)上为增函数, 而 μ=x2-1 在(-∞,-1)上为减函数且 μ>0, 在(1,+∞)上为增函数且 μ>0. ∴当 x∈(-∞,-1)时,y=log2(x2-1)为减函数, 当 x∈(1,+∞)时,y=log2(x2-1)为增函数. ————— ——————————————

1.求函数单调区间应注意的问题 函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集,求函数的单调区间必须首先确定函数的 定义域,求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行. 2.求复合函数 y=f[g(x)]的单调区间的步骤

(1)确定定义域; (2)将复合函数分解成基本初等函数:y=f(u),u=g(x); (3)分别确定这两个函数的单调区间; (4)若这两个函数同增或同减,则 y=f[g(x)]为增函数;若一增一减,则 y=f[g(x)]为减函 数,即“同增异减”.

2.求函数 y=

x2+x-6的单调区间. x2+x-6可以看作有 y= u与 u=x2+x-6 的复合函数.

解:令 u=x2+x-6,y=

由 u=x2+x-6≥0,得 x≤-3 或 x≥2. ∵u=x2+x-6 在(-∞,-3]上是减函数, 在[2,+∞)上是增函数,而 y= ∴y= u在(0,+∞)上是增函数.

x2+x-6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞).

由函数的单调性求参数的值(或范围)

x2+a [例 3] 已知函数 f(x)= (a>0)在(2,+∞)上为单调递增函数,求实数 a 的取值范围. x [自主解答]在区间(2,+∞)上任取 x1,x2,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= x1 2+a x2 2+a ? a a - =?x1+x ?-?x2+x ? ? x1 x2 1? 2?

a a a?x2-x1? =(x1-x2)+?x -x ?=(x1-x2)+ , ? 1 2? x1x2 ∵f(x)在(2,+∞)上为增函数, a?x2-x1? ∴(x1-x2)+ <0. x1x2 又 x1<x2,即 x1-x2<0, ∴ a <1,即 a<x1x2. x1x2

∵x1,x2∈(2,+∞),且 x1<x2, ∴x1·2>4. x ∴a≤4,又 a>0, ∴a 的取值范围为(0,4].

x2+a x-5 若将“f(x)= (a>0)”改为“f(x)= ”,如何求解? x x-a-2

x-5 a-3 解:f(x)= =1+ . x-a-2 x-?a+2? ∵f(x)在(2,+∞)上为增函数,
a ?3? 0, ∴ a ? 2? 2, a ? 3, 解得 a ? 0, a≤0. 即

?

?

故实数 a 的取值范围为?-∞,0].

—————

—————————————— 利用函数的单调性求参数的方法及注意点

利用函数的单调性求参数的取值范围,解题思路为:视参数为已知数,依据函数的图象 或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参. 需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.

x 3.已知 f(x)= (x≠a),若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. x-a 解:任设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= a?x2-x1? x1 x2 - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?

∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立.∴a≤1.综上所述,a 的取值范围是 (0,1].

函数的最值与应用

[例 4]

x2+2x+a (2013· 昆明模拟)已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x

1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 1 1 7 [自主解答] (1)当 a= 时,f(x)=x+ +2,在[1,+∞)上为增函数,f(x)min=f(1)= . 2 2x 2 a (2)f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞). x ①当 a≤0 时,f(x)在[1,+∞)内为增函数.

最小值为 f(1)=a+3. 要使 f(x)>0 在 x∈[1,+∞)上恒成立,只需 a+3>0,即 a>-3,所以-3<a≤0. ②当 0<a≤1 时,f(x)在[1,+∞)上为增函数,f(x)min=f(1)=a+3. 所以 a+3>0,a>-3.所以 0<a≤1. ③当 a>1 时,f(x)在[1, a ]上为减函数,在( a,+∞)上为增函数,所以 f(x)在[1,+ ∞)上的最小值是 f( a)=2 a+2,2 a+2>0,显然成立.综上所述,f(x)在[1,+∞)上恒大 于零时,a 的取值范围是(-3,+∞). ————— ——————————————

1.求函数最值的常用方法 ?1?单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值; ?2?图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值; ?3?基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等 式求出最值; ?4?导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值; ?5?换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. 2.恒成立问题的解法 ?1?m>f?x?恒成立?m>f?x?max; ?2?m<f?x?恒成立?m<f?x?min.

3 x 4.设函数 f(x)=x2-1,对任意 x∈?2,+∞?,f?m?-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,求 ? ? ? ? 实数 m 的取值范围. 3 x2 解:由题意知, 2-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)在 x∈?2,+∞?上恒成立,即 ? ? m 1 3 2 3 3 2 2 ?3 ? 2-4m ≤- 2- +1 在 x∈ ,+∞ 上恒成立,当 x= 时,函数 y=- 2- +1 取得最小 ?2 ? m x x 2 x x 5 1 5 3 3 值- ,所以 2-4m2≤- ,即(3m2+1)(4m2-3)≥0,解得 m≤- 或 m≥ . 3 m 3 2 2 即实数 m 的取值范围为?-∞,-

?

3? ? 3 ? ∪ ,+∞ . 2? ?2 ?

? 2 个防范——函数单调区间的记法及性质的易误点 (1)函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间要 分开写,即使在两个区间上的单调性相同,也不能用并集表示.

(2)两函数 f(x), g(x)在 x∈(a, b)上都是增(减)函数, f(x)+g(x)也为增(减)函数, f(x)· 则 但 g(x), 1 等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比. f?x? ? 2 种形式——单调函数的等价变形 设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? (1) >0?(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数; x1-x2 f?x1?-f?x2? (2) <0?(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 ? 4 种方法——函数单调性的判断方法 判断函数单调性的方法有以下四种: (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论; (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数; (3)导数法:利用导数研究函数的单调性; (4)图象法:利用图象研究函数的单调性.

易误警示——分段函数单调性中的误区

? ??3a-1?x+4a,x<1, [典例] (2013· 福州模拟)已知函数 f(x)=? 满足对任意的实数 x1≠x2 ? ?logax,x≥1

f?x1?-f?x2? 都有 <0 成立,则实数 a 的取值范围为( x1-x2 A.(0,1) 1 1 C.?7,3? ? ?

)

1 B.?0,3? ? ? 1 D.?7,1? ? ?

?3a-1<0, ? [解析] 据题意使原函数在定义域 R 上为减函数, 只需满足?0<a<1, ??3a-1?×1+4a≥log 1, ? a
1 1 解得 ≤a< . 7 3 [答案] C [易误辨析] 1.如果只考虑到使各段函数在相应定义域内为减函数的条件,而忽视在 R 上为减函数,

易误选 B. 2.一般地,若函数 f(x)在区间[a,b)上为增函数,在区间[b,c]上为增函数,则不一定说

明函数 f(x)在[a,c]上为增函数,如图:

,由图象可知函数 f(x)在[a,c]上整体

不呈上升趋势,故此时不能说 f(x)在[a,c]上为增函数,若图象满足如图:



即可说明函数在[a,c]上为增函数,即只需 f(x)在[a,b)上的最大值不大于 f(x)在[b,c]上的最 小值即可,同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论. [变式训练]

?1,x>0, ? 1.设函数 f(x)=?0,x=0, ?-1,x<0, ?
A.(-∞,0] C.[1,+∞)

g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的递减区间是(

)

B.[0,1) D.[-1,0]
2

?x ,x>1, ? 解析:选 B g(x)=?0,x=1, ?-x2,x<1. ?
x

如图所示,其递减区间是[0,1).

?a ?x>1?, ? 2.若 f(x)=?? a? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( ??4-2?x+2?x≤1? ?
A.(1,+∞) C.(4,8) B.[4,8) D.(1,8)

)

解析:选 B 函数 f(x)在(-∞,1]和(1,+∞)上都为增函数,且 f(x)在(-∞,1]上的最

? a ?4- >0, 高点不高于其在(1,+∞)上的最低点,即? 2 ?a≥4-a+2, ? 2
a>1,

解得 a∈[4,8).

一、选择题 1.(2012· 广东高考)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )

A.y=ln(x+2) 1 C.y=?2?x ? ?

B.y=- x+1 1 D.y=x+ x

解析:选 A 选项 A 的函数 y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一 定是增函数. 1 2.已知函数 f(x)=log2x+ ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( 1-x A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 )

1 解析:选 B ∵函数 f(x)=log2x+ 在(1,+∞)上为增函数,且 f(2)=0∴当 x1∈(1,2) 1-x 时,f(x1)<f(2)=0, 当 x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0, 即 f(x1)<0,f(x2)>0. b 3. 若函数 y=ax 与 y=- 在(0, +∞)上都是减函数, y=ax2+bx 在(0, 则 +∞)上是( x A.增函数 C.先增后减 B.减函数 D.先减后增 )

b 解析:选 B ∵函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,∴a<0,b<0.∴函数 y x b =ax2+bx 的图象开口向下,且对称轴为 x=- <0. 2a ∴函数 y=ax2+bx 在(0,+∞)上为减函数. 4.(2013· 潍坊模拟)已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称,当 x2>x1>1 1 时,[f(x2)-f(x1)]· 2-x1)<0 恒成立,设 a=f?-2?,b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系 (x ? ? 为( ) A.c>a>b C.a>c>b B.c>b>a D.b>a>c

解析:选 D 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,且在(1,+∞)上是减函 数. 1 5 a=f?-2?=f?2?,所以 b>a>c. ? ? ? ? 5.函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是( 3 A.?-∞,2? ? ? 3 C.?-1,2? ? ? )

3 B.?2,+∞? ? ? 3 D.?2,4? ? ?

3 25 解析:选 D 函数 f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=-?x-2?2+ 的减区间 ? ? 4 3 为?2,4?, ? ? ∵e>1, 3 ∴函数 f(x)的单调减区间为?2,4?. ? ? 6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x<0 时,f(x)>0,则函数 f(x)在[a, b]上有( ) B.最大值 f(b) D.最大值 f? a+b? ? 2 ?

A.最小值 f(a) C.最小值 f(b)

解析:选 C ∵f(x)是定义在 R 上的函数,且 f(x+y)=f(x)+f(y), ∴f(0)=0,令 y=-x,则有 f(x)+f(-x)=f(0)=0. ∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是 R 上的奇函数.设 x1<x2,则 x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+ f(-x2) =f(x1-x2)>0. ∴f(x)在 R 上是减函数.∴f(x)在[a,b]有最小值 f(b). 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 1 7.函数 f(x)=?3?x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________. ? ? 1 解析:由于 y=?3?x 在 R 上递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上递增,所以 f(x)在[-1,1]上单 ? ? 调递减,故 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(-1)=3. 答案:3 8.(2013· 东城模拟)函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则 称 f(x)为单函数.例如:函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数. 给出下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②指数函数 f(x)=2x(x∈R)是单函数; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中真命题是________(写出所有真命题的编号). 解析:根据单函数的定义,函数是单函数等价于这个函数在其定义域内是单调的,故命 题②④是真命题,①是假命题;根据一个命题与其逆否命题等价可知,命题③是真命题. 答案:②③④

9.已知函数 f(x)=

3-ax (a≠1). a-1

(1)若 a>0,则 f(x)的定义域是________; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是________. 3 3 解析: (1)当 a>0 且 a≠1 时, 3-ax≥0 得 x≤ , 由 即此时函数 f(x)的定义域是?-∞,a?; ? ? a (2)当 a-1>0,即 a>1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需 3-a×1≥0,此时 1<a≤3. 当 a-1<0,即 a<1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需-a>0,此时 a<0. 综上所述,所求实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3]. 3 答案:(1)?-∞,a? ? ? (2)(-∞,0)∪(1,3]

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 1 1 10.已知函数 f(x)= - (a>0,x>0). a x (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; 1 1 (2)若 f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?,求 a 的值. ? ? ? ? 解:(1)证明:设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0, 1 1 1 1 ∵f(x2)-f(x1)=?a-x ?-?a-x ? ? ? ? ?
2 1

1 1 x2-x1 = - = >0, x1 x2 x1x2 ∴f(x2)>f(x1).∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的. 1 1 1 (2)∵f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?,又 f(x)在?2,2?上单调递增, ? ? ? ? ? ? 1 1 2 ∴f?2?= ,f(2)=2.∴易得 a= . ? ? 2 5 11.设奇函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,f(-1)=-1.若函数 f(x)≤t2-2at+1 对所有的 x ∈[-1,1],a∈[-1,1]都成立,求 t 的取值范围. 解:∵f(x)是奇函数, ∴f(1)=-f(-1)=1. 又 f(x)是[-1,1]上的奇函数, ∴当 x∈[-1,1]时,f(x)≤f(1)=1. 又函数 f(x)≤t2-2at+1 对所有的 x∈[-1,1]都成立, ∴1≤t2-2at+1?2at-t2≤0. 设 g(a)=2at-t2(-1≤a≤1),欲使 2at-t2≤0 恒成立,

?g?-1?≤0 ? 则? ?t≥2 或 t=0 或 t≤-2, ? ?g?1?≤0

即所求 t 的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞). x1 12.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. ? ?
2

(1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. 解:(1)令 x1=x2>0, 代入得 f(1)=f(x1)-f(x2)=0,故 f(1)=0. x1 (2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1, x2 由于当 x>1 时,f(x)<0, x1 所以 f?x ?<0,即 f(x1)-f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2). ? ?
2

所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. x1 (3)由 f?x ?=f(x1)-f(x2)得 ? ?
2

9 f?3?=f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. ? ? 由于函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数, 所以当 x>0 时,由 f(|x|)<-2 得 f(x)<f(9), 因此 x>9; 当 x<0 时,由 f(|x|)<-2 得 f(-x)<f(9), 因此-x>9,即 x<-9. 因此不等式的解集为{x|x>9 或 x<-9}.

1.求函数 y=log 1 (x2-3x+2)的单调增区间.
2

解:令 u=x2-3x+2,则原函数可以看作 y=log 1 u 与 u=x2-3x+2 的复合函数.
2

令 u=x -3x+2>0,则 x<1 或 x>2. 所以函数 y=log 1 (x2-3x+2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).
2

2

3 又 u=x2-3x+2 的对称轴 x= ,且开口向上. 2 所以 u=x2-3x+2 在(-∞,1)上是单调减函数,在(2,+∞)上是单调增函数.

而 y=log 1 u 在(0,+∞)上是单调减函数,
2

故 y=log 1 (x2-3x+2)的单调减区间为(2,+∞),单调增区间为(-∞,1).
2

mx 2.讨论函数 f(x)= (m<0)的单调性. x-2 解:函数定义域为{x|x≠2}, 不妨设 x1,x2∈(-∞,2)且 x1<x2, f(x2)-f(x1)= 2m?x1-x2? mx2 mx1 mx2?x1-2?-mx1?x2-2? - = = . x2-2 x1-2 ?x1-2??x2-2? ?x1-2??x2-2?

∵m<0,x1,x2∈(-∞,2),且 x1<x2, ∴x1-x2<0,(x2-2)(x1-2)>0. ∴ m?x1-x2? >0, ?x2-2??x1-2?

即 f(x2)>f(x1),故函数 f(x)在区间(-∞,2)上是增函数. 同理可得函数 f(x)在区间(2,+∞)上也是增函数. 综上,函数 f(x)在(-∞,2),(2,+∞)上为增函数. 3.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1) 2 =- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解:(1)证明:法一:∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R, 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), 令 x=y=0,得 f(0)=0.再令 y=-x, 得 f(-x)=-f(x).在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2), 又∵x>0 时,f(x)<0.而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. 法二:在 R 上任取 x1,x2,不妨设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数.

(2)∵f(x)在 R 上为减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也为减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 f(-3),最小值为 f(3), 而 f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1) =f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2. ∵0=f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3), ∴f(-3)=-f(3)=2.

第四节 函数的奇偶性与周期性

[备考方向要明了]

考 什 么 1.结合具体函数,了解函数奇 偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研 究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周 期的含义,会判断、应用简单 函数的周期性.

怎 么 考 1.高考对函数奇偶性的考查有两个方面:一是函数奇偶性概 念的应用,一般为求参数或求值,如 2012 年上海 T9 等,属 于容易题;二是综合考查函数的性质(单调性、奇偶性等), 如 2012 年陕西 T2,天津 T6 等. 2.高考对函数周期性的考查,题型主要以选择题或填空的形 式出现,常涉及函数求值问题,且与函数的单调性、奇偶性 相结合命题,如 2012 年湖南 T9,浙江 T16 等.

[归纳· 知识整合] 1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都 有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都 图象特点 关于 y 轴对称 关于原点对称

有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数 [探究] 1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点?它是函数具有奇偶性的什么条件? 提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件. 2.若 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,是否有 f(0)=0?如果是偶函数呢? 提示:如果 f(x)是奇函数时,f(0)=-f(0),则 f(0)=0;如果 f(x)是偶函数时,f(0)不一定 为 0,如 f(x)=x2+1. 3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?若有,有多少个? 提示:存在,如 f(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集,这样的函数有无穷多 个. 2.周期性 (1)周期函数: 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x +T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期. 4.若 T 为 y=f(x)的一个周期,那么 nT(n∈Z)是函数 f(x)的周期吗? 提示:不一定.由周期函数的定义知,函数的周期是非零常数,当 n∈Z 且 n≠0 时,nT 是 f(x)的一个周期. [自测· 牛刀小试] 1.(教材习题改编)下列函数是奇函数的有( ①f(x)=2x4+3x2; ②f(x)=x3-2x; x2+1 ③f(x)= ;④f(x)=x3+1. x A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 )

解析:选 B 首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称,然后由奇函数的定义逐个 判断可知,②③为奇函数. 2.(2013· 郑州模拟)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立 的是( )

A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数

D.|f(x)|-g(x)是奇函数 解析:选 A ∵函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,∴f(-x)=f(x),g(-x)= -g(x). 令 F(x)=f(x)+|g(x)|, F(-x)=f(-x)+|g(-x)| =f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|=F(x). 故 F(x)为偶函数.即 f(x)+|g(x)|是偶函数. 5 3.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f?-2?=( ? ? 1 A.- 2 1 C. 4 1 B.- 4 1 D. 2 )

解析:选 A ∵f(x)是周期为 2 的奇函数, 5 5 5 ∴f?-2?=-f?2?=-f?2-2? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 =-f?2?=-2× ×?1-2?=- . ? ? ? 2 ? 2 4.(2012· 重庆高考)若 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数 a=________. a-4 解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a 为二次函数,其图象的对称轴为 x=- ,因为偶函数的 2 图象关于 y 轴对称,所以- 答案:4 5.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________. 解析:∵当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x, ∴当 x∈(0,1)时,f(x)<0, 当 x∈(1,+∞)时,f(x)>0. 又∵函数 f(x)为奇函数, ∴当 x∈(-1,0)时,f(x)>0;当 x∈(-∞,-1)时, f(x)<0. ∴满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞). 答案:(-1,0)∪(1,+∞) a-4 =0,解得 a=4. 2

判断函数的奇偶性

[例 1] 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)= 3-x2+ x2-3;

4-x2 (2)f(x)= ; |x+3|-3 (3)f(x)=(x+1) 1-x . 1+x

2 ? ?3-x ≥0, [自主解答] (1)由? 2 ? ?x -3≥0,

得 x=- 3或 x= 3. ∴函数 f(x)的定义域为{- 3, 3}. 又∵对任意的 x∈{- 3, 3}, -x∈{- 3, 3}, 且 f(-x)=-f(x)=f(x)=0. ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.
2 ? ?4-x ≥0, (2)∵? ? ?|x+3|≠3,

∴-2≤x≤2 且 x≠0. ∴函数 f(x)的定义域关于原点对称. 又∵x+3>0, 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = . x x+3-3 又 f(-x)= 4-?-x?2 , -x

∴f(-x)=-f(x).∴f(x)为奇函数.

?1-x≥0, ? (3)由?1+x 得-1<x≤1. ? ?1+x≠0,
∵f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称. ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

若将本例(1)改为“f(x)= 解:∵函数 f(x)=

3-2x+ 2x-3”,试判断其奇偶性.

?3? 3-2x+ 2x-3的定义域为?2?,不关于坐标原点对称, ? ?

∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

—————

—————————————— 判断函数奇偶性的方法

(1)首先确定函数的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则既不是奇函数也不 是偶函数. (2)若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断: ①定义判断:f(-x)=f(x)?f(x)为偶函数, f(-x)=-f(x)?f(x)为奇函数. ②等价形式判断:f(-x)-f(x)=0?f(x)为偶函数, f?-x? f?-x? f(-x)+f(x)=0?f(x)为奇函数.或等价于 =1,则 f(x)为偶函数; =-1,则 f(x) f?x? f?x? 为奇函数. (3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行. (4)对于抽象函数奇偶性的判断,应充分利用定义,巧妙赋值,通过合理、灵活地变形配 凑来判定.

1.判断下列函数的奇偶性
?x2+x?x>0?, ? 1-x (1)f(x)=lg ;(2)f(x)=? 2 1+x ? ?x -x?x<0?;

lg?1-x2? (3)f(x)= 2 . |x -2|-2 1-x 解:(1)由 >0?-1<x<1, 1+x 定义域关于原点对称. 又 f(-x)=lg 1+x ?1-x?-1=-lg1-x=-f(x), =lg? ? 1-x 1+x ?1+x?

故原函数是奇函数. (2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 又当 x>0 时,f(x)=x2+x,则当 x<0 时, -x>0,故 f(-x)=x2-x=f(x); 当 x<0 时,f(x)=x2-x,则当 x>0 时,-x<0,故 f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.
2 ? ?1-x >0, (3)由? 2 得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称, ? ?|x -2|-2≠0,

lg?1-x2? lg?1-x2? ∴f(x)= =- . 2 x2 -?x -2?-2 lg[1-?-x?2] lg?1-x2? ∵f(-x)=- =- =f(x), 2 x2 ?-x? ∴f(x)为偶函数. 函数奇偶性的应用

[例 2] =________.

(1)(2012· 上海高考)已知 y=f(x)是奇函数,若 g(x)=f(x)+2 且 g(1)=1,则 g(-1)

?x+1?2+sin x (2)(2012· 新课标全国卷)设函数 f(x)= 的最大值为 M, 最小值为 m, M+m 则 x2+1 =________. [自主解答] (1)g(1)=f(1)+2=1 则 f(1)=-1, 又因为 f(-1)=-f(1)=1,所以 g(-1)=f(-1)+2=3. (2)将函数化简,利用函数的奇偶性求解. f(x)= ?x+1?2+sin x 2x+sin x =1+ 2 , x2+1 x +1

2x+sin x 设 g(x)= 2 ,则 g(-x)=-g(x), x +1 因此 g(x)是奇函数,由奇函数图象的对称性知 g(x)max+g(x)min=0, 则 M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min =2+g(x)max+g(x)min=2. [答案] (1)3 ————— (2)2 —————————————— 与函数奇偶性有关的问题及解决方法 (1)已知函数的奇偶性,求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构 造关于 f(x)的方程(组),从而得到 f(x)的解析式. ?3?已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值,常常利用待定系数法:利用 f?x?± f?-x? =0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解. ?4?应用奇偶性画图象和判断单调性,利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另 一区间上的单调性.

2.(1)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数),则 f(-1) =( ) A.-3 C.1 B.-1 D.3

(2)已知函数 f(x)在区间[-5,5]上是奇函数,在区间[0,5]上是单调函数,且 f(3)<f(1),则 ( ) A.f(-1)<f(-3) C.f(-1)<f(1) B.f(0)>f(-1) D.f(-3)>f(-5)

解析:(1)选 A 因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=20+2×0+b=0,解得 b =-1.所以当 x≥0 时,f(x)=2x+2x-1,所以 f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3. (2)选 A 函数 f(x)在区间[0,5]上是单调函数,又 3>1,且 f(3)<f(1),故此函数在区间[0,5] 上是减函数. 由已知条件及奇函数性质,知函数 f(x)在区间[-5,5]上是减函数. 选项 A 中,-3<-1,故 f(-3)>f(-1). 选项 B 中,0>-1,故 f(0)<f(-1). 同理选项 C 中 f(-1)>f(1),选项 D 中 f(-3)<f(-5). 函数的周期性及其应用

[例 3]

(1)(2012· 山东高考)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1 时, )

f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 012)=( A.335 C.1 678 B.338 D.2 012

(2)(2012· 江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=

?ax+1,-1≤x<0, ? 1 3 其中 a,b∈R.若 f?2?=f?2?,则 a+3b 的值为________. ?bx+2 ? ? ? ? ? x+1 ,0≤x≤1, ?
[自主解答] (1)由 f(x+6)=f(x)可知,函数 f(x)的周期为 6,所以 f(-3)=f(3)=-1,f(- 2)=f(4)=0,f(-1)=f(5)=-1,f(0)=f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一个周期内有 f(1)+ f(2)+?+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以 f(1)+f(2)+?+f(2 012)=f(1)+f(2)+335×1=1 +2+335=338. 3 1 1 (2)因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 所以 f?2?=f?-2?, f(-1)=f(1), f?2? 故 ? ? ? ? ? ? 且

1 b+2 1? 1 ?- ,从而2 =f? 2? =- a+1,即 3a+2b=-2.① 1 2 +1 2 b+2 由 f(-1)=f(1),得-a+1= ,即 b=-2a.② 2 由①②得 a=2,b=-4,从而 a+3b=-10. [答案] (1)B (2)-10 ————— —————————————— 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为 T, 函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. (2)根据函数的周期性, 可以由函数局部的性质得到函数的整体性质, 在解决具体问题时, 要注意结论:若 T 是函数的周期,则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期.

3.(1)(2013· 济宁模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且是以 2 为周期的周期函 数.若当 x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则 f?

?

log 1 6?
2

?

的值为(

)

5 A.- 2 1 C.- 2

B.-5 D.-6

(2)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数, f(x+1)=-f(x), f(x)在[-1,0]上是减函数, 且 若 那么 f(x)在[1,3]上是( A.增函数 C.先增后减的函数 解析:(1)选 C 为 2 的奇函数, 3? ? ? ∴f(log 1 6)=f?log 1 2?=-f?-log 1
2

) B.减函数 D.先减后增的函数

3 ∵-3<log 1 6<-2,∴-1<log 1 6+2<0,即-1<log 1 <0.∵f(x)是周期 2
2 2 2

?

2

?

?

2

3? 1 ? 3? ? log 3 ? 2?=-f?log22?=-?2 2 2 -1?=-2.

?

(2)选 D 由 f(x)在[-1,0]上是减函数,又 f(x)是 R 上的偶函数,所以 f(x)在[0,1]上是增函 数. 由 f(x+1)=-f(x),得 f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x), 故 2 是函数 f(x)的一个周期. 结合以上性质,模拟画出 f(x)部分图象的变化趋势,如下图.

由图象可以观察出,f(x)在[1,2]上为减函数,在[2,3]上为增函数.

? 2 个特点——奇、偶函数的定义域及关系式的特点 (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的 必要不充分条件. (2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. ? 5 个性质——函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原 点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0,则必有 f(0)=0. f(0)=0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件. (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数 的和(或差)”. (5)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 ×奇=偶,偶+偶=偶,奇×偶=奇. ? 3 种方法——函数奇偶性的判断方法 判断函数的奇偶性一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. ? 3 条结论——关于函数周期性常用的结论 (1)若满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x),所以 2a 是函数的 一个周期(a≠0); 1 1 (2)若满足 f(x+a)= ,则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]= =f(x),所以 2a 是函数的一个 f?x? f?x+a? 周期(a≠0); 1 (3)若函数满足 f(x+a)=- ,同理可得 2a 是函数的一个周期(a≠0). f?x?

创新交汇——与奇偶性、周期性有关的交汇问题

1.函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一

起命制试题,其中奇偶性多与单调性相结合,而周期性常与抽象函数相结合,并以结合奇偶 性求函数值为主. 2.根据奇偶性的定义知,函数的奇偶性主要体现为 f(-x)与 f(x)的相等或相反关系,而 根据周期函数的定义知,函数的周期性主要体现为 f(x+T)与 f(x)的关系,它们都与 f(x)有关, 因此,在一些题目中,函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一 种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律,因此,在解题时, 往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性,即实现区间的转换, 再利用单调性来解决相关问题. [典例] (2012· 辽宁高考)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当 x∈[0,1] 1 3 时, f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos(πx)|, 则函数 h(x)=g(x)-f(x)在?-2,2?上的零点个数为( ? ? A.5 C.7 B.6 D.8 )

[解析] 由题意知函数 f(x)是偶函数,且周期是 2.作出 g(x),f(x) 1 3 的函数图象,如图.由图可知函数 y=g(x),y=f(x)在?-2,2?图象 ? ? 1 3 有 6 个交点,故 h(x)=g(x)-f(x)在?-2,2?上的零点有 6 个. ? ? [答案] B [名师点评] 1.本题具有以下创新点 (1)命题方式创新:本题是以数学符号语言交代了函数 f(x)的奇偶性及周期性,考查了自 然语言与符号语言转化的能力. (2)考查内容创新:本题考查幂函数、三角函数及函数的交汇零点,且将数形结合思想融 会其中,较好地考查了探究能力和逻辑推理能力. (3)解题方法创新: 本题也可以通过巧妙转化, x3=xcos πx 转化为我们熟悉的二次函数 将 与周期函数间的关系,即 x>0 时,x2=|cos πx|而使问题得以简单解决. 2.解决本题的关键有以下几点 (1)正确识别函数 f(x)的性质; (2)注意到 x=0 是函数 h(x)的一个零点,此处极易被忽视; (3)正确画出函数的图象,将零点问题转化为函数图象的交点问题. [变式训练] 1.(2013· 衡阳六校联考)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x +2)=-f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 011)+f(2 012)=( A.1+log23 B.-1+log23 )

C.-1

D.1

解析:选 C ∵f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数, ∴f(-2 011)=f(2 011). 当 x≥0 时, f(x+4)=-f(x+2)=f(x), f(x)是以 4 为周期的函数. 则 注意到 2 011=4×502 +3,2 012=4×503, ∴f(2 011)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-log2(1+1)=-1,f(2 012)=f(0)=log21=0. ∴f(-2 011)+f(2 012)=-1. 2.(2013· 朝阳模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,都有 f(x+ 2)=f(x). 0≤x≤1 时, 当 f(x)=x2.若直线 y=x+a 与函数 y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同 的公共点,则实数 a 的值是( A.0 1 1 C.- 或- 4 2 解析:选 D ∵f(x+2)=f(x),∴T=2. 又 0≤x≤1 时,f(x)=x2,可画出函数 y=f(x)在一个周期内的图象如图. ) 1 B.0 或- 2 1 D.0 或- 4

显然 a=0 时,y=x 与 y=x2 在[0,2]内恰有两个不同的公共点. 另当直线 y=x+a 与 y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点, 由题意知 y′=(x2)′ 1 =2x=1,∴x= . 2 1 1 1 ∴A?2,4?,又 A 点在 y=x+a 上,∴a=- , ? ? 4 1 综上可知 a=0 或- . 4

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.(2012· 陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y= x B.y=-x3 D.y=x|x| )

解析:选 D 由函数的奇偶性排除 A,由函数的单调性排除 B、C,由 y=x|x|的图象可 知当 x≥0 时此函数为增函数,又该函数为奇函数. 2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),则 f(8)=( )

A.0 C.2

B.1 D.3

解析:选 A 由题意,f(x)是以 4 为周期的奇函数, 则 f(4)=f(4+0)=f(0)=0,f(8)=f(4+4)=f(4)=0. f?x?+f?-x? 3. 设偶函数 f(x)在(0, +∞)上为减函数, f(2)=0, 且 则不等式 >0 的解集为( x A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2) )

f?x?+f?-x? 2f?x? 解析:选 B ∵f(x)为偶函数,∴ = >0, x x ∴xf(x)>0,
? ? ?x>0, ?x<0, ∴? 或? 又 f(-2)=f(2)=0,f(x)在(0,+∞)上为减函数,∴x∈(0,2)或 x ?f?x?<0. ?f?x?>0, ? ?

∈(-∞,-2). 4.(2013· 潍坊质检)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,若 x1+ x2>0,则 f(x1)+f(x2)的值( A.恒为负值 C.恒为正值 ) B.恒等于零 D.无法确定正负

解析:选 A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,可知 f(x)是 R 上的单调递减函数,由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则 f(x1)+f(x2)<0. 5.(2013· 广州模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上 是增函数,则( ) B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25)

解析:选 D 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知 f(x)在[-2,2]上递增, 又 f(x-4)=-f(x)?f(x-8)=-f(x-4)=f(x),故函数 f(x)以 8 为周期,f(-25)=f(-1),f(11) =f(3)=-f(3-4)=f(1),f(80)=f(0),故 f(-25)<f(80)<f(11). 6.函数 f(x)是周期为 4 的偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式 xf(x)>0 在[-1,3] 上的解集为( A.(1,3) C.(-1,0)∪(1,3) 解析:选 C f(x)的图象如图. ) B.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1)

当 x∈(-1,0)时,由 xf(x)>0 得 x∈(-1,0); 当 x∈(0,1)时,由 xf(x)<0 得 x∈?; 当 x∈(1,3)时,由 xf(x)>0 得 x∈(1,3). 故 x∈(-1,0)∪(1,3). 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.若函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则 a=________,b= ________. 1 解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,所以 a-1=-2a,解得 a= . 3 1 又函数 f(x)= x2+bx+b+1 为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得 b=0. 3 1 答案: 0 3 8. 若偶函数 y=f(x)为 R 上的周期为 6 的周期函数, 且满足 f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3), 则 f(-6)等于________. 解析:∵y=f(x)为偶函数,且 f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3), ∴f(x)=x2+(1-a)x-a,1-a=0. ∴a=1.f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3). f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1. 答案:-1 9.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x≥0),则不等式 f(x-2)>0 的解集为________. 解析:由于 f(x)是偶函数,故当 x<0 时,f(x)=2 x-4, 当 x-2<0 时,由 f(x-2)=2
-(x-2) - -

-4>0,解得 x<0;

当 x-2≥0 时,由 f(x-2)=2x 2-4>0,解得 x>4. 综上可知不等式解集为{x|x<0,或 x>4}. 答案:{x|x<0,或 x>4} 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是增函数,若 f(1)=0,求不等式 1 f(x?x-2?<0 的解集. ? ? 解:∵y=f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1)=0. 又∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴y=f(x)在(-∞,0)上是增函数,

1 若 f(x?x-2?<0=f(1),∴ ? ?

?x?x-2?>0, ? ? ? ? 1? ?x?x-2?<1,
1

1 1+ 17 1- 17 1 即 0<x?x-2?<1,解得 <x< 或 <x<0. ? ? 2 4 4

?x?x-2?<0, ? ? 1? f(x?x-2?<0=f(-1),∴? ? 1 ?x?x-2?<-1. ? ?
1 1 ∴x?x-2?<-1,解得 x∈?. ? ? 1+ 17 1- 17 1 ∴原不等式的解集是 x <x< 或 <x<0. 2 4 4 a 11.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). x (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=0 时,f(x)=x2 对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=(-x)2=x2=f(x). 故 f(x)为偶函数; a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R), x 取 x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0; f(-1)-f(1)=-2a≠0, 即 f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). 故函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)设 2≤x1<x2, a a f(x1)-f(x2)=x2+ -x2- 1 x1 2 x2 = ?x1-x2? [x1x2(x1+x2)-a], x1x2

要使函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,必须 f(x1)-f(x2)<0 恒成立, ∵x1-x2<0,∴x1x2(x1+x2)-a>0, 即 x1x2(x1+x2)>a 恒成立. 又∵x1+x2>4,x1x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16. ∴a 的取值范围是(-∞,16]. 12.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值;

(2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调增(或减)区间. 解:(1)由 f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, 所以 f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x),得 f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即 f(1+x) =f(1-x). 故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称, 则-1≤x≤0 时 f(x)=x,则 f(x)的图象如图所示. 1 当-4≤x≤4 时, f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S, S=4S△OAB=4×?2×2×1? 设 则 ? ? =4. (3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z), 单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z).

1.若函数 f(x)=3x+3 x 与 g(x)=3x-3 x 的定义域均为 R,则 A.f(x)与 g(x)均为偶函数 B.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 D.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 解析:选 D ∵f(x)=3x+3 x,g(x)=3x-3 x, ∴f(-x)=3 x+3x=f(x),g(-x)=3 x-3x=-g(x). ∴f(x)为偶函数,g(x)为奇函数. 2.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex,则 g(x)等于( A.ex-e
-x - - - -





)

1 - B. (ex+e x) 2 1 - D. (ex-e x) 2

1 - C. (e x-ex) 2

解析:选 D ∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). ∴f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e x. 又∵f(x)+g(x)=ex,


ex-e x ∴g(x)= . 2 3.已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y =f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( A.6 C.8 B.7 D.9 )



解析:选 B ∵f(x)是最小正周期为 2 的周期函数, 且 0≤x<2 时, f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1), ∴当 0≤x<2 时,f(x)=0 有两个根, 即 x1=0,x2=1. 由周期函数的性质知,当 2≤x<4 时,f(x)=0 有两个根, 即 x3=2,x4=3; 当 4≤x<6 时,f(x)=0 有两个根, 即 x5=4,x6=5, x7=6 也是 f(x)=0 的根. 故函数 f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴交点的个数为 7. 4.定义在(-1,1)上的函数 f(x). (ⅰ)对任意 x,y∈(-1,1)都有:f(x)+f(y)=f?

? x+y ?; ? ?1+xy?

(ⅱ)当 x∈(-1,0)时,f(x)>0,回答下列问题. (1)判断 f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性,并说明理由; 1 1 1 1 1 (3)若 f?5?= ,试求 f?2?-f?11?-f?19?的值. ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 解:(1)令 x=y=0?f(0)=0, 令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=0?f(-x)=-f(x)?f(x)在(-1,1)上是奇函数. (2)设 0<x1<x2<1, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f? 而 x1-x2<0,0<x1x2<1? 又

? x1-x2 ?, ? ?1-x1x2?

x1-x2 <0, 1-x1x2

x1-x2 ?1+x1??1-x1? -(-1)= >0, 1-x1x2 1-x1x2

x1-x2 ? x1-x2 ?>0, 故-1< <0.则 f? ? 1-x1x2 ?1-x1x2?

即当 0<x1<x2<1 时,f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,1)上单调递减. 1 1 (3)由于 f?2?-f?5? ? ? ? ? 1 1 =f?2?+f?-5? ? ? ? ?

? 2-5 ? ?1? =f? 1 ?=f?3?. 1- ? 2×5?
1 1 1 1 1 同理,f?3?-f?11?=f?4?, ? ? ? ? ? ? 1 1 1 f?4?-f?19?=f?5?, ? ? ? ? ? ? 1 1 1 ∴f?2?-f?11?-f?19? ? ? ? ? ? ? 1 1 =2f?5?=2× =1. ? ? 2

第五节 二次函数与幂函数

[备考方向要明了]

考 什 么 1.了解幂函数的概念.

怎 么 考

1.以集合为载体, 考查二次方程的解集, 二次函数的 1 2.结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y= , 定义域、值域或二次不等式的解集,如 2012 年新课 x
1

y=x 2 的图象,了解它们的变化情况. 3.掌握二次函数的概念、图象特征. 4.掌握二次函数的对称性和单调性,会 求二次函数在给定区间上的最值. 5.掌握二次函数、二次方程、二次不等 式之间的密切关系, 提高解综合问题的 能力.

标全国 T1,北京 T1 等. 2.以二次函数的图象为载体, 利用数形结合的思想解 决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的 最值以及与此有关的参数范围的问题,如 2012 年北 京 T4 等. 3.一元二次方程根的分布也是高考考查的重点,如 2012 年江苏 T13 等.

[归纳· 知识整合] 1.二次函数的解析式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:若二次函数的顶点坐标为(h,k),则其解析式为 f(x)=a(x-h)2+k(a≠0); (3)两根式:若相应一元二次方程的两根为 x1 ,x2 ,则其解析式为 f(x)=a(x-x1)(x- x2)(a≠0). 2.二次函数的图象和性质 a>0 图象 定义域 值域 X∈R a<0

?4ac-b ,+∞? ? 4a ?
b 在?-∞,-2a?上递减,在 ? ?

2

?-∞,4ac-b ? 4a ? ?
b 在?-∞,-2a?上递增,在 ? ?

2

单调性

?- b ,+∞?上递增 ? 2a ?

?- b ,+∞?上递减 ? 2a ?

奇偶性

b=0 时为偶函数,b≠0 既不是奇函数也不是偶函数 b ①对称轴:x=- ; 2a

图象特点

2 b 4ac-b ? ②顶点:?- , 4a ? ? 2a

[探究] 意义如何?

1.ax2+bx+c>0(a≠0)与 ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件分别是什么?其几何

?a>0, ? 提示: (1)ax2+bx+c>0 恒成立的充要条件是? 其几何意义是抛物线恒在 x 轴上方; ? ?Δ<0, ?a<0, ? (2)ax2+bx+c<0 恒成立的充要条件是? 其几何意义是抛物线恒在 x 轴下方. ? ?Δ<0,

3.幂函数的定义 形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数. 4.五种幂函数的图象

5.五种幂函数的性质 函数 特征 性质 定义域 (-∞,0)∪ R R R [0,+∞) (0,+∞) 值域 奇偶性 (-∞,0)∪ R 奇 [0,+∞) 偶 R 奇 [0,+∞) (0,+∞) 非奇非偶 奇 x∈(0,+∞) 单调性 增 x∈[0,+∞) 时,增 x∈(-∞,0] 时,减 增 增 时,减 x∈(-∞,0) 时,减 y=x y=x2 y=x3
1

y=x 2

y=x

-1

[探究] 2.为何幂函数在第四象限没有图象?幂函数的图象最多出现在几个象限内? 提示:幂函数 y=xα,当 x>0 时,根据幂运算,幂函数 y=xα>0 恒成立,所以幂函数在第 四象限没有图象;幂函数的图象最多只能出现在两个象限内. 1 1 3.函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x ,y= 在区间(0,1)上图象的上、下位置与幂指数的大 2 x 小有什么关系? 提示:在区间(0,1)上幂指数越大其图象越靠下. [自测· 牛刀小试] 1.如果二次函数的图象开口向上且关于直线 x=1 对称,且过点(0,0),则此二次函数的 解析式为( ) B.f(x)=-(x-1)2+1 D.f(x)=(x-1)2-1

A.f(x)=x2-1 C.f(x)=(x-1)2+1

解析: D 由图象开口向上且关于直线 x=1 对称, 选 可排除 A、 选项; B 由图象过点(0,0) 可排除 C 选项. 2.已知函数 f(x)=ax2+x+5 在 x 轴上方,则 a 的取值范围是( )

1 A.?0,20? ? ? 1 C.?20,+∞? ? ?

1 B.?-∞,-20? ? ? 1 D.?-20,0? ? ?

解析:选 C ∵函数 f(x)=ax2+x+5 在 x 轴上方,
?a>0, ? 1 ∴? 即 a> . 20 ? ?Δ=1-20a<0,

3.(教材习题改编)已知函数 y=x2-2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围为( A.[0,1] C.(1,2] ) B.[1,2] D.(1,2)

解析:选 B 如图,由图象可知 m 的取值范围[1,2].

4.(教材习题改编)如图中曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象.已知 1 n 取± 2,± 四个值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 n 值依次为( 2 1 1 A.-2,- , ,2 2 2 1 1 C.- ,-2,2, 2 2 1 1 B.2, ,- ,-2 2 2 1 1 D.2, ,-2,- 2 2 )

解析:选 B 由幂函数图象及其单调性之间的关系可知,曲线 C1,C2,C3,C4 所对应的 1 1 n 依次为 2, ,- ,-2. 2 2 5.(教材习题改编)下列函数是幂函数的序号是________. 3 - ①y=2x;②y=2x 1;③y=(x+2)2;④y= x2; ⑤y= 1 . x

2 1 1 3 解析:y= x2=x ,y= =x- 故④⑤为幂函数. 3 2 x 答案:④⑤

二次函数的解析式

[例 1] 已知二次函数 f(x)同时满足以下条件: (1)f(1+x)=f(1-x); (2)f(x)的最大值为 15; (3)f(x)=0 的两根的立方和等于 17. 求 f(x)的解析式. [自主解答] 依条件,设 f(x)=a(x-1)2+15(a<0), 即 f(x)=ax2-2ax+a+15. 令 f(x)=0,即 ax2-2ax+a+15=0, 15 则 x1+x2=2,x1x2=1+ . a 而 x3+x3=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2) 1 2 15 90 =23-3×2×?1+ a ?=2- . ? ? a 90 即 2- =17,则 a=-6. a 故 f(x)=-6x2+12x+9.

在本例条件下,若 g(x)与 f(x)的图象关于坐标原点对称,求 g(x)的解析式. 解: p(x, 设 y)是函数 g(x)图象上的任意一点, 它关于原点对称的点 p′(-x, -y)必在 f(x) 的图象上. 则-y=-6(-x)2+12(-x)+9, 即 y=6x2+12x-9. 故 g(x)=6x2+12x-9. ————— —————————————— 二次函数解析式的求法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:

1.已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3),它在 x 轴上截得的线段长为 2,并且对任意 x

∈R,都有 f(2-x)=f(2+x),求 f(x)的解析式. 解:∵f(2-x)=f(2+x)对 x∈R 恒成立,∴f(x)的对称轴为 x=2. 又∵f(x)图象被 x 轴截得的线段长为 2,∴f(x)=0 的两根为 1 和 3. 设 f(x)的解析式为 f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0). 又∵f(x)的图象过点(4,3), ∴3a=3,a=1.∴所求 f(x)的解析式为 f(x)=(x-1)· (x-3),即 f(x)=x2-4x+3. 二次函数的图象和性质

[例 2]

(2013· 盐城模拟)已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].

(1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间. [自主解答] (1)当 a=-2 时, f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1. 又∵x∈[-4,6], ∴函数 f(x)在[-4,2]上为减函数,在[2,6]上为增函数. ∴f(x)max=f(-4)=(-4-2)2-1=35, f(x)min=f(2)=-1. (2)∵函数 f(x)=x2+2ax+3 的对称轴为 x=-a, 且 f(x)在[-4,6]上是单调函数, ∴-a≥6 或-a≤-4,即 a≤-6 或 a≥4. (3)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6],
?x2+2x+3,x∈?0,6], ? 且 f(x)=? 2 ? ?x -2x+3,x∈[-6,0],

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0]. ————— —————————————— 解决二次函数图象与性质时的注意点 (1)分析二次函数的图象,主要有两个要点:一个是看二次项系数的符号,它确定二次函 数图象的开口方向;二是看对称轴和最值,它确定二次函数的具体位置.对于函数图象判断 类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断,如函数图象与正半轴的交点,函数图象的最 高点与最低点等. ?2?抛物线的开口,对称轴位置定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定一不 定,要注意分类讨论.

2.已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-m· 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围. x 解:(1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a. 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数,
?f?3?=5, ?9a-6a+2+b=5, ?a=1, ? ? ? 故? ?? ?? ? ? ? ?f?2?=2, ?4a-4a+2+b=2, ?b=0.

当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数,
? ? ? ?f?3?=2, ?9a-6a+2+b=2, ?a=-1, 故? ?? ?? ?f?2?=5, ?4a-4a+2+b=5, ?b=3. ? ? ?

(2)∵b<1,∴a=1,b=0,即 f(x)=x2-2x+2. g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2, ∵g(x)在[2,4]上单调, ∴ 2+m m+2 ≤2 或 ≥4.∴m≤2 或 m≥6. 2 2 幂函数的图象和性质

1 2 [例 3] 已知幂函数 f(x)的图象经过点? , ?,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图象上 ?8 4 ? 的任意不同两点,给出以下结论: ①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2); ③ f?x1? f?x2? f?x1? f?x2? > ;④ < . x1 x2 x1 x2 ) B.①③ D.②③
1

其中正确结论的序号是( A.①② C.②④

1 1 1 2 1 [自主解答] 法一:依题意,设 f(x)=x ,则有?8?α= ,即?8?α=?8? 2 ,所以 α= ,于 ? ? ? ? ? ? 4 2
α

是 f(x)=x .
1

1 2

由于函数 f(x)=x 2 在定义域[0,+∞)内单调递增,所以当 x1<x2 时,必有 f(x1)<f(x2),从 f?x1? f?x2? 而有 x1f(x1)<x2f(x2),故②正确;又因为 , 分别表示直线 OP、OQ 的斜率,结合函数 x1 x2 f?x1? f?x2? 图象,容易得出直线 OP 的斜率大于直线 OQ 的斜率,故 > ,所以③正确. x1 x2

1 1 2 1 1 法二:设 f(x)=x ,则有?8?α= 即?8?α=?8? 2 ,所以 α= ,所以 f(x)=x 2 .设 g(x)=xf(x) ? ? 4 ? ? ? ? 2
α

1

1

=x ,因为 g(x)=x 在定义域内是增函数,当 x1<x2 时,必有 x1f(x1)<x2f(x2),
? ? f?x? 所以②正确;设 h(x)= 即 h(x)=x 2 ,因为 h(x)=x 2 在定义域内是减函数,所以当 x 1 1

3 2

3 2

f?x1? f?x2? x1<x2 时, > ,所以③正确. x1 x2 [答案] D ————— —————————————— 幂函数 y=xα 图象的特征 (1)α 的正负;α>0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0 时,图象不过 原点,在第一象限的图象下降,反之也成立. (2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1 时,曲线下凸; 0<α<1 时,曲线上凸;α<0 时,曲线下凸. (3)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内. (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.

3.幂函数 y=xm

2-2m-3

(m∈Z)的图象如图所示,则 m 的值为(

)

A.-1<m<3 C.1

B.0 D.2

解析:选 C 从图象上看,由于图象不过原点,且在第一象限下降,故 m2-2m-3<0, 即-1<m<3;又从图象看,函数是偶函数,故 m2-2m-3 为负偶数,将 m=0,1,2 分别代入, 可知当 m=1 时,m2-2m-3=-4,满足要求. 4.当 0<x<1 时,f(x)=x1.1,g(x)=x0.9,h(x)=x
-2

的大小关系是________.

解析:如图所示为函数 f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象,由此可知 h(x)>g(x)>f(x). 答案:h(x)>g(x)>f(x)

? 1 类最值——二次函数在给定区间上的最值

二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值,且只能在区间的端点或顶点处取得.对于 “轴变区间定”和“轴定区间变”两种情形,要借助二次函数的图象特征,抓住顶点的横坐 标是否属于该区间,结合函数的单调性进行分类讨论求解. ? 2 种思想——数形结合与分类讨论思想 (1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候 常常要结合图形寻找思路. (2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称轴 与给定区间的位置关系,讨论二次不等式根的大小等. ? 5 种方法——二次函数对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x)定义域内所有 x,都有 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)图象的对称 x1+x2 轴方程为 x= . 2 (2)对于二次函数 y=f(x)定义域内所有 x,都有 f(a+x)=f(a-x)成立,那么函数 y=f(x)图 象的对称轴方程为 x=a(a 为常数). (3)对于二次函数 y=f(x)定义域内所有 x,都有 f(x+2a)=f(-x),那么函数 y=f(x)图象的 对称轴方程为 x=a(a 为常数). 注意:(2)(3)中,f(a+x)=f(a-x)与 f(x+2a)=f(-x)是等价的. b (4)利用配方法求二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴方程为 x=- . 2a (5)利用方程根法求对称轴方程.若二次函数 y=f(x)对应方程 f(x)=0 的两根为 x1,x2,那 x1+x2 么函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x= . 2

数学思想——分类讨论在求二次函数最值中的应用 二次函数在闭区间上的最值问题,一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值, 当函数解析式中含有参数时,要根据参数的最值情况进行分类讨论. [典例] (2013· 青岛模拟)已知 f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求 f(x)的最小值. [解] (1)当 a=0 时,f(x)=-2x 在[0,1]上递减,

∴f(x)min=f(1)=-2. 1 (2)当 a>0 时,f(x)=ax2-2x 的图象的开口方向向上,且对称轴为 x= . a 1 ①当 ≤1,即 a≥1 时,f(x)=ax2-2x 的图象对称轴在[0,1]内, a 1 1 ∴f(x)在?0,a?上递减,在?a,1?上递增. ? ? ? ?

1 1 2 1 ∴f(x)min=f?a?= - =- . ? ? a a a 1 ②当 >1,即 0<a<1 时,f(x)=ax2-2x 的图象对称轴在[0,1]的右侧, a ∴f(x)在[0,1]上递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2. 1 (3)当 a<0 时,f(x)=ax2-2x 的图象的开口方向向下,且对称轴 x= <0,在 y 轴的左侧, a ∴f(x)=ax2-2x 在[0,1]上递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2.

?a-2,a<1, ? 综上所述 f(x)min=? 1 ? ?-a,a≥1.
[题后悟道] 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(不妨设 a>0)在区间[m,n]上的最大或最小值如下: (1)当- b ∈[m,n],即对称轴在所给区间内时,f(x)的最小值在对称轴处取得,其值是 2a

b 4ac-b2 f?-2a?= ,f(x)的最大值在离对称轴较远的端点处取得,它是 f(m),f(n)中的较大者. ? ? 4a b b (2)当- ?[m,n],即给定的区间在对称轴的一侧时,f(x)在[m,n]上是单调函数.若- 2a 2a b <m,f(x)在[m,n]上是增函数,f(x)的最小值是 f(m),最大值是 f(n);若 n<- ,f(x)在[m,n] 2a 上是减函数,f(x)的最小值是 f(n),最大值是 f(m). [变式训练] 1.设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值 g(a). 解:∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线 x=1,而 x=1 不一定在区间[-2, a]内,应进行讨论.而-2<a<1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x=a 时,ymin=a2-2a; 当 a≥1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时,ymin=-1.
?a2-2a,-2<a<1, ? 综上,g(a)=? ? ?-1,a≥1.

2.(2013· 玉林模拟)是否存在实数 a,使函数 f(x)=x2-2ax+a 的定义域为[-1,1]时,值 域为[-2,2]?若存在,求 a 的值;若不存在,说明理由. 解:f(x)=x2-2ax+a=(x-a)2+a-a2. 当 a<-1 时,f(x)在[-1,1]上为增函数,
? ?f?-1?=1+3a=-2, ∴? 解得 a=-1(舍去); ?f?1?=1-a, ?

?f?a?=a-a2=-2, ? 当-1≤a≤0 时,? 解得 a=-1. ? ?f?1?=1-a=2,
2 ? ?f?a?=a-a =-2, 当 0<a≤1 时,? a 不存在. ? ?f?-1?=1+3a=2,

当 a>1 时,f(x)在[-1,1]上为减函数,
?f?-1?=1+3a=2, ? ∴? a 不存在. ? ?f?1?=1-a,

综上可知 a=-1.

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1 1 1.幂函数 y=f(x)的图象经过点?4,2?,则 f?4?的值为( ? ? ? ? A.1 C.3
α α

)

B.2 D.4
1 1

? 1 1 ? 1 1 解析:选 B 设 f(x)=x ,则 4 = ,α=- ,即 f(x)=x 2 ,于是 f?4?=?4? 2 =2. ? ? ? ? 2 2

2.(2013· 临沂模拟)已知函数 y=ax2+bx+c,如果 a>b>c,且 a+b+c=0,则它的图象 是( )

解析:选 D ∵a>b>c,a+b+c=0,∴a>0,c<0,∴y=ax2+bx+c 的开口向上,且与 y 轴的交点(0,c)在负半轴上. 3.已知函数 f(x)=x2+bx+c 且 f(1+x)=f(-x),则下列不等式中成立的是( A.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(-2)<f(2) C.f(0)<f(2)<f(-2) D.f(2)<f(0)<f(-2) 解析:选 C ∵f(1+x)=f(-x), ∴(x+1)2+b(x+1)+c=x2-bx+c. ∴x2+(2+b)x+1+b+c=x2-bx+c. ∴2+b=-b,即 b=-1. )

1 ∴f(x)=x2-x+c,其图象的对称轴为 x= . 2 ∴f(0)<f(2)<f(-2). 4.若二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)等于( b A.- 2a C.c b B.- a 4ac-b2 D. 4a )

b b 解析:选 C ∵f(x1)=f(x2)且 f(x)的图象关于 x=- 对称,∴x1+x2=- . 2a a b b2 b ∴f(x1+x2)=f?-a?=a·2-b·+c=c. ? ? a a 5.已知函数 f(x)=x2+x+c,若 f(0)>0,f(p)<0,则必有( A.f(p+1)>0 C.f(p+1)=0 B.f(p+1)<0 D.f(p+1)的符号不能确定 )

1 解析:选 A 函数 f(x)=x2+x+c 的对称轴为 x=- ,又因为 f(0)>0,f(p)<0,故-1 2 <p<0,p+1>0,所以 f(p+1)>0. 6. 若方程 x2-2mx+4=0 的两根满足一根大于 1, 一根小于 1, m 的取值范围是( 则 5 A.?-∞,-2? ? ? C.(-∞,-2)∪(2,+∞) 5 B.?2,+∞? ? ? 5 D.?-2,+∞? ? ? )

5 解析: B 设 f(x)=x2-2mx+4, 选 则题设条件等价于 f(1)<0, 1-2m+4<0, 即 解得 m> . 2 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.(2012· 江苏高考)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的 不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________. a2 解析:因为 f(x)的值域为[0,+∞),所以 Δ=0,即 a2=4b,所以 x2+ax+ -c<0 的解 4 a2 集为(m,m+6),易得 m,m+6 是方程 x2+ax+ -c=0 的两根,由一元二次方程根与系数 4

?2m+6=-a, ? 的关系得? 解得 c=9. a2 m?m+6?= -c, ? 4 ?
答案:9 8.若二次函数 f(x)=ax2+2x+c 的值域是[0,+∞),则 a+c 的最小值为________. 4ac-4 解析:由已知 a>0, =0, 4a

∴ac=1,c>0. ∴a+c≥2 ac=2.当且仅当 a=c=1 时,取等号, ∴a+c 的最小值为 2. 答案:2 9. 已知函数 y= mx2+?m-3?x+1的值域是[0, +∞), 则实数 m 的取值范围是________. 解析:当 m=0 时,y= -3x+1,显然成立. 当 m≠0 时,要使 y∈[0,+∞),
?m>0, ? 只要? 2 ? ?Δ=?m-3? -4×m×1≥0,

解得 0<m≤1 或 m≥9. 综上 m 的取值范围是[0,1]∪[9,+∞). 答案:[0,1]∪[9,+∞) 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且 f(x)>-2x 的解集为{x|1<x<3},方程 f(x)+ 6a=0 有两相等实根,求 f(x)的解析式. 解:设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3)(a<0), 则 f(x)=ax2-4ax+3a-2x, f(x)+6a=ax2-(4a+2)x+9a,Δ=(4a+2)2-36a2=0, 16a2+16a+4-36a2=0,20a2-16a-4=0, 5a2-4a-1=0,(5a+1)


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