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黄浦新王牌 春季周末小班 高中数学同步提高课程



第一讲 专题一
一.深刻理解函数的概念与性质
函数的定义、函数的三要素(定义域、值域、对应法则) 、反函数的定义及与原函数的 关系、函数的四大性质(单调性、奇偶性、周期性、最值)时函数有关概念的重要内容,只 有对这些概念做到准确、深刻理解,才能正确、灵活地加以运用. 例 1、解答下列各题: (1)已 知 f ? x ? ? log 2 x ? ax ? a 是

? ? ?,?
2

函数综合应用

?

?

? ?

1? ? 上的减函数,则实数 a 的取值范围是 2?



) (B)

(A) ?? 1,?? ?

?? 1,?? ?

(C)

1? ? ? ? 1, 2 ? ? ?

(D) 以上答案都不对

4x ?1 (2)设 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? 1 ,若 f ?m ? ? 2 ,则 f ?? m ? ? ______. 2

(3) (09 年山东高考题)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ) ? ? 则 f (2009) 的值为【答】 ( (A)-1 (B) 0 ) (C) 1 (D) 2

?log 2 (1 ? x), x ? 0 , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

例 2.函数 f ? x ? ? log 2 ??a ? 1?x ? ?a ? 1?x ? ? . 2
2

? ?

1? ?

(1)若 f ? x ? 的定义域为 R ,求 a 的范围; (2)若值域为 ?? 2,?? ? ,求 a 的值.

1

例 3.已知函数 f ?x ? ? lg a ? kb k ? R , a ? 1 ? b ? 0 的定义域为 ?0,?? ? ,是否存在这样
x x ?

?

??

?

的 a , b ,使得 f ? x ? 在 ?1,?? ? 上取正值,且 f ?3? ? lg 4 ?若存在求出 a , b 的值,若不存在, 请说明理由.

二.数形结合解决数学问题是函数的显著特征之一
借助于图像研究函数性质是研究函数的一种常用方法 . 函数的几何特征与函数的数量 特征紧密结合,有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属 性. 在解决数学问题时,利用图像的直观有助于理解题意,探寻解题思路,检验解题结果 . 因此,既要从多角度观察图像,又要熟练掌握图像的平移变换、对称变换、翻折变换。 例 4、 (1) (全国高考题) 设 f ? x ? ? lg x , 若 f ?a ? ? f ?b ? , 则 a ? b 的取值范围是__________.

(2) (2013 年上海高考题) 对区间 I 上有定义的函数 g ? x ? , 记 g ?I ? ? ?y | y ? g ?x ?, x ? I ? , 已 知 定 义 域 为 ?0,3? 的 函 数 y ? f ? x ? 有 反 函 数 y ? f
?1

?x ? , 且

f ?1 ??0,1?? ? ?1,2 ? ,

f ?1 ??2,4?? ? ?0,1? ,若 f ? x ? ? x ? 0 有解 x0 ,则 x0 ? _______ .

2

例 5.已知函数 f ? x ? ? ax ? ax 和 g ?x ? ? x ? a ,其中 a ? R 且 a ? 0 .
2

(1)若 f ? x ? 与 g ? x ? 的图像交于不同的两点 A, B , O 为坐标原点,试问 ?OAB 的面 积 S 有没有最值?如果有,求出最值及相应的 a ,如果没有,说明理由. (2)若 p 和 q 是方程 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 的两个根,且满足 0 ? p ? q ?

1 ,证明:当 a

x ? ?0, p ? 时, g ?x ? ? f ?x ? ? p ? a .

三.重视函数的应用
这里包括: (一)用函数知识、方法解决实际问题; (二)用函数观点处理不等式、方 程、数列、曲线方程问题; (三)函数自身的综合应用. 例 6、解答下列问题 (1)(华师大二附中高三月考题)方程 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 10 ? 11
x x x x ?1

的个数为__________.

(2)若 D 是 BC 的中点, AD ? 2 , O 是线段 AD 上的动点,则 OA ? OB ? OC 的最小值 _____________.

?

?

3

例 7. (2011 年湖北高考题 17) . 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在 一般情况下,大桥上的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的 函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不 超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /小时) f ?x ? ? x ? v?x ? 可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时)

例 8、已知函数 f ? x ? 定义在 ?? 1,1? 上, f ? ? ? ?1 ,且当 x, y ? ?? 1,1? 时,恒有

?1? ?2?

? x? y ? 2an 1 f ?x ? ? f ? y ? ? f ? ? 1 ? xy ? ? . 又数列 ?a n ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? 1 ? a 2 ,设 ? ? n

bn ?

1 1 1 ? ?? ? . f ?a1 ? f ?a2 ? f ?an ?

(1)证明: f ? x ? 在 ?? 1,1? 上的奇函数; (2)求 f ?a n ? 的表达式; (3)是否存在自然数 m ,使得对任意的 n ? N ,都有 bn ?
?

m ?8 成立,若存在,求出 4

m 的最小值;若不存在,请说明理由.

4

例 9、 (江苏 08 年高考题 20)若 f1 ?x ? ? 3 且 f ( x) ? ?

x ? p1

, f 2 ?x ? ? 2 ? 3

x ? p2

, x ? R , p1 、 p2 为常数,

? f1 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x) . ? f 2 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x)

(1)求 f ( x) ? f1 ( x) 对所有的实数 x 成立的充要条件(用 p1 , p2 表示) ; (2)设 a , b 为两实数,a ? b 且 p1 , p2 ? (a, b) , 若 f( a) ?f ( b) 上的单调增区间的长度为 , 求证: f ( x) 在区间 ? a, b ?

b?a (闭区间 ? m, n ? 的长度定义为 n ? m ) 。 2

5

四、重视函数问题的拓展与创新
函数思想的实质, 就是用联系与变化的观点提出提出数学问题, 我们要善于利用函数的 本质,建立函数关系,求得问题解决. 同时,函数中的量既然是变化的,也为我们拓展数学 问题,创新数学方法提供了广阔的空间. 例 9、 (1)在平面直角坐标系中,我们把纵、横坐标均为整数的点称为“格点” ,若函数恰 好经过 k 个格点,则函数称为 k 阶格点函数,已知函数:① y ? sin x ;② y ? cos? x ?
x ③ y ? e ? 1 ;④ y ? x . 其中为一阶格点的函数序号为_____________.
2

? ?

??

?; 6?

(2)已知函数 y ? f ( x) 的图象是折线段 ABC ,其中 A(0,0) 、 B ( ,5) 、 C (1,0) , 函数 y ? xf ( x) ( 0 ? x ? 1 )的图象与 x 轴围成的图形的面积为 .

1 2

例 10.为研究“原函数与其反函数图像的交点是否在直线 y ? x 上”这个课题,我们分 三步进行研究: (1)首先选取函数: y ? 2 x ? 1, y ? 数的图像的交点坐标; (2)观察上述结果得到研究结论; (3)对得到的结论进行证明.

2x , y ? ? x ? 1 ,求出以上函数与其反函 x ?1

6

例 11.(上海高考题)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ? x ? 的全体组成的集合:存在非 零常数 T ,对任意的 x ? R ,有 f ?x ? T ? ? Tf ?x ? 成立. (1)函数 f ?x ? ? x 是否属于 M ?说明理由; (2)设 函 数 f ? x ? ? a (a ? 0, a ? 1) 的 图 像 与 直 线 y ? x 的 图 像 有 公 共 点 , 证 明 :
x

f ?x ? ? a x ? M ;
(3)若函数 f ?x ? ? sin kx? M ,求实数 k 的取值范围.

五.关于抽象函数与特殊函数
抽象函数的研究是是高考经常出现的题型, 由于它没有给出具体的函数式, 因此处理起 来经常有一定的难度,常用的方法有: (1)赋值法:结合题意,选取恰当的数值达到目的; (2)背景函数依托法:结合题意,找出满足题目模型的具体函数—背景函数,依托此 函数的特殊性质猜测出抽象函数的性质,在加以证明. 高中数学的背景函数大致有:

f ?a ? x ? ? f ?a ? x ?

二次函数;

f ?xy ? ? f ?x ? ? f ? y ?

幂函数;

f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ? 指数函数;

f ?xy ? ? f ?x ? ? f ? y ? 对数函数;
7

符合三角公式的抽象函数等. 特殊函数一般指具有某种特殊性质的函数, 也就是给出新的定义、 新的背景. 这类试题 在高考中非常活跃,频频“闪亮登场” ,由于立意新颖、构思巧妙,常常充当“压轴题”角 色. 例 12.定义在 R 上的函数 f ? x ? ,若对任意的 x1 , x2 ? R ,都有

?x ?x ? 1 ,已知二次函数 f ? 1 2 ? ? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ?? ,则称 f ? x ? 是 R 上的“凹函数” ? 2 ? 2
g ?x ? ? ax2 ? x.
(1)若 a ? 0 ,证明: g ? x ? 是“凹函数” ; (2)如果 x ? ?0,1? 时, g ? x ? ? 1 恒成立,求 a 的取值范围.

8

例 13.设 f ? x ? 是定义在 R 上的不恒为 0 的函数,且对任意的 a, b ? R ,都有

f ?ab? ? af ?b ? ? bf ?a ? .
(1)求 f ?0 ?, f ?1? 的值; (2)判断函数的奇偶性; (3)若 f ?2? ? 2 , un ?

f 2? n n ? N ? . 求数列 ?u n ? 的前 n 相的和 S n . n

? ??

?

9

拓展练习
一.选择题 1、 (江苏 2013 年高考题)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,
2

则不等式 f ( x) ? x 的解集用区间表示为

.

2. (江苏 2012 年高考题 10)设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [ ?1, 1] 上,

? 1≤ x ? 0 , ?ax ? 1, ? 其中 a , f ( x) ? ? bx ? 2 b ? R .若 , 0 ≤ x ≤ 1, ? ? x ?1
则 a ? 3b 的值为 .

?1? ?3? f ? ? ? f ? ?, ?2? ?2?

?2 x?2 ? , 3.(北京 2012 年高考题 13)已知函数 f ( x ) ? ? x 若关于 x 的方程 f ?x ? ? k 有两 ?( x ? 1)3 , x ? 2 ?
个不同的实根,则数实数 k 的取值范围是_______

?2 x ( x ? 0) 4.已知函数 f(x)= ? .则 f ?log 2 ( ? x ) ( ?2 ? x ? 0)

?1

?x ? 1? ? ________.

5. 对 于 定 义 域 中 的 任 意 x1 , x2 , x1 ? x2 , 有 如 下 结 论 : ① f ?x1 ? x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ; ② f ?x1 ? x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ;③

f ? x1 ? ? f ?x2 ? ? x ? x ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ;④ f ? 1 2 ? ? . x1 ? x2 2 ? 2 ?

当 f ?x ? ? lg x 时,上述结论中正确的是________________. 6.、 (黄浦理 2013 年二模 13)已知函数 f ( x) ?| x 2 ? 2ax ? a | ( x ? R ) ,给出下列四个命题: ① 当且仅当 a ? 0 时, f ( x) 是偶函数; ② 函数 f ( x) 一定存在零点; ③ 函数在区间 (??, a] 上单调递减; ④ 当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 的最小值为 a ? a 2 . 那么所有真命题的序号是 . 7.(天津 08 年高考题 16)设 a ? 1 ,若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x ? ?a,2a ? ,都有

y ? a, a 2 满足方程 log a x ? log a y ? c ,这时, a 的取值的集合为
8.(天津 2011 年高考题 16)设函数 f ( x) ? x ? 1 ,对任意 x ? ? , ?? ? ,
2

?

?

.

?2 ?3

? ?

10

?x? f ? ? ? 4m2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ?m?
二.选择题

.

1、 (虹口 18) 数列 ?a n ? 满足 a n ? ? 取值范围是( ) .

??3 ? a ?n ? 3 ?a
n ?6

?n ? 7 ? , 且 ?a n ? 是递增数列,则实数 a 的 ?n ? 7 ?
D 、 ?2,3?

?9 ? A 、 ? ,3 ? ?4 ?
x

?9 ? B 、 ? ,3 ? ?4 ?

C 、 ?1,3?

2. 已知函数 f ? x ? ? 2 ? log 2 x , 若 an ?

n n ? N ? ,则使得 f ?an ? ? 2007 取得最小值的 10
C.11 D.10

?

?

n 的值时【答】 (
A.100

) B. 110
2

3、 已知函数 f ?x ? ? ax ? 2ax ? b?1 ? a ? 3? ,且 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 1 ? a ,则下列说法正确 的是【答】 ( A. f ?x1 ? ? f ?x2 ? C. f ?x1 ? ? f ?x2 ? ) B. f ?x1 ? ? f ?x2 ? D. f ? x1 ? 与 f ?x2 ? 的大小不能确定

(09 年全国高考题 11) 函数 f ( x) 的定义域为 R, 若 f (x ? 则 【答】 1 ) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数, ( ) B. f ( x) 是奇函数 C. f ( x) ? f ( x ? 2) D. f ( x ? 3) 是奇函数

A. f ( x) 是偶函数

三.解答题 2.已知函数 f ? x ? 和 g ? x ? 的图像关于原点对称,且 f ? x ? ? x ? x .
2

(1)解不等式 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 ; (2)若 h?x ? ? g ?x ? ? ?f ?x ? ? 1 在 ?? 1,1? 上是增函数,求实数 ? 的取值范围.

11

2.已 知 定 义 在 ?? 1,1? 上 的 奇 函 数 , 且 f ?1? ? 1 . 若 a, b ? ?? 1,1?, a ? b ? 0 , 有

f ?a ? ? f ?b ? ? 0. a?b
2.判断 f ? x ? 在 ?? 1,1? 上的单调性; 3.解不等式 f ? x ?
2

? ?

1? ?? 2?

? 1 ? f? ?; ? x ?1 ?

4.若 f ?x ? ? m ? 2am ? 1 对所有 a ? ?? 1,1?, x ? ?? 1,1?恒成立,求实数 m 的取值范围.

3、已知 a ? 0 ,函数 f ? x ? ? x x ? a ? 1? x ? R ?. (1)当 a ? 1 ,求满足 f ?x ? ? x 的所有实数 x ; (2)当 a ? ?0,3? 时,求函数 y ? f ?x ? 在区间 ?1,2 ? 上的最小值; (3)讨论函数 y ? f ?x ? 与直线 y ? a 的交点的个数.

12

参考答案 课堂练习参考答案
一.填空题

? 1? ?? 5,0? ? ?5,??? ; 2. ? 10【析】 ? f ? x ? 是周期为 2 的函数, ? f ?? ? ? ? 2?

1? ? ?3? f ?2 ? ? ? f ? ? , 2? ? ?2?

1 b?2 b?2 1 3 又 f ?? 1? ? f ?1?,? ?a ? 1 ? 联立 ? b ? ?2a , ?2 ? ? a ?1 ? b ? ? a ? 3 , 3 2 2 2 2
?log 2 ? x ? 1?, x ? 0 f ?1 ? x ? 1? ? ? x ?1 解得 a ? 2, b ? ?4,? a ? 3b ? 10 ;3. k ? ?0,1? ;4. ; ?? 2 , x ? 0
5.②③;6.①④;

ac ? a c ?1 c ?1 ? y? y ? ,a ? , ? ? 7. ?2? 【析】由已知 单调递减, ,则 x ? a , 2 a x ? ? 2 ?

? a c ?1 ?a ?c ? 2 ? log a 2 ? ?? 2 ?? ,? c 唯一,? 2 ? log a 2 ? 3 ? a ? 2 c ? 3 ? c ? 1 2 ?a ? a ?
8. m ? ?

3 3 x2 2 2 2 2 或m ? 【析】依据题意得 2 ? 1 ? 4m ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1 ? 4(m ? 1) 在 2 2 m

3 3 1 3 2 x ? [ , ??) 上恒定成立,即 2 ? 4m2 ? ? 2 ? ? 1 在 x ? [ , ??) 上恒成立。 2 2 m x x 3 5 3 2 1 5 2 当 x? 时 函 数 y ? ? 2 ? ? 1 取 得 最 小 值 ? , 所 以 2 ? 4m ? ? , 即 2 3 x x m 3
(3m2 ? 1)(4m2 ? 3) ? 0 ,解得 m ? ?

3 3 或m ? 2 2

二.选择题 1.B;2、B;3.A【析】 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ?x1 ? x2 ?a?3 ? a ? ? 0. 4、D【析】解法一:筛选法:若 f ? x ? 是偶函数,取 f ?x ? ? cos??x ? ,则 f ?x ? 1? ? ? cos x 不

?? f ? x ? ? sin? 是奇函数,所以 A 不正确。若 f ? x ? 偶函数,取 ?2

? x? ? ? ,则 f ?x ? 1? ? cos x 不 2

是奇函数,所以 B 不正确。若 f ?x ? ? f ?x ? 2? ,取 f ?x ? ? cos ??x ? ,则 f ?x ? 1? ? ? cos x 不 是奇函数,所以 C 不正确。
13

解 法 二 : ? f ?x ? 1? 是 奇 函 数 , ? f ?? x ? 1? ? ? f ?x ? 1? ① , 将 x ? 1 换 成 x , 则

f ?2 ? t ? ? ? f ?t ? ②;又 f ?x ? 1? 是奇函数,? f ?? x ? 1? ? ? f ?x ? 1? ③,将 x ? 1 换成 x ,
则 f ?? 2 ? t ? ? ? f ?t ? ④, 由②④知 f ?2 ? t ? ? f ?? 2 ? t ? ? f ?t ? 2? ? f ?t ? 2? ? f ?t ? 4? ? f ?t ?

? f ?t ? 3? ? f ?t ? 1 ? 4? ? f ?t ? 1? ? ? f ?? t ? 1? , f ?3 ? t ? ? f ?4 ? 1 ? t ? ? f ?? 1 ? t ?
? f ?t ? 3? ? ? f ?? t ? 3? ,? f ? x ? 3? 是奇函数.
三.解答题 1.(1)? f ? x ? 与 g ? x ? 的图像关于原点对称,? g ?x ? ? ? f ?? x ? ? ? x ? x .
2

(2) ? x ? x ? x ? x ? x ? 1 ? 2 x ? x ? 1 ? 0 .
2 2 2

当 x ? 1 时, 2 x ? x ? 1 ? 0 ? ?1 ? x ?
2

1 2 ;当 x ? 1 时, 2 x ? x ? 1 ? 0 无实数解 2

1? ? ? 不等式的解集为 ? ? 1, ? . 2? ?
1. h?x ? ? ??? ? 1?x ? ?1 ? ? ?x ? 1
2

? ? ?1 时, h?x ? ? 2 x ? 1在 ?? 1,1? 上是递增的;

? ? ?1时, x ?

1? ? ? ?1,? ? ? ?1 ; 1? ?

1? ? ? 1,? ?1 ? ? ? 0 ; 1? ? 综上所述有 ? ? 0 .

? ? ?1 时, x ?

2.( 1 ) 令 a ? x1 , b ? ? x2 ,则

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0,? x1 ? x2 时 f ?x1 ? ? f ?x2 ? , x1 ? x2 时 x1 ? x2

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,? f ? x ? 在 ?? 1,1? 上单调递增.

1 ? ?? 1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 3 ? ? 1 ? ? ? x ? ?1 A.由(1)有 ?? 1 ? x ?1 2 ? 1 ? 1 ?x ? 2 ? x ?1 ?

14

B.由(1) f ? x ?mx ? f ?1? ? 1 ,? m ? 2am ? 0 .
2

?h?1? ? m 2 ? 2m ? 0 2 ?m ? 0或m ? 2 令 h?a ? ? ?2am ? m ,则 ? ?? ? m ? ?2或m ? 2或m ? 0. ? 2 ? ?h?? 1? ? m ? 2m ? 0 ?m ? ?2或m ? 0

3.(1) a ? 1 时, x x ? 1 ? 1 ? x ,解得 x ? ?1 . A.考 察 g ? x ? ? x x ? a 的 图 形 , 当 a ? 1 时 , g ? x ? 在 ?1,2 ? 上 递 增 ,

f ?x ?min ? g ?x ?min ? 1 ? g ?1? ? 1 ? 2 ? a ;当 a ? 1 时, f ?x ?min ? g ?x ?min ? 1 ? g ?a ? ? 1 ? 1 .
B.考虑 g ? x ? ? x x ? a .

a ? a2 ? a ? 0, x ? a 时, g ? x ? ? ? x ? ax ? ?? x ? ? ? 2? 4 ?
2

2



a2 a2 a2 ? a ,即 a ? 4 时,有三个交点;当 ? a ,即 a ? 4 时,有两个交点;当 ?a, 4 4 4

即 0 ? a ? 3 时,有一个交点.

15

对数函数
知识梳理
1、对数的有关概念 (1)对数的定义:__________________________________________________________. (2).对数式与指数式的互化____________________________. (3)对数恒等式:_______________. 【析】①零和负数没有对数; ②底的对数等于 1,即 log a a ? 1 ;1 的对数等于 0,即 log a 1 ? 0 . 2、对数的运算法则: 如果 a ? 0, a ? 1, N ? 0, M ? 0, 那么 (1) log a ( MN ) ? log a M ? log a N ; (3) log a M ? n log a M .
n

(2) log a

M ? log a M - log a N ; N

3.换底公式: log b N ?

log a N . log a b
m

【析】换底公式有如下推论: ① log a b ? log b a ? 1 ; ② log a n b ? 3、对数函数的定义、图像和性质: 定义 a>1 图

m log a b n

y ? log a x?a ? 0, a ? 1?
0<a<1





(1)定义域 ?0,?? ? (2)值域: R



(3)过定点 ?1,0 ? (4)x>1 时,y>0; 0<x<1 时,y<0 (4)0<x<1 时,y>0; x>1 时,y>0

(0,?? ) 上是增函数 (5)在
【析】注意重视指数函数与对数函数的联系.

(0,?? ) 上是减函数 (5)在

16

题型示例
例 1. 已知 f ? x ? ? log 2 x ? ax ? a 是 ? ? ?,?
2

?

?

? ?

1? ? 上的减函数,求实数 a 的取值范围. 2?

例 2.设 f ? x ? ?

a ? 2x ?1 ?a ? R ? 是 R 上的奇函数. 1? 2x
?1

(3)求 a 的值; (2)求 f

1? x ?1 ?x ? ; (3)当 k ? 0 时,解关于 x 的不等式 f ? x ? ? log 2 . k

例 3.函数 f ? x ? ? log 2 ??a ? 1?x ? ?a ? 1?x ? ? . 2
2

? ?

1? ?

(3)若 f ? x ? 的定义域为 R ,求 a 的范围; (4)若值域为 ?? 2,?? ? ,求 a 的值.

17

例 4.已知函数 f ?x ? ? lg a ? kb k ? R , a ? 1 ? b ? 0 的定义域为 ?0,?? ? ,是否存在这样
x x ?

?

??

?

的 a , b ,使得 f ? x ? 在 ?1,?? ? 上取正值,且 f ?3? ? lg 4 ?若存在求出 a , b 的值,若不存在, 请说明理由.

拓展练习
一、填空题

1 ?1 ?1 ) ? 0 , 的反函数为 f ( x ) , 若 f (x 则 x 的取值范围为 _______ . x 2 2、函数 y ? log 1 x ? 2 x ? 3 的单调递增区间是_______________.
1.已知函数 f ( x ) ? 2 ?

?

?

2

3、设 f ? x ? ? lg 10 ? 1 ? ax 是偶函数, g ? x ? ?
x

?

?

4x ? a 是奇函数,则 a ? b ? _____. 2x
?1

4、 已知函数 y ? f ?x ? 的图像经过点 ?1,2 ? , 且其反函数为 y ? f 必经过点____________. 5、 (2012 年上海高考题)已知函数 f ( x) ? e 函数,则 a 的取值范围是 .
| x ? a|

?x ? , 则函数 y ?

f ?1 ?x ? 2?

( a 为常数).若 f ( x) 在区间 [1,??) 上是增

6、 (2013 年上海高考题)对区间 I 上有定义的函数 g ? x ? ,记 g ?I ? ? ?y | y ? g ?x ?, x ? I ? , 已 知 定 义 域 为 ?0,3? 的 函 数 y ? f ? x ? 有 反 函 数 y ? f
?1

?x ? , 且

f ?1 ??0,1?? ? ?1,2 ? ,

f ?1 ??2,4?? ? ?0,1? ,若 f ? x ? ? x ? 0 有解 x0 ,则 x0 ? _______ .
18

二、选择题 2.下列函数与函数 y ? x 表示同一函数的是(
2


x2

C. y ? 4

log2 x

B. y ? 2

log 2 x 2

C. y ? log 2 2

D. y ? 2

log 2 x

2

5.若 函 数 f ?x ? ? log a x ? 2 (a ? 0, a ? 1) 在 区 间 ?1,2 ? 是 增 函 数 , 则 f ? x ? 在 ?2,?? ? 上 是 ( ) C.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增 )

3.若函数 y ? log a x?a ? 0, a ? 1? 在 ?2,?? ? 上恒有 y ? 1 , 则实数 a 的取值范围是 ( A. ?

?1 ? ,1? ? ?1,2 ? ?2 ?

B. ? 0, ? ? ?1,2 ?

? ?

1? 2?

C. ?1,2 ?

D. ? 0, ? ? ?2,?? ?

? ?

1? 2?

三、解答题 1.已知关于 x 的方程 2a
2 x ?2

? 7a x ?1 ? 3 ? 0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其余的根.

2.已知函数 f ? x ? ? log 1 ? x ? 1 ?

? 3?

a? ? 在区间 ?1,?? ? 上单调递减,求实数 a 的取值范围. x?

19

3.已知函数 f ? x ? 满足 f ?ax ? 1? ? lg (1)求 f ? x ? 的表达式; (2)求 f ? x ? 的定义域;

x?2 ?a ? 0? . x ?3

(3)是否存在实数 a 使 f ? x ? 是奇函数或偶函数?若存在,求出 a ,若不存在,说明理由.

1? ax ?a ? 0, a ? 1?. 4.设 f ? x ? ? 1? ax
(1)求 f ? x ? 的反函数 f (2)讨论 f
?1 ?1

?x ? ;

? x ? 的单调性;
?1

(3)令 g ? x ? ? 1 ? log a x , 当 ?m, n? ? ?1,?? ? 时, f 求 a 的取值范围.

? x ? 在 ?m, n? 上的值域是 ?g ?n?, g ?m?? ,

20

课外练习
一、填空题 1、函数 y ? 3 2、函数 y ?
x ?1

? 1 的反函数经过点 ?a,1? ,则 a ? ______.

log 1 ?2 x ? 1? 的定义域为_______________
2

3、若关于 x 的方程 lo g 2 x ? ________________.

m 在 ?0,1? 内 有 实 数 根 , 则 m 的 取 值 范 围 是 m ?1

4、若函数 f ?x ? ? lg x ? x ? 3 的零点 x0 ? ?n, n ? 1??n ? N ? ,则 n ? ______. 5、 (2012 年上海高考题)已知 y ? f ( x) ? x 是奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,
2

则 g (?1) ?

.

6.(天津 08 年高考题 16)设 a ? 1 ,若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x ? ?a,2a ? ,都有

y ? a, a 2 满足方程 log a x ? log a y ? c ,这时, a 的取值的集合为

?

?

.

二、选择题 1.设 M ? 0, N ? 0, a ? 0, a ? 1 ,则下列等式中一定成立的是( A. log a M ? log a N ? log a ?M ? N ?
4 C. log a 2 M ? 2 log a M



B. log a M ? N ? log a M ? log a N D. log a

log a M M ? N log a N


3.若 0 ? a ? 1 ,则函数 f ? x ? ? log a ?1 ? A.增函数,且 f ?x ? ? 0 C.减函数,且 f ?x ? ? 0

? ?

1 ? ? 在其定义域内是( 2x ?
B.增函数,且 f ?x ? ? 0 D.减函数,且 f ?x ? ? 0

3、 (09 年山东高考题)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ) ? ? 则 f (2009) 的值为【答】 ( (A)-1 (B) 0 ) (C) 1 (D) 2

?log 2 (1 ? x), x ? 0 , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

21

三、解答题 1、 (2010 年上海春季高考题)已知 f ?x ? ? log a 8 ? 2 (1)若 f ? x ? 的反函数是其本身,求 a 的值; (2)当 a ? 1 时,求 y ? f ?x ? ? f ?? x ? 的最大值.

?

x

? ?a ? 0, a ? 1? .

2、已知关于 x 的方程 9 ? 2m ? 3 ? 2m ? 1 ? 0 .
x x

(1)有两个不相等的实数根,求实数 m 的取值范围; (2)有实数根,求实数 m 的取值范围.

3、 (2011 年上海高考题)已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a , b 满足 ab ? 0 。
x x

⑴ 若 ab ? 0 ,判断函数 f ( x) 的单调性; ⑵ 若 ab ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时 x 的取值范围。

22

课外练习参考答案
一、填空题 1.8 ; 2. ? ?

? 1 ? ,0 ? ; 3. 0 ? m ? 1 ; 4.2 ; 5 、 ? 1 【 析 】 ? y ? f ?x ? ? x 2 是 奇 函 数 , ? 2 ?

? f ?? x ? ? x 2 ? ? f ?x ? ? x 2 ,即 f ?x ? ? f ?? x ? ? ?2 x 2 ,? f ?1? ? 1 ,? f ?1? ? f ?? 1? ? ?2 ,
ac y? 6. ?2? 【析】 由已知 f ?? 1? ? ?3 , ? g ?? 1? ? f ?? 1? ? 2 ? ?1 ; x 单调递减,x ? ?a,2a? ,

? a c ?1 ?a ? a c ?1 c ?1 ? ?c ? 2 ? log a 2 ? , a ? ,? ? 2 ?? 则 y?? , ? c 唯一,? 2 ? log a 2 ? 3 ? a ? 2 ? 2 ? ?c ? 3 ?a c ?1 ? a 2 ?
二、选择题 1 、 C ; 2 、 C ; 3 、、 C 【 析 】 当 x ? 0 时 , f ?x ? ? f ?x ? 1? ? f ?x ? 2? , 则 ,

f ?x ? 6? ? f ?x ? 5? ? f ?x ? 4? ? ? f ?x ? 3? ? f ?x ? ? f ?2009 ? ? f ?5? ? f ?4? ? f ?3? ? ? f ?2? ? ? f ?1? ? f ?0? ? f ?? 1? ? log 2 2 ? 1 .
解法二:用归纳法找周期性: f ?1? ? f ?0? ? f ?? 1? ? 0 ? 1 ? ?1 ,

f ?2? ? f ?1? ? f ?0? ? ?1 ? 0 ? ?1 , f ?3? ? f ?2? ? f ?1? ? ?1 ? 1 ? 0 , f ?4? ? 0 ? 1 ? 1 ? f ?5? ? 1 ? 0 ? 1, f ?6? ? 1 ? 1 ? 0 , f ?7 ? ? 0 ? 1 ? ?1 ,周期为 6.
三、解答题 1、(1) a ? 8 ? 2 ? x ? log 2 8 ? a
y x

?

y

? ? f ?x? ? log ?8 ? a ? ? f ?x? ? a ? 2 ;
?1 x 2

(2)? 8 ? 2 ? 0 ,? x ? 3 ,? y ? f ?x ? ? f ?? x ? 的定义域为 ?? 3,3? ,
x

? 1 ?? 1 ? y ? log a 8 ? 2 x ? log 8 ? 2 ? x ? log a ?65 ? 8? 2 x ? x ?? ,? 2 x ? x ? 2 ,仅当 x ? 0 时等 2 ?? 2 ? ?

?

?

?

?

号成立,? y ? log a ?65 ? 16 ? ? log a 49 ,? ymax ? log a 49 . 2、 (1)令 t ? 3 ,则 t ? ?0,?? ? .
x

原方程化为 t ? 2mt ? 2m ? 1 ? 0 ,此方程有两个不相等的正实数根 t1 , t 2 ,所以
2

23

?? ? 4m 2 ? 4?2m ? 1? ? 0 ??m ? 1?2 ? 0 ? ? ?1 ? ?? ? m ? ? ,1? ? ?1,?? ? ; ?t1 ? t2 ? 2m ? 0 1 ?2 ? ?t ? t ? 2m ? 1 ? 0 ?m ? 2 ? 1 2 ?
t 2 ? 1 ?t ? 1? ? 2?t ? 1? ? 2 1 ? 2 ? ? ? ??t ? 1? ? ? 2? ? R (2) m ? 2?t ? 1? 2?t ? 1? 2? t ?1 ?
2

解法二:当 m ? 1 或 2m ? 1 ? 0 ,即 m ? ? ? ?,? ? ? ? 1? 时,方程 t ? 2mt ? 2m ? 1 ? 0 有一 2
2

? ?

1? ?

个正实数根,与(1)结合知, m ? R 时方程 t ? 2mt ? 2m ? 1 ? 0 均有正实数根.
2

3、⑴ 当 a ? 0, b ? 0 时,任意 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(2 x1 ? 2 x2 ) ? b(3x1 ? 3x2 )
∵ 2 1 ? 2 2 , a ? 0 ? a(2 1 ? 2 2 ) ? 0 , 3 1 ? 3 2 , b ? 0 ? b(3 1 ? 3 2 ) ? 0 ,
x x x x x x x x

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,函数 f ( x) 在 R 上是增函数。 当 a ? 0, b ? 0 时,同理,函数 f ( x) 在 R 上是减函数。 ⑵

f (x ? 1 ) ?f x ( ? )a?

x

? 2 b ?2 x ?3

0

3 x a a ,则 x ? log1.5 (? ) ; 2 2b 2b 3 x a a 当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) ? ? ,则 x ? log1.5 (? ) 。 2 2b 2b
当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) ? ?

24



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