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河北省唐山市2015届高考数学三模试卷(文科)



河北省唐山市 2015 届高考数学三模试卷(文科)
一、选择题(本大题共 13 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)集合 A={﹣1,0,1,2,3},B={﹣2,﹣1,0,1},则图中阴影部分表示的集合为

() A.{﹣1,0,1} B.{2,3} C.{﹣2,2,3}

D.{﹣1,0,1,2,3}

2. (5 分)设函数 f(x) ,g(x)的定义域都为 R,且 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则 下列结论中正确的是() A.f(x)sinx 为奇函数 B. f(x)+cosx 为偶函数 C. g(x)sinx 为为偶函数 D.g(x)+cosx 为偶函数 3. (5 分)i 为虚数单位, (1+i) =(1﹣i) ,则|z|=() A.1 B. 2 C. 4. (5 分)执行如图所示的程序框图,结果是()
2

D.

A.

B.

C.

D.

5. (5 分)设 a=logπ3,b=log3π,c=lnπ,则() A.c>a>b B.b>c>a C.c>b>a 6. (5 分)在等差数列{an}中,a3=5,a4+a8=22,则{ A. B. C.

D.b>a>c }的前 20 项和为() D.

7. (5 分)已知函数 f(x)=cos(2x﹣ 种可以与 g(x) 的图象重合() A.向左平移 C. 向右平移 个单位 个单位

) ,g(x)=sin2x,将函数 f(x)的图象经过下列哪

B. 向左平移 D.向右平移

个单位 个单位

8. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则其体积为()

A. (π+1)

B. (π+1)

C. (π+ )

D. (π+ )

9. (5 分)向量 、 满足| |=| + |=|2 + |=1,则| |=() A.1 B. C. D.2

10.向量 、 满足:| |=| + |=|2 + |=1,则 与 的夹角为() A.150° B.60° C.30° D.45°

11. (5 分)实数 x,y 满足

,则 z=ax+y 的最大值为 2a+3,则 a 的取值范围是

() A.

B.

C.

12. (5 分)异面直线 l 与 m 成 60°,异面直线 l 与 n 成 45°,则异面直线 m 与 n 成角范围是() A. B. C. D. 13. (5 分)函数 f(x)=e +a,g(x)=|lnx|,若 x1,x2 都满足 f(x)=g(x) ,则() ﹣1 ﹣1 A.x1?x2>e B.1<x1?x2<e C.0<x1?x2<e D.e <x1?x2<1
﹣x

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 14. (5 分)设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,公比 q=2,S5=93,则 a4=. 15. (5 分)已知 F 是抛物线 y =8x 的焦点,M 是抛物线上的点且|MF|=3,N(﹣2,0) ,则直 线 MN 的斜率为.
2

16. (5 分)已知 a>1,则

的最小值为.

17. (5 分)等边三角形 ABC 的顶点 A,B 在圆 O:x +y =1 上,则|OC|的最大值为.

2

2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 2 2 2 18. (12 分)在△ ABC 中,A,B,C 所对边分别为 a,b,c.2c ﹣2a =b . (Ⅰ)证明:2ccosA﹣2acosC=b; (Ⅱ)若 tanA= ,求角 C 的大小.

19. (12 分)某市教育部门对甲校四年级学生进行体育学科测试,随机抽取 15 名学生的测试 成绩,绘制茎叶图如图: (Ⅰ)依据上述数据,估计甲校此次的体育平均成绩 ; (Ⅱ) 从得分在 70~80 之间的学生中随机抽取两名学生, 记这两名学生的平均成绩为 , 求| ﹣ |≤1 的概率.

20. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 BCC1B1 是矩形,截面 A1BC 是等边三角 形. (Ⅰ)求证:AB=AC; (Ⅱ)若 AB⊥AC,三棱柱的高为 1,求 C1 点到截面 A1BC 的距离.

21. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,直线 l 与椭圆 C 有唯一公共点 M,当点 M

的坐标为(

, )时,l 的方程为

x+2y﹣4=0.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 l 的斜率为 k, M 在椭圆 C 上移动时, 作 OH⊥l 于 H, (O 为坐标原点) , 当|OH|= |OM| 时,求 k 的值. 22. (12 分)已知 f(x)=e (x﹣a﹣1)﹣ x +ax,a>0. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 x∈(0,1)时,f(x)<﹣a﹣1,求 a 的取值范围.
x 2

请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 23. (10 分)如图,C 是⊙O 的直径 AB 上一点,CD⊥AB,与⊙O 相交于点 D,与弦 AF 交 于点 E,与 BF 的延长线交于点 G,GT 与⊙O 相切于点 T. 2 (Ⅰ)证明:CE?CG=CD ; (Ⅱ)若 AC=CO=1,CD=3CE,求 GT.

24.已知半圆 C: (x﹣2) +y =4(y≥0) ,直线 l:x﹣2y﹣2=0.以坐标原点 O 为极点,x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系. (I)写出 C 与 l 的极坐标方程;

2

2

(Ⅱ)记 A 为 C 直径的右端点,C 与 l 交于点 M,且 M 为圆弧 AB 的中点,求|OB|. 25.设 f(x)=|ax﹣1|+|x+2|, (a>0) . (I)若 a=1,时,解不等式 f(x)≤5; (Ⅱ)若 f(x)≥2,求 a 的最小值.

河北省唐山市 2015 届高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 13 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)集合 A={﹣1,0,1,2,3},B={﹣2,﹣1,0,1},则图中阴影部分表示的集合为

() A.{﹣1,0,1} B.{2,3} C.{﹣2,2,3} D.{﹣1,0,1,2,3}

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 分析: 由图象可知阴影部分对应的集合为 A∩(?UB) ,然后根据集合的基本运算求解即可. 解答: 解:由 Venn 图可知阴影部分对应的集合为 A∩(?UB) , ∵A={﹣1,0,1,2,3},B={﹣2,﹣1,0,1}, ∴?UB={x|x≠﹣2,x≠﹣1,x≠0,x≠1}, 即 A∩(?UB)={2,3}, 故选:B 点评: 本题主要考查集合的基本运算,根据图象先确定集合关系是解决本题的关键,比较 基础. 2. (5 分)设函数 f(x) ,g(x)的定义域都为 R,且 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则 下列结论中正确的是() A.f(x)sinx 为奇函数 B. f(x)+cosx 为偶函数 C. g(x)sinx 为为偶函数 D.g(x)+cosx 为偶函数 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶 函数的积是奇函数,两个偶函数的和还是偶函数,两个奇函数的和是奇函数,从而得出结论. 解答: 解:∵函数 f(x) ,g(x)的定义域都为 R,且 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,g(﹣x)=g(x) ∵sin(﹣x)=﹣sinx,cos(﹣x)=cosx,

∴f(x)si nx 为偶函数;g(x)sinx 为奇函数; f(x)+cosx 不是奇函数,也不是偶函数; g(x)+cosx 为偶函数, 故选:D 点评: 本题主要考查函数的奇偶性,注意利用函数的奇偶性规律,属于基础题. 3. (5 分)i 为虚数单位, (1+i) =(1﹣i) ,则|z|=() A.1 B. 2 C. 考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 通过设 z=a+bi,可得 =a﹣bi,利用(1+i) =(1﹣i) ,可得 =﹣1﹣i,进而可得 结论. 解答: 解:设 z=a+bi,则 =a﹣bi, 2 ∵(1+i) =(1﹣i) , ∴ = ∴z=﹣1+i, ∴ |z|= = , = = = = = =﹣1﹣i,
2 2

D.

故选:C. 点评: 本题考查求复数的模,注意解题方法的积累,属于基础题. 4. (5 分)执行如图所示的程序框图,结果是()

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 i,a,S 的值,当 i=4 时满足条件 i>3, 退出循环,输出 S 的值为 .

解答: 解:模拟执行程序框图,可得 S=0,i=0 i=1 a= ,S= , 不满足条件 i>3,i=2,a= ,S= 不满足条件 i>3,i=3,a= 不满足条件 i>3,i=4,a= ,S= ,S= .

满足条件 i>3,退出循环,输出 S 的值为

故选:A. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的 i,a,S 的值是 解题的关键,属于基础题. 5. (5 分)设 a=logπ3,b=log3π,c=lnπ,则() A.c>a>b B.b>c>a C.c>b>a

D.b> a>c

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由利用三个数与 1 的大小关系,以及对数的运算性质,能够比较 a,b,c 的大小. 解答: 解:∵a=logπ3<log33=1, b=log3π>log33= 1, c=lnπ=logeπ>log3π=b, ∴a<b<c. 故选:C. 点评: 本题考查对数值大小的比较,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意对数 函数性质的灵活运用. 6. (5 分)在等差数列{an}中,a3=5,a4+a8=22,则{ A. B. C. }的前 20 项和为() D.

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知列式求出等差数列的首项和公差,得到等差数列的通项公式,再由裂项相消 法求得{ }的前

20 项和. 解答: 解:在等差数列{an}中,由 a4+a8=22,得 2a6=22,a6=11.

又 a3=5,得 d= { = }的前 20 项和为:

,∴a1=a3﹣2d=5﹣4=1.

=



故选:B. 点评: 本题考查等差数列的通项公式,考查了裂项相消法求数列的和,是中档题.

7. (5 分)已知函数 f(x)=cos(2x﹣ 种可以与 g(x) 的图象重合() A.向左平移 C. 向右平移 个单位 个单位

) ,g(x)=sin2x,将函数 f(x)的图象经过下列哪

B. 向左平移 D.向右平移

个单位 个单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:把函数 f(x)=cos(2x﹣ 可得函数 y=cos=cos(2x﹣ )的图象向右平移 个单位,

)=sin2x=g(x)的图象,

故选:C. 点评: 本题主要考查 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 8. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则其体积为()

A. (π+1)

B. (π+1)

C. (π+ )

D. (π+ )

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离.

分析: 由三视图可知,该几 何体为组合体,上部 为半球,半径为 1;下部为正四棱锥,底 面正方形的边长为 ,高为 1;从而求体积. 解答: 解:由三视图可知, 该几何体为组合体,上部为半球,半径为 1; 下部为正四棱锥,底面正方形的边长为 ,高为 1; 故其体积 V= × ×π×1 + ×
3

×1= (π+1) ;

故选 B. 点评: 本题考查了学生的空间想象力及计算能力,属于基础题.

9. (5 分)向量 、 满足| |=| + |=|2 + |=1,则| |=() A.1 B. C. D.2

考点: 向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得 和| | 的方程组,解方程组可得.
2

解答: 解:∵向量 、 满足| |=| + |=|2 + |=1, ∴| + | =1,|2 + | =1, ∴1+2 +| | =1,4+4 =﹣3,
2 2 2 2 2

+| | =1,

2

两式相减可得 2 代入 1+2 ∴| |= ,

+| | =1 可得| | =3,

故选:C. 点评: 本题考查向量的模长,涉及数量积的运算和方程组的解法,属基础题.

10.向量 、 满足:| |=| + |=|2 + |=1,则 与 的夹角为() A.150° B.60° C.30° D.45°

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 将已知等式平方得到向量的模与数量积的等式,根据数量积公式得到所求. 解答: 解:由已知| |=| + |=|2 + |=1,得到:| | =| + | =|2 + | =1,所以 ,
2 2 2



所以

,所以 与 的夹角为 150°;

故选:A. 点评: 本题考查了平面向量的夹角,运用了数量积公式以及向量的平方等于模的平方.

11. (5 分)实数 x,y 满足

,则 z=ax+y 的最大值为 2a+3,则 a 的取值范围是

() A.

B.

C.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件的平面区域, 然后分析平面区域里各个角点,进一步分目标函数 z=ax+y 的最大值为 a+3,构造一个关于 a 的不等式,解不等式即可求出 a 的范围.

解答: 解:由变量 x,y 满足约束条件



作出可行域:

∵z=ax+y,A(0,1) ,∴zA=1; 解方程组 ,得 B(2,3) ,∴zB=2a+3;

C(3,0) ,∴zC=3a. ∵线性目标函数 z=ax+y 的最大值为 2a+3, ∴ 故选:B. ,解得﹣1≤a≤3.

点评: 在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行 域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证,求出最优解. 12. (5 分)异面直线 l 与 m 成 60°,异面直线 l 与 n 成 45°,则异面直线 m 与 n 成角范围是() A. B. C. D. 考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 由题意画出图形,通过直线的平移,可得过直线 l 上的任意一点作 m,n 的平行线, 若 m,n 的平行线与 l 共面,可得异面直线 m 与 n 成角最小为 15°;否则,可得到 m,n 能够 构成两条异面直线所成的最大角 90°. 解答: 解:如图,

在直线 l 任取一点 O, 过 O 作 m′∥m,作 n′∥n,当 m′、n′、l 三线共面时,m′与 n′所成角最小为 15°,即异面直线 m 与 n 成角最小为 15°; 当 n′不在 l 与 m′所确定的平面 α 内时,过 O 作平面 β,使 m′⊥β,则 l 为平面 β 的一条斜线, 在 β 内存在与 l 成 45°角的直线 n′, ∴m′与 n′所成角最大为 90°,即异面直线 m 与 n 成角最小为 90°. 故选:A. 点评: 本题考查异面直线所成的角,考查学生的空间想象能力和思维能力,属中档题. 13. (5 分)函数 f(x)=e +a,g(x)=|lnx|,若 x1,x2 都满足 f(x)=g(x) ,则() ﹣1 ﹣1 A.x1?x2>e B.1<x1?x2<e C.0<x1?x2<e D.e <x1?x2<1 考点: 对数函数的图像与性质;指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 画出图象得出 f(x1)=g(x1) ,f(x2)=g(x2) ,x1>1,0<x2<1,利用图象得出范 围﹣1<e =lnx1x2<0,求解即可得出 e <x1x2<1.
﹣x ﹣1 ﹣x

解答: 解:∵函数 f(x)=e +a,g(x)=|lnx|,

∵f(x1)=g(x1) ,f(x2)=g(x2) ,x1>1,0<x2<1 ∴e 即﹣1<e
﹣1

+a=lnx1,e

+a=﹣lnx2, =lnx1x2<0,

e <x1x2<1, 故选:D. 点评: 本题考查了函数的性质,函数的零点的求解,学生运用函数图象解决问题的能力, 观察变化的能力,属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 14. (5 分)设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,公比 q=2,S5=93,则 a4=24. 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据题意和等比数列的前 n 项和公式列出方程求出 a1,再由等比数列的通项公式求 出 a4. 解答: 解:设等比数列{an}的首项为 a1, 因为公比 q=2,S5=93,所以 ,

解得 a1=3, 3 所以 a4=3×2 =24, 故答案为:24. 点评: 本题考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式的应用,属于基础题.

15. (5 分)已知 F 是抛物线 y =8x 的焦点,M 是抛物线上的点且|MF|=3,N(﹣2,0) ,则直 线 MN 的斜率为± .

2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用|MF|=3,计算可得 M(1,±2 解答: 解:设 M( ∵|MF|= ∴|MF|=3= 解得:y=±2 +2, ,∴M(1,±2 ) , =±

) ,进而可得结论.

,y) ,由题可知 F(2,0) , = +2,

又∵N(﹣2,0) ,∴kMN= 故答案为:± .



点评: 本题考查抛物线中直线的斜率,注意解题方法的积累,属于中档题.

16. (5 分)已知 a>1,则

的最小值为 4.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 变形利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵a>1,则 仅当 a=2 时取等号. ∴则 的最小值为 4. = =a﹣1+ +2 +2=4,当且

故答案为:4. 点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 17. (5 分)等边三角形 ABC 的顶点 A,B 在圆 O:x +y =1 上,则|OC|的最大值为 2. 考点: 圆的标准方程. 专题: 数形结合法;导数的概念及应用;直线与圆. 分析: 根据题意画出图形,利用圆与等边三角形的对称性得出|OC|取最大值时,OC 过 AB 的中点 M,
2 2

设|AB|=x,表示出|OC|的大小,借助于导数求出|OC|的最大值. 解答: 解:等边三角形 AB C 的顶点 A,B 在圆 O:x +y =1 上,如图所示;
2 2

⊥ 根据圆与等边三角形的对称性知, 当|OC|取最大值时,OC 过 AB 的中点 M, 设|AB|=x,则|CM|= x,

|OM|= ∴|OC|=|OM|+|CM| = = ( 设 y= + + + x

=



x) ,0<x≤2; x, (0<x≤2) ,

∴y′= ?

?(﹣2x)+

=



令 y′=0,得﹣x+

?

=0,

解得 x=± ,应取 x= ; 当 x∈(0, )时,y′>0,y 是增函数, 当 x∈( ,2]时,y′<0,y 是减函数, ∴当 x= 时,y 取得最大值为 ymax= + × =4,

∴|OC|的最大值为 2. 故答案为:2. 点评: 本题考查了直线与圆的方程的应用问题,也考查了数形结合的应用问题,考查了利 用导数求函数最值的应用问题,是综合性题目. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

18. (12 分)在△ ABC 中,A,B,C 所对边分别为 a,b,c.2c ﹣2a =b . (Ⅰ)证明:2ccosA﹣2acosC=b; (Ⅱ)若 tanA= ,求角 C 的大小.

2

2

2

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用余弦定理把等号左边进行整理,把 cosA 和 cosC 代入. (Ⅱ)利用正弦定理把(Ⅰ)结论中边转化成角的正弦,进而利用两角和公式化简整理,可求 得 sinCcosA=3sinAcosC,进而求得 tanC 和 tanA 的关系,求得 tanC,则 C 可得. 2 2 2 解答: (Ⅰ)证明:因为 2c ﹣2a =b , 所以 2ccosA﹣2acosC=2c? ﹣2a?

=



=

=b.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)和正弦定理以及 sinB=sin(A+C)得 2sinCcosA﹣2sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC, 即 sinCcosA=3sinAcosC, 又 cosAcosC≠0,所以 tanC=3tanA=1,故 C=45°. 点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.解题的关键是对正弦定理和余弦定理 能熟练灵活的运用. 19. (12 分)某市教育部门对甲校四年级学生进行体育学科测试,随机抽取 15 名学生的测试 成绩,绘制茎叶图如图: (Ⅰ)依据上述数据,估计甲校此次的体育平均成绩 ; (Ⅱ) 从得分在 70~80 之间的学生中随机抽取两名学生, 记这两名学生的平均成绩为 , 求| ﹣ |≤1 的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)读取茎叶图数据,求得平均数 (Ⅱ)列举从得分在 70~80 之间的学生中随机抽取两名学生的基本事件个数,满足| ﹣ |≤1 的结果个数得出结果. 解答: 解: (Ⅰ) = =77.…(5 分)

(Ⅱ)从得分在 70~80 之间的学生中随机抽取两名学生的基本事件:{75,77},{75,73}, {75,78},{75,79},{77,73},{77,78},{77,79},{73,78},{73,79},{78,79}共 10 个; 其中满足| ﹣ |≤1 的事件:{75,77},{75,78},{75,79},{77,78},{77,79},{73,79} 共 6 个. 所以满足| ﹣ |≤1 的概率 P= = .…(12 分)

点评: 本题主要考查茎叶图的读法和古典概型的求法,属于容易题型. 20. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 BCC1B1 是矩形,截面 A1BC 是等边三角 形. (Ⅰ)求证:AB=AC; (Ⅱ)若 AB⊥AC,三棱柱的高 为 1,求 C1 点到截面 A1BC 的距离.

考点: 点、线、面间的距离计算;棱柱的结构特征. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)取 BC 中点 O,连 OA,OA1.证明 BC⊥平面 A1OA,即可证明:AB=AC; (Ⅱ)利用等体积法,即可求 C1 点到截面 A1BC 的距离. 解答: (Ⅰ)证明:取 BC 中点 O,连 OA,OA1. 因为侧面 BCC1B1 是矩形,所以 BC⊥BB1,BC⊥AA1, 因为截面 A1BC 是等边三角形,所以 BC⊥OA1, 所以 BC⊥平面 A1OA,BC⊥OA,因此,AB=AC.…(5 分) (Ⅱ)解:设点 A 到截面 A1BC 的距离为 d, 由 VA﹣A1BC=VA1﹣ABC 得 S△ A1BC×d=S△ ABC×1, 得 BC×OA1×d=BC×OA×1,得 d= .

由 AB⊥AC,AB=AC 得 OA= BC, 又 OA1= BC,故 d= .

因为点 A 与点 C1 到截面 A1BC 的距离相等, 所以点 C1 到截面 A1BC 的距离为 .…(12 分)

点评: 本题考查线面垂直的判定与性质,考查等体积法的运用,考查学生分析解决问题的 能力,属于中档题.

21. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,直线 l 与椭圆 C 有唯一公共点 M,当点 M

的坐标为(

, )时,l 的方程为

x+2y﹣4=0.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 l 的斜率为 k, M 在椭圆 C 上移动时, 作 OH⊥l 于 H, (O 为坐标原点) , 当|OH|= |OM| 时,求 k 的值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)将 M 点坐标代入椭圆方程,同时联立直线 l 与椭圆方程,计算即得结论; 2 2 ( II)通过设直线 l 并与椭圆方程联立,利用△ =0,进而可得|OM| 、|OH| 的表达式,利用 |OH|= |OM|化简即得结论. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可得: + =1, (*)

将 x+2y﹣4=0 代入椭圆 C,有: 2 2 2 2 2 2 2 (3a +4b )x ﹣8 a x+16a ﹣4a b =0, 2 2 令△ =0 得:3a +4b =16, (**) 2 2 联立(*) 、 (**) ,解得:a =4,b =1, ∴椭圆 C 的方程为: +y =1;
2

( II)设直线 l:y=kx+m,M(x0,y0) . 2 2 2 将直线 l 的方程代入 椭圆 C 得: (1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0, 令△ =0,得 m =4k +1,且
2 2

=



∴|OM| =

2



又|OH| =

2

=



又∵|OH|= |OM|, ∴联立整理可得:16k ﹣8k +1=0, 解得:k=± . 点评: 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,考查分析问题、解决问 题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
x 2 4 2

22. (12 分)已知 f(x)=e (x﹣a﹣1)﹣ x +ax,a>0. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 x∈(0,1)时,f(x)<﹣a﹣1,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求导函数,根据导导函数和 0 的关系由此可得 f(x)的单调性; (Ⅱ)需要分类讨论,根据函数的单调求出函数的最值,即可求出 a 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=e (x﹣a)﹣x+a=(x﹣a) (e ﹣1) , 当 x∈(﹣∞,0)时,f′(x)>0,f(x)单增; 当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)单减; 当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单增. 所以,f(x)在(﹣∞,0)和(a,+∞)分别单调递增;在(0,a)单调递减. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知: 当 a≥1 时,f(x)在(0,1)单调递减,f(x)<f(0)=﹣a﹣1. 当 0<a<1 时,f(x)在(0,a)单调递减;在(a,1)单调递增, 则 f(x)<﹣a﹣1 当且仅当 f(1)=﹣ae+a﹣ ≤﹣a﹣1, 解得: ≤a<1.
x x

综上:a 的取值范围是 24.已知半圆 C: (x﹣2) +y =4(y≥0) ,直线 l:x﹣2y﹣2=0.以坐标原点 O 为极点,x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系. (I)写出 C 与 l 的极坐标方程; (Ⅱ)记 A 为 C 直径的右端点,C 与 l 交于点 M,且 M 为圆弧 AB 的中点,求|OB|. 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 三角函数的求值;坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 分别代入半圆 C 与直线 l 的方程中,整理得出它们的极 坐标方程; (Ⅱ) 由题意求出点 B 的极角 α 的正切值 tanα, 利用三角函数的关系求出 cosα, 即可计算|OB| 的值. 2 2 解答: 解: (Ⅰ)将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入半圆 C: (x﹣2) +y =4(y≥0)中, 2 2 (ρcosθ﹣2) +(ρsinθ) =4,
2 2

化简得 C 的极坐标方程为 C:ρ=4cosθ(0≤θ≤ ) ;

将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入直线 l:x﹣2y﹣2=0 中, 得 l 的极坐标方程为 l:ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0;…(4 分) (Ⅱ)根据题意,l 经过半圆 C 的圆心 C(2,0) , 设点 B 的极角为 α,则 tanα= , ∴ = ,

即 sinα= cosα, ∴sin α+cos α= cos α+cos α= cos α=1, ∴cos α= ; 又 α∈, ∴cosα= ; …(6 分)
2 2 2 2 2 2

∴由 C 的极坐标方程得 |OB|=ρ=4cosα=4× = . …(10 分)

点评: 本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程的互化和应用问题,也考查了三角函 数的求值问题,是综合性题目. 25.设 f(x)=|ax﹣1|+|x+2|, (a>0) . (I)若 a=1,时,解不等式 f(x)≤5; (Ⅱ)若 f(x)≥2,求 a 的最小值. 考点: 绝对值三角不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)分类讨论化简 f(x)的解析式,由 f(x)的单调性及 f(﹣3)=f(2)=5,得 f(x)≤5 的解集.

(Ⅱ)由 f(x)=

的单调性,以及 f(x)的图象连续不断,可

得要是 f(x)≥2,当且仅当 f(﹣2)≥2,且 f( )≥2,由此求得 a 的最小值.

解答: 解: (Ⅰ)若 a=1,f(x)=



由 f(x)的单调性及 f(﹣3)=f(2)=5,得 f(x)≤5 的解集为{x|﹣3≤x≤2}.

(Ⅱ)f(x)=



当 x∈(﹣∞,﹣2]时,f(x)单调递减;当 x∈[ ,+∞)时,f(x)单调递增, 又 f(x)的图象连续不断,所以 f(x)≥2,当且仅当 f(﹣2)=2a+1≥2,且 f( )= +2≥2, 求得 a≥ ,故 a 的最小值为 . 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,函数的单调性的应用,函数的恒成立问题,体 现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.



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