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两直线的平行与垂直(教师版)



数学必修二[苏教版]第 2 章平面解析几何初步

凯文新高二暑期辅导第七讲
两直线的平行与垂直
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两条直线(斜率都存在) : l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 平行 两条直线 位置关系 (特殊) 垂直
k1 ? k2 b1 ? b2

k1 ? k2 ? ?1

\学习要求
1.掌握两条直线的平行和垂直的判定,会利用平行和垂直的性质解题; 2.提高分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用能力.

【自主学习】
1.两条直线平行的判定:
l1 // l2 ? k1 ? k2 ( k1 , k2 均存在) ,其中 k1 , k2 分别是两条直线 l1 和 l2 的斜率.

注: (1) l1 和 l2 是指不重合的两条直线; (2)当两条直线的斜率都不存在且不重合时,那么它们都与 x 轴垂直,故 l1 // l2 . 2.两条直线垂直的判定:
l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 ( k1 , k2 均存在) ,其中 k1 , k2 分别是两条直线 l1 和 l2 的斜率.

注:当两条直线中,一条直线的斜率不存,同时另一条的斜率等于 0,则两条直线垂直. 3.两直线方程为一般式时平行于垂直的判定: 设 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ( A1 , B1 不同时为 0, A2 , B2 不同时为 0) 当 A1 , B1 , C1 , A2 , B2 , C2 都不为 0 时: ① 当
A B C A1 B1 A B C ? 时, l1 与 l2 相交;② 1 ? 1 ? 1 时, l1 // l2 ;③ 1 ? 1 ? 1 , l1 与 l2 重合. A2 B2 C2 A2 B2 A2 B2 C2

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数学必修二[苏教版]第 2 章平面解析几何初步

【知能激活】 一、两条直线平行的判定与应用
例 1 (1)已知直线方程 l1 : 2 x ? 4 y ? 7 ? 0 , l2 : x ? 2 y ? 5 ? 0 ,证明: l1 // l2 ;

7 (2)求证:顺次连结 A(2, ?3), B(5, ? ), C(2,3), D(?4,4) 四点所得的四边形是梯形. 2
例 2 (1)求过点 A(2, ?3) ,且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 平行的直线 l 的方程; (2)求与直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 平行,且在两坐标轴上截距之和为

7 的直线 l 的方程. 3

二、两条直线垂直的判定与应用
例 3 (1)已知四点 A(5,3), B(10,6), C (3, ?4), D(?6,11) ,求证: AB ? CD ; (2)已知直线 l1 的斜率为 k1 ?

3 ,直线 l2 过点 A(3a, ?2), B(0, a2 ? 1) ,且 l1 ? l2 ,求实数 a 的值. 4

(3)求过点 A(2,1) ,且与直线 2 x ? y ? 10 ? 0 垂直的直线 l 的方程; 联系:书本 P96/11 变题 1:求与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 垂直,且在 x 轴上的截距比在 y 轴的截距大 2 的直线方程. 变题 2:若三条直线 2 x ? y ? 4 ? 0 , x ? y ? 5 ? 0 , 2mx ? 3 y ? 12 ? 0 围成直角三角形,求 m 的值. 例 4 已知三角形的三个顶点为 A(2, 4), B(1, ?2), C (?2,3) ,求 BC 边上 的高 AD 所在的直线方程.

C
D ?2

4

A

?2

2
B

三、两条直线一般式的平行与垂直判定与应用
例 5 (1)已知直线 ax ? 3 y ? 1 ? 0 与直线 x ? (a ? 2) y ? a ? 0 平行,求 a 的值; a ? 3 (2)已知两条直线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m , l2 : 2x ? (5 ? m) y ? 8 .当 m 为何值时, l1 与 l2 : ① 相交?② 平行?③ 垂直? 练习:若直线 (a ? 2) x ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 与 (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,求实数 a 的值. 答案: a ? 1或 ? 1

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数学必修二[苏教版]第 2 章平面解析几何初步

四、两条直线的平行与垂直的综合应用
例 6 已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1), B(1,0), C (3, 2) ,求第四个顶点 D 的坐标. 答案: (2,3) 变题:已知 A(0,3), B(?1,0), C (3,0) ,求 D 点的坐标,使四边形 ABCD 为直角梯形( A, B, C , D

18 9 按逆时针方向排列) . (3,3) 或 ( , ) 5 5
例 7 若关系由点 A(?1, 4) 射出,在直线 l : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 上进行反射,已知反射光线过点 B(3, 求反射光线所在直线方程. (?

62 ), 13

29 28 , ) , 13x ? 26 y ? 85 ? 0 13 13

例 8 在路边安装路灯,路宽 23 m ,灯杆长 2.5m ,且与灯柱成 120 角,路灯采用锥形灯罩,灯罩 轴线与灯杆垂直.当灯柱高 h 为多少米时,灯罩轴线正好通过道路路面的中线? (精确到 0.01m ) 【解】记灯柱顶端为 B ,灯罩顶为 A ,灯管为 AB ,灯罩轴线与道路中线交于点 C . 以灯柱底端 O 为原点,灯柱 OB 为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系. 点 B 的坐标为 (0, h) ,点 C 的坐标为 (11.5, 0) , ∵ ?OBA ? 120 ,∴直线 BA 的倾斜角为 30 ,则点 A 的坐标为( 2.5cos30 , h ? 2.5sin 30 ) , 即( 1.25 3, h ? 1.25 ) ,

C A ? B A

,∴ kCA ? ?

1 1 ?? ?? 3, tan 30 kBA

由直线的点斜式方程,得 CA 的方程为 y ? (h ? 1.25) ? ? 3( x ?1.25 3) , 灯罩轴线 CA 过点 C (11.5,0) ,∴ ?(h ? 1.25) ? ? 3(11.5 ?1.25 3) ,解得 h ? 14.92(m) 答:灯柱高 h 约为 14.92 m .

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