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辽宁省协作校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷



2014-2015 学年辽宁省协作校高一(上)期中数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知集合 A={x|x>2},B={x|1<x<3},则 A∩B=() A.{x|x>2} B.{x|x>1} C.{x|2<x<3} 2. (5 分)下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是() A.y=e
﹣x

D.

{x|1<x<3}

B.y=x

C.y=lnx

D.y=|x|

3. (5 分)与 y=|x|是同一个函数的是() A.y=
2

B.y=(



2

C.y=

D.y=x

4. (5 分)设 f:x→x 是集合 M 到集合 N 的映射,若 N={1,2},则 M 不可能是() A.{﹣1} B.{﹣ , } C.{1, ,2} D.{﹣ , ﹣1, 1, 5. (5 分)已知集合 A={0,1,2},B{1,2,3},则?(A∪B) (A∩B)=() A.{0,3} B.{1,2} C. ? D.{0,1,2,3}

}

6. (5 分)函数 f(x)= A.(0,2) B.(0,2]

的定义域为() C.(2,+∞) D.[2,+∞)

7. (5 分)幂函数 f(x)的图象过点(3, A.f(x)= B.f(x)=

) ,则 f(x)的解析式是() C.f(x)=
a

D.f(x)=

8. (5 分)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象可能是()

A.

B.

C.

D.
2

9. (5 分)已知函数 f(x+1)=x +2x﹣5,则 f(x)的解析式为() 2 2 2 2 A.f(x)=x B.f(x)=x ﹣6 C.f(x)=x +6 D.f(x)=x +6x 10. (5 分)集合 A={x∈R|ax ﹣2x+1=0}的子集恰有两个,则实数 a 的集合为() A.{a|a<1} B.{a|a<1 且 a≠0} C.{0,1} D.{1} 11. (5 分)设 a=log37,b=2 ,c=0.8 ,则() A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a
1.1 3.1 2

D.a<c<b
2 2

12. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (|x﹣a |+|x﹣2a | ﹣3a ) ,若对于任意的实数 x,都有 f(x﹣1)≤f(x)成立,则实数 a 的取值范围是() A.[﹣ , ] B.[﹣ , ] C.[﹣ , ] D.[﹣ , ]
2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知集合 A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x﹣y=0},则集合 A∩B=.

14. (5 分)设函数 f(x)=

,则 f(f(﹣2) )=.

15. (5 分)[x]表示不超过 x 的最大整数,则 f(x)=x ﹣[x]的零点集合是. 16. (5 分)在一次研究性学习中,老师给出函数 f(x)= 研究此函数时,讨论交流后分别得到一下四个命题: ①函数 f(x)的值域是(﹣1,1) ; (x∈R) ,四个小组的同学在

3

②若 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2) ; ③若规定 f1(x)=f(x) ,fn(x)=f(fn﹣1(x) ) ,则 fn(x)= ④若实数 a,b 满足 f(a﹣1)+f(b)=0,则 a+b 等于 1. 你认为上述四个命题中正确的序号有. (填写出正确的序号) 对任意的 n∈N 恒成立;
*

三、解答题(6 个小题,共 70 分) 17. (10 分)计算: (1)0. 25 ﹣[﹣2×( ) ] ×[(﹣2) ]
0 2 3

+(

) ﹣2

﹣1



(2)



18. (12 分)我国是世界上严重缺水的国家之一.为了增强居民的节水意识,某市自来水公司 对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费.即每月用 10 吨水以内(包括 10 吨)的用户, 每吨收水费 3 元;每一个月用水超过 10 吨的用户,其中 10 吨水不分仍按每吨 3 元收费,超 过 10 吨的部分,按每吨 5 元收费.设一户居民月用水 x 吨,应收水费 f(x)元, (1)写出 f(x)与 x 之间的函数关系式; (2)已知居民甲上个月比居民乙多用 4 吨水,两家共收水费 100 元,求他们上月分别用水多 少吨? 19. (12 分)已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1) ,且 f(2)﹣f(4)=1. (1)若 f(3m﹣2)>f(2m+5) ,求实数 m 的取值范围; (2)求使 f(x﹣ )=log 3 成立的 x 的值.

20. (12 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)在 x≥0 时的图象是如图所示的抛物线的一部分. (1)请补全函数 f(x)的图象; (2)写出函数 f(x)的表达式(不要过程) ; (3)若方程 f(x)=a 恰有 2 个不同的解,求实数 a 的取值范围.

21. (12 分)已知函数 f(x)=e ﹣e ,其中 e 为自然对数的底数. (1)判断函数 f(x)定义在 R 上的奇偶性,并证明; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥me 在[﹣1,1]上恒成立,试判断 loga(﹣2t +2t)的值的正负 号,其中 t∈(0,1) . 22. (12 分)已知函数 f(x)=[2log4(2x)﹣(2a+1)]?log2x+3,x∈[ ,8]
x 2

x

﹣x

(1)若 f(x)的最小值记为 h(a) ,求 h(a)的解析式; (2)是否存在实数 m,n 同时满足以下条件: ①log3m>log3n>1; 2 2 ②当 h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n ,m ].若存在,求出 m,n 的值,若不存在,说 明理由.

2014-2015 学年辽宁省协作校高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知集合 A={x|x>2},B={x|1<x<3},则 A∩B=() A.{x|x>2} B.{x|x>1} C.{x|2<x<3} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接利用交集运算求得答案. 解答: 解:∵A={x|x>2},B={x|1<x<3}, ∴A∩B={x|x>2}∩{x|1<x<3}={x|2<x<3}.

D.{x|1<x<3}

故选:C. 点评: 本题考查交集及其运算,是基础的计算题. 2. (5 分)下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是() A.y=e
﹣x

B.y=x

C.y=lnx

D.y=|x|

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数单调性的性质和函数成立的条件,即可得到结论. 解答: 解:A.函数的定义域为 R,但函数为减函数,不满足条件. B.函数的定义域为 R,函数增函数,满足条件. C.函数的定义域为(0,+∞) ,函数为增函数,不满足条件. D.函数的定义域为 R,在(0,+∞)上函数是增函数,在(﹣∞,0)上是减函数,不满足条 件.

故选:B. 点评: 本题主要考查函数定义域和单调性的判断,比较基础. 3. (5 分)与 y=|x|是同一个函数的是() A.y= B.y=( )
2

C.y=

D.y=x

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 判断两个函数是否为同一函数就看对应法则和定义域是否相同,所以可通过对每个 选项的函数解析式进行化简看能否得到解析式 y=|x|并且定义域也相同,这样即可找出正确选 项. 解答: 解:A.y= B.y= C.y= ,∴该函数与 y=|x|是同一个函数;

,与 y=|x|的对应法则不同,∴不是同一函数; ,与 y=|x|的对应法则不同,∴不是同一函数;

D.y=x 与 y=|x|的对应法则不同,∴不是同一函数. 故选 A. 点评: 考查函数的对应法则和定义域的概念,根式的运算,以及判断两函数是否为同一函 数的方法:看对应法则和定义域是否都相同. 4. (5 分)设 f:x→x 是集合 M 到集合 N 的映射,若 N={1,2},则 M 不可能是() A.{﹣1} B.{﹣ , } C.{1, ,2} D.{﹣ , ﹣1, 1, 考点: 映射. 专题: 计算题. 分析: 直接利用映射的概念逐一核对四个选项即可得到答案. 解答: 解:当集合 M 分别是{﹣1},{ },{ }时,由映射 2 概念可知,在 f:x→x 的作用下,都能够构成 M 到 N={1,2}的映射,而 M={1, ,2}时, 2 在 f:x→x 的作用下,2 在集合 N 中没有像. ∴M 不可能是{1, ,2}. 故选 C. 点评: 本题考查了映射的概念,是基础的概念题. 5. (5 分)已知集合 A={0,1,2},B{1,2,3},则?(A∪B) (A∩B)=() A.{0,3} B.{1,2} C. ? D.{0,1,2,3} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合 A∪B,A∩B,然后求解?(A∪B) (A∩B)即可. 解答: 解:集合 A={0,1,2},B{1,2,3},A∪B={0,1,2,3}, A∩B={1,2}
2

}

∴?(A∪B) (A∩B)={0,3} 故选:A. 点评: 本题考查集合的基本运算,基本知识的考查.

6. (5 分)函数 f(x)= A.(0,2) B.(0,2]

的定义域为() C.(2,+∞) D.[2,+∞)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)的解析式,分母不为 0,被开方数大于或等于 0,对数的真数大于 0, 列出不等式,求出解集即可. 解答: 解:∵函数 f(x)= ,

∴log2(x﹣1)>0, 即 x﹣1>1, 解得 x>2; ∴f(x)的定义域为(2,+∞) . 故选:C. 点评: 本题考查了求函数定义域的问题,解题的关键是列出使解析式有意义的不等式,是 基础题.

7. (5 分)幂函数 f(x)的图象过点(3, A.f(x)= B.f(x)=

) ,则 f(x)的解析式是() C.f(x)= D.f(x)=

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设幂函数 f(x)=x ,把点(3, 解答: 解:设幂函数 f(x)=x , ∵幂函数 f(x)的图象过点(3, ∴ =3 ,
α α α

)代入即可解出.

) ,

解得 α= . 故选:D. 点评: 本题考查了幂函数的定义,属于基础题. 8. (5 分)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象可能是()
a

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 结合对数函数和幂函数的图象和性质,分当 0<a<1 时和当 a>1 时两种情况,讨论 a 函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象,比照后可得答案. a 解答: 解:当 0<a<1 时,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象为:

此时答案 D 满足要求, a 当 a>1 时,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象为:

无满足要求的答案, 综上:故选 D 点评: 本题考查的知识点是函数的图象,熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质,是解 答的关键. 9. (5 分)已知函数 f(x+1)=x +2x﹣5,则 f(x)的解析式为() 2 2 2 2 A.f(x)=x B.f(x)=x ﹣6 C.f(x)=x +6 D.f(x)=x +6x
2

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中 f(x+1)=x +2x﹣5,将式子右边凑配成 a(x+1) +b(x+1)+c 的形式, 进而将(x+1)全部替换成 x 后,即可得到答案. 2 解答: 解:∵f(x+1)=x +2x﹣5 2 =(x+1) ﹣6 2 ∴f(x)=x ﹣6 故选:B. 点评: 本题考查的知识点是函数解析式的求解及其常用方法,本题使用的凑配法,是已知 复合函数解析式及内函数的解析式,求外函数解析式时常用的方法,请熟练掌握. 10. (5 分)集合 A={x∈R|ax ﹣2x+1=0}的子集恰有两个,则实数 a 的集合为() A.{a|a<1} B.{a|a<1 且 a≠0} C.{0,1} D.{1} 考点: 子集与真子集. 专题: 集合. 分析: 对 a 分类讨论:当 a=0 时,当 a≠0 时,分别解出即可. 解答: 解:当 a=0 时,A={ },此时集合 A 只有两个子集:?,{ },满足题意. 当 a≠0 时,∵集合 A={x∈R|ax ﹣2x+1=0}的子集恰有两个, 2 ∴ax ﹣2x+1=0 有两个相等的实数根,∴△=0,∴4﹣4a=0,解得 a=1. 此时 A={1},满足题意. 综上可得:实数 a 的集合为{0,1}. 故选:C. 点评: 本题考查了集合的性质、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论的思想方法,属 于基础题. 11. (5 分)设 a=log37,b=2 ,c=0.8 ,则() A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a
1.1 3.1 2 2 2 2

D.a<c<b

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别讨论 a,b,c 的取值范围,即可比较大小. 1.1 3.1 解答: 解:1<log37<2,b=2 >2,c=0.8 <1, 则 c<a<b, 故选:B. 点评: 本题主要考查函数值的大小比较,根据指数和对数的性质即可得到结论.
2 2

12. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (|x﹣a |+|x﹣2a | ﹣3a ) ,若对于任意的实数 x,都有 f(x﹣1)≤f(x)成立,则实数 a 的取值范围是() A.[﹣ , ] B.[﹣ , ] C.[﹣ , ] D.[﹣ , ]
2

考点: 绝对值不等式的解法. 分析: 把 x≥0 时的 f(x)改写成分段函数,求出其最小值,由函数的奇偶性可得 x<0 时的 函数的最大值,由对?x∈R,都有 f(x﹣1)≤f(x) ,可得 2a ﹣(﹣4a )≤1,求解该不等式得 答案. 解答: 解:当 x≥0 时,
2 2

f(x)=



由 f(x)=x﹣3a ,x>2a ,得 f(x)>﹣a ; 2 2 2 当 a <x<2a 时,f(x)=﹣a ; 2 2 由 f(x)=﹣x,0≤x≤a ,得 f(x)≥﹣a . 2 ∴当 x>0 时,f(x)min=﹣a . ∵函数 f(x)为奇函数, 2 ∴当 x<0 时,f(x)max=a . ∵对?x∈R,都有 f(x﹣1)≤f(x) , ∴2a ﹣(﹣4a )≤1,解得:﹣
2 2

2

2

2

≤a≤



故选:B. 点评: 本题考查了恒成立问题,考查了函数奇偶性的性质,运用了转化思想,对任意的实 数 x,都有 f(x﹣1)≤f(x)成立的理解与应用是关键,也是难点,属于难题. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知集合 A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x﹣y=0},则集合 A∩B={(0,0)}. 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 集合. 由集合 A、B 的条件联立方程组并解方程组,就不难得到答案 解:∵A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x﹣y=0},

∴A∩B 中的元素满足:

解得: 则 A∩B={(0,0)} 故答案为:{(0,0)} 点评: 本题考查交集及其运算、集合的表示方法,由于本题的结果表示含一个点的点集, 因此要特别注意正确的点集的表示形式.

14. (5 分)设函数 f(x)=

,则 f(f(﹣2) )=﹣4.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由分段函数的性质得 f(﹣2)=(﹣2) ﹣2=2,从而 f(f(﹣2) )=f(2)=﹣2 =﹣4. 解答: 解:∵f(x)=
2 2 2



∴f(﹣2)=(﹣2) ﹣2=2, 2 f(f(﹣2) )=f(2)=﹣2 =﹣4. 故答案为:﹣4. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数的性质的合理运 用. 15. (5 分)[x]表示不超过 x 的最大整数,则 f(x)=x ﹣[x]的零点集合是{﹣ }.
3

,﹣1,0,1,

考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 根据函数式子的意义列出 f(x)=

一部分即可判断,零点.

解答: 解:∵[x]表示不超过 x 的最大整数,f(x)=x ﹣[x],分类讨论列出部分

3

∴f(x)=

根据单调性可得;f(x)=x ﹣[x]的零点有: 故答案为:{﹣ ,﹣1,0,1, }

3

,﹣1,0,1,



点评: 本题考查了函数的新概念,零点的求解,单调性的运用,难度不大,但是化简要仔 细. (x∈R) ,四个小组的同学在

16. (5 分)在一次研究性学习中,老师给出函数 f(x)= 研究此函数时,讨论交流后分别得到一下四个命题: ①函数 f(x)的值域是(﹣1,1) ; ②若 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2) ; ③若规定 f1(x)=f(x) ,fn(x)=f(fn﹣1(x) ) ,则 fn(x)=

对任意的 n∈N 恒成立;

*

④若实数 a,b 满足 f(a﹣1)+f(b)=0,则 a+b 等于 1. 你认为上述四个命题中正确的序号有①②③④. (填写出正确的序号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ①,分 x>0 与 x≤0 讨论,可得函数 f(x)的值域是(﹣1,1) ,从而可判断①; ②,由①的分析可知,函数在每一分段上单调,从而可判断②; ③,依题意,可求得 f2(x)=f(f1(x) )= 归纳法可判断③; ④,利用 f(﹣x)= 质及②可判断④. 解答: 解:对于①,由 f(x)= 1) ; 当 x≤0 时 f(x)= =(﹣1+ )∈(﹣1,0) ,故函数 f(x)的值域是(﹣1,1) ,即 (x∈R)可知,当 x>0 时 f(x)= = ∈(0, =﹣ =﹣f(x)可判断该函数为奇函数,利用奇函数的性 ,f3(x)=f(f2(x) )= …,利用

①正确; 对于②,由①知,该函数在每一分段上单调,所以,若 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2) , ②正确; 对于③,∵f1(x)=f(x) ,fn(x)=f(fn﹣1(x) ) ,

∴f2(x)=f(f1(x) )=

=

,f3(x)=f(f2(x) )=

=



∴fn(x)=

对任意的 n∈N 恒成立,即③正确; =﹣ =﹣f(x) ,

*

对于④,∵f(﹣x)= ∴f(x)=

(x∈R)为奇函数,

又 f(a﹣1)+f(b)=0,

∴f(a﹣1)=﹣f(b)=f(﹣b) ,由②知,x1≠x2,必有 f(x1)≠f(x2) ,即若 f(x1)=f(x2) , 则 x1=x2, ∴a﹣1=﹣b, ∴a+b=1,即④正确. 故答案为:①②③④. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,综合考查函数的解析式、单调性及值域,考查归 纳法与推理运算能力,④中,分析 f(x)= (x∈R)为奇函数是关键,属于难题.

三、解答题(6 个小题,共 70 分) 17. (10 分)计算: (1)0.25 ﹣[﹣2×( ) ] ×[(﹣2) ]
0 2 3

+(

) ﹣2

﹣1



(2)



考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用指数幂的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则即可得出. 解答: 解: (1)原式= = = . =1. ﹣(﹣2) ×2 +
2 4



(2)原式=

点评: 本题考查了指数幂与对数的运算法则,属于基础题. 18. (12 分)我国是世界上严重缺水的国家之一.为了增强居民的节水意识,某市自来水公司 对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费.即每月用 10 吨水以内(包括 10 吨)的用户, 每吨收水费 3 元;每一个月用水超过 10 吨的用户,其中 10 吨水不分仍按每吨 3 元收费,超 过 10 吨的部分,按每吨 5 元收费.设一户居民月用水 x 吨,应收水费 f(x)元, (1)写出 f(x)与 x 之间的函数关系式; (2)已知居民甲上个月比居民乙多用 4 吨水,两家共收水费 100 元,求他们上月分别用水多 少吨? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用.

分析: (1)利用每月用 10 吨水以内(包括 10 吨)的用户,每吨收水费 3 元;每一个月用 水超过 10 吨的用户,其中 10 吨水不分仍按每吨 3 元收费,超过 10 吨的部分,按每吨 5 元收 费,可定 f(x)与 x 之间的函数关系式; (2)确定甲、乙两家上月用水均超过 10 吨,设甲、乙两家上月用水分别为 m 吨,m﹣4 吨, 建立方程,即可得出结论. 解答: 解: (1)∵每月用 10 吨水以内(包括 10 吨)的用户,每吨收水费 3 元;每一个月 用水超过 10 吨的用户,其中 10 吨水不分仍按每吨 3 元收费,超过 10 吨的部分,按每吨 5 元 收费, ∴f(x)= ;

(2)∵10×3+10×3+4×5=80<100, ∴甲、乙两家上月用水均超过 10 吨, 设甲、乙两家上月用水分别为 m 吨,m﹣4 吨, 则 5m﹣20+5(m﹣4)﹣20=100, ∴m=16, ∴甲家用水 16 吨,乙家用水 12 吨. 点评: 本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 19. (12 分)已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1) ,且 f(2)﹣f(4)=1. (1)若 f(3m﹣2)>f(2m+5) ,求实数 m 的取值范围; (2)求使 f(x﹣ )=log 3 成立的 x 的值.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)先根据条件求出 a 的值,得到函数为减函数,根据减函数的性质和对数函数的 定义域得到关于 m 的不等式组,解得即可. (2)根据对数函数的性质,得到关于 x 的方程,解得即可. 解答: 解: (1)∵f(2)﹣f(4)=1, ∴loga2﹣loga4=loga =1, ∴a= , ∴函数 f(x)=log x 为减函数,





∴ <m<7,

(2)∵f(x﹣ )=log

3,

∴x﹣ =3, 解得 x=1 或 x=4 点评: 本题主要考查了对数函数的性质,以及不等式的解法,属于基础题. 20. (12 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)在 x≥0 时的图象是如图所示的抛物线的一部分. (1)请补全函数 f(x)的图象; (2)写出函数 f(x)的表达式(不要过程) ; (3)若方程 f(x)=a 恰有 2 个不同的解,求实数 a 的取值范围.

考点: 分段函数的应用. 专题: 作图题;函数的性质及应用. 分析: (1)由偶函数的图象关于 y 轴对称,即可得到 f(x)的图象; (2)根据顶点坐标和 x 轴的交点坐标,即可得到函数的解析式; (3)作出直线 y=a,方程 f(x)=a 恰有 2 个不同的解,即为直线 y=a 和 f(x)的图象有两个 交点.通过图象即可得到 a 的范围. 解答: 解: (1)定义在 R 上的偶函数 f(x) , 则图象关于 y 轴对称, 如右图,即为 f(x)的图象; (2)f(x)= ;

(3)作出直线 y=a,方程 f(x)=a 恰有 2 个不同的解,即为直线 y=a 和 f(x)的图象有两个 交点. 由图可知,a=﹣2 或 a>0.

点评: 本题考查分段函数及运用,考查分段函数的图象和函数解析式,以及直线与曲线的 交点个数,属于中档题. 21. (12 分)已知函数 f(x)=e ﹣e ,其中 e 为自然对数的底数. (1)判断函数 f(x)定义在 R 上的奇偶性,并证明; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥me 在[﹣1,1]上恒成立,试判断 loga(﹣2t +2t)的值的正负 号,其中 t∈(0,1) . 考点: 指数函数综合题. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)证明 f(﹣x)=e ﹣e =﹣f(x)即可; (2)先求得﹣2
2
﹣x

x

﹣x

x

2

x

,再求得 a>e ﹣1>1,根据函数的性质

2

和图象可知 loga(﹣2t +2t)<0. 解答: 解: (1)函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 证明:f(﹣x)=e ﹣e =﹣f(x) ,所以 f(x)是奇函数. (2)∵m≤1﹣ 恒成立,∴m ,
﹣x

x

又因为函数 y=1﹣
2

在[﹣1,1]是增函数

∴m≤1﹣e 2x 2 即有 a>(e ﹣1)min,所以 a>e ﹣1 又因为﹣2
2

,且 a>e ﹣1>1

2

所以 loga(﹣2t +2t)<0. 点评: 本题是指数函数综合题,考察了函数的性质及应用,属于中档题. 22. (12 分)已知函数 f(x)=[2log4(2x)﹣(2a+1)]?log2x+3,x∈[ (1)若 f(x)的最小值记为 h(a) ,求 h(a)的解析式; (2)是否存在实数 m,n 同时满足以下条件: ①log3m>log3n>1; ,8]

②当 h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n ,m ].若存在,求出 m,n 的值,若不存在,说 明理由. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)令 t=log2x,可得 t∈[ ,3],y=t ﹣2at+3,由于函数 y 的对称轴方程为 t=a,分 类讨论求得 f(x)的最小值 h(a) . 2 2 (2) 由条件可得 m>n>3, h (a) =﹣6a+12, 根据 (a) 的值域可得﹣6n+12=n , 且﹣6m+12=m , 两式相减可得 6(m﹣n)=(m﹣n) (m+n) ,这不可能成立,从而得出结论. 解答: 解: (1)令 t=log2x,∵x∈[ ,8],∴t∈[ ,3],y=t ﹣2at+3. + ;
2 2

2

2

由于函数 y 的对称轴方程为 t=a,①当 a< 时,f(x)的最小值 h(a)=f( )=﹣
2

②当 a∈[ ,3]时,f(x)的最小值 h(a)=f(a)=﹣a +3;③当 a>3 时,f(x)的最小值 h (a)=f(3)=﹣6a+12.

综上可得,h(a)=



(2)由 log3m>log3n>1,可得 m>n>3,故 h(a)=﹣6a+12,而 h(a)在[n,m]上的值域 为[h(n) ,h(m)], 即[﹣6n+12,﹣6m+12]. 而已知 h(a)的值域为[n ,m ],可得﹣6n+12=n ,且﹣6m+12=m ,两式相减可得 6(m﹣n) =(m﹣n) (m+n) , 由 m>n>3 可得 6(m﹣n)=(m﹣n) (m+n) 不可能成立,故满足条件的 m、n 不存在. 点评: 本题主要考查对数函数的性质的综合应用,二次函数的性质应用,体现了转化的数 学思想,属于基础题.
2 2 2 2



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