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2014年人教A版必修二教案 4.2.1 直线与圆的位置关系



4.2.1

直线与圆的位置关系

【教学目标】 1.能根据给定的直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系. 2.通过直线与圆的位置关系的学习,体会用代数方法解决几何问题的思想. 3.通过本节内容的学习,进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性,逐步养成自 觉应用坐标法解决几何问题的习惯. 【教学重难点】 教学重点:直线与圆的位置关系的几何图

形及其判断方法. 教学难点:用坐标法判直线与圆的位置关系. 【教学过程】 ㈠情景导入、展示目标 问题: 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西 80km 处,受影响的范围是半径长为 30km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北 40km 处, 如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 运用平面几何知识,你能解决这个问题吗?请同学们动手试一下. ㈡检查预习、交流展示 1.初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几种? 2.怎样判断直线与圆的位置关系呢? ㈢合作探究、精讲精练 探究一:用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系? 教师:利用坐标法,需要建立直角坐标系,为使直线与圆的方程应用起来简便,在这个 实际问题中如何建立直角坐标系? 学生:以台风中心为原点 O,东西方向为 x 轴,建立直角坐标系,其中,取 10km 为单 位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为 O 的圆的方程为

x2 ? y2 ? 9
轮船航线所在直线 l 的方程为

x ? 2y ?8 ? 0 .
教师:请同学们运用已有的知识,从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系. 让学生自主探究,互相讨论,探究知识之间的内在联系。教师对学生在知识上进行适当 的补遗,思维上的启迪,方法上点拨,鼓励学生积极、主动的探究. 由学生回答并补充,总结出以下两种解决方法: 方法一:代数法

用心 爱心 专心

1

由直线与圆的方程,得: ?

?x2 ? y 2 ? 9 ?x ? 2 y ? 8 ? 0

消去 y,得 2x2 ? 4x ? 7 ? 0,

因为 △? (-4)2 ? 4 ? 2 ? 7 ? ?40 <0 所以,直线与圆相离,航线不受台风影响。 方法二:几何法 圆心(0,0)到直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 的距离

d?

1? 0 ? 2 ? 0 ? 8 12 ? 22

?

8 8 5 ? ?3 5 5

所以,直线与圆相离,航线不受台风影响. 探究二:判断直线与圆的位置关系有几种方法? 让学生通过实际问题的解决,对比总结,掌握方法. ①代数法: 由方程组 ?

? Ax ? By ? C ? 0
2 2 2 ?( x ? a) ? ( y ? b) ? r



得 mx2 ? nx2 ? p ? 0(m ? 0) ,

? ? n 2 ? 4mp
? ? 0 ,则方程组有两解,直线与圆相交; ? ? 0 ,则方程组有一解,直线与圆相切;? ? 0 ,
则方程组无解,直线与圆相离. ②几何法: 直线与圆相交 ,则 d ? r ;直线与圆相切 ,则 d ? r ;直线与圆相离 ,则 d ? r . 例 1 已知直线 l:x+y-5=0 和圆C:

x ?y
2

2

? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 ,判断直线和圆的

位置关系. 解析:方法一,判断直线与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数 解;方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系,判断直线与圆的位置关系. 解:(法一) 联立方程组,消 y 得

2 x ? 20 x ? 43 ? 0
因为

2

??
所以直线与圆相交. (法二) 将圆的方程化为

??20? ? 4 ? 2 ? 43 ? 216 ? 0
2 2 2

?x?2? ? ? y ?3? ? 5 .
2

可得圆心C(2,-3),半径 r=5.
用心 爱心 专心 2

因为圆心到直线的距离 d= 3 2 <5, 所以直线与圆相交. 点评:巩固用方程判断直线与圆位置关系的两种方法. 变式 1.判断直线 x-y+5=0 和圆C: 解:将圆的方程化为
2

x ?y
2 2

2

? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 的位置关系.

?x?2? ? ? y ?3? ? 5 .
2

可得圆心C(2,-3),半径 r=5. 因为圆心到直线的距离 d= 5 2 >5, 所以直线与圆相离. 例 2.求直线 l:3x-y-6=0 被圆C:

x ?y
2

2

? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦AB的长.

解析:可以引导学生画图分析几何性质. 解:(法一) 将圆的方程化为

?x?1? ? ? y ?2? ? 5 .
2 2

可得圆心C(1,2),半径 r= 5 . 圆心到直线的距离

d?

3? 2?6 10

?

10 . 2

弦AB的长 AB ? 2 5 ? (法二) 联立方程组,消 y 得

5 ? 10 . 2

x
得 则

2

? 5x ? 6 ? 0

x ? 2, x
1

2

? 3,

y

1

? 0, y ? 3 ,
2

所以直线 l 被圆C截得的弦AB的长

AB ?
(法三) 联立方程组,消 y 得

?2?3? ? ?0?3? ?
2 2

10 .

x

2

? 5x ? 6 ? 0

根据一元二次方程根与系数的关系,有

x ?x
1

2

? 5, x1 x2 ? 6.
3

用心 爱心 专心

直线 l 被圆C截得的弦AB的长

AB ? ?

?1 ? k ?? ?4x x ? ? ? ? x x 1 2 ? ? ? ? ?1 ? 3 ??5 ? 4 ? 6?
2 2 1 2 2 2

? 10
点评:强调图形在解题中的辅助作用,加强了形与数的结合. ㈣反馈测试 导学案当堂检测 ㈤总结反思、共同提高 位置关系 相交 相切 相离 几何特征 有两个公共点 有且只有一公共 点 没有公共点 方程特征 方程组有两个不同实根 方程组有且只有一实根 方程组无实根 几何法 d<r d=r d>r 代数法 △>0 △=0 △<0

【板书设计】 一.直线与圆的位置关系 (1)相交,两个交点; (2)相切,一个交点; (3)相离,无交点. 二.实例的解决 方法一 方法二 三.判断直线与圆位置关系的方法 四.例题 例1 变式 1 例2 【作业布置】 导学案课后练习与提高

用心 爱心 专心

4



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