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2015-2016高三数学理科大练习九 (1)



2015 至 2016 学年度高三数学(理科)大练习( 九 )
命题: 审题: 总审: 2015-12-10 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且只 有一项是符合题目要求的.)
o o 2 1.已知集合 A ? cos 0 ,sin 270 ,B ? x x ? x ? 0 ,则A ? B 为(

/>
8.函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 . x 的图象大致是( ) 2

?

?

?

?



A. ?0, ? 1? 2.复数 z 满足 z ?

B. ??11 , ?

C. ??1?

D. ?0? 9.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的体积为( )

2?i ? i ,则 z ? ( ) i A. 2 B.2 C. 5 D. 10 2 ? ? 3.已知 cos 2? ? sin ? (2sin ? ?1) ? , ? ? ( , ? ) ,则 tan(? ? ) 的值为( 5 2 4 1 1 2 2 A. B. C. D. 7 3 7 3 ? ? ? ? ? ? 4.已知向量 a ? (2,1), b ? (x, ?6) ,若 a ? b ,则 a ? b ? ( )
A.5 B. 5 2 C.6 D.50


1 正视图 2 2 2 1

2

侧视图

5.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的 数字之和为奇数的概率为( )

1 A. 3

2 B. 3

1 C. 2

3 D. 4

俯视图

6.执行如图所示的程序框图,则输出的 k 的值为( )

4 3 2 3 D. 3 3 10.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为
A. 2 3 B. 3 C. A. ? a
2

B.

x2 y2 11.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 AB a b 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 ( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 45 36 36 27 27 18 18 9 12.设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0,使得 f(x0) 0,则 a 的取 值范围是( ) A.[ ?

7 2 ?a 3

C.

11 2 ?a 3

D. 5? a

2

3 ,1) 2e
8

B. [ ?

3 3 , ) 2e 4
2 7

C. [

3 3 , ) 2e 4

D. [

3 ,1) 2e

A.4

B.5

C.6

D.7 )

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) 13. ( x ? y)( x ? y) 的展开式中 x y 的系数为 14.给出如下五个结论: ①存在 ? ? (0, .(用数字填写答案)

2a ? 1 7.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上周期为 3 的奇函数,若 f (1) ? 1 , f ( 2) ? ,则有( a ?1 1 A. a ? 且 a ? ?1 B. a ? ?1 或 a ? 0 2 C. ? 1 ? a ? 0 D. ? 1 ? a ? 2

?

2 ②存在区间( a , b )使 y ? cos x 为减函数而 sin x <0
③ y ? tan x 在其定义域内为增函数
高三数学(理科)大练习试卷 第2页

) 使 sin a ? cos a ?

1 3

高三数学(理科)大练习试卷

第1页

④ y ? cos 2 x ? sin( ⑤ y ? sin? 2 x ?

?
2

? x) 既有最大、最小值,又是偶函数

19. (本小题满分 12 分)如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角 形, ?BAC ? 90° , O 为 BC 中点.

? ?

?
6

? 最小正周期为π

S

其中正确结论的序号是

? x ? y ? 1, ? ? x ? y ? ?1, ? y?2 15.已知实数 x、y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 2. 则目标函数 z = 的最大值为 x?5 16.已知 a , b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且
(2 ? b)(sin A ? sin B) ? ( c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为
.

O

C

.

(Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上且过点 P ? 3, ? ,离心 率是

B

A

? ?

1? 2?

三、解答题: (本大题共 8 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ) 17. (本小题满分 12 分) 已知各项均不相等的等差数列 {an } 的前五项和 S5 ? 20 , 且 a1 , a 3 ,a 7 成 等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Tn 为数列 {

3 . 2

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 l 过点 E (-1,0)且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若|EA|=2|EB|,求直线 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)e (1)求函数 f ( x ) 的单调区间;
?x
?x

( e 为自然对数的底数) .

1 } 的前 n 项和,若存在 n ? N * ,使得 Tn ? ? an ?1 ? 0 成立.求 ? 的范围。 an an ?1

(2)设函数 ? ( x) ? xf ( x) ? tf ?( x) ? e ,存在 x1 , x2 ? ?0,1? , 使得 2? ( x1 ) ? ? ( x2 ) 成立,求实 数 t 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)为考察高中生的性别与是否喜欢体育课程之间的关系,在我市某普通 中学高中生中随机抽取 200 名学生,得到如下 2 ? 2 列联表: 喜欢体育课 不喜欢体育课 合计 男 女 合计 30 20 50 60 90 150 90 110 200

请考生在第22、23、题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 x?y 中,以坐标原点 ? 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线

(1)根据独立性检验的基本思想,约有多大的把握认为“性别与喜欢体育课之间有关系”? (2)若采用分层抽样的方法从不喜欢 体育课的学生中随机抽取 5 人,则男生和女生抽取的人 ... 数分别是多少? (3)从(2)随机抽取的 5 人中再随机抽取 3 人,该 3 人中女生的人数记为 ? ,求 ? 的数学期 望.

?x ? 4 ? t 2 ( t 为参数) ,曲线 C 2 : ? ? 6? cos? ?10? sin ? ? 9 ? 0 . C1 : ? ? y ? 5 ? 2t (Ⅰ)将曲线 C1 化成普通方程,将曲线 C2 化成参数方程;
(Ⅱ)判断曲线 C1 和曲线 C2 的位置关系.

,其中 参考数据:



(23) (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 设 f(x)=|x+2|+|2x-1|-m. (1)当 m=5 时.解不等式 f(x)≥0; (2)若 f(x)≥

3 ,对任意 x ? R 恒成立,求 m 的取值范围. 2

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阳江一中 2015 至 2016 学年高三数学(理科) 大练习( 六 )
班别: 学号: 姓名: 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 目 答 案 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13、 14、 _ 成绩: 11 12

18. (本小题满分 12 分)

19. (本小题满分 12 分)

15、 16、 三、解答题:共 80 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)

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20. (本小题满分 12 分)

21. (本小题满分 12 分)

请考生在第 22、23、题中任选一题作答,如果多做, 则按所做的第一题记分,解答时请写清题号。 (10 分 ) 题号: ( )

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阳江一中 2015 至 2016 学年高三数学(理科) 大练习( 九 )答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 目 答 C A A B B A B B C B D D 案 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 1 13、-20 14、④ 15、 ? 16、 3 2 9.C 由三视图知:几何体是四棱锥,其直观图如图: 四棱锥的一个侧面 SAB 与底面 ABCD 垂直,过 S 作 SO⊥AB,垂足为 O, 3 ∴SO⊥底面 ABCD, SO ? 2 ? , 底面为边长为 2 的正方形, 2 1 4 3 ∴几何体的体积 V ? ? 2 ? 2 ? 3 ? . 3 3 故选 C.

? ?d ? 1 ?a1 ? 2d ? 4 即? 2 ,? d ? 0,? ? ,故 an ? n ? 1(n ? N * ) a ? 2 2 d ? a d ? ? 1 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? (2)? ?Tn ? ? ? ? ? ? ? ? an an ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 2 3 3 4 n ?1 n ? 2
? 1 1 n ? ? ∵存在 n ? N * ,使得 Tn ? ? an ?1 ? 0 成立 2 n ? 2 2(n ? 2)
n n ? ? (n ? 2) ? 0 成立,即 ? ? 有解 2(n ? 2) 2( n ? 2) 2

∴存在 n ? N * ,使得

?? ? {

n n } 而 ? 2 max 2( n ? 2) 2(n ? 2)2

1 1 1 ? , n ? 2 时取等号?? ? . 4 16 2(n ? ? 4) 16 n

18.(1)∵ K 2 ?

200(30 ? 90 ? 60 ? 20)2 ? 6.061 ? 5.024 , 90 ?110 ? 50 ? 150
60 90 ? 5 ? 2 (人) 女生抽取人数有: ? 5 ? 3 (人) 60 ? 90 60 ? 90

∴约有 97.5%以上的把握认为“性别与喜欢体育课之间有关系”. (2)男生抽取人数有:

(3)由(2)可知,男生抽取的人数为 2 人,女生抽取的人数为 3 人, 所以 ? 的取值为 1,2,3.

P(? ? 1) ?

3 1 1 2 C3 C32C2 1 C3 C2 6 3 P ( ? ? 3) ? ? P ( ? ? 2) ? ? ? 3 3 3 C5 10 , C5 10 , C5 10 ,

3 6 1 ? 2 ? ? 3? ? 1.8 10 10 10 19.(Ⅰ)由题设 AB= AC = SB= SC ? SA ,连结 OA , △ ABC 为等腰直角三角形,
所以 ? 的数学期望为 E? ? 1?

12 题

2 SA ,且 AO ? BC ,又 △SBC 为等腰三角形, 2 2 SO ? BC ,且 SO ? SA ,从而 OA2 ? SO2 ? SA2 . 2 所以 △ SOA 为直角三角形, SO ? AO . 又 AO ? BO ? O .所以 SO ? 平面 ABC . (Ⅱ)解法一:取 SC 中点 M ,连结 AM,OM ,由(Ⅰ)知 SO ? OC,SA ? AC , 得 OM ? SC,AM ? SC .∴ ?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角. 由 AO ? BC,AO ? SO,SO ? BC ? O 得 AO ? 平面 SBC .
所以 OA ? OB ? OC ?

三、解答题
5? 4 ? d ? 20 ?5a1 ? 2 17.(1)设 {an } 的公差为 d ,由已知得 ? ?( a ? 2 d ) 2 ? a ( a ? 6d ) 1 1 ? 1
高三数学(理科)大练习试卷 第9页

3 AO 2 6 SA ,故 sin ?AMO ? . ? ? 2 AM 3 3 3 所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为 3 解法二:以 O 为坐标原点,射线 OB,OA 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴,建立如图的空间直角 坐标系 O ? xyz .
所以 AO ? OM ,又 AM ?

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第 10 页

所以直线 l 的方程为 15 x+6y+ 15 =0 和 15 x-6y+ 15 =0

x ex 所以当 x ? 0 时, f ' ( x ) ? 0 .当 x ? 0 时, f ' ( x ) ? 0 ( - ?, 0) (0, ? ?) 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
21.(1)因函数的定义域为 R, f ' ( x ) ? ?

假设存在 x1, x2 ? ?0,1? 使得 2? ( x1 ) ? ? ( x2 ) 成立,则 2[? ( x)]min ? [? ( x)]max 设 B(1 , 0, 0) ,则 C (?1 , 0,, 0) A(0, 1 ,, 0) S (0, 0, 1) .

x 2 ? (1 ? t ) x ? 1 ( x ? t )( x ? 1) 因为 ? ( x ) ? xf ( x ) ? tf ?( x ) ? e = ,所以 ? ' ( x ) ? ? x ex e
?x

? ?1 ? 1 ? ???? ? 1 1 ? ??? ? 1 1 ? ???? 0, ? , MO ? ? , 0, ? ?, MA ? ? , 1 , ? ?, SC ? (?1 , 0, ? 1) . SC 的中点 M ? ? , 2? 2? ? 2 2? ?2 ?2 ???? ? ??? ? ???? ??? ? ∴ MO ? SC ? 0, MA ? SC ? 0 . ???? ? ??? ? 故 MO ? SC,MA ? SC,< MO, MA ? 等于二面角 A ? SC ? B 的平面角. ???? ? ???? ???? ? ???? MO ? MA 3 , cos ? MO, MA ?? ???? ? ???? ? 3 MO ? MA
所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

3 . 3

?c 3 ? = a 2 ? x2 y 2 ? 2 2 2 20. (1)设椭圆 C 的标准方程为 2 ? 2 =1(a>b>0).由已知可得 ? a =b +c , a b ?3 1 ? 2 + 2 =1 4b ? ?a
解得 a =4,b =1.
2 2

e ?1. 2 ?当 t ? 0 时 ? ' ( x ) ? 0 , ? ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,? 2? (0) ? ? (1) 即 t ? 3 ? 2e ? 0 ?当 0 ? t ? 1 时,在 x ? [0, t ) 时, ? ' ( x ) ? 0 , ? ( x ) 在 x ? [0, t ) 上单调递减; 在 x ? (t ,1] 时, ? ' ( x ) ? 0 , ? ( x ) 在 x ? (t ,1] 时单调递增. t ?1 3? t } (?) 所以 2? (t ) ? max{ ? (0),? (1)} ,即 2 ? t ? max{1, e e t ?1 4 t ?1 2 3?t 3 ? 2而 ? ? 由(1)知, g (t ) ? 2 ? t 在 t ? [0,1] 上单调递减,故 ? 2 ? e e e e e e ( ? ) 所以不等式 无解. e 综上,存在 t ? ( ?? ,3 ? 2e) ? (3 ? ,?? ) 使得命题成立. 2 ? x ? 4 ? t, 22.(Ⅰ)∵ ? ,∴ t ? x ? 4 , ? y ? 5 ? 2t.
?当 t ? 1 时, ? ' ( x ) ? 0 , ? ( x ) 在 (0,1) 上单调递减,? 2? (1) ? ? (0) ,即 t ? 3 ?

代入 y ? 5 ? 2t 得, y ? 5 ? 2( x ? 4) ,即 y ? 2 x ? 3 . ∴曲线 C1 的普通方程是 y ? 2 x ? 3 . 将 ? ? x2 ? y 2 , ? cos ? ? x , ? sin ? ? y 代入曲线 C 2 的方程

x2 2 故椭圆 C 的标准方程为 +y =1. 4
(2)由已知,若直线 l 的斜率不存在,则过点 E(-1,0)的直线 l 的方程为 x=-1,此时令

? 2 ? 6? cos? ?10? sin ? ? 9 ? 0 ,得
x2 ? y 2 ? 6 x ?10 y ? 9 ? 0 , 即 ( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? 25 .

? ? 3? 3? A ? ?1, ,B ? ?1, ? ? ? ,显然|EA|=2|EB|不成立. ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?

? x2 ? ? y2 ? 1 若直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y=k(x+1).则 ? 4 , ? y ? k ( x ? 1) ?
整理得(4k +1)x +8k x+4k -4=0. 2 2 2 2 2 由Δ =(8k ) -4(4k +1)(4k -4)=48k +16>0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 故 x1+x2=-
2 2 2 2

8k 2 4k 2 ? 4 ,① x .② 1x2= 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
15 . 6
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? x ? 3 ? 5cos ? , 设 x ? 3 ? 5cos ? , y ? 5 ? 5sin ? 得曲线 C 2 的参数方程:? ( ? 为参数) ? y ? 5 ? 5sin ? . 2?3 ? 5 ? 3 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,圆心(3,5)到直线的距离 d ? ? ?5 5 5 ∴曲线 C1 和曲线 C 2 相交. 23.(1)当 m ? 5 时, f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ?5 , 不等式 f ( x)≥0 为 | x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ≥5 , ①当 x≤? 2 时,不等式为: ?3x ? 1≥5 ,即 x≤? 2 ,满足;

因为|EA|=2|EB|,即 x1+2x2=-3.③ ①②③联立解得 k=±

②当 ?2 ? x ? 时,不等式为: ? x ? 3≥5 ,即 x≤? 2 ,不满足; ③当 x≥ 时,不等式为: 3x ? 1≥5 ,即 x≥ ,满足.
高三数学(理科)大练习试卷 第 12 页

1 2

1 2

4 3

92 ? b 2 a 2

综上所述,不等式 f ( x)≥0 的解集为 ? x x≤ ? 2或x≥ ? .
?

?

4? 3?

(2)设 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ,若 f ( x)≥ 对于 x ? R 恒成立, 即 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| ≥m ? 对于 x ? R 恒成立,
? ??3x ? 1( x≤ ? 2), ? ? 1? ? g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1|? ?? x ? 3 ? ?2 ? x ? ?, 2? ? ? ? 1? ? ?3x ? 1? x≥ ? . 2? ? ?
3 2

3 2

由图 6 可看出 g ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? 1| 的最小值是 ,
1] . 所以 m ? ≤ ,∴m≤ 1 ,即 m 的取值范围是 (??,

5 2

3 2

5 2

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