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【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第二节 一元二次不等式及其解法课件 理 新人教A版



第二节

一元二次不等式及其解法

一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判别式 Δ=b2-4ac 二次函数
y=ax2+bx+c (a>0)的图像

Δ>0

Δ=0

Δ<0

一元二次方程 ax +bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
2

有两相异实根 x1,x2(x1<x2)

有两相等实根 b x1=x2=-2a
b {x|x≠-2a}

没有实数根

{x|x<x1或x>x2}

R

{x|x1<x<x2}

?

?

1. 二次项系数中含有参数时, 则应先考虑二次项是否为零, 然后再讨论二次项系数不为零时的情形,以便确定解集的形式.

2.当 Δ<0 时,易混 ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 R 还是?.

[试一试]
1.(2013· 浙江高考)设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0}, 则(?RS)∪T= A.(-2,1] C.(-∞,1] B.(-∞,-4] D.[1,+∞) ( )

解析:T= {x|-4≤x≤1},根据补集定义, ?RS={x|x≤-2},所以(?RS)∪T={x|x≤1},选 C .

2.不等式ax A.10 C.14

2

? 1 1? +bx+2>0的解集是?-2,3?,则a+b的值是( ? ?

)

B.-10

D.-14 1 1 解析:由题意知-2、3是 ax2+bx+2=0 的两根.
则 a=-12,b=-2.a+b=-14.故选 D .

3.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范 围是______.
解析:∵不等式x2+ax+4<0的解集不是空集, ∴Δ=a2-4×4>0,即a2>16. ∴a>4或a<-4.

答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)

1.由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常 用结论
2

(1)不等式 ax +bx+c>0 对任意实数 x
? ?a>0, 或? ? ?Δ<0.

? ?a=b=0, 恒成立?? ? ?c>0,

(2)不等式 ax2+bx+c<0 对任意实数 x
? ?a<0, 或? ? ?Δ<0.

? ?a=b=0, 恒成立?? ? ?c<0,

2.分类讨论思想
解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根 的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行分 类讨论,分类要不重不漏.

[练一练]
若不等式mx2+2mx+1>0的解集为R,则m的取值范围是 ______.

解析:①当m=0时,1>0显然成立. ②当m≠0时,由条件知
? ?m>0, ? 2 ? Δ = 4 m -4m<0. ?

得0<m<1, 由①②知0≤m<1.
答案:[0,1)

[典例]

解下列不等式:

(1)0<x2-x-2≤4; (2)x2-4ax-5a2>0(a≠0).

[解]

(1)原不等式等价于
2 ? ?x -x-2>0, ?? 2 ? ?x -x-6≤0

2 ? ?x -x-2>0, ? 2 ? ?x -x-2≤4

? ??x-2??x+1?>0, ?? ? ??x-3??x+2?≤0

? ?x>2或x<-1, ?? ? ?-2≤x≤3.

借助于数轴,如图所示, 原不等式的解集为 x|-2≤x<-1或2<x≤3 . (2)由 x2-4ax-5a2>0 知(x-5a)(x+a)>0. 由于 a≠0 故分 a>0 与 a<0 讨论. 当 a<0 时,x<5a 或 x>-a; 当 a>0 时,x<-a 或 x>5a. 综上,a<0 时,解集为 x|x<5a或x>-a ;a>0 时,解集 为 x|x>5a或x<-a .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

[类题通法]
1.解一元二次不等式的一般步骤:

(1)对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0,即 ax2 +bx+c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0); (2)计算相应的判别式;
(3)当 Δ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图像,写出不等式的解集.

2. 解含参数的一元二次不等式, 要把握好分类讨论的层次, 一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行分 类,其次根据根是否存在,即 Δ 的符号进行分类,最后在根存 在时,根据根的大小进行分类.

[针对训练]
解下列不等式:
(1)-3x2-2x+8≥0; (2)ax2-(a+1)x+1<0(a>0).

解:(1)原不等式可化为 3x2+2x-8≤0, 即(3x-4)(x+2)≤0. 4 解得-2≤x≤3,
? ? ? 4 ? ? 所以原不等式的解集为 x -2≤x≤3 ? ? ? ? ? ?. ? ?

(2)原不等式变为(ax-1)(x-1)<0,
? 1? 因为a>0,所以a?x-a?(x-1)<0. ? ?

1 所以当a>1时,解为a<x<1; 当a=1时,解集为?; 1 当0<a<1时,解为1<x<a.
? ? ? 1 ? ? 综上,当0<a<1时,不等式的解集为 x 1<x<a ? ? ? ? ? ?; ? ?

当a=1时,不等式的解集为?;
? ? ?1 当a>1时,不等式的解集为?x?a<x<1 ? ? ? ? ? ?. ? ?

一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系. 在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系, 并在一定 条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题,常根据二次函 数图像与 x 轴的交点情况确定判别式的符号, 进而求出参数的取值 范围.归纳起来常见的命题角度有:

?1?形如 f?x?≥0?x∈R?确定参数的范围;
?2?形如 f?x?≥0?x∈[a,b]?确定参数范围;
?3?形如 f?x?≥0?参数 m∈[a,b]?确定 x 的范围.

角度一

形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围

1.(2013· 重庆高考)设 0≤α≤π,不等式 8x2-(8sin α)x+cos 2α≥0 对 x∈R 恒成立,则 α 的取值范围为________.
解析:根据题意可得(8sin α)2-4×8cos 2α≤0,即 2sin2α-cos 1 1 2α≤0 , 2sin α - (1 - 2sin α)≤0 , 即 - 2 ≤sin α≤ 2 . 因 为
2 2

? ? ? ? 5? ? 0≤α≤π,故 α∈ ? 0, ? ∪ ? ,? ? . ? 6? ? 6 ?
? ? ? ? 5? ? 答案: ? 0, ? ∪ ? ,? ? ? 6? ? 6 ?

角度二

形如 f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围

2.对任意 x∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒大 于零,求 a 的取值范围.
a - 4 4- a 解:函数f(x)=x +(a-4)x+4-2a的对称轴为x=- 2 = 2 .
2

4- a ①当 2 <-1,即a>6时, f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(a-4)×(-1)+4-2a>0, 解得a<3,故有a∈?; 4- a ②当-1≤ 2 ≤1,即2≤a≤6时,

只要 f

?4-a? ?4-a? 4-a ? ? ? ?2 ? 2 ?=? 2 ? +(a-4)× 2 +4-2a>0, ? ? ? ?

即 a2<0,故有 a∈?; 4-a ③当 >1,即 a<2 时, 2 只要 f(1)=1+(a-4)+4-2a>0, 即 a<1,故有 a<1. 综上可知,当 a<1 时,对任意 x∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a- 4)x+4-2a 的值恒大于零.

角度三

形如 f(x)≥0(参数 m∈[a,b])确定 x 的范围

3.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大 于零,求x的取值范围.
解:由 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4, 令 g(a)=(x-2)a+x2-4x+4. 由题意知在[-1,1]上,g(a)的值恒大于零,
2 ? ?g?-1?=?x-2?×?-1?+x -4x+4>0, ∴? 2 ? ?g?1?=?x-2?+x -4x+4>0,

解得 x<1 或 x>3. 故当 x<1 或 x>3 时,对任意的 a∈[-1,1],函数 f(x)的 值恒大于零.

[类题通法]
恒成立问题及二次不等式恒成立的条件

(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一 般地, 知道谁的范围, 就选谁当主元, 求谁的范围, 谁就是参数.

(2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次 函数的图像在给定的区间上全部在 x 轴上方; 恒小于 0 就是相应 的二次函数的图像在给定的区间上全部在 x 轴下方.

[典例]

某小商品 2013 年的价格为 8 元/件,年销量是 a

件. 现经销商计划在 2014 年将该商品的价格降至 5.5 元/件到 7.5 元/件之间,经调查,顾客的期望价格是 4 元/件.经测算,该商 品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成 反比,比例系数为 k.该商品的成本价为 3 元/件.
(1)写出该商品价格下降后, 经销商的年收益 y 与实际价格 x 的函数关系式; (2)设 k=2a, 当实际价格最低定为多少时, 仍然可以保证经 销商 2014 年的收益比 2013 年至少增长 20%?

[解]

(1)设该商品价格下降后为 x 元/件, ? k ? 则由题意可知年销量增加到?x-4+a?件, ? ? 故经销商的年收益 (2)当 k=2a
? k ? ? + a ?(x-3),5.5≤x≤7.5. y= x-4 ? ?

? 2a ? 时,依题意有?x-4+a?(x-3)≥(8-3)a×(1+20%), ? ?

x2-11x+30 化简得 ≥0, x-4 解得 x≥6 或 4<x≤5. 又 5.5≤x≤7.5,故 6≤x≤7.5, 即当实际价格最低定为 6 元/件时,仍然可以保证经销商 2014 年的 收益比 2013 年至少增长 20%.

[类题通法]
构建不等式模型解决实际问题

不等式的应用问题常常以函数为背景, 多是解决实际生活、 生产中的最优化问题等,解题时,要仔细审题,认清题目的条 件以及要解决的问题,理清题目中各量之间的关系,建立恰当 的不等式模型进行求解.

[针对训练]

某商品每件成本价为 80 元, 售价为 100 元, 每天售出 100 件. 若 8 售价降低 x 成(1 成=10%), 售出商品数量就增加5x 成. 要求售 价不能低于成本价.

(1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y=f(x),并写出定义域;
(2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元,求 x 的取值 范围.

? ? x? 8 ? 解:(1)由题意得y=100?1-10?· 100?1+50x?. ? ? ? ?

因为售价不能低于成本价, ? x? 所以100?1-10?-80≥0. ? ? 所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2]. (2)由题意得20(10-x)(50+8x)≥10 260, 化简得8x2-30x+13≤0. 1 13 解得2≤x≤ 4 . ?1 ? 所以x的取值范围是?2,2?. ? ?

[课堂练通考点]

x-1 1.不等式 <0的解集为( x+2 A.(1,+∞) C.(-2,1)

) B.(-∞,-2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

解析:原不等式化为(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1, 故原不等式的解集为(-2,1).

答案:C

2. 设 a>0, 不等式-c<ax+b<c 的解集是{x|-2<x<1}, 则 a∶b∶ c= A.1∶2∶3 C.3∶1∶2
b+c c- b ∴- a <x< a . ∵不等式的解集为{x|-2<x<1},

( B.2∶1∶3 D.3∶2∶1

)

解析:∵-c<ax+b<c,又a>0,

? b+c ?- a =-2, ∴? ?c-b=1, ? a

?b=a, ? 2 a 3a ∴? ∴a∶b∶c=a∶ ∶ =2∶1∶3. 2 2 ?c=3a, ? 2 答案:B

3.(2013· 重庆高考)关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集 为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a= 5 A.2 15 C. 4 7 B.2 15 D. 2 ( )

解析:由条件知 x1,x2 为方程 x2-2ax-8a2=0 的两根,则 x1 + x2 = 2a , x1x2 =- 8a2 ,故 (x2 - x1)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = (2a)2 5 -4×(-8a )=36a =15 ,得 a=2. 答案:A
2 2 2

4.(2014· 皖南八校联考)不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒 成立,则实数a的取值范围为 A.[-1,4] C.(-∞,-1]∪[4,+∞) ( )

B.(-∞,-2]∪[5,+∞) D.[-2,5]

解析:x2-2x+5=(x-1)2+4 的最小值为 4,所以 x2-2x +5≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,只需 a2-3a≤4,解得 -1≤a≤4.
答案:A

5.(2013· 浙江调研)若函数f(x)= 的解集是________.

2 ? ?x +1,x>0, ? ? ?-x,x≤0,

则不等式f(x)<4

? ?x>0, 解析:不等式f(x)<4等价于? 2 ? ?x +1<4,

? ?x≤0, 或? ? ?-x<4,

即0<x< 3或-4<x≤0.因此,不等式f(x)<4的解集是(-4, 3).
答案:(-4, 3)

6.设[x]表示不超过x的最大整数,则不等式[x]2-5[x]+ 6≤0成立的x的取值范围为______.

解析:由不等式[x]2-5[x]+6≤0,得2≤[x]≤3,故x的 取值范围为[2,4).

答案:[2,4)



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