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:5[1].3 平面向量的数量积及应用(师版)



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5.3 平面向量的数量积及应用
【考纲解读】 1.平面向量的数量积 (1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义. (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系. (3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. (4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2.向量的

应用 (1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. (3)会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题. 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.平面向量是历年来高考重点内容之一,经常与三角函数、立体几何、解析几何、不等式等 知识结合起来考查, 在选择题、 填空题与解答题中均有可能出现, 平面向量的数量积的考查, 经常以选择题与填空题的形式单独考查,有时也在解答题中与其他知识结合起来考查,在考 查平面向量知识的同时,又考查转化思想和分类讨论等思想,以及分析问题、解决问题的能 力. 2.2013 年的高考将会继续保持稳定,坚持考查平面向量与其他知识的结合,或在选择题、填 空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1.向量数量积的定义: a ? b ?| a || b | ? cos a, b . 2.数量积的几何意义:向量 a 与向量 b 在 a 方向上的投影的乘积. 3.向量数量积的性质 (1)如果 e 是单位向量,则 a · e = e · a = | a | ? cos a, b . (2) a ? b ? a · b =0,且 a · b =0 ? a ? b .
2 (3) a · a = | a | ;| a |= a ? a .

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? ? ? ? a ?b ? . (4)cos< a , b >= ? | a |?| b |
(5)| a · b | ? | a |·| b |. 4.数量积的运算律 (1)交换律 a · b = b ? a . (2)分配律( a + b )· c = a ? c ? b ? c . (3)对 ? ? R, ? ( a · b )=( ? a )· b = a ·( ? b ). 5.数量积的坐标运算 设 a = ? a1 , a2 ? , b = ? b1 , b2 ? . (1) a · b = a1b1 ? a2b2 . (2) a ? b ? a1b1 ? a2b2 . (3)| a |= a1 ? a2 .
2 2

?

?

?

?

?

? ? ?

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? ? ? ? ? ? ?

?

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?

?

?

? ?

?

?

?

(4) cos< a , b >=

? ?

a1b1 ? a2b2 a ? a2 2 ? b12 ? b2 2
2 1

.

【例题精析】 考点一 向量的数量积运算

例 1.(2012 年高考湖南卷理科 7)在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB ?BC = 1 则 BC ? ___ . A. 3 B. 7 C. 2 2 D. 23

??? ??? ? ?

【 源全 , ? 中 来 : 品 &

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【变式训练】
? ?

1.(2011 年 高 考 江 苏 卷 10) 已 知 e1 , e2 是 夹 角 为
?

2 ? 的两个单位向量, 3
.

a ? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 , 若 a ? b ? 0 ,则 k 的值为

?

? ?

?

?

? ?

考点二

向量数量积的综合应用

例 2. (2012 年高考江苏卷 9)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , ? 2 ,点 E 为 BC 的 BC

??? ???? ? ??? ??? ? ? 中点,点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是





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【变式训练】

AP 2. (2012 年高考湖南卷文科 15)如图 4, 在平行四边形 ABCD 中 , AP⊥BD, 垂足为 P, ? 3
且 AP ?AC =

??? ???? ?

.

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问题:平面向量的数量积 例.(2012 年高考湖北卷文科 13)已知向量 a =(1,0) b =(1,1) , ,则 (Ⅰ)与 2a ? b 同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量 b ? 3a 与向量 a 夹角的余弦值为____________。

?

?

? ? ?

?

?

【课时作业】

b 1.(2011 年高考全国卷文科 3)设向量 a、 满足| a |=| b |=1, a ? b = ?
(A)

??

?

?

? ?

? ? 1 ,则 a ? 2b ? ( 2

)

2

(B) 3

(C) 5

(D) 7

2. ( 安 徽 省 皖 南 八 校 2012 届 高 三 第 二 次 联 考 理 科 ) 设 向 量 a, b 满 足 :

? ?

? ? ? 3 ? ? ? | a |? 2, a ? b ? ,| a ? b |? 2 2 ,则 | b | 等于( 2 1 3 A、 B、1 C、 2 2
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) D、2

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3. (2012 年高考陕西卷文科 7)设向量 a =(1. cos ? )与 b =(-1, 2 cos ? )垂直,则 cos 2? 等于 ( )

?

?

A

2 2
? ? ? ?

B

1 2

C .0

D.-1

【答案】C 【解析】? a ? b,? a ? b ? 0,??1 ? 2 cos 2 ? ? 0,? cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 0. 正确的是 C. 4. (浙江省宁波市鄞州区 2012 年 3 月高考适应性考试文科)在边长为 6 的正 ?ABC 中, M 点 满足 BM ? 2MA, 则 CM ? CB 等于( )

A.6

B.12

C.18

D.24

? ? 5.(北京市东城区 2012 年 1 月高三考试文科)已知向量 a ? (3, ?2) , a ? (3m ? 1, 4 ? m) ,若 ? ? a ? b ,则 m 的值为 .

【答案】 1
? ? ? ? 【解析】 ? a ? b,? a ? b ? 3(3m ? 1) ? (?2)(4 ? m) ? 0,? m ? 1

6. (2011 年高考海南卷文科 13)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量

?

?

? ? ? ? a ? b 与向量 ka ? b 垂直,则 k ?

.

? ? b ? 2, 7.(2011 年高考安徽卷文科 14)已知向量 a,b 满足(a+2b)· (a-b)=-6,且 a ? ,
则 a 与 b 的夹角为 .

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8. (2011 年高考江西卷文科 11)已知两个单位向量 e1 ,e2 的夹角为

?
3

, 若向量 b1 ? e1 ? 2e2 ,

b2 ? 3e1 ? 4e2 ,则 b1 ? b2 =_

__.

9.(安徽省“江南十校”2012 年 3 月高三联考文科)若

,且

,则

与 的夹角是__________. 【答案】

2 ? 3
? ? ?

【解析】∵ ( a ? b ) ? a , ∴ ( a ? b ) ? a ? 0 ? a ? a ? b ? 0 ? a ? b ? ?4 ? a ? b cos ? ? ?4
? ? ? ?2 ? ?
? ?

?

?

1 2? ? cos ? ? ? ∴ ? ? 2 3
【考题回放】 1.(2012 年高考辽宁卷文科 1)已知向量 a = (1,—1),b = (2,x).若 a ·b = 1,则 x =( (A) —1
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)

(B) —

1 2

(C)

1 2
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(D)1
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【答案】D 【解析】? a ? b ? 2 ? x ? 1,? x ? 1 ,故选 D. 2.(2012 年 高 考 重 庆 卷 文 科 6) 设 x ? R , 向 量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b , 则

?

?

?

?

? ? | a ? b |? (
(A) 5

) (B) 10 (C) 2 5 (D) 10

3. (2012 年高考福建卷文科 3)已知向量 a= (x-1,2) b= , (2,1) 则 a⊥b 的充要条件是( , A.x=-

)

1 2

B.x=-1

C.x=5

D.x=0

4.(2012 年高考天津卷理科 7)已知△ABC 为等边三角形,AB =2 , 设点 P, 满足 AP =? AB , Q

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ???? ???? 3 AQ =(1 ? ? ) AC , ? ? R ,若 BQ ? CP = ? ,则 ? = ( 2
(A)

)

1 2

(B)

1? 2 2

(C)

1 ? 10 2

(D)

?3 ? 2 2 2

【答案】A 【解析】∵ BQ = AQ ? AB = (1 ? ? ) AC ? AB , CP = AP ? AC = ? AB ? AC ,

??? ???? ??? ? ?

???? ??? ?

??? ??? ???? ? ?

??? ???? ?

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5. (2012 年高考广东卷理科 8)对任意两个非零的平面向量? 和 ? ,定义 ? ? ? ? 平 面 向 量 a, b 满 足 a ? b ? 0 , a 与 b 的 夹 角 ? ? (0,

? ?? ;若 ? ??

? ?

?

?

?

?

?
4

? ? ? ? ) ,且 a ?b 和 b?a 都在集合

? ? ?n ? n ? Z } 中,则 a ? b ? ( ?2
A.

)

1 2

B.1

C.

3 2

D.

5 2

6.(2011 年高考广东卷理科 3)若向量 a,b,c 满足 a∥b 且 a⊥c,则 c·(a+2b)=( A.4 B.3 C.2 D.0



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??? ???? ? 7.(2012 年高考浙江卷 15)在 ? ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB ? AC =

______________.

8. (2010 年高考广东卷理科 10)若向量 a =(1,1,x), b =(1,2,1),

r

r

r c =(1,1,1), 满足条件

r r r (c ? a ) ? (2b) =-2,则 x =

.

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