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【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第二节 一元二次不等式及其解法课件 理 新人教A版



第二节

一元二次不等式及其解法

一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判别式 Δ=b2-4ac 二次函数
y=ax2+bx+c (a>0)的图像

Δ>0

Δ=0

Δ<0

一元二次方程 ax +bx+c=

0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
2

有两相异实根 x1,x2(x1<x2)

有两相等实根 b x1=x2=-2a
b {x|x≠-2a}

没有实数根

{x|x<x1或x>x2}

R

{x|x1<x<x2}

?

?

1. 二次项系数中含有参数时, 则应先考虑二次项是否为零, 然后再讨论二次项系数不为零时的情形,以便确定解集的形式.

2.当 Δ<0 时,易混 ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 R 还是?.

[试一试]
1.(2013· 浙江高考)设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0}, 则(?RS)∪T= A.(-2,1] C.(-∞,1] B.(-∞,-4] D.[1,+∞) ( )

解析:T= {x|-4≤x≤1},根据补集定义, ?RS={x|x≤-2},所以(?RS)∪T={x|x≤1},选 C .

2.不等式ax A.10 C.14

2

? 1 1? +bx+2>0的解集是?-2,3?,则a+b的值是( ? ?

)

B.-10

D.-14 1 1 解析:由题意知-2、3是 ax2+bx+2=0 的两根.
则 a=-12,b=-2.a+b=-14.故选 D .

3.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范 围是______.
解析:∵不等式x2+ax+4<0的解集不是空集, ∴Δ=a2-4×4>0,即a2>16. ∴a>4或a<-4.

答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)

1.由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常 用结论
2

(1)不等式 ax +bx+c>0 对任意实数 x
? ?a>0, 或? ? ?Δ<0.

? ?a=b=0, 恒成立?? ? ?c>0,

(2)不等式 ax2+bx+c<0 对任意实数 x
? ?a<0, 或? ? ?Δ<0.

? ?a=b=0, 恒成立?? ? ?c<0,

2.分类讨论思想
解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根 的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行分 类讨论,分类要不重不漏.

[练一练]
若不等式mx2+2mx+1>0的解集为R,则m的取值范围是 ______.

解析:①当m=0时,1>0显然成立. ②当m≠0时,由条件知
? ?m>0, ? 2 ? Δ = 4 m -4m<0. ?

得0<m<1, 由①②知0≤m<1.
答案:[0,1)

[典例]

解下列不等式:

(1)0<x2-x-2≤4; (2)x2-4ax-5a2>0(a≠0).

[解]

(1)原不等式等价于
2 ? ?x -x-2>0, ?? 2 ? ?x -x-6≤0

2 ? ?x -x-2>0, ? 2 ? ?x -x-2≤4

? ??x-2??x+1?>0, ?? ? ??x-3??x+2?≤0

? ?x>2或x<-1, ?? ? ?-2≤x≤3.

借助于数轴,如图所示, 原不等式的解集为 x|-2≤x<-1或2<x≤3 . (2)由 x2-4ax-5a2>0 知(x-5a)(x+a)>0. 由于 a≠0 故分 a>0 与 a<0 讨论. 当 a<0 时,x<5a 或 x>-a; 当 a>0 时,x<-a 或 x>5a. 综上,a<0 时,解集为 x|x<5a或x>-a ;a>0 时,解集 为 x|x>5a或x<-a .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

[类题通法]
1.解一元二次不等式的一般步骤:

(1)对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0,即 ax2 +bx+c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0); (2)计算相应的判别式;
(3)当 Δ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图像,写出不等式的解集.

2. 解含参数的一元二次不等式, 要把握好分类讨论的层次, 一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行分 类,其次根据根是否存在,即 Δ 的符号进行分类,最后在根存 在时,根据根的大小进行分类.

[针对训练]
解下列不等式:
(1)-3x2-2x+8≥0; (2)ax2-(a+1)x+1<0(a>0).

解:(1)原不等式可化为 3x2+2x-8≤0, 即(3x-4)(x+2)≤0. 4 解得-2≤x≤3,
? ? ? 4 ? ? 所以原不等式的解集为 x -2≤x≤3 ? ? ? ? ? ?. ? ?

(2)原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,
? 1? 因为a>0,所以a?x-a?(x-1)<0. ? ?

1 所以当a>1时,解为a<x<1; 当a=1时,解集为?; 1 当0<a<1时,解为1<x<a.
? ? ? 1 ? ? 综上,当0<a<1时,不等式的解集为 x 1<x<a ? ? ? ? ? ?; ? ?

当a=1时,不等式的解集为?;
? ? ?1 当a>1时,不等式的解集为?x?a<x<1 ? ? ? ? ? ?. ? ?

一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系. 在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系, 并在一定 条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题,常根据二次函 数图像与 x 轴的交点情况确定判别式的符号, 进而求出参数的取值 范围.归纳起来常见的命题角度有:

?1?形如 f?x?≥0?x∈R?确定参数的范围;
?2?形如 f?x?≥0?x∈[a,b]?确定参数范围;
?3?形如 f?x?≥0?参数 m∈[a,b]?确定 x 的范围.

角度一

形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围

1.(2013· 重庆高考)设 0≤α≤π,不等式 8x2-(8sin α)x+cos 2α≥0 对 x∈R 恒成立,则 α 的取值范围为________.
解析:根据题意可得(8sin α)2-4×8cos 2α≤0,即 2sin2α-cos 1 1 2α≤0 , 2sin α - (1 - 2sin α)≤0 , 即 - 2 ≤sin α≤ 2 . 因 为
2 2

? ? ? ? 5? ? 0≤α≤π,故 α∈ ? 0, ? ∪ ? ,? ? . ? 6? ? 6 ?
? ? ? ? 5? ? 答案: ? 0, ? ∪ ? ,? ? ? 6? ? 6 ?

角度二

形如 f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围

2.对任意 x∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒大 于零,求 a 的取值范围.
a - 4 4- a 解:函数f(x)=x +(a-4)x+4-2a的对称轴为x=- 2 = 2 .
2

4- a ①当 2 <-1,即a>6时, f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(a-4)×(-1)+4-2a>0, 解得a<3,故有a∈?; 4- a ②当-1≤ 2 ≤1,即2≤a≤6时,

只要 f

?4-a? ?4-a? 4-a ? ? ? ?2 ? 2 ?=? 2 ? +(a-4)× 2 +4-2a>0, ? ? ? ?

即 a2<0,故有 a∈?; 4-a ③当 >1,即 a<2 时, 2 只要 f(1)=1+(a-4)+4-2a>0, 即 a<1,故有 a<1. 综上可知,当 a<1 时,对任意 x∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a- 4)x+4-2a 的值恒大于零.

角度三

形如 f(x)≥0(参数 m∈[a,b])确定 x 的范围

3.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大 于零,求x的取值范围.
解:由 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4, 令 g(a)=(x-2)a+x2-4x+4. 由题意知在[-1,1]上,g(a)的值恒大于零,
2 ? ?g?-1?=?x-2?×?-1?+x -4x+4>0, ∴? 2 ? ?g?1?=?x-2?+x -4x+4>0,

解得 x<1 或 x>3. 故