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江苏省清江中学学高二数学下学期期中试题理-精



江苏省清江中学 2015—2016 学年度第二学期期中考试 高二数学(理科)试卷
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.只要求写出结果,不必写出计算和推理过程.请 把答案写在答题卡相应位置 上. ....... 1.复数 (i 是虚数单位)的虚部是 ▲ . ▲ .

2. 甲、 乙两人射击, 中靶的概率分别为 0.8, 0.

9, 若两人同时独立射击, 他们都击中靶的概率为 3.用数字 0,1,2,3,7 组成 ▲ 个没有重复数字的五位偶数.

k (k=1,2,3,4),则 a 等于___▲____. 2a 5.如果三点 A(1,5, ?2) , B(3, 4,1) , C (a,3, b ? 2) 在同一直线上,则 a ? b ? __▲____.
4.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= 6. 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛, 设随机变量 X 表示所选 3 人中女生的人数, 则 P(X≤1) 等于 ▲ . 2 2 2 2 7.若 f(n)=1 +2 +3 +…+(2n) ,则 f(k+1)与 f(k)的递推关系式是____▲_ ___. 3 3 3 3 3 8.对于数 25,规定第 1 次操作为 2 +5 =133,第 2 次操作为 1 +3 +3 =55,如此反复操作,则第 2016 次操 作后得到的数是 ▲ 9. ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ? ? ?1 ? x ? 的展开式中 x3 的系数为
2 3 15





10 . 设 f ( x ) ?

1 ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得 4 ?2 1 2 9 f ( ) ? f ( ) ?? ? f ( ) ? ▲ . 10 10 10
x

11.用 5 种不同的颜色给右图中所给出的四个区域涂色, 每个区域涂一种颜色,若要求相邻(有公共边) 的区域不同色,那么共有 ▲ 种不同的涂色方法. * 12.如右图,在杨辉三角形中,从上往下数共有 n(n∈N ) 行,在这些数中非 1 的数字之和是____▲______. n * 13.若存在正整数 m,使得 f(n)=(2n-7)3 +9(n∈N )能被 m 整除, 则 m 的最大值为 ▲_____. 2 8 14.若 ( x ? 3x ? 1) ? (2x ? 1) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a20 x 20 ,则 a2=

1 1 1 1 1 4 3 6 … 2 3 4 1 1 1 1





二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.[来源:学+科网ZXK] 15. (本小题满分 14 分) 已知 z 是复数,z+2i、 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai) 在复平面上对应的点在第一象 2-i 限,求实数 a 的取值范围.

z

2

16. (本小题满分 14 分)
m m?1 m (1)证明: Cn ? Cn ? Cn ?1 ;
1 2 3 n (2)证明: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n ? 2n?1

17. (本小题满分 14 分) 设函数 y=f (x),对任意实数 x,y 都有 f (x+y)=f (x)+f (y)+2xy.[来源:学.科网ZXK] (1)求 f (0)的值;
1

(2)若 f (1)=1,求 f (2),f (3),f (4)的值; * (3)在(2)的条件下,猜想 f (n)(n∈N )的表达式并用数学归纳法证明。

18. (本小题满分 16 分) (1)现有 5 名男生和 3 名女生.若从中选 5 人,且要求女生只有 2 名,站成一排,共有多少种不同的 排法? 2 (2)从{﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函数 y=ax +bx+c 的系数,问能 组成多少条经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线? (3)已知( +2x) ,若展开式中第 5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二 项式系数最大项的系数.
n

19. (本小题满分 16 分) 如图所示,已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=4, E 是棱 CC1 上的点,且 BE⊥B1C. (1)求 CE 的长; (2)求证:A1C⊥平面 BED; (3)求 A1B 与平面 BDE 所成角的正弦值.

20. (本小题满分 14 分) 从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产品中, 一件一件地抽取产品, 设各个产品被抽取到的可能性相同。 在下列三种情况下,分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数 x 的分布列。 (1)每次取出的产品都不放回此批产品中; (2)每次取出的产品都立即放回此批产品中,然后再取出一件产品; (3)每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中。

2

高二数学(理科)参考答案 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 4 2 2 1. ; 2.0.72; 3.42; 4.5; 5.7; 6. ;7.f(k+1)=f(k)+(2k+1) +(2k+2) ; 5 8.250; 9.1820;10.

9 n ;11.260; 12.2 -2n; 13.6; 14.476; 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解:设 z=x+yi(x、y∈R),所以 z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2.………2 分 z x-2i 1 1 1 因为 = = (x-2i)(2+i)= (2x+2)+ (x-4)i. ………4 分 2-i 2-i 5 5 5 由题意得 x=4,所以 z=4-2i.……6 分 2 2 所以(z+ai) =(12+4a-a )+8(a-2)i,……8 分

?12 ? 4a ? a 2 ? 0 由于(z+ai) 在复平面上对应的点在第一象限,所以 ? ……10 分 ?8(a ? 2) ? 0
2

解得 2<a<6,………12 分故实数 a 的取值范围是(2,6). ……14 分 16.解: (1)证明:三种方法:法一:直接代公式(略) ;法二: (构造)从一个装有 n 个不同的红球
m 和 1 个黄球的口袋中取出 m 个不同球,共得到 Cn 个不同组合,我们可将这些组合分成两类:一类全是红 ?1 m m?1 球, 则从 n 个红球中取, 可得到 C n 个不同组合; 一类含有黄球, 则从 n 个红球中再取出 m-1 个, 则得到 Cn

m m?1 m 个不同组合,所以 Cn ? Cn ? Cn ?1 ;……7 分

法三(构造)分别求(1+x) 和(1+x)(1+x) 的展开式中 x 的系数
m (1+x) 的展开式中 x 的系数为 Cn ; ?1
n+1 m

n+1

n

m

0 1 m?1 m?1 m m n n (1+x)(1+x) =(1+x)( Cn ? Cn x ? ? ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x )的展开式中 x 的系数为
n m

m m m?1 m?1 1 ? Cn +1 ? Cn = Cn + Cn ,因为 (1+x) =(1+x)(1+x) ,所以展开式中 x 的系数也相等,所以
n+1 n m

m m?1 m Cn ? Cn ? Cn ?1 …………7 分

(2)法一:倒序相加法(略) ;[来源:学*科网]
r r ?1 0 1 n n 法二:公式法:利用公式 rC n ? nCn ?1 和 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2
0 1 2 2 n n 法三:构造函数 f (x)=(1+x) = Cn ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x ,两边求导得:
n

1 2 1 3 2 n n?1 n(1 ? x) n?1 ? Cn ? 2Cn x ? 3Cn x ? ? nCn x
1 2 3 n 令 x=1 得: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n ? 2n?1 成立

法四:数学归纳法(略)………………………………………………14 分 17.解答:(1)令 x=y=0,得 f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0,得 f(0)=0. …………2 分 (2)由 f(1)=1,得 f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=4. f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+2×2×1=9.f(4)=f(3+1)=f(3)+f(1)+2×3×1=16.……5 分 2 (3)由(2)可猜想 f(n)=n ,………7 分[来源:学科网] 用数学归纳法证明: 2 (i)当 n=1 时,f(1)=1 =1 显然成立.…………8 分
3

(ii)假设当 n=k 时,命题成立,即 f(k)=k , ……………………………10 分 2 2 则当 n=k+1 时,f(k+1)=f(k)+f(1)+2×k×1=k +1+2k=(k+1) , 故当 n=k+1 时命题也成立, …………………………………………12 分 * 2 由(i),(ii)可得,对一切 n∈N 都有 f(n)=n 成立. …………………………14 分
2 3 18.解答: (1)分三步完成:先从 3 名女生中选出 2 名,有 C3 种方法,再从 5 名男生中选出 3 名,有 C5
5 种方法,将选择出的 5 人全排列,有 A5 ,

2

2 3 5 根据分步计数原理,共有 C3 =3600 种;………………………………4 分 C5 A5

(2)因为抛物线过原点,所以 c=0,c 只有 1 种取法; 当顶点在第一象限时,必开口向下,且对称轴在 y 轴右边,所以 a<0,b>0 所以 a 可取-1,-2,-3,有 3 种方法;b 可取 1,2,3,4,有 4 种方法, 共得到 3 ? 4=12 条抛物线;…………………………………………………6 分 当顶点在第三象限时,必开口向上,且对称轴在 y 轴左边,所以 a>0,b>0,
2 即 a,b 只能在 1,2,3,4 中取,由于 a,b 不相同,所以有 A4 种取法, 2 2 得到 A4 条抛物线……8 分 所以共有不同的抛物线条数为 A4 +12=24 条.……9 分

(3) ( +2x) 的若展开式通项 Tr ?1 ? C n ( )
n

r

1 2

n?r

r (2 x) r ? C n ? 2 2r ?n ? x r

因为第 5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列
4 6 5 所以 Cn ,解得 n=7 或 n=14 ? Cn ? 2Cn

……………………………11 分

所以当 n=7 时,二项式系数最大的项是 T4 和 T5,

35 3 35 4 x , T5= C7 ? 28?7 x ? 70x ,系数分别为 ,70…13 分 2 2 7 14 ?14 7 7 7 所以当 n=14 时,二项式系数最大的项是 T8 ? C14 ? 2 x ? C14 x ,
其中 T4= C 7 ? 2
3 6?7

x3 ?

7 系数为 C14 =3432…16 分 19.解答: (1)解 如图所示,以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 D—xyz. ∴D(0,0,0) ,A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) , A1(2,0,4) ,B1(2,2,4) ,C1(0,2,4) ,D1(0,0,4).

设 E 点坐标为(0,2,t) ,则 BE =(-2,0,t) , B1C =(-2,0,-4). ∵BE⊥B1C, ∴ BE · B1C =4+0-4t=0.∴t=1,故 CE=1. …………………4 分 (2)证明 由(1)得,E(0,2,1) , BE =(-2,0,1) , 又 A1C =(-2,2,-4) , DB =(2,2,0) , ∴ A1C · BE =4+0-4=0,且 A1C · DB =-4+4+0=0. ∴ A1C ⊥ DB 且 A1C ⊥ BE , 即 A1C⊥DB,A1C⊥BE,又∵DB∩BE=B, ∴A1C⊥平面 BDE.即 A1C⊥平面 BED. ……………10 分 (3)解 由(2)知 A1C =(-2,2,-4)是平面 BDE 的 一个法向量.又 A1 B =(0,2,-4), ∴cos〈 A1C , A1 B 〉=
A1C ? A1 B A1C A1 B

=

30 . 6
4

∴A1B 与平面 BDE 所成角的正弦值为

30 .……………………………………16 分 6

20.解: (1)ξ 的取值为 1,2,3,4。当 ξ =1 时,只取一次就取到合格品,∴P(ξ =1)= 即第一次取到次品,而第二次取取到合格品,

10 ;当 ξ =2 时, 13

3 10 5 ? ? ;类似地有 13 12 26 3 2 10 5 3 2 1 10 1 ? ? ? ? ? P(ξ =3)= ? ,P(ξ =4)= ? , 13 12 11 143 13 12 11 10 286
∴P(ξ =2)= ∴ξ 的分布列为(略) ………………………………………………………4 分 (2)ξ 的取值为 1,2,3,…,n,…。 当 ξ =1 时,只取一次就取到合格品,∴P(ξ =1)=

10 ; 13 3 10 ? ; 13 13

当 ξ =2 时,即第一次取到次品,而第二次取取到合格品,∴P(ξ =2)= 当 ξ =3 时,即第一、二次均取到次品,而第三次取取到合格品, ∴P(ξ =2)=

3 3 10 ? ? ; 13 13 13

类似地当 ξ =n 时, 即前 n-1 次均取到次品,而第 n 次取到合格品,

3 n-1 10 ) ? ,n=1,2,3,… ∴ξ 的分布列为(略)……………10 分 13 13 10 (3)ξ 的取值为 1,2,3,4。当 ξ =1 时,只取一次就取到合格品,∴P(ξ =1)= ;当 ξ =2 时,即 13
∴P(ξ =n)=( 第一次取到次品,而第二次取取到合格品,注意第二次取时,这批产品有 11 个合格品, 2 个次品, ∴P(ξ =2)=

3 11 33 ? ? ; 13 13 13 2 3 2 12 72 3 2 1 13 6 ? 3 ;P(ξ =4)= ? ? ? ? 3 , 类似地,P(ξ =3)= ? ? 13 13 13 13 13 13 13 13 13
∴ξ 的分布列为(略) ………………………………………………………16 分[来源:学.科网ZXK]

5



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