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【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第四章 平面向量 第三节 平面向量的数量积课件 理



第三节 平面向量的数量积

考纲概述

(1)理解平面向量 数量积的含义及 其物理意义; (2)了解平面向量 的数量积与向量 投影的关系;

考查热点 考查频次 平面向量的数 ★★★★★ 量积的运算 向理的模与夹 ★★★★★ 角

向量平行与垂 ★★★★ 直

备考指导 从近几年

的高考 题来看,平面向 量的数量积及运 算是高考命题中 的热点,以考查 数量积的运算、 几何意义、模长 与夹角求法、平 行与垂直的应用 为主,

考纲概述 (3)掌握数量积 的坐标表达式, 会进行平面向 量数量积的运 算; (4)能运用数量 积表示两个向 量的夹角,会用 数量积判断两 个平面向量的 垂直关系.

考查热点 考查频次 平面向量的数量 ★★★★★ 积的运算 向理的模与夹角 ★★★★★

备考指导 在选择题、填空 题与解答题中均 可能出现.其中选 择题与填空题侧 重于考查数量积 的理解及应用;而 解答题中侧重于 考查公式的熟悉, 大部分作为一个 过渡而已.

向量平行与垂直 ★★★★

1.数量积的有关概念

(1)两个向量的夹角的定义 已知两个非零向量 a 和 b,过 O 点作=a, =b,如图所示,则 ∠AOB=θ ,叫做向量 a 与 b 的夹角.
(2)两个向量的夹角的范围 向量a与b的夹角范围是 0°≤θ≤180° ;当θ=0°时,向量a与b同向;当θ=180°时,向量a与b 反向,当θ=90°时,向量a与b垂直,记作a⊥b.

(3)平面向量数量积的含义 定义 已知两个非零向量 a 与 b,数量|a|| b| cos θ 叫做 a 与 b 的 数量积(内积),记作: a· b,即 a· b=|a||b| cos θ ,其中 θ 是 a 与 b 的夹角 .特别地,零向量与任一向量的数量积为 0 |a| cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影 |b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 数量积 a· b 等于 a 的长度|a| 与 b 在 a 方向上的投影 |b|cos θ 的乘积

投影 几何意 义

2.数量积的运算律 已知向量a,b,c和实数λ,则: (1)交换律:a· b=b· a; (2)结合律:(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb); (3)分配律:(a+b)· c=a· c+b· c. 3.数量积的性质及坐标表示 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a与b的夹角.

结论 模 数量积

几何表示 |a|= · a· b=|a||b| cos θ

坐标表示 |a|= 2 + 2 a· b=x1x 2+y1y 2

结论 夹角 a⊥b 的 充要条件

几何表示 cos θ= a· b=0
· | || |

坐标表示 cos θ=
1 2 +1 2
2 + 2 · 2 + 2 1 1 2 2

x1x2+y 1y2= 0

2 |a· b|与 |a· b|≤|a|| b|(当且仅 |x1x2+y 1y2| ≤ 1 + 12 · 2 2 |a||b|的关系 当 a∥ b 时等号成立) 2 + 2

4.常用的数学方法与思想 基底法、坐标法、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想.

1.(2015· 山东师大附中月考) 已知| a|=5,|b|= 4,<a,b>=120°,则向量 b 在向量 a 上的投影为 ( ) A.- 2 B.2 5 5 C. D.2 2

1.A 【解析】b 在向量 a 上的投影为|b|cos<a,b>=4cos 120°=-2.

2.(2016· 浙江绍兴一中模拟) 已知平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a=(2,0),| a+2b|=2 3,则|b|= ( ) A.2 B.1 1 1 C. D.
2 3

2.B 【解析】由题可得 a· b=|a||b| cos 60°= ||||, = (2,0), 得
2

1

|| = 2, 即 · = ||, 又| + 2| = 2 3,即|a| 2+4ab+4|b| 2=12,从而 得到 4+4| b|+4|b| 2=12,解得| b|=1,|b|=-2(舍),因此|b|=1.

3.(2016· 广西河池高级中学月考) 已知 a,b 均为单位向量,其夹角为 θ,若 p:|a+b|> 1?θ∈ 0, 命题为 ( A.p∧q C.( p)∧q
2π 3
2π 3

,q:|a+b|>1?θ∈ 0,

π 3

,则下列命题中真

) B.p∨q D.( p)∨q
2 2

3.B 【解析】因为|a+b|>1?|a| +2a· bcos θ+|b| >1?cos θ>- ?
2

1

∈ 0,

,即命题 p 真,则命题 q 假,所以 p∨q 为真命题.

4.(2016· 云南玉溪一中月考)已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则“m=1” 是“(a-mb)⊥a”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.C 【解析】由题可得|a|=1,a· b=|a||b|cos 60°=1,而(a-mb)· a=|a|2-ma· b=1-m,所以当m=1 时有(a-mb)· a=0,反之,当(a-mb)⊥a时,即(a-mb)· a=0时,有m=1. 5.已知a,b是两个向量,|a|=1,|b|=2且(a+b)⊥a,则a与b的夹角为 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 5.C 【解析】由(a+b)⊥a得(a+b)· a=0,即|a|2+a· b=0,即1+1×2×cos<a,b>=0,解得 1 cos<a,b>= - ,故<a,b>=120°.
2

6.(2015· 银川一中月考) 已知点 O 为△ABC 的外心,且 | |=4,| |=2, · = .

6.6 【解析】 因为点 O 为△ABC 的外心,且| | = 4, | | = 2, 所以 · = ·( ? ) = · ? · = | || |cos < , > ?| || |cos < , >= | | · 1 1 1 | | × ? | || | × = (4×4-2×2)=6.
2 2 2

考点 1 典例 1

平面向量的数量积的运算 (2015· 福建高考) 已知 ⊥ ,||= ,| |=t.若点 P 是
| | 1

△ABC 所在平面内的一点,且 = 于 ( A.13 ) B.15

+

4 | |

,则 · 的最大值等 D.21

C.19

【解题思路】以 A 点为坐标原点,AB,AC 所在直线为 x 轴,y 轴建立 平面直角坐标系,则有 A(0,0),B 可知(1,4), 那么 =
1 1 1

,0 , (0, ), 那么由 =

| |

+

4 | |

-1,-4 , = (?1, ? 4), 故有 · =
1 1

-1,-4 ·(?1, ? 4) = ? ? 4 + 17 ≤ ?2
1 1 2

· 4 + 17 = 13,

当且仅当 = 4, 即 = 时等号成立, 故 · 的最大值为 13.

【参考答案】 A

定义法与坐标法解题思路 (1)定义法的思路:首先将所求向量的数量积转化为与条件有关的两向量的基底表示;其次 按求数量积的方法步骤即:一求向量a,b的夹角θ,θ∈[0°,180°],二求|a|,|b|,三利用公式 a· b=|a|· |b|· cos θ求数量积. (2)坐标法的思路:首先确定题中坐标原点(如果题中有数量积为0的条件或几何图形有直 角可直接建系,否则自己确定一个点为坐标原点);其次在确定的坐标系下写出相关向量的 坐标,再按数量积的坐标公式a· b=x1x2+y1y2求解.

【变式训练】 1.(2015· 黑龙江佳木斯一中三模) 如图在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=3,AD=2,∠DAB=60°,2 = , = ,则 · = ( )

A.

13 2

B.

15 2

C.

17 2

D.

19 2

1.C 【解析】由题及图可知 = + = + 3 = +
1

1

, = + = + = + , 所以 · = 3 2 2
1 2 1 3

1

1

+ 3
2

1

|| + 6 · + 3 || , 又因为|| = 3, || = 2, · =
1 1 7

7

+ 2 =
1
2

1

|| ·||cos 60°= 3 × 2 × 2 = 3, 因此 · = 2 × 4 + 6 × 3 + ×9=
17 2

.

2.(2016· 九江七校联考) 在△ABC 中,b =ac,且 a+c=3,cos B= ,则 ·
2

3 4

= ( 3 A.
2

) B.-

3 2

C.3

D.-3

2.B 【解析】在三角形 ABC 中,由余弦定理得 b2=a2+c 2-2ac cos B, 3 7 2 即有 ac=(a+c) -2ac-2ac× , 即 = 9 ? , 解得 = 2, 从而 ·
4 2

= | | ·| |cos(π ? ) = ?cos = ?2 × = ? .
4 2

3

3

考点 2 向量的模与夹角 典例 2 (2016· 武汉调研) 已知向量 a,b 是平面向量,若 a⊥(a- 2b),b ⊥(b-2a),则 a 与 b 的夹角是 .
【解题思路】由 a⊥(a-2b),b⊥(b-2a)得 ·( - 2) = 0, 即 ·( - 2) = 0,
2 | | - 2· = 0,

得到|| = ||, 故||2?2 ·
2 | | - 2· = 0,

= 0, 即||2?2|| ·||cos < , >= 0, 解得 cos < , >= 1 π , 即得 < , >= . 2 3

【参考答案】

π 3

求向量模与夹角的方法 (1)求向量的夹角的方法 :一看 (看数量积是否为 0,从而确定为特殊角 90°);二算 利用公式 cos< a,b>=
· | |· | |

=

1 2 +1 2
2 + 2 · 2 + 2 1 1 2 2

求解 .

(2)求向量的模的方法 :几何方法 :几何图形中的向量的模长即为线段 的长度 ;代数方法 :将向量的模长转化为 |a|= 2 + 2 求 ,但在转化过 程中要注意 |a|= · 的转化关系 ,这也是最常用求距离的公式 . (3)不管是求夹角还是求模长 ,首先应利用数量积的运算法则化简 ,以 简化计算量 .

【变式训练】 设向量 a= sin, A.
3 2 2 2

的模为 ,则 cos2α= (
1 4 2

3

) D.
1 2

B.-

C.-

1 2

D 【解析】本题考查了平面向量的模运算及三角函数的二倍角公 1 3 1 2 2 式.由已知 sin α+2 = 4 , 所以 sin = 4 , 根据降幂公式 sin2 =
1-cos2 2

= 4 , 得 cos2 = 2.

1

1

考点 3 向量平行与垂直 典例 3 (2015· 安徽高考) △ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向 量 a,b 满足 =2a, =2a+b,则下列结论正确的是 ( ) A.| b|=1 B.a⊥ b C.a· b= 1 D.(4a+b)⊥

【解题思路】解题时先用, 表示向量, , 再进行运算判断. 1 因为 = 2, = 2 + , 所以 = , = , 因为 △
2

是边长为 2 的等边三角形, 所以|| = 2, · = · = ?1,
2

1

故, 不垂直, 4 + = 2 + = + , 故 (4 + ) · = ( + ) · = ?2 + 2 = 0, 所以(4 + ) ⊥ .

【参考答案】 D

(2015· 桂林十八中月考) 已知向量 a=(2,- 7),b=(-2,-4),若存在实数 λ, 使得(a-λb)⊥b,则实数 λ 为 .
6 5

【解析】由 = (2, ?7), = (?2, ?4) 得( ? ) = (2, ?7) ?
6 5

(?2, ?4) = (2 + 2, ?7 + 4 ), 因为( ? ) ⊥ , 所以 ? 2 × (2 + 2 ) ? 4(?7 + 4) = 0, 解得 = .

两次向量数量积的应用 当两向量所夹角的平面区域内还存在一向量时,可利用这一向量与已知的两向量进行 两次数量积,可找到相关的待定系数或其他未知数的值,对解决三向量两两存在夹角的问 题有很好的效果.

典例 (2016· 吉安四校联考) 已知点 O 是△ABC 的外 心,AB=6,AC=10,若 =x+y ,且 2x+10y=5,则△ABC 的面积为 ( ) A.24 C.18 或
20 2 3

B.

20 2 3
1

D.24 或 20 2

【思路反推】(1)面积入手:S△ABC= AB×AC×sin ∠BAC=30×sin ∠ 2 BAC; (2)目标转换:求 sin ∠BAC; (3)知识联想:向量的数量积 · =||| |cos ∠BAC 中的 cos ∠BAC 与目标有关联.

【解题思路】设点 D,E 分别是边 AB,AC 的中点 ,所以 AD=3,AE=5, 由 =x +y 得 · = · (x +y )=x · +y · =18x+30y cos ∠BAC ①. · = · (x +y )=x · +y · =30xcos ∠BAC+50y ②.又 · =| || |· cos ∠BAO=| |2=9 ③, · =| || |cos∠CAO=| |2=25 ④, 故由 ②与 ④得 30xcos ∠BAC+50y=25,即 6x cos ∠BAC+10y= 5.而 条件 2x+10y=5 代入上式得 6xcos ∠BAC+10y=10y+ 2x,即 x(1-3cos 1 1 ∠BAC)=0,即 x=0 或 cos ∠BAC= ,当 x=0 时 ,y= ,此时 =
1 2 3

,△ABC 为是以 B 为直角的三角形 ,所以 S= ×6×8=24.当 cos ∠
1 3 2 2 3 2

1

2

BAC= 时 ,sin ∠BAC=

,

所以 S= ×6×10×sin ∠BAC= ×6×10×
2 2

1

1

2 2 3

=20 2,综合得选项 D 正

确.

【参考答案】 D

【针对训练】 2 若点 O 为△ABC 的外心,AB=2m,AC= (m>0),∠BAC=120°,且 =x+y(x,y 为实数),则 x+y 的最小值是 .

2 【解析】 如图所示, · = 2 · ·cos 120°= ?2. ∵ = + (, 为实数 ), ∴ · = 2 + · , · = 1 1 2 2 2 · + , ∴ = ? 2, 2 = ?2 + 2 , ∴
2 1 2 2+ 2 4 3 3

2

× (2)2 = (2)2 ? 2, , =
2 2 +1 3 2

1

2 2

2

. ∴ + =

2 1 2 3

= ?2 + +
1 2 4 3

2 2 1 3

, 解得 = 2 ×
1 2

+ ≥ ×2

+

=2.当且仅当 m=1 时取等号.∴x+y 的最小值是 2.



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