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【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第四章 平面向量 第四节 平面向量应用举例课件 理



第四节 平面向量应用举例

考纲概述

(1)会用向量 方法解决某 些简单的平 面几何问题; (2)用向量方 法解决力学 问题与其他 平面向量 一些实际问 与解析几 题. 何

考查热点 平面向量 与平面几 何 平面向量 与三角函 数

考查频次 ★★★★

★★★
<

br />★★★

备考指导 利用平面向量方法解决 几何问题是对向量概念 的理解提升,也是应用知 识解决问题的能力表现, 体现数学源于生活并为 生活服务的宗旨,在每年 的高考中都有潜在的体 现,为此对于几何问题利 用向量转化为代数方法 解决问题是复习中要关 注并训练的.

1.向量在平面几何中的应用 平面向量的线性运算与数量积具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平行、 垂直、全等、相似等都可以利用向量的线性运算与数量积表示出来. 2.平面向量在三角函数中的应用 以向量为载体利用向量的共线、垂直、数量积等坐标运算,转化为三角函数问题,来解决 三角函数中的图象、性质等问题. 3.平面向量在解析几何中的应用 以向量为载体利用向量的共线、垂直、模长、数量积等坐标运算,转化为代数问题,来解 决解析几何中的最值、轨迹等问题.

4.平面向量在物理中的应用 (1)物理学中的力、速度、位移等都是矢量,它们的分解与合成与向量的加减法相似,可利 用向量的知识来解决; (2)物理学中的功是一个标量,是力f与位移s的数量积,即W=f· s=|f|· |s|cos θ,其中θ为f与s的 夹角. 5.常用的数学方法与思想 数形结合思想、转化与化归思想.

1.(2016· 浙江绍兴一中测试) 已知圆 O 的直径 AB=2,C 是该圆上异 于 A,B 的一点,P 是圆 O 所在平面上任一点,则( + )· 的最小 值为 ( ) 1 1 A.B.C.8 1 4

D.

2 1 8

1.B 【解析】因为 + = 2 , 所以( + ) · = 2 · = 2| | ·| |cos < , >, 当 cos < , >= ?1 时 , ( + ) · 最小, 且此时( + ) · = ?2| | ·| |, 故点在线段上时, | | + | |为定值且最小为 1, 由基本不等式性质有 1 = | | + | | ≥ 2 | |· | |, 即| | · | | ≤ , 故( + ) · = ?2| | ·| | ≥ ? .
4 2 1 1

2.(2016· 牡丹江月考) 在△ABC 中,若 2 = · + · + · ,则△ABC 是 ( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
2.D 【解析】由2 = · + · + · , 得 ( ? ) + ( ? ) = 0, 即 · + ( ? ) = 0, 也就是 · + · = 0, 即 ·( + ) = 0, 即 · = 0, 因此 ⊥ ,故∠C 为直角,即为直角三角形.

3.(2016· 河南信阳高级中学四模) 已知抛物线

x2=1(a>0)有共同的焦点 F,O 为坐标原点,P 在 x 轴上方且在双曲线 上,则 · 的最小值为 ( ) 7 3 A.3-2 3 B.2 3-3 C.D.

1 2 2 y= x 与双曲线 2 8

3.A 【解析】由于 y= 2知其焦点为(0,2), 所以2= 3, 从而双曲线方程为
2 3 8

1

4

4

? 2= 1, 设(, )( ≥ 3), 所以 =

(, ), = (, ? 2), 因此 · = (, ) ·(, ? 2) = 4 2 2 2 + ?2 = 3 ?2 ? 1 =
4 3

-

3 2 4

? , 由于函数在区间[ 3, +∞)上单调递增, 所以当 =
4

7

3时, ·有最小值且为 3 ? 2 3.

4.(2015· 江苏高考) 设向量 ak= cos cos
π 6 11 =0

π 6

,sin

π 6

+ .

(k=0,1,2,…,12),则 ∑ (ak· ak+1)的值为

4.9 3 cos sin cos
π

【解析】k·k+1= 2cos sin
( +1)π 6 11

π

6 (2 +1)π 6 11 π 6

+ sin

π 6

cos
2

6 ( +1)π 6

cos

( +1)π 6 π

+ sin
6 π

π

= cos

. ∑ k·k+1=
=0 12 π 6 π

12 3

+ cos 0cos 6 + cos 6 cos
6

6 π

cos

6 ( +1)π

·sin +
2π 6 3 2

( +1)π 6

+

+

+ ?+

cos

+ sin 6 + sin
π π



+ ? + sin
2π 6

23 π 6

=
5π 6

6 3 + 2 cos 0cos 6 + cos 6 cos sin 1 2 3π 6

+ ? + cos
3 2

cos
1

6π 6

+ sin 6 +
1

π

+ ? + sin
3 2

11 π 6 3 2

= 6 3+2
1 2

+

3 2 1 2

× 2 + 2 × 0 + 0 × -2 +
1 2 1 2

1

× -

+ -

× (?1) + + 1 + ? ? 1 ?

= 9 3.

考点 1 平面向量与平面几何 典例 1 已知△ABC 的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,P 为 AB 边上任意 一点,则· ( ? )的最大值为 .

【解题思路】解法一 :(坐标法)由题可知△ABC 是以 C 为直角的直 角三角形 ,因此 ,以 C 为原点 ,建立平面直角坐标系如图所示,设 P 点 坐标为 (x,y)且 0≤y≤3,0≤x≤ 4,则 ·( ? ) = · =(x,y)· (0,3)=3y,当 y=3 时 ,取得最大值 9. 解法二 :(基向量法 )∵ = + , ? = , ∴ ·( ? ) = ( + ) · = 2 + · = 9 ? · = 9 ? | || |cos ∠ = 9 ? 3| |cos ∠ , ∵ cos ∠为正且为定值, ∴ 当 | |最小即| | = 0 时 , ·( ? ) 取得最大值 9.

【参考答案】 9

利用平面向量解平面几何问题的两种方法 (1)坐标法:充分利用平面几何图形的特点建立直角坐标系,利用坐标法把几何问题转化为 代数问题求解; (2)基向量法:适当选取一组基底,构架向量之间的关系,充分利用向量共线、垂直、数量积 的几何意义等来求解.

【变式训练】 (2016· 黄冈质检) 在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(a,a),B(2,3), C(3,2). (1)若向量与 的夹角为钝角,求实数 a 的取值范围; (2)若 a=1,点 P(x,y)在△ABC 三边围成的域(含边界) 内, =m+n (m,n∈R),求 m-n 的最大值.

【解析】(1)由题可知 = (2 ? , 3 ? ), = (3 ? , 2 ? · < 0, ), ≠ , 5 得 · = 2(2 ? )(3 ? ) < 0,2 < < 3, 又当 = 时, 与 夹角为 π, 所以 a∈ 2,
5 2 2



5 2

,3 .

(2)因为 = + ,(x,y)=m(1,2)+n(2,1), 即 x=m+2n,y=2m+n. 解得 m-n=y-x. 令 y-x=t, 由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时, t 取得最大值 1, 故 m-n 的最大值为 1.

考点 2 平面向量与三角函数 典例 2 已知 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0< β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1), 若 a+b=c,求 α,β 的值.
【解题思路】由向量的坐标运算与模的概念求解;由向量的加法运算求出a+b,由a+b=c, 列式整理,并结合给出α,β的范围求得α,β的值. 【参考答案】(1)由题意得|a-b|2=2, 即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2. 又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1, 所以2-2a· b=2, 即a · b=0,故a⊥b.

(2)因为 a+b=(cos α+ cos β,sin α+sin β)=(0,1), cosα + cos = 0, 所以 sin + sin = 1, 由此得,cos α= cos(π-β), 由 0<β<π,得 0<π-β<π, 又 0<α<π, 故 α=π-β. 代入 sin α+sin β=1, 1 得 sin α=sin β= ,而 α> β, 所以 α=
5π 6

, = .
6

2 π

利用向量解三角函数问题的思路 (1)利用向量的坐标公式转化为三角函数问题; (2)利用三角函数公式求解问题; 注意:向量在解题中只是起桥梁作用,因此向量的坐标表示公式应熟练掌握.

【变式训练】 (2016· 合肥八中月考) 在锐角△ABC 中,已知内角 A,B,C 所对的边分 别为 a,b,c ,向量 m=(2sin(A+C), 3),n=
2 cos2 ,2cos -1 2

,且向量

m,n 共线 . (1)求角 B 的大小; (2)如果 b=1,求△ABC 的面积 S△ ABC 的最大值.

【解析】(1)由向量 m,n 共线有 2sin(A+C) 即 tan 2B= 3, π 又 0<B< ,

2 2cos -1 2

= 3cos 2B,

∴0<2B<π,
π 3

2

则 2B= , 即 = .
6

π

(2)由余弦定理得 b2=a2+c2-2ac cos B, 则 1=a2+c2- 3 ≥ (2 ? 3)ac, ∴ac≤2+ 3,当且仅当 a=c 时等号成立, 1 ∵由(1)得 sin B= ,

∴S△ABC=2 sin ≤ 4 (2 + 3),
则 S△ABC 的最大值为 (2 + 3).
4 1

1

2

1

考点 3 平面向量与解析几何 典例 3 已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动 点,作 PQ⊥l,垂足为 Q,且 + · - =0.
2 2 1 1

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 EF 为圆 N:x2+(y-1)2= 1 的任一条直径,求 · 的最小值.

【参考答案】(1)设 P(x,y),则 Q(8,y). 由 + 2 · - 2 =0, 得| | ? 4 || =0,
2 2 1 2

1

1

1

2

即(x-2) +y -4(x-8)2=0, 化简得
2 16

+
2 16

2

12

=1,
2 12

所以点 P 在椭圆上, 其方程为 + =1.

(2)因为 · = ( ? ) ·( ? ) =(- ? ) ·( ? ) =(- )2? 2 = 2 -1, P 是椭圆
2 16

+

2

设 P(x0,y0),则有16 +

12 2 0

=1 上的任意一点,
2 0

2 = 1, 即 0 12

= 16 ?

2 40

3

.

又 N(0,1), 1 2 1 2 所以 2 = 0 + (0?1)2 = ? 0 ? 20+17 = ? (y0+3)2+20. 因为 y0∈[-2 3, 2 3], 易知当 y0=2 3时, 2 取得最小值(2 3 ? 1)2 = 13 ? 4 3(此时 x0=0). 故 · 的最小值为 12 ? 4 3.
3 3

【变式训练】 (2015· 新课标全国卷Ⅰ) 已知 M(x 0,y 0)是双曲线 C: -y2=1 上的一
2 2

点,F1,F2 是 C 的两个焦点.若 1 ·2<0,则 y 0 的取值范围是 ( A. C. 3 3 3 2 2 2 2 3

)

,

3

B. D. -

3

,

6 6 2 3 2 3 3

,

3

A 【解析】由题意知 a2=2,b2=1,c2=3,所以 F1 - 3,0 , 2 3,0 , 所以1 = - 3-0 ,-0 , 2 = 2 2 2 3-0 ,-0 , 所以1 ·2 = 0 ? 3 + 0 = 30 ? 1 < 0, 所以 ?
3 3

3

,

3

< 0<

3 3

.

典例 1

教材拓展 :三角形中的 “四心 ”介绍与应用举例 (2015· 上饶月考) O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线
| |cos ∠

的三个点,动点 P 满足 = +λ 点 P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

+

| |cos ∠

,λ∈R,则

)

【解题思路】如图所示 ,过点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D 点 ,则 ·
| |cos ∠ | || |cos | |cos ∠ | |cos ∠ | |cos ∠

=

| || |cos (π -) | |cos ∠

=-| |,同理 ·



=| |,因为动点 P 满足 = +λ ,λ∈R, = + ,所以 =λ ,λ∈R, · =λ
· | |cos ∠

| |cos ∠

= +

| |cos ∠

| |cos ∠ ·

+

+

| |cos ∠

=λ(-

| |+| |)=0,所以 ⊥ ,因此点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的垂 心. 【参考答案】 D

典例 2

已知 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,
| |

动点 P 满足 = +λ 过△ABC 的 ( )

+

| |

,λ∈(0,+∞),则点 P 的轨迹一定通

A.外心 C.重心

B.内心 D.垂心

【解题思路】因为



| |

是向量的单位向量,设 与方向上的单

位向量分别为 e1 和 e2,又 ? = ,则原式可化为=λ(e1+e2), 由菱形的基本性质可知 AP 平分∠BAC,所以点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的内心. 【参考答案】 B

三角形 “四心 ”的向量表示 (1)O 为△ABC 的重心 ? + + =0; (2)O 为△ABC 的垂心 ? · = · = ·; (3)O 为△ABC 的外心 ?||=| |=||(或2 = 2 = 2 ); (4)O 为△ABC 的内心 ? ·
| | | | | | | |

-



= ·



| | | |

-



= ·

-



=0.

【针对训练】 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 =
+ 2



| |cos

+

| |cos

,λ∈(0,+∞),则点 P 的轨迹一定通 C.重心 D.外心

过△ABC 的 ( A.内心

) B.垂心

D 与

【解析】 ∵ ·
| |cos

| |cos

+

| |cos

= ?| | + | | = 0, ∴
+ 2

+

| |cos

垂直, 设为的中点 , 则 , 可得
+ 2

= , 令
| |cos

=

| |cos

+

| |cos

+

| |cos

+

=

+ = ,所以点 P 在 BC 的垂直平分线上 ,即点 P 经过△ABC 的的外心.



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