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北京市海淀区2013年高三4月一模数学文word版含答案



海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 (文科) 2013.4

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.
2 1

. 集合 A ? { x ? N | x ? 6}, B ? { x ? N | x ? 3 x ? 0} ,则 A ? B ?

A. {1, 2}

B. {3, 4 , 5}

C. {4 , 5, 6} D. {3, 4 , 5, 6}

2.等差数列 { a n } 中, a 2 ? 3, a 3 ? a 4 ? 9 , 则 a 1 a 6 的值为 A. 1 4 B. 1 8 C. 21 D.27

开始

输入 x

3. 某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的 x 值为 5,则输出的 y 值为 A.
1 2
x ? 0


x ? x?2

B.

1

C.

2

D. ? 1



y ? 2

x

4. 已知 a ? 0 ,下列函数中,在区间 ( 0, a ) 上一定是减函数的是 A. f ( x ) ? a x ? b
x C. f ( x ) ? a 2 B. f ( x ) ? x ? 2 a x ? 1

输出 y

结束

D. f ( x ) ? log a x

5.

? x ? 1, ? 不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 , ? kx ? y ? 0 ?

表示面积为 1 的直角三角形区域,则 k 的值为

A. 0

B. 1

C. 2

D.3

6. 命题 p : ? ? ? R , sin ( π ? ? ) ? cos ? ; 命题 q : ? m ? 0, 双曲线 则下面结论正确的是 A. p 是假命题 B. ? q 是真命题 C. p ? q 是假命题 D. p ? q 是真命题 7.已知曲线 f ( x ) ? ln x 在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线经过点 (0, ? 1) ,则 x 0 的值为 A.
1 e
2 8. 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P 为抛物线上的动点,点 M 为其准线上的动点,当 ? F P M 为等

x m

2 2

?

y m

2 2

?1

的离心率为 2 .

B. 1

C. e

D. 1 0

边三角形时,其面积为
高三数学(文科)试题第 1 页(共 9 页)

A. 2 3

B. 4

C. 6

D. 4 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 在复平面上,若复数 1+ b i ( b ? R )对应的点恰好在实轴上,则 b =_______. 10.若向量 a , b 满足 | a |? | b |? | a ? b |? 1 ,则 a ? b 的值为______.
2

11.某几何体的三视图如图所示,则它的体积为______. 12.在 ? A B C 中,若 a ? 4 , b ? 2 , c o s A ?
?2 ? a, ? f (x) ? ? 2 ? x ? ax ? a , ?
x

4 2 2 侧视图 4

1 4

,则 c ? _ _ _ _ _ _ .
2

4 主视图

13.已知函数

x ? 0, x ? 0

有三个不同的零点,则实数 a 的取

俯视图

值范围是_____. 14.已知函数 y ? f ( x ) ,任取 t ? R ,定义集合:
A t ? { y | y ? f ( x ) ,点 P ( t , f ( t )) , Q ( x , f ( x ))

满足 | P Q |?

2}

. 设 M t , m t 分别表示集合 A t

中元素的最大值和最小值,记 h ( t ) ? M t ? m t .则 (1) 若函数 f ( x ) ? x ,则 h (1) =______; (2)若函数 f ( x ) ? sin
π 2 x

,则 h ( t ) 的最小正周期为______.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 ? ( 3 sin x ? c os x ) 2 . (Ⅰ)求 f ( ) 的值和 f ( x ) 的最小正周期;
3 π

(Ⅱ)求函数在区间 [ ?

π π , ] 上的最大值和最小值. 6 3

高三数学(文科)试题第 2 页(共 9 页)

16. (本小题满分 13 分) 在某大学自主招生考试中, 所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表 达”两个科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下 图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (II)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学与逻辑” 科目的平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A. 在至少一科成绩为 A 的考生中, 随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.
频率
科目:数学与逻辑

频率

科目:阅读与表达

0 .3 7 5

0 .3 7 5

0 .2 5 0 0 .2 0 0
0 .1 5 0

0 .0 7 5
0 .0 2 5
等级 等级

17. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? A B C D 中, P A ? 平面 A B C D , ? A B C 是正三角形, A C 与 B D 的交点 M 恰好是 A C 中点, ? C A D ? 3 0 ? ,P A ? A B ? 4 , 又 点 N 在线段 P B 上,且
PN NB ? 1 3
P



N

(Ⅰ)求证: B D ? P C ; (Ⅱ)求证: M N / / 平面 P D C ; (Ⅲ)设平面 P A B ? 平面 P C D = l ,试问直线 l 是否与直线 C D 平行, 请说明理由.
B

A D M C

18. (本小题满分 13 分) 函数 f ( x ) ?
1 3 x ? kx
3

,其中实数 k 为常数.

(I) 当 k ? 4 时,求函数的单调区间; (II) 若曲线 y ? f ( x ) 与直线 y ? k 只有一个交点,求实数 k 的取值范围.
高三数学(文科)试题第 3 页(共 9 页)

19. (本小题满分 14 分) 已知圆 M : ( x ? 离心率为
2 2
2) ? y
2 2

?

7 3

,若椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? b ? 0

)的右顶点为圆 M 的圆心,

.

(I)求椭圆 C 的方程; (II)已知直线 l : y ? k x ,若直线 l 与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,与圆 M 分别交于 G , H 两点 (其中点 G 在线段 A B 上) ,且 A G ? B H ,求 k 的值.

20. (本小题满分 13 分) 设 A ( x A , y A ), B ( x B , y B ) 为平面直角坐标系上的两点,其中 x A , y A , x B , y B ? Z .令 ? x ? x B ? x A ,
?y ? yB ? y A

,若 ? x + ? y = 3 ,且 | ? x | ? | ? y |? 0 ,则称点 B 为点 A 的“相关点”,记作: B ? ? ( A ) .

(Ⅰ)请问:点 ( 0, 0 ) 的“相关点”有几个?判断这些点是否在同一个圆上,若在,写出圆的方程; 若不在,说明理由; (Ⅱ)已知点 H ( 9 , 3), L (5, 3) ,若点 M 满足 M ? ? ( H ), L ? ? ( M ) ,求点 M 的坐标; (Ⅲ)已知 P0 ( x 0 , y 0 ) ( x 0 ? Z , y 0 ? Z ) 为一个定点,点列 { Pi } 满足: Pi ? ? ( Pi ? 1 ) , 其中 i ? 1, 2 , 3, ..., n , 求 P0 Pn 的最小值.

高三数学(文科)试题第 4 页(共 9 页)

海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 (文) 参考答案及评分标准 2013.4
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 B 6 D 7 B 8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. 0 12. 4

10. ?

1 2

11. 1 6 14. 2 ,
2

13. a ? 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I) f ( ) ? 2 ? ( 3 ?
3 π 3 2 ? 1 2 ) ? 1 ??????2 分
2

因为 f ( x ) ? 2 ? ( 3 sin x ? c o s x ) 2
? 2 ? ( 3 sin x ? c o s x ? 2 3 sin x c o s x ) ? 2 ? (1 ? 2 sin x ?
2 2 2

3 sin 2 x ) ??????

4分
? 1 ? 2 sin x ?
2

3 sin 2 x

? cos 2 x ?
= 2 s in ( 2 x ?

3 sin 2 x ??????6 分
π 6 ) ??????8 分所以 f ( x ) 的周期为

T ?

2π |? |

?

2π 2

? π ??????9 分
π π π 2π π π 5π , ] 时, 2 x ? [ ? , ] ,(2 x ? ) ? [? , ] 6 3 3 3 6 6 6

(II)当 x ? [ ?

高三数学(文科)试题第 5 页(共 9 页)

所以当 x ? ?
f(

?
6

时,函数取得最小值 f ( ?

?
6

) ? ? 1 ??????11 分当 x ?

?
6

时,函数取得最大值

?
6

) ? 2 ??????13 分

16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 1 0 ? 0 .2 5 ? 4 0 人??????2 分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为
4 0 ? (1 ? 0 .3 7 5 ? 0 .3 7 5 ? 0 .1 5 ? 0 .0 2 5) ? 4 0 ? 0 .0 7 5 ? 3 ??????4 分

(II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
1 ? ( 4 0 ? 0 .2 ) ? 2 ? ( 4 0 ? 0 .1) ? 3 ? ( 4 0 ? 0 .3 7 5) ? 4 ? ( 4 0 ? 0 .2 5) ? 5 ? ( 4 0 ? 0 .0 7 5) 40 ? 2 .9

??????8 分(Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A??????9 分 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则在至少一科成绩等级为 A 的 考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为
? ? { {甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁} } ,一共有 6 个基本事

件 ??????11 分 设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含的基本事 件有 1 个,则 P ( B ) ?
1 6

. ??????13 分

17.解: (I)证明:(I) 因为 ? A B C 是正三角形, M 是 A C 中点, 所以 B M ? A C ,即 B D ? A C ??????1 分 又因为 P A ? 平 面 A B C D , B D ? 平面 A B C D , P A ? B D ??????2 分 又 P A ? A C ? A ,所以 B D ? 平面 P A C ??????4 分 又 P C ? 平面 P A C ,所以 B D ? P C ??????5 分 (Ⅱ)在正三角形 A B C 中, B M ? 2 3 ??????6 分 在 ? A C D ,因为 M 为 A C 中点, D M ? A C ,所以 A D ? C D
? ? C A D ? 3 0 ,所以, D M ?

2 3

3

,所以 B M : M D ? 3 : 1 ??????8 分

所以 B N : N P ? B M : M D ,所以 M N / / P D ??????9 分 又 M N ? 平面 P D C , P D ? 平面 P D C ,所 以 M N / / 平面 P D C ??????11 分
高三数学(文科)试题第 6 页(共 9 页)

(Ⅲ)假设直线 l / / C D ,因为 l ? 平面 P A B , C D ? 平面 P A B , 所以 C D / / 平面 P A B ??????12 分 又 C D ? 平面 A B C D ,平面 P A B ? 平面 A B C D ? A B ,所以 C D / / A B ?????13 分 这与 C D 与 A B 不平行,矛盾 所以直线 l 与直线 C D 不平行??????14 分

18.解: (I)因为 f '( x ) ? x 2 ? k ??????2 分 当 k ? 4 时, f '( x ) ? x 2 ? 4 ,令 f '( x ) ? x 2 ? 4 ? 0 ,所以 x 1 ? 2 , x 2 ? ? 2
f '( x ), f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:
x

(?? , ?2)

?2

(?2, 2)

2

(2, ?? )

f '( x ) f (x)

?

0 极大值

?

0 极小值

?

?

?

?

??????4 分 所以 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ? ? , ? 2 ) , ( 2 , ? ? ) 单调递减区间是 ( ? 2 , 2 ) ??????6 分 (II)令 g ( x ) ? f ( x ) ? k ,所以 g ( x ) 只有一个零点??????7 分 因为 g '( x ) ? f '( x ) ? x ? k
2

当 k ? 0 时, g ( x ) ? x ,所以 g ( x ) 只有一个零点 0
3

??????8 分

当 k ? 0 时, g '( x ) ? x ? k ? 0 对 x ? R 成立,
2

所以 g ( x ) 单调递增,所以 g ( x ) 只有一个零点??????9 分 当 k ? 0 时,令 g '( x ) ? f '( x ) ? x ? k ? 0 ,解得 x 1 ?
2

k 或 x2 ? ?

k ?????10 分

所以 g '( x ), g ( x ) 随 x 的变化情况如下表:
x

(?? , ?

k)

?

k

(?

k,

k)

k

( k , ?? )

g '( x )

?

0

?

0

?

高三数学(文科)试题第 7 页(共 9 页)

g(x)

?

极大值

?

极小值

?

g ( x ) 有且仅有一个零点等价于 g ( ?

k ) ? 0 ??????11 分
9 4

即 g (? k ) ?
k ? 9 4

2 3

k

k ? k ? 0 ,解得 0 ? k ?

??????12 分 综 上 所 述 , k 的 取 值 范 围 是

??????13 分

19.解:(I)设椭圆的焦距为 2 c , 因为 a ? 所以 b ? 1 所以椭圆 C :
x
2

2 ,

c a

?

2 2

,所以 c ? 1 ??????2 分

? y

2

? 1 ??????4 分

2

(II)设 A ( x 1 , y 1 ) B ( x 2 , y 2 ) ,
? y ? kx ?x ? 2y ? 2 ? 0
2 2

由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A , B ,则 ?

所以 (1 ? 2 k ) x ? 2 ? 0 ,
2 2

则 x1 ? x 2 ? 0 , x1 x 2 ? ?
8 (1 ? k )
2

2 1 ? 2k
2

??????6 分

所以 A B ?

(1 ? k )
2

8 1 ? 2k
2

?

1 ? 2k

2

??????8 分

点 M ( 2 , 0 )到直线 l 的距离 d ?

2k 1? k
2

??????10 分

则 GH ? 2

7 3

?

2k

2 2

1? k

??????11 分

显然,若点 H 也在线段 A B 上,则由对称性可知,直线 y ? k x 就是 y 轴,矛盾, 因为 A G ? B H ,所以 A B ? G H ??????12 分
H

所以

8 (1 ? k )
2

1 ? 2k

2

? 4(

7 3

?

2k

2 2

B

1? k

)
G A

解得 k 2 ? 1 ,即 k ? ? 1 ??????14 分 20.解: (I)因为 ? x + ? y = 3 ( ? x , ? y 为非零整数) 故 ? x ? 1, ? y ? 2 或 ? x ? 2 , ? x ? 1 ,所以点 ( 0 , 0 ) 的“相关点”有 8 个??????1 分又因为
高三数学(文科)试题第 8 页(共 9 页)

( ? x ) ? ( ? y ) ? 5 ,即 ( x 1 ? 0 ) ? ( y 1 ? 0 ) ? 5
2 2
2 2

所以这些可能值对应的点在以 ( 0 , 0 ) 为圆心, 5 为半径的圆上??????3 分 (II)设 M ( x M , y M ) ,因为 M ? ? ( H ), L ? ? ( M ) 所以有 | x M ? 9 | ? | y M ? 3 |? 3 , | x M ? 5 | ? | y M ? 3 |? 3 ??????5 分 所以 | x M ? 9 |? | x M ? 5 | ,所以 x M ? 7 , y M ? 2 或 y M ? 4 所以 M ( 7 , 2 ) 或 M ( 7 , 4 ) ??????7 分 (III)当 n ? 2 k , k ? N 时, | P0 Pn | 的最小值为 0??????8 分
*

当 n =1 时,可知 | P0 Pn | 的最小值为 5 ??????9 分 当 n = 3 时,对于点 P ,按照下面的方法选择“相关点” ,可得 P3 ( x 0 , y 0 +1) :
P0 ( x 0 , y 0 ) ? P1 ( x 0 + 2 , y 0 + 1 ) ? P2 ( x 0 +1, y 0 + 3) ? P3 ( x 0 , y 0 +1)

故 | P0 Pn | 的最小值为 1 ??????11 分 当 n ? 2 k ? 3 , k ? 1, k ? N , 时,对于点 P ,经过 2 k 次变换回到初始点 P0 ( x 0 , y 0 ) ,然后经过 3 次变
*

换回到 Pn ( x 0 , y 0 +1) ,故 | P0 Pn | 的最小值为 1 综上,当 n =1 时, | P0 Pn | 的最小值为 5 当 n ? 2 k , k ? N 时, | P0 Pn | 的最小值为 0
*

当 n ? 2 k ? 1, k ? N 时, | P0 Pn | 的最小值为 1
*

??????13 分

高三数学(文科)试题第 9 页(共 9 页)



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